ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

Transcript

1 ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση ψ ( xt, sin 1 icos ψ x, t (α Να προσδιοριστεί η ( (β Να υπολοιστεί η µέση ενέρεια του συστήµατος σε mev ( Να παρασταθεί ραφικά η χρονοεξαρτώµενη πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου σε θέση πού απέχει από οποιοδήποτε άκρο του πηαδιού απόσταση 15nm Χρήσιµες Φυσικές σταθερές, h 6, 66 1 J s, me 9,1 1 kg, e 1, 6 1 C (α Έχουµε πx πx 1 πx i πx πx ψ ( xt, sin (1 icos / sin sin cos 1 πx i πx 1 i sin sin ψ1 ψ, όπου Άρα 1 1 / i / 1 πx 1 / i πx ψ ( xt, ψ e ψ e sin e sin e / ie t ie t ie t ie t 1 (β Καθώς έχουµε τις δύο ενερειακές καταστάσεις απειρόβαθου πηαδιού µε c 1/, c i/ P P 1/, δηλαδή ισοπίθανες ενερειακές καταστάσεις, 1 1 έτσι E PE PE ( E E Οπότε καθώς π 4meV m E 5 E 4E 5 4meV 15 mev, και ( 1 1 ( Έχουµε χρονοανεξάρτητη πιθανότητα καθώς 1 π 15nm ie t i π 15nm ψ ( x 15 nm, t sin e sin e ie1t / 1 π ie1t / i iet / e sin e sinπe / ie 1 P x nm t dx ψ x nm t ψ x nm t dx dx nm * ( 15, ( 15, ( 15, /3

2 ΘΕΜΑ [5] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, H 4ε 1 1 3iε 1 1, ( ( µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου ερµιτιανού τελεστή και ε πραµατικός (α Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή της ενέρειας (β Να επαληθευτεί ότι έχετε βρει τις σωστές ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα δείχνοντας ότι ισχύουν οι σχέσεις που περιράφουν το πρόβληµα ιδιοτιµών της ενέρειας, δηλαδή H ψ E ψ, όπου E η ιδιοτιµή και ψ η ιδιοσυνάρτηση Θεωρούµε ένα φυσικό µέεθος που περιράφονται από τον τελεστή Α από την σχέση A a3i1 3i1, όπου α πραµατικός ( ( ( Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της µέσης τιµής του τελεστή Α Την χρονική στιµή t, µετράµε το φυσικό µέεθος που σχετίζονται µε τον τελεστή Α και βρίσκουµε µηδενική τιµή (δ Να βρεθεί η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την τυχαία χρονική στιµή t > (ε Αν την χρονική στιµή t 1ps µετρήσω τα φυσικά µεέθη Α και H ποιες είναι οι δυνατές µετρούµενες τιµές και µε ποιες πιθανότητες; (ααπαιτούµε λ 3iε λ ε λ ε ε λ ε ε λ ± ε 3iε 4ε λ det ( 4 ( ± 5 Για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα (λ5ε χρειάζεται να λύσω το αλεβρικό σύστηµα: 5ε 3iδ x 3iε 4ε 5ε y ε 3iδ x 3iε 6ε y, µε το περιορισµό της κανονικότητας x y 1 (προσοχή, x, y είναι ενικά µιαδικοί Για το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα (λ-5ε χρειάζεται να λύσω το αλεβρικό σύστηµα: 5ε 3iδ x 3iε 4ε 5ε y 9ε 3iδ x 3iε ε y, µε το περιορισµό της κανονικότητας x y 1 (προσοχή, x, y είναι ενικά µιαδικοί Οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέρειας είναι ψ 3i 1 1 3i, ψ 1 1 (β Για την λ5ε και ψ έχουµε

3 3i 1 H ψ ( 1 1 3iε ( ( ε ( ( ( 3i i 1 3i 1 1 / 1 3i 1 3iε 1 3i / 1 5ε3i 1 5ε / 1 3i 1 5ε 5ε ψ 1 Για την λ-5ε και ψ έχουµε 1 3i H ψ ( 1 1 3iε ( ( ε ( ( ( i 3i 3i / 1 1 3i 3iε 3i 1 / 1 5ε 1 5 3iε / 1 1 3i 5ε 5ε ψ 1 ( Έχουµε d < A > 1 < [A, Η ] > dt i [ A, Η ] AH AB A a 3i 1 3i 1 1aψ ψ, όπου ( ( ( ( ( 1a ψ ψ 5εψ ψ 5εψ ψ 5εψ ψ 5εψ ψ 1a ψ ψ 5aεψ ψ 5aεψ ψ Άρα d A dt < > (δ Καθώς A 1aψ ψ 1aψ ψ ψ ψ (όσοι δεν καταλαβαίνουν την προφανότητα της προηούµενης ραφής, ας καταφύουν στην διαωνοποίηση του Α και κατά την µέτρηση βρίσκουµε την µηδενική ιδιοτιµή η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ ( x,t ψ Καθώς η αρχική κατάσταση είναι µια ιδοακατάσταση της ενέρειας έχουµε µια στάσιµη κατάσταση και Ψ ( x,t Ψ ( x,t ψ (ε Καθώς έχουµε στάσιµη κατάσταση η ενέρεια θα βρίσκεται πάντα στην ιδιοκατάσταση ψ και η µέτρηση θα δίνει µε 1% πιθανότητα η µέτρηση τιµή -5ε Προφανώς ια τους ίδιους λόους και ο τελεστής Α θα µετριέται πάντα µε µηδενική τιµή ΘΕΜΑ 3[51515] Θεωρούµε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα στο οποίο υπάρχει σωµάτιο µάζας m Αν η δυναµική ενέρεια του συστήµατος είναι V( x c δ ( x c δ ( x, µε c <, c > (α Για ποιες τιµές της ολικής ενέρειας του συστήµατος έχουµε δέσµιες καταστάσεις και ια ποιες καταστάσεις σκέδασης Μελέτη δέσµιων καταστάσεων (β Να βρεθεί η συνθήκη από την οποία εκτιµώνται οι δυνατές ενερειακές καταστάσεις ια την περίπτωση των δέσµιων καταστάσεων

4 ( Στην ειδική περίπτωση όπου, ποια σχέση πρέπει να ισχύει µεταξύ των παραµέτρων του δυναµικού ια να έχουµε δέσµια κατάσταση c c c Μελέτη καταστάσεων σκέδασης στην ειδική περίπτωση που ( (δ Να µελετηθεί η σκέδαση, δηλαδή εύρεση του R ή του T ια δέσµη που ξεκινά από το (α Οι δέσµιες καταστάσεις αντιστοιχούν σε αρνητικές ενέρειες, καθώς σε αυτή την περίπτωση E < V( ± Για θετικές ενέρειες έχουµε καταστάσεις σκέδασης (β ( c x δ Ι - ΙΙ ( c x δ ΙΙΙ V ( x ± Ε< Οι κυµατοσυναρτήσεις στις περιοχές Ι,ΙΙ και, ια να είναι τετραωνικά ολοκληρώσιµες είναι της µορφής x, x x me Ψ, x Ae Ψ B e Ψ Ce, όπου > Η συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x- και δίνει Ψ ( Ψ ( Ae B e B e (1 Ψ ( Ψ ( Ce B e ( Ενώ από την ασυνέχεια των παραώων έχουµε mc mc Ψ ( Ψ ( Ψ( ( B e Ae Ae mc 1 Ae w (3 Ae mc mc Ψ ( Ψ ( Ψ( ( B e B e Ce Ce mc 1 Ce w (4 Ce Όλες οι σχέσεις µαζί ράφονται ως εξής

5 Ae (1 w Ae ( Ce (3 w Ce (4 Μπορούµε να απαλείψουµε τους συντελεστές A και C ( re 1 B w 1 w w r (1 re 1 B 1w (4 re 1 1w w w r e (3 re 1 1 w Από την ισότητα των δύο διαφορετικών εκφράσεων ια το r, βρίσκουµε mc mc mc mc 1 1 w 1 1w 4 e e e e 1 w 1 mc mc w mc c 4 ( Στην ειδική περίπτωση, έχουµε mc mc m( c c m( c c e 1 1 mc c 4 ηλαδή όπως αναµενόταν έχουµε το αποτέλεσµα ενός δέλτα δυναµικού µε ένταση c c Για να έχουµε δέσµια κατάσταση πρέπει c c < (δ ( c x δ e Ε> 4 Ι - ΙΙ ΙΙΙ V ( x ± ( c x δ Οι κυµατοσυναρτήσεις στις περιοχές Ι, ΙΙ και, ια σκέδαση από αριστερά (δηλαδή από περιοχή ΙΙΙ προς Ι είναι της µορφής ikx ikx ikx ikx ikx me Ψ Ae, Ψ B e, Ψ e Ce, όπου k > Η συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x- και δίνει ik ik ik Ψ ( Ψ ( Ae B e B e (1 ik ik ik ik Ψ ( Ψ ( e Ce B e ( Ενώ από την ασυνέχεια των παραώων έχουµε

6 mc ik ik ik mc ik Ψ ( Ψ ( Ψ( ik( B e ikae Ae ik ik mc ik ik ik ik 1 Ae w (3 Ae ik mc ik ik ik ik mc ik ik Ψ ( Ψ ( Ψ( ik( B ( ( e ik e Ce e Ce ik ik mc ik mc ik ik ik 1 e 1 Ce w (4 e wce ik ik ιαιρούµε την (3 µε την (1 και βρίσκουµε τον λόο B / B, δηλαδή ik ik ik w Ae B 1 w ik w ik ik ik e Ae B 1 w ιαιρούµε την (4 µε την ( και χρησιµοποιώντας τον νωστό λόο B / B δηλαδή 1 w i4k e 1 ik ik ik ik ik B / / 1 w B we w Ce w wce ik ik ik ik ik B / B / e Ce 1 w i4k 1 Ce e 1 1 w βρίσκουµε το C, i4k i6k ik i4k i6k ik ( 1 w e ( 1 w ( 1 w e C( 1 w e C ( 1 w we ( 1 ( 1 ( 1 i6k ik i6k ik i4k i4k ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 i6k ik i4k ( 1 w( 1w e C( 1 w( 1 w e C ( 1 w( w 1 e ( 1 w ( 1 w w w w w e C w w e C w e C w e C w w e C w w e C w e w w w e w w mc mc i6k mc mc ik mc mc i4k mc mc e C e C e ik ik ik ik ik ik ik ik mc mc i6k mc mc ik mc mc i4k mc mc e C e C e ik ik ik ik ik ik ik ik mc mc i4k mc mc 1 e 1 ik ik ik ik C mc mc ik mc mc i6k 1 1 e e ik ik ik ik Στην ειδική περίπτωση που c c ( c mc mc i4k mc mc ia ia i4k ia ia e ( e 1 ik ik ik ik mc 1 isink k k k C a k mc mc ik mc mc i6k ik i6k 1 1 e e a a a a i4k 1 e e ik ik ik ik 1 e k k k k a a 4 1 sin a ia a ia 1 sin k 1 sin k k * k k k k k k R C C C a a 4 i4k a a i4k 1 e 1 e a a a a 1 k k k k 4 1 cos4k k k k k Στην ειδική περίπτωση ΘΕΜΑ 4[515], έχουµε όπως αναµένεται µηδενική ανάκλαση Ένας κβαντικός αρµονικός ταλαντωτής περιράφεται από την κυµατοσυνάρτηση iεt / iε1t ( xt, ψ e ψ e / Ψ / ( 1 (α Υπολοίστε την µέση τιµή της ορµής ια t (β Υπολοίστε την χρονοεξαρτώµενη µέση τιµή της θέσης χρησιµοποιώντας τους τελεστές aa, ( Αν νωρίζουµε ότι η µέση ενέρεια είναι 3meV πόσο είναι το x( t 1 ps σε nm;

7 iεt 1 (α Από την κυµατοσυνάρτηση ( / iε t xt / Ψ ψe ψ1e c c1 1/ (, /, Η κυµατοσυνάρτηση ια t είναι xt ( ψ ψ 1 βρίσκουµε Ψ (, /, πραµατική άρα η µέση ορµή είναι µηδέν, Ακόµα ( η µέθοδος νωρίζουµε ότι p c c1 p1 sinδ, µε δ sinδ και άρα p 1 (β Η κυµατοσυνάρτηση είναι ( i ε e e i ε Ψ 1 / a a iε iε ( ( 1 a a iε iε 1 x Ψ Ψ e e 1 e e 1 iε ( i ( 1t / i i 1t / i 1t / e e ε ε e a e ε a e ε a / (φορµαλισµός Dirac, έτσι iε ( e iε ( iε iε 1 e 1 e 1 e iε 1 e / iε ( e iε1 iε iε1 e 1 ( e 1 e iε1 e / ( i( ε1ε e i( ε1ε e i( εε1 e i( ε1ε i( εε1 ( e e / cos (( ε1ε / / (Έχουµε E PE PE 1 1 (1/(1/ (3/(1/ 1 E ω 3 mev Ακόµα στο φυσικό σύστηµα µονάδων έχουµε ότι, x( t 1 ps cos ε ε t 1 ps / / cos ω t 1 ps / / cos 455 rad / 11 (( 1 ( ( ( ( και καθώς x / mω 159nm, έχουµε τελικά x( t 1 ps nm177nm Πάτρα, 31/1/11