CURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Transcript

1 CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc dă II etode tertve: Jco; Gss-Sede; SOR III Sttte soţe ş codţore sstem INRODUCERE Sstemee de ecţ re pr î modere or proeme ştţfce, precm ş î metodee merce de rezovre cestor Eempe: ssteme de ecţ ere, promre fcţor, proeme mtă petr ecţ dfereţe, ecţ c dervte prţe, optmzre, etc Găsre soţe sstem de ord mre s versre e mtrc de ord mre, pote f o srcă dfcă î prctcă, dtortă: Nmăr mre de operţ rtmetce ecesre petr găsre soţe Eroror propgte, îtr- şr g de operţ c mere reprezette î vrgă fottă Dfctte fce eprctcă rezovre mă, r este eretă î tzre cctor Az e metode cprde proemee: - Nmăr de operţ rtmetce ecesre petr găs soţ - Estmre, îte de ccre, precze soţe estmre pror eror - Verfcre precze soţe ccte estmre posteror eror Proemee prctce se pot csfc dpă ord sstem măr de ecţ ş tp mtrc sstem trce sstem se zce desă, dcă mortte eemeteor se st dferte de zero, ş rră dcă mortte eemeteor st zero Astfe, vem ctegore: I Ssteme de ord modert, c mtrce desă: ch Octomre 8

2 Aceste se rezovă î memore, ş ord sstem este mtt m de memor dspoă Uz, ord sstem pote ge ste de ecţ ortte gortmor se zeză pe emre Gss, c vrte petr cse spece de mtrc II Ssteme de ord mre, c mtrce rră: Asemee ssteme pot ge ste de m de ecţ Emre Gss m este coveă, ş se tzeză metode tertve III Ssteme de tp II rezovre pr tzre de fşere dsc emor fd sfcetă, se foosesc fşere pe dsc petr geerre ş procesre mtrc Lcr c mtrce sstem se fce pe ocr : de eemp, mtrce este geertă pe dsc; sccesv, ocre st ctte, proceste î memore ş rescrse pe dsc U eemp este ce sstemeor c mtrce dă smetrcă, ssteme cre pr î proemee de ză sttcă strctror U sstem de ord se v ot pr: trce, sstem se scre: S: A, î cre A este mtrce sstem, r ş vector ecoscteor ş, respectv, vector termeor er mtrc cooă c eemete: A [ ],, [ ], [ ] ch Octomre 8

3 I EODE DIRECE etod Gss etod Sstem dt se trsformă î sstem echvet g U, c mtrce U speror trghră, cm rmeză Sstem dt se oteză A L ps cret,,,, sstem este A Se creză c e, d ş Le, proceste teror, rămâ eschmte Cocret, se opereză c s-mtrce ş s-coo termeor er,, A,, :, : A :,, m O A ;, m ch Octomre 8

4 4 Eemet dgo se meşte pvot ps Prespem v m os pvotre, ş defm mtpctor de ps : m ; +,, Petr +,, : se îmţeşte c m, ş se dă Reztă eemete e î coo, s eemet dgo No coefceţ ş terme er vor f: L rămâe eschmtă + + m m ; +,, +,, L ps se oteză, petr coveeţă, U A, g, ş sstem deve U g Epct: g g g g Oservţ că Acest sstem se rezovă pr ssttţe îpo: g / ; g / ;,,, + Fctorzre descompere LU tpctor rezov A m de +,, d emre Gss, se pot reţe petr c dferţ terme er Itrodcem tc, mtrce ferortrghră c pe dgoă, ş mtpctor m î s-cooee +: : ch Octomre 8

5 5 m m m L m m m, Avem rmătore propozţe: Propozţ Dcă, î emre Gss, fecre ps pvot, tc A LU L este mtrce feror trghră mtpctoror, r U mtrce speror trghră d Cosecţă Cc determt: Dcă fecre ps pvot, tc: det A Oservţ că, stfecă vore determt este prods pvoţor Îtr-devăr: det A det L det U, r detl Petr cc determt î cz câd se schmă î mtrce A se pvoteză, v m os Nmăr de operţ Petr mre, măr de operţ î emre Gss este: NOP Gss Operţe dre s scădere; î cce, ceste st rmte de oce de o mţre s împărţre ch Octomre 8

6 6 4 Pvotre L fecre ps, pvot pre mtor mtpctoror m Astfe, vem codţe: Pvot tree să fe, ş c forte mc : - Dcă pvot este, emre Gss pote cot Î cest cz, mtrce este sgră - Dcă pvot este forte mc : reztă mtpctor mr, r erore de m rotre î vore m codc eror mr î ccţe rmătore trce este prope sgră Prctc, se testeză dcă pvot este m mc decăt prg es V Eemp de m os Procede de egere pvot se zce pvotre Acest costă î: - Către eemet de mod mm, î s-mtrce c e ş cooee,, ; - Adcere pe pozţ de pvot pozţ, pr schmăr de, s schmăr de ş cooe Schmre de d A, se fce ş î vector Dcă pvot este m mc decât prg, emre Gss se opreşte Strteg de pvotre: Pvotre prţă: Se ctă eemet de mod mm î s-coo :, Acest deve pvot, dcâd- î pozţ, Fe pvot găst î I Dcă pvot este m mre decât prg ş I >, tc se schmă e ş I î A ş î ch Octomre 8

7 7 I I I I Pvotre competă: Se ctă eemet de mod mm î s-mtrce Dcă mm este ts petr ş coo, tc se permtă e ş I ş cooee ş J - î A, ş e ş I - î :, : I > J > J I IJ I I Oservţ - Pr pvotre reztă, fecre ps, mtpctor de mod : m,,, + Acest preve geerre î, de eemete de mărme forte dfertă, cre r pte dce eror de perdere de semfcţe + A - L pvotre competă, dtortă permtăr de cooe, orde ecoscteor se schmă E tree refăctă sfârşt emăr eoretc, pvotre competă dce o precze m mre soţe; î prctcă îsă, dfereţ este mcă fţă de pvotre prţă Î ps, pvotre competă cere m mt tmp-cctor D ceste motve, mortte gortmor tzeză pvotre ch Octomre 8

8 8 prţă Î cee ce rmeză vom cosder m pvotre prţă, mtă pe scrt, pvotre Oservţe Dcă se pvoteză, tc vem LU A Propozţ Dcă se pvoteză, tc vem LU A, de A PA, r P este o mtrce de permtre de trce A se oţe d A, permtâd e î ceeş orde î cre se permtă pvotre Sstem cre se rezovă este c e permtte î orde de pvotre Cc determt: A, de este Determt mtrc A LU este det A Determt mtrc A v f _ det A det A, de _ este măr de schmăr de î crs pvotăr Eemp Pvot forte mc Cosderăm sstem A, de: A, [ ] Î cc ect, A este sgră Rezovâd î smpă precze, c progrm Gss 7, c prg de E 7, se oţ rmătoree reztte: Permtre, Pvot: 5 <-> E-7 ch Octomre 8

9 9 * Sot petr terme er r -9944E E * Pro Dferete A* Adcă, soţ verfcă, ş este t o cc Erore î soţe st prodse de pvot de ps 4, cre este forte mc C prg de E 6, progrm se opreşte c mes: L 4: Pvot 77486E-7 * Pvot < E-6! * Sstem se pote rezov Î cc î dă precze, pvot d 4 reztă ch Octomre 8

10 Descompere LU Cc drect fctoror L ş U Proem este cc drect fctoror L ş U, stfe c Eemetee L ş U se găsesc d ecţe L A LU coo : U [ ] m, Î prtcr, îmţd d L c coo d U, reztă: + Estă o ectte descomper LU, cre prove d egere rtrră s,,, Doă metode se pot cosder: rtrr ; rtrr Prezetăm, petr eempfcre, formee geere petr prm metodă es rtrr e,,,,,, +,, Dcă,,, reztă:, +,, ch Octomre 8

11 Eemetee L s U se determă î rmătore secveţă, coform scheme de m os se cceză eemetee d d U, ş coo d L +,,,, +, Î prtcr,, se cceză m - d Nmăr de operţ este ceş c î emre Gss Doă metode se tzeză î prctcă: etod Dootte descompere LU reve ce d emre Gss etod Crot Postte descomper LU Propozţe Descompere LU estă dcă ş m dcă tote s-mtrce prcpe A :,:,, st esgre Pvotre descompere LU Pvotre prţă: A pvot î descompere LU semă c, fecre ps, să cătm pvot doă î coo A, î e, +,,, ş po să permtăm Pvotre tree făctă îte de cc eemeteor U ş L Adcă, pvot tree cct ş testt îte de pcre formeor ş Petr metod Dootte, pvot este dt de cf : ch Octomre 8

12 Aş cm s- rătt metod Gss, tree pvott ş dcă pvot este forte mc Prctc, se testeză dcă pvot este m mc decât prg Oservţ de pvotre î emre Gss se pcă Determt mtrc A î metod Dootte este det _ A, de _ este măr de schmăr de î crs pvotăr etod Rezovre sstem pr descompere LU, costă î pş: Fctorzre A LU, c pvotre prţă A L U Rezovre sstem Ly, pr ssttţe îte; reztă y L y Rezovre sstem U y ssttţe îpo; reztă, pr U y Oservţ - Legătr c emre Gss este y g - Petr o terme er, se repetă m pş, operţ spmetre petr fecre - Nmăr de operţ este ceş c î emre Gss / ch Octomre 8

13 4 etod Choesy etod Choesy se pcă petr sstem c mtrce smetrcă ş poztv deftă Smetre: A A,,, Defre poztvă: A > 4 Propretăţ e mtrcor smetrce ş poztv defte Petr o mtrce poztv deftă, oc propretăţe: trce este esgră Eemetee dgoe st poztve: > mt, s-mtrce prcpe st poztv defte Urmeză că pote f t c pvot î emre Gss, ps Petr o mtrce smetrcă ş poztv deftă, oc ş propretăţe: S-mtrce A :, :,, reztte d emre Gss st smetrce ş poztv defte De c, reztă că estă pvoţ >, fecre ps 4 Vore propr e A st ree ş poztve îtâ, se rtă că dcă A este smetrcă, vore propr st ree v Cp 5 Apo, fe λ o vore propre ş vector propr soct, tc Imţd stâg c λ >, d cre rmeză că λ este poztv Oservţe A λ ş ţâd cot de defre poztvă mtrc A, reztă Recproc, dcă A este smetrcă ş vore propr st poztve, tc A este poztv deftă Demostrţ cere reztte de geră mtrceă cre st î fr scop ces prgrf V de eemp, R Bem, Itrodcere z mtrceă, E, Bcreşt, 969 ch Octomre 8

14 4 5 Determt mtrc este poztv mt, toţ determţ prcp st poztv Îtrcât determt mtrc este det A λ λ λ - v Cp 5, rmeză că vem det A > A do frmţe decrge d fpt c s-mtrce prcpe st ş ee poztv defte coform Propretăţ Oservţe Recproc, dcă mtrce este smetrcă ş toţ mor prcp st poztv, mtrce este poztv deftă Petr demostrţe v Wso- C cest, reztă: Dcă A este smetrcă, o codţe ecesră ş sfcetă c A să fe poztv deftă, este c toţ determţ prcp să fe poztv 4 etod Choesy Propozţe Dcă A este smetrcă ş poztv deftă, tc estă descompere A LL, de L este o mtrce feror trghră, c eemete dgoe poztve C te cvte, î descompere LU se pote ege S L, U L de S este speror trghră, vem ş descompere Notâd A S S Cee doă forme ş repreztă ceeş descompere, âd c referţă s t d cee doă mtrc trghre Ee st strte m os desemeză eemetee e ch Octomre 8

15 5 A L L S S Eemp Evre L, petr : Ecţ: Lcrăm c trgh feror A, âd eemetee pe cooe:,, +, Reztă eemetee L, pe cooe: ;, / ; / Aog, se pote cr c trgh speror A ş determ eemetee L, pe Eemp merc: A 8 ; L ch Octomre 8

16 6 Pş rezovăr st ceeş c descompere LU, me: - C mtrce L de U L : Fctorzre descompere: A LL Ssttţe îte reztă y: Ly Ssttţe îpo reztă : L y - C mtrce S de U S ; L S : A S S S y S y 4 Nmăr de operţ Nmăr de operţ dăr/scăder, petr mre, este NOP Choesy 6 Acest este cc ½ d măr de operţ certe emre Gss s LU Î fră de dăr/scăder, se m cceză rădăc pătrte Ate vte, î rport c descompere geeră LU: - trce A fd smetrcă, se pote stoc m trgh feror s speror, cerâd m + ocţ de memore Î ceste ocţ se stocheză mtrce L s S - N este ecesră pvotre coform propretăţor, ch Octomre 8

17 7 Oserve Rădăce pătrte cre cosmă tmp-cctor pot f evtte prtr-o şoră modfcre descomper LU, ş me: cătăm o mtrce feror trghră L ~ c pe dgoă, ş o mtrce dgoă D, stfe c: ~ ~ A LDL Îtr-devăr: dcă vem A LL, fe L ~ mtrce oţtă d L pîd pe ~ ~ dgoă î rest,, ş D dg Avem L L ~ D, ş LL ~ ~ LD' D' L Astfe, mtrce D D D dg Acestă fctorzre se pote fce c promtv ceş măr de operţ c î metod Choesy, ş fără cc de rădăc pătrte 5 trc dă smetrce ş poztv defte 5 trce dă smetrcă Prespem că mtrce sstem este smetrcă ş, î ps, re strctr de mtrce dă, dcă î fecre e eemetee mtrc st costttte d: - Eemet dgo, măr de LI- eemete stâg cest, ş LI- eemete drept - Ceete eemete d e st zero Nmăr LI v f mt sem-ăţme de dă LI repreztă măr eemeteor d sem-dă, csv eemet dgo Oservţe Ître eemetee d dă, pot f ş eemete e, dr crcter de dă este dt de fpt că tote eemetee stte î fr ez st e Î cest ses LI pote f cosdert sem-ăţme de dă mmă Eemp: trce 6 6,, ş LI : ch Octomre 8

18 Stocre mtrc dă smetrcă Se stocheză eemetee d sem-d speroră s feroră De eemp, petr mtrce d Eemp teror ş sem-d speroră, st de stoct eemetee dcte m os: Stocre se fce îtr- vector, î d modre: Pe s cooe de LI eemete Eemp, pe : [ ] Pe s cooe Eemp, pe cooe: [ ] Pe dgoe dgo prcpă ş pree cest: [ ] Adres eemet, î vector, este dtă de o fcţe îtregă Loc, ch Octomre 8

19 9 Stocre se m pote fce pe de LI eemete, îtr- to B, LI Le cre coţ m pţ de LI eemete se competeză c eemee e eemp: e 5 ş 6 5 etod Choesy Proprette eseţă este rmătore: Dcă mtrce dă este smetrcă ş poztv deftă, tc descompere s S S pote f făctă crâd ecsv î dă LL Î cee ce rmeză vom cosder descompere speroră A S S, crâd c sem-d Pş st ce de Choesy, cr c mtrce S Eemetee ctve ps descomper, st coţte îtr- trgh c tre LI mt trgh ctv Î crs proces, trgh ctv cooră c câte o e î dă etod mpemettă î ANA\Chooesy_Bd tzeză vector de cr Y, de dmese NY, de: NY LI LI + / ; NY NY + LI Acest vector este costtt d doă părţ: Y YA LI LI+/ LI LI LI ore Y ş YA - S-vector Y : NY, de dmese LI LI + / : serveşte c frot de cr, petr descompere Choesy; î ceste se geereză eemetee trgh ctv ps trgh c tre LI ch Octomre 8

20 - S-vector YA NY + : NY, de dmese LI : ţ, stocheză mtrce A, pe Î crs descomper Choesy, stocheză e proceste e mtrc A II EODE IERAIVE etod JACOBI Eemp merc Fe sstem: Rezovăm fecre ecţe,,, î rport c ecosct, cătâd c cest să fe ecosct c coefcet ce m mre d ecţe, evet rerâd ecţe Itervertd ecţe ş, vem: + / 8 / / 7 + / 7 / 7 / 9 / 9 / 9 S mtrce: + 4 / 7 / 7 / 9 / 9 / 8 / 9 / 8 / 7 ' cre este de form g + m+ m ch Octomre 8

21 Se tereză, c promţ ţă [ 4 / 7 / 9] ; test de oprre terţe m+ m este E 6 L terţ reztă soţ,, Coordot de mod mm î A rezd mm este 4E-6 ecţ etod Fe sstem dt A Se rezovă fecre ecţe î rport c ecosct Epctâd se oţe: /,,,,, S- presps Iterţ Jco v f: m+ rtrr, m /,,,, ; m m+ m est de oprre terţe este eps etod Jco se m zce metod terţor smte, petr că, coordotee e soţe se cceză depedet ee de tee Petr t mod de cc v metod etod Gss_Sede, m os Codţe sfcetă de covergeţă: trce A este dgo domtă, dcă vem: >,,, ch Octomre 8

22 etod Gss_Sede Se modfcă metod Jco, stfe că, cc coordote m se tzeză vore m,, de ccte, cre î geer, st promţ m e e soţe Petr eemp teror: + / 8 / 8 m 4 + / 7 + / 7 / 7 / 9 / 9 / 9 C [ ] ş ceeş toerţă E 6, terţ 9, se oţe soţ,, Rezd mm este Formee geere e metode Gss-Sede st: m+ rtrr m+ + m /,,,, ; m m+ m est de oprre terţe este eps etod Gss-Sede se m zce metod terţor sccesve, petr că ps m +, m, de îdtă ce o coordotă m + soţe este cctă, e se tzeză î ecţe petr coordotee rmătore m +, > Codţ sfcete de covergeţă: - trce A este dgo domtă - trce A este smetrcă ş poztv deftă Câd mee metode Jco ş Gss-Sede coverg, metod Gss-Sede coverge m rpd Petr te cosderţ prvd covergeţ, v Cp 4-IV ch Octomre 8

23 SOR - etod reăr Sccesve Over-Reto Reăm form metode Gss-Sede: m+ m+ + m /,,,, ; m Form se pe s form rmătore, dâd ş scăzâd m î memr do oservţ că cm, î do smă, dcee vor de ş de +: m+ m m+ m + /,, m m+ m erme cre se dă este dfereţ etod SOR costă î îmţre ceste dfereţe c fctor de cceerre s rere ω > Îtrcât ω >, metod se zce spr-rere Aegere ω se dsctă m os Form metode SOR este dec m+ m m+ m + ω /,, Epctâd m d do smă, reztă: m+ m+ m m ω / + ω,, + Se oteză epres d prm prteză c m+ z cest este coordot terte m + d metod Gss-Sede Form de terre este echvetă c rmătoree ecţ cosderte petr, : z m+ m+ + m /, m+ ω z m+ + ω m Î cee m mte czr, vore optmă ω stsfce reţ < ω < ch Octomre 8

24 4 Î prctcă, se pote ege ω stfe: se tzeză vor ω de test, pe măr mtt de terţ; se ege c vore optmă ce ω, petr cre covergeţ este ce m rpdă III SABILIAEA SOLUŢIEI ş CONDIŢIONAREA SISEULUI Se cosderă sstem de ecţ re A c A esgră Se v z sttte soţe sstem, î rport c o mcă vrţe pertrre, î: - erme er - trce A sstem Prm proemă codce măr de codţe mtrc A A do proemă v codce o evre vrţe soţe, î cre terve măr de codţe Pertrre î Nmăr de codţe Fe sstem, î cre terme er sferă o pertrre r, deved ~, de r ~, ş r << Sstem pertrt v f: A ~ ~ Notâd pertrre soţe pr e ~, ş scăzâd d reztă: Ae r, d cre vem ş: e A r Petr em sttte soţe, cătăm o evre rport e / r / pertrre retvã î pertrre retvã î ch Octomre 8

25 5 Acest rport eprmă efect pertrăr î spr soţe, ş me: Dpă cm rport este, respectv >>, pertrre retvă soţe este de ceş ord, respectv de ord mt m mre, î rport c pertrre retvă î Lâd orm î, vem: r A e, e A - r, d cre, reztă: e A A r 4 Îmţd 4 c /, reztă: e / A A r / 5 Aog, âd orm î ş î A -, reztă: A 6 A D 5 ş 6 reztă: A A e / A A r / 7 Itrodcem rmătore Defţe Nmăr de codţe mtrc A, este: CodA A A - 8 Nmăr de codţe depde de ormă, dr este mărgt feror de : Cod A 9 Îtr-devăr, d I AA - reztă: A A Cod A C defţ 8, d 7 reztă: ch Octomre 8

26 6 e / Cod A Cod A r / S: r e r Cod A Cod A D cestă reţe reztă că, petr r / mc, vem: - Dcă Cod A ~ : e / este mc, ş A este e-codţotă - Dcă Cod A >> : e / pote f mre ; A este ră-codţotă Îtrcât î Defţ 8 CodA depde de ormă, se tzeză ş t măr de codţe cre este depedet de ormă Avem A ρ A, de ρa este rz spectră mtrc A; rmeză: Cod A ρ A ρ A S, defd Cod A ρ A ρ A vem Cod A Cod A Cm vore propr e mtrc A c σ A spectr mtrc A, reztă form de cc: st versee voror propr e A, otâd m λ λ σ A Cod A m λ λ σ A Oservţ spr cc CodA Dpă defţe, vem Cod A A A ch Octomre 8

27 7 C B A A λb A, vore propr e B st ree ş poztve, ş vem /, m v 4-I, Oservţ ş Cp 5 / Aog, c D A A, vem A λd,m, ş reztă Cod A λ λ / / B, m D, m Ptem evt versre mtrc A, coform rmătoreor propretăţ: - Vore propr e D st versee voror propr e D AA Pem C AA, ş stfe, λ λ Epres teroră deve: D, m / C, m Cod A λ λ / B, m / C, m - Apo, se rtă şor că B A A ş C AA ceş vor propr Eercţ Urmeză că, î f vem: Cod A λ λ B, m B, m / Acest se m scre: Cod A / Cod B Eemp Fe sstem r: Avem: A, A Nmeree de codţe, dpă dferte orme, st: Cod A Cod A 89, Cod A 58, ch Octomre 8

28 8 Cod A 54 Det petr cc CodA : Poom crcterstc A, este p λ λ 6λ +, de de λ 8 6, ± Urmeză Cod A λ / λ 54 Det petr cc CodA : B A 8 A Poom crcterstc B, este p λ λ 58λ + Avem λ 9 ± 9, λ / λ λ Reztă Cod A λ 58, Se verfcă, î prtcr, oservţ teroră: C AA , re ceş poom crcterstc c ş B Eercţ: Ccţ CodA, drect dpă defţ 8 Îtrcât măr de codţe este mre, cest rtă că sstem este ses mc schmăr î Îtr-devăr, fe de eemp, terme er dţ ş pertrţ, ş soţe respectve, cm rmeză: 7 ~ 69 ~ ; ; 5 r 5 ; ~ 7 7 ; e ~ 5 5 C ceste, reztă: r e 7 e / 7, 7, 89 7 r / /7 ch Octomre 8

29 9 Se oservă că schmăr mc î prodc schmăr mr î : pertrre retvă î este de 89 or m mre decât pertrre retvă î Î prtcr, î cest eemp, mrge speroră d este tsă coform Cod A 89 U semee sstem se zce ră-codţot Se oservă că meree Cod A ş CodA st o măsră ă petr codţore sstem Eemp Estă ssteme cre st ră-codţote, deş CodA este mre De eemp, să cosderăm rmătore mtrce, î cre m este îtreg : A m ; A m Avem Cod A Cod A, m otş sstem este e-codţot Vore mre măr de codţe se emă pr scre mtrc A Eemp : Iterpretre geometrcă codţoăr sstem Cosderăm sstem rmător: + y + y cre re soţ y Nmeree de codţe st: Cod A Cod A 44, Cod A 4 8, Cod A 498, stfe că sstem este ră-codţot Rezovre sstem reve găsre tersecţe drepteor reprezette de cee doă ecţ ch Octomre 8

30 Sstem ră codţot: Iterpretre geometrcă Ptee ceor doă drepte st respectv - ş -, dcă propte Dcă cosderăm o certtde î coefceţ sstem, d de certtde rădăc v f rgă ş c tât m rgă c cât ptee st m propte Vez Fgr de m ss: certtde î vore y este reprezettă de grosă grfc Î schm, dcă ptee st dferte, tersecţ drepteor este etă ş d de certtde este îgstă Eemp 4: trce Hert U eemp de mtrce ră-codţotă este rmătore mtrce mtă mtrce Hert: ch Octomre 8

31 H Ivers mtrc H este cosctă tc, ş me: pâd H [ ], vem v Atso 978, Rsto & Rowtz 978: + +! +! α,,, + [!!]!! α Nmăr de codţe mtrc H creşte c, mtrce fd c tât m ră codţotă c cât este m mre Eempe: Cod H 748 E E E E E+8 C eemp, ccâd vers mtrc petr 4, pr emre Gss, c eemetee H 4 reprezette î smpă precze, se oţe: ˆ 4 H Ivers cctă tc H, re eemete treg: α,, α Ccâd măr de codţe mtrc, c -orm, se oţe: H 4 Cod H 4 H 4 H 4 5/ ch Octomre 8

32 Pertrre î A ş Să prespem că tât mtrce A sstem, cât ş terme er, sferă mc schmăr δa, respectv, δ, r soţ deve + δ: A + δ A + δ + δ Avem rmătore eoremă Prespem A esgră ş fe pertrre δa stsfăcâd codţ δ A < / A Atc: δ Cod A δa + Cod A δa / A A δ Petr demostrţe v Atso 978, Rsto & Rowtz 978 Î prtcr, dcă δ, tc efect e pertrăr î A este dt de: δ Cod A δa Cod A δa / A A Î cee ce rmeză vom d reztte prvd efect eroror de rotre spr soţe ccte pr emre Gss Reztt v f tzt î estmre pror eror î emre Gss ch Octomre 8