CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

Transcript

1 CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte cotuă pe porţu dcă este cotuă pe [, cu ecepţ uu umăr ft de pucte de dscotutte de prm speţă (fg O stfe de fucţe este tegrbă O Fg b Remtm că fucţ f : este perodcă de perodă T dcă f ( + T f (, dec Lem Fe f + : o fucţe perodcă de perodă Atuc f ( d f ( d Demostrţe Petru cest este sufcet să observăm că + f ( d f ( d + f ( d + f ( d Cu schmbre de vrbă + de ude rezută em f ( d + t, obţem f ( tdt f ( d + f ( d, + f ( tdt, Î geer, dcă f re perod T, tuc + T T f ( d f ( d

2 Ser Fourer 3 Defţ Fe ( α, ( β două şrur de umere ree Ser de fucţ α + ( α cos + β s se umeşte sere trgoometrcă de coefceţ α,, stfe de ser de fucţ α + ( α cos + β s se umesc poome trgoometrce β, ( Sumee prţe e ue Defţ 3 Fe fucţ f :, perodcă de perodă, cotuă pe porţu pe orce terv compct ş fe f ( d, f ( cos d, b f ( s d, Atuc ser trgoometrcă + ( cos + b s se umeşte ser Fourer tştă fucţe f, r coefceţ, b se umesc coefceţ Fourer fucţe f Defţ 4 Fucţ f :[, se umeşte cotuu dfereţbă pe porţu (su etedă pe porţu pe [, dcă este dervbă pe [, cu ecepţ uu umăr ft de pucte ş f este cotuă pe [, cu ecepţ cestor pucte î cre re mte tere fte Teorem (Drchet Fe f : o fucţe perodcă de perodă, cotuu dfereţbă pe porţu pe orce terv compct [ b, ] Atuc ser Fourer ( este covergetă pe ş vem f ( + f ( + + ( cos + b s,, ude f ( cos d,, b f ( s d, Observţ Dcă, î pus, f este cotuă pe, vem f ( + ( cos + b ( f se dezvotă î sere Fourer pe s, ( Observţ Dcă fucţ este mpră, tuc, f este pră, tuc b, Dcă fucţ f

3 4 ECUAŢII Eempu Să se dezvote î sere Fourer pe tervu [, ] fucţ f ( Fe f :, fucţ obţută pr preugre pr perodctte, cu perod T, fucţe f Deorece fucţ este pră, coefceţ b sut u Vom ccu coefceţ Avem: 3 d, 3 s cos d s d cos 4 ( cos d + ( Î cosecţă, 4, b,, dec 3 ( + 4 cos, [, ] 3, Î prtcur, petru obţem o dettte cuoscută, dtortă u Euer: 6 Teorem (Fejér Fe f : o fucţe cotuă, perodcă de perodă, s + ( cos + b s, ş sumee Fejér de ordu, s + s + + s σ, Atuc şru de fucţ (σ coverge uform f pe Teorem 3 (Weerstrss Fe f : o fucţe cotuă, perodcă de perodă Atuc petru orce > estă u poom trgoometrc stfe îcât f T < Demostrţe Fe T σ m, ude m stfe îcât σ m este dt de Teorem u Fejér Teorem 4 (Weerstrss Dcă fucţ petru orce > estă u poom gebrc P stfe îcât σ p f <, petru orce p m Putem ege T f :[, este cotuă, tuc f P <

4 Ser Fourer 5 Demostrţe Petru îceput, fe f :[, ] o fucţe cotuă cre stsfce f ( f ( ş f preugre pr perodctte pe fucţe f Coform Teoreme 3, petru orce > estă u poom trgoometrc T stfe îcât T α p + ( α cos + β s f T <, cu Dezvotâd î sere fucţe cos ş s, rezută că estă u rg m stfe îcât m T < Notâd P ( m, rezută că f P < Să presupuem cum că fucţ f u m stsfce codţ f ( f (, dec f ( f ( Cosderăm fucţ cotuă f ( f ( g :[, ], g( f ( + Atuc g ( f (, g ( f (, dec g ( g( Coform ceor de m sus, petru orce > estă u poom P stfe îcât g P <, dcă f ( f ( f ( + P ( <, [, ] f ( f ( Notâd Q ( P (, rezută că f Q < Î sfârşt, fe f :[, o fucţe cotuă ş b h :[, ] [,, h( t + t Evdet, h este u homeomorfsm Cosderăm fucţ g :[, ], g ( t f ( h( t, t [, ] Ţâd sem de cee de m sus, rezută că petru orce > estă u poom stfe îcât g P <, dcă P f ( h( t P ( t <, t [, ] Î cosecţă, f ( P ( h ( <, [, Notâd Q P h, rezută că f Q <

5 6 ECUAŢII Ser Fourer geerzte Fe ( H, <, > u spţu prehbert re ş fe { e, e,, e,} u sstem ortoorm de eemete d H Aşdr vem:, dcă j < e, e j > δ j, dcă j Fe H orecre Coefceţ Fourer (geerzţ u î rport cu sstemu ortoorm e, e,, e,} se defesc stfe: r ser { ξ <, e >,, ( ξ, ( e se umeşte ser Fourer tştă u î rport cu sstemu ortoorm e, e,, e,} { Teorem ξ e ce, c, Demostrţe Îtr-devăr: c e Aşdr, vem c e < c e, j c j e j > ( c ξ c ξ + c + ξ + c Evdet cestă eprese este mmă dcă ( ξ ξ (3 ξ e ce, c, c ξ, Rezută că Cororu Dcă ξ,, sut coefceţ Fourer u ortoorm e, e,, e,}, tuc re oc egtte u Besse: { î rport cu sstemu ξ (4 dec Demostrţe D (3 rezută că ξ e ξ,

6 Ser Fourer 7 Făcâd ξ, se obţe (4 Defţ Sstemu ortoorm { } se umeşte îchs dcă Sp { e } este des î H, dec dcă petru orce H ş orce > estă c, c,, c stfe îcât c e < Teorem Dcă sstemu ortoorm dettte u Prsev: e ( { e } este îchs tuc re oc ξ (5 Demostrţe Este sufcet să rătăm că ξ (6 Fe > Atuc estă c, c,, c stfe îcât c e D (3 obţem Aşdr < c ξ > c e + ( ξ ξ ξ + > Cum este rbtrr, făcâd, rezută (6 Defţ U sstem ortoorm { e } se umeşte compet (tot dcă orce H cre stsfce ξ <, e >, petru orce, cocde cu eemetu u d H, dec H Teorem 3 Orce sstem ortoorm îchs este compet Demostrţe Deorece ξ,, d egtte u Prsev rezută că H Afrmţ recprocă u este devărtă î geer Se pote răt că îtr-u spţu Hbert cee două oţu cocd

7 8 ECUAŢII Fe [ b, ] Vom ot cu C([, spţu vector fucţor cotue pe porţu pe [, cre stsfc f ( [ f ( + f ( + ], [, Evdet C([, C([, Pe C([, defm următoru produs scr b < f, g > f ( g( d, f, g C([, Îtr-devăr, se verfcă uşor că dcă f, g, f, f C([,, tuc: < f + f, g >< f, g > + < f, g >, < α f, g > α < f, g >, α, < f, g >< g, f >, < f, f > Vom răt cum că d < f, f >, rezută că f Să presupuem că b f ( d : < < < < < < f (, Fe Δ b o dvzue tervuu [,, stfe îcât fucţ este cotuă pe tervu Cosderăm fucţe g :[, ],, f ( +, dcă, g ( f (, dcă (,, f (, dcă Fucţ g este cotuă pe, ] ş f ( d g ( d Î cosecţă [ g (, [, ], dec f (, (,, f ( +, f ( Atuc petru orce,, f ( [ f ( + f ( + ] Pr urmre f (, [, Î cocuze, C([, este u spţu prehbert Fe cum spţu prehbert H C([, ] Să cosderăm î cest spţu şru de fucţ trgoometrce, cos, s, cos, s,, cos, s, (7 Se deduc cu uşurţă următoree formue mportte: d, (8

8 Ser Fourer 9 cosm d, m, (9 s m d, m, (, dcă m cos m cos d, m,,, dcă m (, dcă m s m s d, m,,, dcă m ( s m cos d, m, (3 Să dovedm, de eempu, ( Dcă m, tuc d egtte cos m cos [cos( m + + cos( m ], rezută că cos m cos d s( m + s( m m + m De semee cos m d ( + cos md ( + s m m D egtăţe (8-(3, rezută că şru (7 este u sstem ortogo Pe de tă prte, cum f < f, f >, d ceste egtăţ rezută că, cos s, Î cosecţă, sstemu de fucţ, cos, s, cos, s,, cos, s, (4 este u sstem ortoorm de fucţ Fe,, coefceţ Fourer d Teorem u Drchet Notăm cu b, c, d, c, d,, c, d c,, coefceţ Fourer geerzţ î rport cu sstemu ortoorm (4 Atuc: c < f, > f ( d, c d < f, cos > f ( cosd,, b < f, s > f ( s d, Iegtte u Besse deve

9 ECUAŢII su + ( + b f ( d + ( + b f ( d (5 Se pote răt că sstemu trgoometrc (4 este îchs Rezută că re oc egtte u Prsev, dcă + ( + b f ( d (6 Eempu Î czu fucţe f :[, ] R, sut ( +,, b ( + + Pe de tă prte ch f ( d sh D egtte u Prsev obţem ch +, + sh de ude rezută că ch sh + sh f e sh (, coefceţ Fourer, 3 Ser Fourer petru fucţ perodce de perodă T Fe f : o fucţe perodcă de perodă, cotuă pe porţu, h :, ht ( t ş g :, g f h Fucţ g este perodcă de perodă Îtr-devăr g ( t + f ( h( t + f t + f ( t g( t, t Dcă f este cotuu dfereţbă pe porţu pe orce terv compct d, tuc ş g re cestă proprette Dcă, î pus, f este cotuă, d Teorem u Drchet rezută că g(t + ( cos t + b s t, t, ude

10 Ser Fourer ude Cum g( tcost dt,, b g( ts t dt t, obţem f ( + ( cos + b s,,, f ( cos d,, b f ( s d, Eempu Să se dezvote î sere Fourer pe tervu (, fucţ f ( Fucţ fd mpră, rezută că, Pr ccu obţem b ( + Atuc + ( s, (,