2. Metoda celor mai mici pătrate

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Metoda celor mai mici pătrate"

Σωφρονία Γερμανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo de terpolare u este dcată î urătoarele stuaţ: câd este u uăr foarte are, ceea ce deteră u volu are de calcul petru deterarea coefceţlor de terpolare câd valorle y = f(x ) u sut exacte. Î aceste stuaţ se poate folos aproxarea fucţe pr etoda celor a c pătrate... Caracterzarea eleetelor de cea a buă aproxare pe subspaţ Hlbert. Defţe. Fe (S, d) u spaţu etrc ş X o subulţe a sa. Fe x u eleet al lu S. Se ueşte eleet de cea a buă aproxare a lu x pe X u eleet p X astfel îcât d(p, x ) = f x X d(x, x ) Reat că orce spaţu pre-hlbert H (spaţu vectoral real sau coplex îzestrat cu u produs scalar <, >) este î partcular u spaţu etrc (dstaţa d este deftă pr d(x,y) = x y = x y, x y petru orce x, y H). Î acest caz dacă X o subulţe a lu H ş x H, atuc u eleet p X este eleet de cea a buă aproxare petru x pe X dacă p x = f x x = f x x, x x x X x X Teoreă. Fe H u spaţu pre-hlbert (real sau coplex), H u subspaţu vectoral al său ş x H. Dacă exstă u eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H, atuc acesta este uc.

2 Mădăla Roxaa Buec Metode Nuerce Curs - 7 Deostraţe. Presupue pr absurd că exstă p p eleete de cea a buă aproxare a lu x pe H. Deoarece H este subspaţu vectoral al lu H, rezultă că p = p + p H. Ave p-x = p + p -x = 4 p x + p x < < 4 p x + p x + 4 p x (p x ) = ( p x + p x ) p x. Dec p H ş p-x < p x, cotradcţe cu faptul că p este eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H. Rezultă că presupuerea este falsă, ş î cosecţă eleetul de cea a buă aproxare este uc. Teoreă. Fe H u spaţu pre-hlbert, H u subspaţu lar al lu H ş x H. U eleet p H este eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H dacă ş ua dacă p -x H (sau echvalet, = petru orce x H ). Deostraţe. Presupue că p -x H ş deostră că p H este eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H. Dacă p = x, atuc este evdet că p este eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H. Presupue că p x. Deoarece = petru orce x H, atuc î partcular, = ş ca urare = petru orce x H. Petru u x H oarecare, ave p -x = = = + = = p -x x- x. Dec p -x p -x x- x petru orce x H. Îpărţd egaltatea cu p -x >, obţe p -x x- x petru orce x H,

3 Metode Nuerce Curs adcă p X este eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H. Presupue că p H este eleet de cea a buă aproxare a lu x pe H ş deostră că = petru orce x H. Presupue pr absurd că exstă y H astfel îcât . Scrd = r (cosθ + sθ)= re θ cu r> ş θ [, π], rezultă că îlocud y cu e θ y H, pute presupue că exstă y H astfel îcât >. Petru orce λ >, ave p - λy H, deoarece H este subspaţu vectoral. Î plus ave p - λy x = = < (p x ) - λy, (p x ) - λy > = p x - λ<y, p -x > -λ + λ y = p x + λ(λ y ) Î cosecţă petru orce scalar λ cu propretatea că < λ = petru orce x H. VI... Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate Cosderă ulţea fucţlor defte pe tervalul [a, b], F : = {f : [a, b] R } 3

4 Mădăla Roxaa Buec Metode Nuerce Curs - 7 ş + pucte dstcte x, x,, x d tervalul [a, b]. Spue că fucţle f ş g d această ulţe sut egale aproape peste tot (ş vor f detfcate) dacă f(x ) = g(x ) petru orce =,,,. Ma precs, f ~ g f(x ) = g(x ) petru orce =,,,, defeşte o relaţe de echvaleţă pe F. Notă [f] = {g: f ~ g} = { g : [a, b] R, f(x ) = g(x ) petru orce =,,, } clasa de echvaleţă a lu f. Notă cu cu H ulţea claselor de echvaleţă relatv la relaţa de echvaleţă de a sus. H poate f îzestrat cu o operaţe de grup abela după cu urează: [f] + [g] : = [h], ude h : [a, b] R, h(x) = f(x) + g(x) petru orce x [a, b]. Arătă că defţa u depde de reprezetaţ. Fe f ~ f, g ~ g ş petru, fe h :[a,b] R, h (x) = f (x) + g (x) petru orce x [a, b]. Ave h (x j ) = f (x j ) + g (x j ) = f (x j ) + g (x j ) = h (x j ) petru orce j =,,,. Ca urare h ~ h, adcă [h ] = [h ]. Evdet operaţa deftă a sus este asocatvă ş coutatvă. Dacă otă o: [a, b] R, o(x) = petru orce x [a, b], atuc [o] este eleet eutru. Petru orce [h], [-h] este setrcul faţă de +, ude -h: [a, b] R, (-h)(x) = -h(x) petru orce x [a, b]. De aseeea H poate f îzestrat cu o operaţe exteră de îulţre cu scalar real după cu urează: α[f]: = [h], ude h : [a, b] R, h(x) = αf(x) petru orce x [a, b]. Este uşor de observat că defţa u depde de reprezetaţ. H îzestrat cu cele două operaţ defte a sus deve spaţu vectoral. Fe p o fucţe cu urătoarele propretăţ: p(x ) > p ( ) =. x Dacă f ~ f ş g ~ g atuc p( x ) f ( x ) g ( x ) = p( x ) f ( x ) g ( x ). Itroduce urătorul produs scalar pe H 4

5 Metode Nuerce Curs p <[f], [g]> = ( x ) f ( x ) g( x ) Fucţa p(x) este o fucţe podere trodusă î poteza că aproxărle f(x ) sut dferte ca ord de ăre. Relatv la produsul scalar trodus, ora lu [f] este deftă pr [f ] = ( x ) f ( x ) p. Î cele ce urează cove să deseă o clasă de echvaleţă [f] prtr-u reprezetat al e f. Fe ϕ, ϕ, ϕ u sste de + fucţ lar depedete defte pe [a,b], cu. Cove să u spaţul geerat de ele spaţul poloaelor geeralzate ş să-l otă H. Dec u polo geeralzat F H este de fora F(x) = ϕ ( x) c. Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate a uu eleet f H presupue deterarea eleetulu de cea a buă aproxare F a lu f pe H. Cofor defţe eleetul F de cea a buă aproxare a lu f pe H trebue să satsfacă codţa p ( x )( f ( x ) F ( x )) = f p( x )( f ( x ) F( x )) F H Deterarea coefceţlor c j a poloulu geeralzat F cu ajutorul aceste relaţ este dfclă. Se foloseşte caraterzarea eleetulu de cea a buă aproxare dată î secţuea precedetă. Ma precs F H este eleet de cea a buă aproxare a lu f pe H dacă ş ua dacă <f F, ϕ> = petru orce ϕ H. Deoarece {ϕ, ϕ,..., ϕ } este o bază a lu H, petru ca F H să fe eleet de cea a buă aproxare a lu f pe H este sufcet ca <f F, ϕ j > = petru orce j =,,, ceea ce reve la <f, ϕ j > = c <ϕ, ϕ j > + c <ϕ, ϕ j > + + c <ϕ, ϕ j >, j =,,,. Notă a j = <ϕ, ϕ j > = p( x ) ϕ ( x ) ϕ ( x ) = j 5

6 Mădăla Roxaa Buec Metode Nuerce Curs - 7 p ϕ j = b j = <f, ϕ j > = ( x ) f ( x ) ( x ) Petru deterarea coefceţlor c j a poloulu geeralzat F se rezolvă ssteul c a + c a + + c a = b c a + c a + + c a = b c a + c a + + c a = b Deteratul acestu sste fd u deterat Gra (eleetele sale sut produse scalare) este dfert de zero, deoarece ssteul de fucţ ϕ, ϕ, ϕ este u sste lar depedet. Dacă ϕ j (x) = x j, j =,,,,, ş p +, atuc ar ssteul ateror deve F (x) = cx. c (+) + c x + + c c x + c x + + c x = f ( ) + x x = x f ( ) x c x + c + x + + c x = x f ( x ) Acest sste este ut ssteul oral al lu Gauss. Ltăr: Petru deterarea coefceţlor c j a poloulu geeralzat F se rezolvă ssteul Ax = b, cu A = X t X ar b = X t Y, ude 6

7 Metode Nuerce Curs p(x ) ϕ (x ) p(x ) ϕ (x )... p(x ) ϕ (x ) X = p(x ) ϕ (x ) p(x ) ϕ (x )... p(x ) ϕ (x ) p(x ) ϕ (x ) p(x ) ϕ (x )... p(x ) ϕ (x ) ar p(x ) f(x ) Y = p(x ) f(x ) p(x ) f(x ) Dacă fucţle ϕ, ϕ, ϕ sut lar depedete, atuc rag(x) = + ş atrcea A este poztv deftă. Ca urare exstă ş este ucă o atrce feror trughulară L cu eleetele de pe dagoala prcpală poztve astfel îcât A = LL t (atrcea L se ueşte factor Cholesy). Rezolvarea ssteulu Ax=b reve la rezolvarea a două sstee cu atrce trughulare: Lz =b, L t x=z. O varată a letă (volu de calcul a are), dar uerc a stablă, de rezolvare a ssteulu Ax = b este dată de descopuerea QR a atrce A, adcă de reprezetarea atrce A sub fora A = QR ude Q este o atrce ortogoală (Q t Q = I + ) ar R o atrce superor trughulară. Atuc rezolvarea ssteulu Ax=b este echvaletă cu rezolvarea ssteulu Rx =Q t b. Dacă A=X t X u este be codţoată, atuc gradul de acurateţe al soluţe furzate de etoda celor a c pătrate poate f foarte scăzut. 7

Σχετικά έγγραφα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs