5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos

Transcript

1 5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė turi bent vieną snkupos tšką. Antroji svybė Borelio-Heinėslem pie dngs. Ją glime suformuluoti tip. Jei A R prėžt ir uždr ibė, o {G α, α I} jos tviroji dng (ti reiški, kd visos ibės G α yr tviros ir A α I G α ), ti iš jos glim išrinkti bigtinį podngį (egzistuoj tokie G α1,..., G αn, kd A n k=1 G α k ). Nuo reliu ju skičiu ibės perėjus prie bstrktesniu metriniu erdviu tos svybės bendru tveju nebeglioj ibės prėžtums ir uždrums negrntuoj nei vienos iš ju. Šti pprsts pvyzdys. Imkime metrinės erdvės l 2 ibę (e n, n N), sudrytą iš vdinmu ju vienetiniu seku : e n = (δ ni, i N), { 1, ki i = n; δ ni =, ki i n. Sek (e n ) yr prėžt, bet ( d(e n, e m ) = (δ ni δ mi ) 2) 1/2 = 1, ki n m, i=1 todėl neturi jokio snkupos tško. Kit vertus, klusims, kd iš prėžtos kokios nors erdvės elementu sekos (trkim, prėžtos funkciju sekos) glime išrinkti konverguojntį posekį, svrbus dugelyje mtemtikos disciplinu. Pvyzdžiui, diferenciliniu lygčiu teorijoje įrodinėjnt sprendiniu egzistvimą, tikimybiu teorijoje ir mtemtinėje sttistikoje tirint skirstiniu sekos konvergvimą. Apibendrinnt Bolcno Vejerštrso ir Heinės Borelio svybes metrinėms erdvėms, gimė kompktiškos ibės svok. 5.1 pibrėžims. Trkime, (X, d) - metrinė erdvė.

2 Aibė K X vdinm relityvii kompktišk, jei iš kiekvienos tos ibės elementu sekos glim išrinkti (erdvėje X) konverguojntį posekį. Jei ibė K yr relityvii kompktišk ir uždr, ti ji vdinm kompktišk rb kompktu. Metrinė erdvė (X, d) vdinm kompktišk, jei ibė X yr kompkts. Bolcno-Vejerštrso teorem reiški, kd bet kuri prėžt reliu ju skičiu erdvės R ibė yr relityvii kompktišk. Beje, prėžtums yr būtin sąlyg relityvim kompktiškumui ir bendruoju tveju. 5.1 teiginys. Relityvii kompktišk ibė yr prėžt. Įrodyms. Jei ibė K X nėr prėžt (jos dimetrs dim(k) = ), ti kokius x X ir n N bepimtume, tsirs toks x n K, kd n + 1 d(x, x n ) > n. Sek (x n ) K neturi jokio konverguojnčio posekio, nes su visis m N, d(x m+2, x m ) d(x, x m+2 ) d(x, x m ) > 1. Tigi ibė K negli būti kompktišk. 5.2 teiginys. Kompktišk metrinė erdvė yr piln. Įrodyms. Trkime, (X, d) kompktišk metrinė erdvė ir (x n ) jos Koši sek. Kdngi Koši sek yr prėžt, pgl kompktiškumo pibrėžimą, sek (x n ) turi konverguojntį posekį. Bet td ir pti sek konverguoj (žr.?? teiginį). Lbi svrbus uždvinys nusttyti, kokios metrinės erdvės ibės yr relityvii kompktiškos Husdorfo teorem 5.2 pibrėžims. Trkime, (X, d) metrinė erdvė, M X. Trkime, ε >. Aibė M ε X vdinm ibės M ε-tinklu, jei kiekvieną x M titink toks 2

3 x ε M ε, kd d(x, x ε ) < ε. Skysime, kd ε-tinkls yr bigtinis, jei jis sudryts iš bigtinio skičius elementu. 5.1 teorem. (Husdorfo.) Trkime X piln metrinė erdvė. Aibė M X relityvii kompktišk td ir tik td, ki su kiekvienu ε > ibė M turi bigtinį ε-tinklą. Įrodyms. Būtinums. Trkime, tvirtinims klidings: M relityvii kompktišk ibė, tčiu egzistuoj toks ε >, kd ibė M bigtinio ε- tinklo neturi. Imkime bet kurį elementą x 1 M. Egzistuoj toks elements x 2 M, kd d(x 1, x 2 ) ε (jei tokio elemento nebūtu, ti M ε = {x 1 } būtu ibės M ε-tinkls). Kitu žingsniu rsime tokį x 3 M, kd d(x i, x 3 ) ε, ki i = 1, 2. Priešingu tveju ibė M ε = {x 1, x 2 } būtu ibės M bigtinis ε-tinkls. Tęsdmi šį procesą, gunme seką (x n ) M, kurii d(x k, x j ) ε, ki k j. Akivizdu, kd toki sek neturi nė vieno konverguojnčio posekio. Tigi ibė M negli būti relityvii kompktišk. Gut prieštr įrodo būtinumą. Pknkmums. Trkime, kd su kiekvienu ε > ibė M turi bigtinį ε-tinklą. Reiki prodyti, kd bet kuri sek (x n ) M turi snkupos tšką (konverguojntį posekį). Imkime seką ε k = 2 k+1, k = 1, 2,... Su kiekvienu k rndme ibės M bigtinį ε k -tinklą, skykime, Akivizdu, kd M k = {y k 1, y k 2,..., y k n k }. M n 1 i=1 S ε1 (y 1 i ). Kdngi sek (x n ) beglinė, o rutuliu pdenginčiu ibę M, tik bigtinis skičius, ti bent į vieną iš ju ptek be glo dug sekos (x n ) elementu. Tą rutulį pžymėkime S 1. Toliu, pėmę ε 2, turime S 1 M M 3 n 2 i=1 S ε2 (y 2 i ).

4 Smprotudmi kip ir nksčiu, gusime, kd į vieną iš rutuliu B ε2 (yi 2) = S 2 ptek be glo dug sekos (x n ) nriu. Tigi ir snkirtoje S 1 S 2 yr be glo dug sekos (x n ) nriu. Tęsdmi šį procesą, gusime tokią rutuliu seką S 1, S 2,..., kd su kiekvienu k 1 snkirtoje k j=1 S j yr be glo dug sekos (x n ) nriu. Prinkime x n1 S 1, x n2 S 1 S 2, n 2 > n 1 ir x nk k j=1s j, n k > n k 1 > > n 1. Tip gunme sekos (x n ) posekį (x nk ). Ki k j, ti bu elementi x nk, x nj S k. Jei z k rutulio S k centrs, ti d(x nk, x nj ) d(x nk, z k ) + d(z k, x nj ) 2ε k = 2 k+2. Tigi posekis (x nk ) yr Koši sek. Kdngi metrinė erdvė X piln, (x nk ) konverguoj (žr.?? lemą). 5.1 pstb. Jei ibė K X kompktišk, ti su kiekvienu ε > ibei K egzistuoj bigtinis ε-tinkls, sudryts iš ibės K elementu. Tikri, tegu K ε X yr ibės K minimlus bigtinis ε/2-tinkls sudryts iš m elementu. Trkime, K ε = {x 1,..., x m }. Tuomet K m j=1s(x j ; ε/2) ir K S(x j ; ε/2) su visis j = 1,..., m. Tegu x j K S(x j; ε/2), j = 1,..., m. Tuomet ibė {x 1,..., x m} K yr ibės K ε-tinkls. Tikri, jei x K, egzistuoj toks x j, kd d(x, x j ) < ε/2. Tigi d(x, x j ) d(x, x j) + d(x j, x j ) < ε/2 + ε/2 = ε. 5.1 išvd. Tm, kd pilnos metrinės erdvės X ibė K X būtu relityvii kompktišk pknk, kd su kiekvienu ε > egzistuotu ibės K relityvii kompktišks ε-tinkls. Įrodyms. Trkime, N ε yr ibės K relityvii kompktišks ε/2-tinkls. Aibei N ε pritikę Husdorfo teoremą, gunme bigtinį jos ε/2 tinklą K ε. Aibė K ε krtu yr ir ibės K ε-tinkls. Tikri, jei x K, ti egzistuoj toks y N ε su kuriuo d(x, y) < ε/2. Svo ruožtu, tšką y titink toks x ε K ε, kd d(y, x ε ) < ε/2. Tokiu būdu, kiekvieną x K titink toks x ε K ε, kd d(x, x ε ) d(x, y) + d(y, x ε ) < ε/2 + ε/2 = ε. Vdinsi, ibė K ε yr ibės K ε-tinkls. Kdngi erdvė X piln, iš Husdorfo teoremos išpluki, kd ibė K relityvii kompktišk. 4

5 5.2 išvd. Kompktišk metrinė erdvė yr seprbili. Įrodyms. Trkime, (X, d) kompktišk metrinė erdvė. Su kiekvienu n N ngrinėkime bigtinį ibės X 1/n-tinklą K n = {y (n) 1,..., y(n) k n }. Aibė K = n N K n yr skiti ir visur tiršt. Tikri, lisvi prinkime ε > ir x X. Pimkime tokį n N, kd 1/n < ε. Kdngi ibė K n yr ibės X 1/n-tinkls, tsirs toks y (n) j K n K, su kuriuo d(x, y (n) j ) < 1/n < ε. Tigi ibė K yr visur tiršt. Kdngi K yr skiti sąjung bigtiniu ibiu, ti ji yr skiti Arcelo-Askoli teorem Šime skyrelyje įrodysime Arcelo-Askolio teoremą pie erdvės C[, b] kompktiškąsis ibes. 5.3 pibrėžims. Aibė A C[, b] vdinm lygilipsniški tolydžiąj, jei kiekvieną ε > titink toks δ = δ(ε) >, kd bet kurii funkciji f A yr teising nelygybė f(t) f(s) < ε, ki s t < δ. Priminsime, kd funkcijos f tolydumo modulis yr rgumento δ > funkcij ω(f; δ) = sup f(t) f(s). (5.1) t,s [,b]: t s <δ Bet kurios tolygii tolydžios funkcijos tolydumo modulis rtėj į nulį, ki δ rtėj į nulį. Aibės A C[, b] lygilipsnis tolydums reiški, kd lim sup δ f A ω(f, δ) =. (5.2) Aibė A C[, b] yr prėžt td ir tik td, ki egzistuoj toks M >, kd kiekvieni funkciji f A f(t) M, su visis t [, b]. 5

6 5.2 teorem. (Arcelo-Askolio.) Aibė M C[, b] yr relityvii kompktišk td ir tik td, ki ji prėžt ir lygilipsniški tolydi. Įrodyms. Būtinums. Skykime, ibė M C[, b] relityvii kompktišk. Aibės M prėžtums įrodyts 5.1 teiginiu. Įrodysime, kd ibė M yr lygilipsniški tolydi. Fiksuokime ε >. Remintis Husdorfo teorem, ibė M turi bigtinį ε-tinklą, skykime, M ε = {f 1, f 2,..., f n } C[, b]. Kiekvien funkcij f k, k = 1,..., n yr tolygii tolydi (tolydžioji funkcij uždrme intervle yr tolygii tolydi (žr. [?])), todėl kiekvieną k = 1,..., n titink toks δ k = δ k (ε) >, kd f k (t) f k (s) < ε, ki s t < δ k. (5.3) Apibrėžkime δ = min 1 k n δ k. Jei s t < δ, ti (5.3) tenkin visos funkcijos f k, k = 1,..., n. Kdngi M ε yr ibės M ε-tinkls, ti kiekvieną f M titink toks j {1,..., n}, kd d(f, f j ) = sup f(t) f j (t) < ε. t b Jei imsime tokius s, t [, b], kd s t < δ, ti kiekvienm elementui f M turėsime f(t) f(s) f(t) f k (t) + f k (t) f k (s) + f k (s) f(s) 2d(f, f k ) + f k (t) f k (s) 3ε. Ti įrodo, kd ibė M yr lygilipsniški tolydi. Pknkmums. Trkime, kd ibė M prėžt ir lygilipsniški tolydi. Kdngi erdvė C[, b] yr piln, remintis Husdorfo teorem, pknk įrodyti, kd su kiekvienu ε > ibei M egzistuoj bigtinis ε-tinkls. Trkime, f(t) K, ki t [, 1], f M. Toliu tegu δ > prinkts tip, kd kiekvienm elementui f M, f(t) f(s) < ε/5, ki t s < δ. Trkime, intervlo [, b] tški = t < t 1 < < t n = b yr prinkti tip, kd t j t j 1 < δ su visis j = 1,..., n. Intervlą [ K, K] tip suskidykime tškis K = y < y 1 < < y m 1 < y m = K, kd y j y j 1 < ε/5 su visis j = 1,..., m. Ngrinėkime ibę M ε, sudrytą iš lužčiu su viršūnėmis tškuose (t j, y k ), j =, 1,..., n; k =, 1,..., m. Kitip sknt, funkcij g prikluso ibei M ε, jei su kiekvienu j = 1,..., n, g(t j ) = y mj su kuriuo nors 6

7 m j m ir g yr tiesinė funkcij kiekvienme intervle [t j 1, t j ], j = 1,..., m. Akivizdu, kd ibė M ε bigtinė. Įrodysime, kd ji yr ibės M ε-tinkls. Tegu f M. Imkime lužtę f ε einnčią per tškus (t j, y mj ), j =, 1,..., n su tip prinktu m j, kd f(t j ) y mj < ε/5. Pgl konstrukciją f(t j ) f ε (t j ) = f(t j ) y mj ) < ε/5, f(t j+1 ) f e (t j+1 ) < ε/5, f(t j ) f(t j+1 ) < ε/5. Tigi f ε (t j ) f ε (t j+1 ) < 3ε/5. Kdngi intervle [t j, t j+1 ] funkcij f ε tiesinė, ti f ε (t j ) f ε (t) < 3ε/5, ki t [t j, t j+1 ]. Bet kurim t [, b] pimkime tą j, su kuriuo t j < t t j+1. Tuomet Tigi f(t) f ε (t) f(t) f(t j ) + f(t j ) f ε (t j ) + f ε (t j ) f ε (t) ε/5 + ε/5 + 3ε/5 = ε. d(f, f ε ) = sup f(t) f ε (t) < ε t b ir ti įrodo, kd bigtinė ibė M ε yr ibės M ε-tinkls Kompktiškosios L p (, b) erdviu ibės Šime skyrelyje įrodysime Rysoteoremą, kuri pršo erdviu L p (, b) kompktišksis ibes. Siekdmi supprstinti technines detles, funkcijos f L p (, b) pibrėžimo sritį prtęsime į visą reliu ju skičiu tiesę, likydmi f(t) =, jei t (, b). Be to, jei nepskyt kitip, p pibrėžims. Aibė A L p (, b) vdinm lygilipsniški p-integruojm, jei kiekvieną ε > titink toks δ = δ(ε) >, kd bet kurii funkciji f A, f(t + h) f(t) p dt < ε, ki h < δ. 7

8 Funkcijos f L p (, b) integrlinis tolydumo modulis yr rgumento δ > funkcij ω p (f; δ) = sup h δ f(t + h) f(t) p dt. 5.3 teiginys. Jei funkcij f L p (, b), ti lim ω p(f, δ) =. δ Įrodyms. Remintis?? išvd, kiekvieną f L p (, b) ir bet kurį ε > titink toks polinoms p P, su kuriuo f(t) p(t) p dt < ε p. Dbr nesunku užbigti įrodymą. Tikydmi Minkovskio nelygybę, turime ( 1 ) ( f(t + h) f(t) p 1 dt f(t + h) p(t + h) dt) p + ( 1 ) ( p(t + h) p(t) p 1 dt + f(t) p(t) dt) p ( 1 ε/4 + p(t + h) p(t) dt) p + ε/4 ε/2 + 2 sup p(t + h) p(t). t [,1] Kdngi lim h sup t 1 p(t + h) p(t) =, ti lim sup h ( 1 f(t + h) f(t) dt) p ε/2. Ti įrodo teoremą, nes ε > lisvi psirinkts skičius. Aibės A L p (, b) vienods tolydums reiški, kd (plyginkite su (5.2)) lim sup δ f A ω p (f, δ) =. (5.4) Aibė A L p (, b) yr prėžt, jei egzistuoj toks M >, kd visoms funkcijoms f A teising f(t) p dt M. 8

9 5.3 teorem. Aibė K L p (, b) (, b R, b >, p 1) yr relityvii kompktišk td ir tik td, ki ji yr prėžt ir lygilipsniški p-integruojm. Įrodyms. Pknkmums. Psinudosime tuo, kd erdvė C[, b] įdedm į erdvę L p (, b). Ti yr, jei f C[, b], ti f L p (, b). Be to, teising nelygybė f(t) p dt mx t [,b] f(t) p (b ). (5.5) Psinudodmi j, nesunkii gunme, kd bet kuri erdvės C[, b] kompktišk ibė yr kompktišk ir erdvėje L p (, b). Pirmiusi su bet kuriuo τ >, duoti ibei K L p (, b) sukonstruosime kompktišką ibę K τ C[, b]. Po to įrodysime, kd kiekvieną ε > titink toks τ kd K τ yr ibės K ε- tinkls. Kdngi K τ kompktišk ir erdvėje L p (, b), glėsime psinudoti Husdorfo teoremos 5.1 išvd. Imdmi τ >, funkciji f L p (, b) pibrėžkime f τ (t) = 1 f(s)ds, t [, b]. Akivizdu, kd kiekvien funkcij f τ yr tolydi. Ngrinėkime erdvės C[, b] ibę K τ = {f τ : f K}. Įsitikinsime, kd t ibė yr prėžt ir vienodi tolydi. Tikri, pritikę Minkovskio nelygybę, su kiekvienu t [, b] turime f τ (t) = 1 f(s)ds 1 ( ) 1/q ( 1ds f(s) ds) p ir () ( f(s) ds) p (5.6) f τ (t + u) f τ (t) = 1 1 f(s + u)ds 1 t+u+τ t+u τ f(s + u) f(s) ds f(s)ds f(s)ds () ( f(s + u) f(s) ds) p f(s)ds = () (. f(s + u) f(s) ds) p (5.7) 9

10 Tigi ibės K τ C[, b] prėžtums ir vienods tolydums išpluki iš teoremos sąlygu ir (5.6), (5.7) įverčiu. Remintis Arcelo-Askolio teorem, su kiekvienu τ ibė K τ yr relityvii kompktišk erdvėje C[, b], ir, kip pstebėjome ukščiu, tip pt relityvii kompktišk erdvėje L p (, b). Įrodysime, kd kiekvieną ε > titink toks τ = τ(ε) su kuriuo ibė K τ yr ibės K ε-tinkls. Fiksuokime ε >. Remintis ibės K vienodu p-integruojmumu, egzistuoj toks τ = τ(ε), kd 1 Psiremdmi ši svybe ir įverčiu gunme 1 f(s) f(s + u) p ds ε p, ki u < τ. f(t) f τ (t) 1 f(t) f(s) ds = 1 τ f(t) f(t + s) ds τ () ( τ, f(t) f(t + s) ds) p τ d p (f, f τ ) = f(t) f τ (t) p dt 1 1 τ { } f(t) f(t + s) p dt τ 1 { τ ds < 1 εp τ τ τ } f(t) f(t + s) p ds dt = ds = ε p. Tigi ibė K τ yr ibės K ε-tinkls. Liek psinudoti Husdorfo teoremos 5.1 išvd. Būtinums. Ju žinome, kd ibės prėžtums visdos yr būtin kompktiškumo sąlyg. Todėl liek įrodyti ibės K vienodą p-integruojmumą. Tegu ε > ir f 1,..., f n yr ibės K ε-tinkls. Remintis 5.3 teiginiu, kiekvieną i titink toks δ i >, su kuriuo f i (t + h) f i (t) p dt < (ε/3) p, ki < h < δ i. Tegu δ = min 1 i n δ i. Tuomet su visis i = 1,..., n ki < h < δ. f i (t + h) f i (t) p dt < (ε/3) p, (5.8) 1

11 Lisvi psirinkime funkciją f K. Pgl ε-tinklo pibrėžimą, rsime funkciją f i, su kuri f(t) f i (t) p (ε/3) p. (5.9) Jei < h < δ, psinudoję Minkovskio nelygybe ir (5.8), (5.9) svybėmis, įvertinme ( ) ( f(t + h) f(t) p b dt f(t + h) f i (t + h) dt) p + ( ) ( f i (t + h) f i (t) p b dt + f i (t) f(t) dt) p ( ) f(t + h) f i (t + h) p 2ε dt + 3. (5.1) Prisiminę, kd funkcijos f ir f i lygios nuliui už intervlo (, b) ir, pritikę (5.9), turime f(t + h) f i (t + h) p dt = +h f(t) f i (t) p dt f(t) f i (t) p dt (ε/3) p. (5.11) Iš (5.1), (5.11) nelygybiu išvedme f(t + h) f(t) p ε p, ki < h < δ. Kdngi funkcij f buvo psirinkt lisvi, ntrosios sąlygos būtinums įrodyts. 11