4.1 PROGRAMAREA DINAMICĂ

Transcript

1 . PROGRAMAREA DINAMICĂ Prormre dmă repreztă o tehă de ordre e lse de proleme l ăror model mtemt preztă rterstle proes seveţl de deze. Aest tp de proese se rterzeză pr fptl ă î drl feăre etpe tree lesă dtr-o mlţme de dez dmsle petr etp respetvă o mtă deze ş pord de l est se pote determ tltte leer făte s form e vlor mere. Prolem ere determre deze lole (strtee) re repreztă o mlţme re re tâte elemete âte etpe re proesl ş prde dezle lte l fere etpă re optmzeză (mmzeză s mmzeză) o fţe oetv lolă re depde de vlorle tltăţ relzte î drl feăre etpe. Dă mlţme etpelor proesl este dome ot se voreşte de proes seveţl ot r âd mlţme etpelor este mărlă se spe ă este proes seveţl dsret. Aeste pot f l râdl lor măr ft s ft de std (dpă m mlţme stărlor este ftă s ftă). Î otre vor f lzte proesele dsote dsrete măr ft de std. Tree slt fptl ă mlţme dezlor dmsle de ş dez lesă l fere ps ş pr est vlore fţe oetv depd de stre proesl re tree optmzt. Stre proesl v f preztă pr vetorl prmetrlor de stre. Deş rterl seveţl l mtor proese este de tră spţlă s loă se preferă formlre estor stfel îât să fe trspsă s form e seveţltăţ temporle. Astfel se v ot : T { } mlţme elor std sesve le proleme (s orespzător elor momete de tmp). Petr fere std T se oteză stre proesl ş mlţme dezlor dmsle petr estă stre. Cosderâd o deze d tltte este dez v depde tât de dez respetvă ât ş de stre proesl: ). Utltte totlă sotă e strte v f: ( ( ( ) ( )) (..) 65

2 Î mjortte prolemelor tehe fţ tltăţ totle se oţe pr îsmre tltăţlor feăr std. Dă se oteză strte ( vetor le ăr ompoete st dezle lese î fere etpă) : [ ] T (.) se meşte tretore proesl orespzătore strtee fţ re defeşte stre proesl otrolt de strte de- ll etpelor proesl: () T (.) O tretore se meşte optmă dă etremzeză î sesl dort fţ de tltte lolă. Teh prormăr dme ostă î determre strtee optme pr lz seveţlă or proleme de optmzre sesve sote proesl desrs de model. Aestă metodă re l ză prpl de optmltte l l R. Bellm re pote f eţt stfel: o tretore este optmă pe T dă orre r f < j d T t ] T vetorl [ j repreztă o tretore optmă petr restrţ proesl l mlţme de std T { j} ş stre ţlă. Î domel eeret plţ î spel proesele seveţle stţore î modell ăror tmpl pre î mod dret. Petr proes să potă f osdert stţor tree să îdeplesă rmătorele odţ: -mlţme dezlor dmsle depde dor de stre proesl ş de tmp -fţ de tltte re eeş vlore dă stre ş dez st dete hr dă este orespd l doă momete de tmp dferte - dez dete lte l momete de tmp dferte dr ăror le orespd eeş stre determă treere ssteml î eeş stre. 66

3 Se pote osder ă metod prormăr dme ostă î eseţă î omprre vlor fţe oetv îtr- măr mre dr ft de pte. Mertl metode ostă î fptl ă permte stlre ş prrere sstemtă este mlţm de pte stfel îât să se prdă ptl de optm. Aestă metodă mpe lortm propr petr rezolvre e proleme tp dă posltte rezolvăr e proleme de optmzre pr îlore s o fmle de proleme de optmzre m smple re depd de set m restrâs de vrle de deze. Codţ o prolemă de optmzre să potă f rezolvtă folosd metod prormăr dme este fţ oetv să potă f srsă o omţe e mlţm de fţ fere dtre este depzâd de vrle dstte. Avtjl prpl l metode prormăr dme îl repreztă fptl ă mpe fţle re terv î prolem de optmzre să ă forme prtlre. Se pote osder ă o tretore proesl desre modl de sese stărlor est î ele etpe. Dă orde de sese stărlor respetă orde trlă stdlor se voreşte despre lză prospetvă r âd este versă î rport orde stdlor se voreşte de lză retrospetvă. Î otre se v osder o lză prospetvă. Î drl este lze stre îtr-o mtă etpă v depde de stre ş de dez î etp teroră: ( ) (.) pr fţ de treere. Tree remrt fptl ă pr fţle tote elemetele re desr prolem st determte de stre ţlă ş de sese de dez lese l fere ps. Petr prolem osdertă se pot def tertv fţle dpă m rmeză: 67

4 ot ot ( ot ot ) ) ) (.5) ( ot ot ( ot ot ot M O strtee [ ] se meşte optmlă refertor l stre ţlă dă: { } m (.6) Dă se oteză pr fţ oetv sotă proesl de deze lmtt l etpele... (de ) prolem de prormre dmă se meşte deompozlă prospetv dă estă fţle... R R : f y f α edesresătore î rport y petr ore α ft stfel îât: f (.7) 68

5 s ehvlet: f ( ) ( ) ( ( )) (.8) Proprette de deompozltte mpe proleme de prormre dmă î fr strtr de proes seveţl de deze petr fere std proesl trht orespzător etpelor... să fe rterzt de o fţe oetv - leătr dtre fţle oetv fd de tp rersv de form preztă î defţ teroră deompozltăţ. Î otre se v ot de: h ( ) ( ) (.9) m j j j ( ) ( ) ( ) ( ( )) j ( ( j > j j j j j C estă otţe se pote eţ rmătore teoremă: (.0) Tr. (prpl optmltăţ) Dă prolem de prormre dmă este deompozlă prospetv t: h ( ) ( ( ( ))) m f h ( ) (.) Aestă teoremă rtă ă ore strtee optmă petr proesl trht przâd etpele... tree să oţă o etpă s strte optmă petr proesl lmtt l etpele... De ore strtee optmlă pote f lăttă deât d sstrte re st l râdl lor optmle. Pe z este teoreme se pote ostr o tehă seveţlă petr rezolvre prolemelor de prormre dmă osttt d rmătorele etpe. 69

6 Etp. Se determă ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) stfel îât: m ( ) (.) ş se oţe: ( ) h ( ) (.) M Etp. Se determă ( ) ( ) stfel îât: ( ( ( ) ) h ( ( ( ) ) ( ( ) )h ( ( ( ) )) m ( ) (.) ş se oţe: h ( ) ( ) ( h ( ( ( ) ) (.5) Odtă psl este determtă ltm ompoetă ş me ( ). Î otre pord de l stre ţlă se pote ăs strte optmă: le ăre ompoete pot f determte : et. De rezolvre proleme de optmzre ţle re ere să se ăsesă mml fţe ( ) se fe l pătl est proes seveţl î drl ăr î fere etpă se ere rezolvre e proleme de optmzre o sră vrlă d ele le proleme dte. 70

7 . Reprtţ e ttăţ de resrse ître dferte oetve Se osderă eempl prolem împărţr e ttăţ totle de resrse ître oetve dferte. Dă se oteză... ttte de resrse lotă feăr oetv se repreztă tltte reprtzăr resrselor feăr oetv pr fţle ( ) ( )... ( ) re îdeples odţ: ( 0 ) 0 (.6) Prolem ere mmzre tltăţ totle reprezettă de sm tltăţlor prţle: ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) t âd st respette odţle: (.8) 0 Petr plre metode prormăr dme se trsformă est proes de reprtţe îtr- proes seveţl î tmp osderâd ă se reprtzeză o ttte de resrse oetvl mărl po oetvl - ş ş m deprte pâă âd se îhee lore resrselor petr prml oetv. Î otre se defeşte şrl de fţ { } pr: j ( Y ) ( ( ) ( ) ( ) m (.9) t âd vrlele stsf restrţle: j j Y (.0) 0 j 7 j

8 Î est şr st vlle relţle: ( Y ) ( Y ) ( 0) 0 j j (.) ere dtre fţle j ( Y ) stfel defte repreztă tltte mmă re pote f oţtă pr lore ttăţ Y de resrse oetvelor de l l j. Petr oţe relţ de rereţă ître fţle d est şr se osderă ă se îepe pr lore ttăţ de resrse d ttte totlă ltml oetv. Corespzător prpl de optmltte petr oţe o reprtţe optmă ttte rămsă Y tree reprtztă stfel îât să se oţă tltte mmă de l elellte - oetve rămse. Cotâd est rţomet se pote ere dă l psl răms elotă ttte Y ttte oetvl - ttte re rămâe ( de resrse ş d est se loă Y ) tree reprtztă stfel îât să se oţă tltte mmă de l oetvele de l l -. Aestă tltte fost deftă fd tom ( Y ) ee e îsemă ă tltte totlă re pote f oţtă dpă e se loă ttte oetvl - v f: ( ) ( Y ) (.) Vlore mmă este tltăţ re este tom ( Y ) v pte f determtă : ( Y ) { ( ) ( Y )} m 0 Y (.) Petr plre metode se osderă ps de lore Δ re 0 î re vrlele vlor îtr-o mlţme 0 Δ Δ MΔ. trsformă tervll [ ] dsretă { } 7

9 Î otre se ostreşte î mod tertv tel re oţe vlorle fţlor - ş rmetelor l - petr re se te mml reprezett de - tel re re form rmătore: Y ( Y ) ( Y ) ( Y ) ( Y ) ( Y ) ( Y ) ( Y ) Δ Δ Δ Δ ( Δ) M Δ MΔ ( MΔ) MΔ Petr ompletre est tel se poreşte de l prmele oloe ţâd ot ă: ( Y ) ( Y ) ( Y ) Y (.) Determre l ( kδ) se fe llâd vlorle: M ( 0) ( kδ) ( kδ) ( (( k ) Δ) ( Δ) (( k ) Δ) (( k ) Δ) ( Δ) ( kδ) ( 0) ( kδ) (.5) vlore l ( kδ) fd e m mre d ele determte l est ps r ( kδ) fd rmetl l d epres ăre î orespde vlore mmă oţtă. Dpă e se îhee ompletre tell se pote tree l ăsre strtee optme pr tlzre tel dervt d el omplett Y. păstrâd dor oloele 7

10 Î est tel se poreşte pe l orespzătore l MΔ ş se mere î ltm oloă î re se ăseşte ttte de resrse re tree lote ltml oetv Q Δ. Î otre se sde ttte de resrse e lotă ltml oetv (oţâd ( M Q )Δ ) se reve î tel pe l orespzătore pâă î peltm oloă de se ăseşte ttte re tree reprtztă peltml oetv Q Δ se rede ttte de resrse dspole oţâd ( M Q Q )Δ ş se reve î tel pe l orespzătore î olo ( Y ) de se ăseşte ttte de resrse re tree lotă oetvl - ş ş m deprte pâă l reprtzre ître ttăţ de resrse. Y ( Y ) ( Y ) ( Y ) ( Y ) M (M- Q -Q - ) Δ Q - Δ M (M- Q ) Δ M MΔ Q - Δ Q Δ Aest lortm de rezolvre se pote f tlzt forte şor petr mplemetre îtr- lmj de prormre î sopl relzăr prorm de ll. 7

11 Aplţ. Să se determe pll de provzore mterle pe drt şter hdroeeret. Se oteză ş eesrl trmestrl ş se osderă ă stol mm dmsl este reprezett de vlore d. Pll optm este el re mmzeză heltelle de provzore eprmte pr vlorle spefe ş re pot f dferte petr ele ptr trmestre. Cttte estetă l îeptl prml trmestr re vlore re este m mă deât eesrl prml trmestr. Se dmte ă provzore trmestrlă se fe o sră dtă l îeptl trmestrl. Se vor osder rmătorele vlor mere: d Dă se oteză ş vrlele e desemeză ttăţle provzote l îeptl feăr d ele ptr trmestre restrţle e defes domele st reprezette pr: [ ] d { } 0 m d { } 0 m d { } 0 m d Stre v f desrsă de doă vrle defte : d Elemetele re defes proesl seveţl de deze lză prospetvă st: 75

12 { } { } [ ] 0 m T de fţle de treere rmătorele epres: [ ] [ ] [ ] Î otre se sr fţle de tltte sote proeselor seveţle prţle: Dpă m se osttă prolem este deompozlă prospetv dă se osderă fţle f de form: v v f re îdeples odţle d defţe. Deoree se ere determre strtee re ode l heltel mme se v pte pl lortml prezett dă se îloeşte peste tot odţ de mm pr odţe de mm. 76

13 Psl. Se tă dez petr ltm etpă re ode l mmzre ostrlor: m { } m { } ( ) 0 de: ( ) [ ] Deoree fţ re tree mmztă este resătore mml să v f ts î ptl ş se oţe: h ( ) 80 Psl Se rmăreşte determre deze petr peltm etpă re ode l mmzre ostrlor petr ltmele doă etpe: m { 50 } 80 î re se oţe d epres fţe : [ ] ( ) [ 800 ] 00 ee e ode l: { } m { } m Mml v f ts petr (deoree fţ este desresătore î rport ) r vlore est mm v f: h ( ) Psl Proedâd ş î zl teror rezltă ş oţte d epres l : 77

14 m 60 ( ) m m { } { h m } { 60 80( 00 ) 0( 900 ) 6000} ( ) { } ş se oţe vlore mmă petr : h ( ) Psl m 70 ( ) m m { } { h m } { 70 90( 900 ) 0( 000 ) 000} ( ) { } mml ts petr h ( ) Deoree: [ ] rezltă: 500 ş î otre: mm vlore: ( ) [ 000 ] [ ] ( ) [ 900 ] [ ] ( ) [ 00 ] [ ]

15 . Să se stlesă lol optm de stlre rpr termoeerete î drl ptr etrle. Utltte stlăr rprlor î fere d ele ptr etrle (re prd tote tprle de perder lsv trsportl omstll ş perderle î reţe) este prsă î tell rmător. Nr. Utltte rpr () () () () Î otre se ompleteză tell dervt. Colo repreztă de fpt prm oloă d tell tltăţlor olo este detă olo N. C eempl se rtă modl î re se lleză (). Î est sop se lleză rmătorele vlor: () () () () { 8 7} m de vlore l () v f r rmetl l () î epres re re vlore mmă v f vlore l (). N

16 Î otre se păstreză tell re v f folost petr determre solţe optme: N Petr N5 se mere î ltm oloă ş se ăseşte de se reprtzeză rp î ltm etrlă. Se lleză: N 5 ee e îsemă ă l rmătorl ps se tă pe peltm le pâă î peltm oloă de de rezltă 0 ş N Î otre se tă tot pe l orespzătore l N î olo rezltâd ş m deprte: N De reprtţ optmă prespe reprtzre elor rpr î fell rmător: âte doă rpr î prm ş do etrlă ş rp î ltm. 80