МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС САЗВЕЖЂА, МИТОЛОГИЈА И УМЕТНОСТ
|
|
- Έχω Καλογιάννης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Зборник радова конференције Развој астрономије код Срба V Београд, април 2008, уредник М. С. Димитријевић Публ. Астр. друш. Руђер Бошковић бр. 8, 2009, МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ 1, ВАСИЛИЈЕ Н. МАНИМАНИС 1, СЕА ГОЈЕТ, 2 МИЛАН С. ДИМИТРИЈЕВИЋ 3 1 Department of Astrophysics, Astronomy and Mechanics School of Physics, University of Athens, Zographou , Greece 2 School of Philosophical and Historical Inquairy University of Sydney, Camperdown 2006, Australia 3 Astronomical Observatory, Volgina 7, Belgrade, Serbia etheodos@phys.uoa.gr Резиме. Да би размотрили утицај небеске митологије и прецесије Земљине осе ротације на уметност, разматрамо овде могућу везу између античких статуа грчких богова и сазвежђа, односно такозваних астрономских ера. Наиме да ли Мосхофорос (носач телета) у музеју на Акропољу у Атини има везе са ером Бика, у току које је сазвежђе тога имена (Taurus) садржало тачку пролећне равнодневице ( ), или можда статуа Криофорос (носач овна) из Аполоновог храма у Куриу (Кипар) означава еру Овна (Aries). На крају, да ли Ихтхис (риба) у катакомбама и на поду катедрале у Калимносу означава не само Исуса Христа, него такође и еру Риба (Pisces)? 1. УВОД Опште усвојени закључак је да су астрономска знања антике организовали и кодификовали стари Грци у последња четири века пре н.е., посебно Хипарх (2. век пре н.е.) у својим радовима, па је и обликовање имена северних сазвежђа грчки допринос. Ипак, обликовање посебно зодијакалних сазвежђа, био је динамичан процес, који је еволуирао током више миленијума, од истока до запада, од севера до југа и много је народа ту учествовало, као на пример Кинези (Gurshtein, 2004). 437
2 EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ и др. Слика 1: Лево: Мосхофорос, Музеј Акропоља у Атини. Десно: Криофорос из Аполоновог храма у Куриу (Кипар). Зодијак је према Алену (Allen, 1899) настао у Месопотамији: Много теорија је било понуђено за његово место настанка и време формирања; али данас изгледа постоји општа сагласност мишљења да је настао, углавном како га данас имамо, у древној еуфратској астрономији, могуће само са шест знакова, Бик (Taurus), Рак (Cancer), Девица (Virgo), Шкорпија (Scorpio), Једнорог (Capricornus) и Рибе (Pisces), а касније био подељен због постојања дванаест пуних месеца годишње на још шест делова. (Allen, 1899, стр.1) Друго веома важно питање је: Да ли су сазвежђа формирана и именована само према свом облику или су и други чиниоци имали утицаја? Неки истраживачи на челу са Ал Суфијем ( ) и његовим Описом звезда некретница (964) сматрају да су обриси сазвежђа утицали на настанак њихових имена, али по нашем мишљењу ово изгледа вероватно само у случају Шкорпије (Scorpius). Други подржавају супротни став. Они кажу да су стари астрономи (који су били веома искусни посматрачи неба) желели не само да обједине неке групе звезда него такође да употребе сазвежђа као небеске ознаке. То је постигнуто када су групе звезда повезане са митологијом и народном историјом. На тај начин је лепа грчка митологија остала да живи на небу. Професор Александар Гурштајн је у својим фундаменталним радовима (Gurshtein, 1993, 1995a, 1995b, 1997, 1998, 2004, и нарочито 1995a) заузео ово друго становиште, узимајући као пример аустралијске абориџине. Он сматра да су имена небеских објеката као што су сазвежђа веома постојана, као и 438
3 МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС географски називи. У складу са тим покушава да утврди епоху када су установљена зодијакална сазвежђа, узимајући њихову симболичку вредност и примењујући је на четири годишња доба. Следећи његове кораке, покушали смо да продужимо средишњу идеју коју је дао у класичну грчкоримску антику и стару Персију, и да нађемо могуће утицаје промене астрономских ера на уметност. 2. ЧЕТИРИ ГОДИШЊА ДОБА И ПОЛОЖАЈИ ЗОДИЈАКАЛНИХ САЗВЕЖЂА Може се узети као чињеница да је идеја појаса Зодијака била првобитно зачета да би се обележила привидна годишња путања Сунца на еклиптици. Ахил Тације (четврти век) дао му је име «еклиптика», које је заменило претходно «круг међу зодијима (зодијакалним знацима)». Овај значајан астроном, филозоф и свештеник, правдао је ново име чињеницом да када год се Месец нађе у средишту зодијакалне зоне за време једног од својих синода долази до помрачења. Дакле дванаест зодијакалних сазвежђа обележавају привидну путању Сунца на небу. Тих сазвежђа је дванаест због «светости» овог броја (као производа савршених бројева 3 и 4) и зато што Сунце прелази приближно 30 степени месечно на небеском своду у току свога привидног годишњег кретања, тако да је = 360, т.ј. потпуни круг. Напоменимо да је у почетку њихов број био мањи. Овенден (Ovenden, 1966) је претпоставио да су их начинили људи који су живели између 2000 и 3000 пре н.е. на око 36 o северне географске ширине. Рој (Roy, 1984) је покушао да идентификује могуће ствараоце сазвежђа, и његови кандидати су Феничани, Египћани, Вавилоњани и Минојци. Вавилонски астрономи су установили коначну листу од 12 зодијакалних сазвежђа приближно једнако распоређених око еклиптике. Такође су је касније поделили на дванаест једнаких делова, знакова Зодијака, именујући сваки према најближем сазвежђу (Thurston, 1994). Захваљујући дуготрајним и систематичним посматрањима, стари посматрачи-астрономи повезали су изглед ноћног звезданог неба са одговарајућим годишњим добима сунчево-тропске године. Повезујући положај Сунца када има своје максималне висине са одговарајућим трајањем дана и ноћи, или са азимутом његовог изласка и заласка, одредили су четири главне тачке привидног годишњег кретања Сунца по еклиптици: тачке две равнодневице (еквинокција) ( 21. марта и 22 септембра) и два солстиција (E 22 јуна и E 22 децембра). Откриће ова четири основна положаја Сунца на еклиптици било је веома значајно. Пошто су оне означавале почетак и промену четири годишња доба. То је било важно за људе који су живели у тим вековима, пошто су тако тачно знали када да ору, сеју, жању или лове, судећи само по привидном кретању Сунца међу звездама и сазвежђима. 439
4 EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ и др. Дакле, прво су створене четири групе сазвежђа, четири основне, које су показивале и привремено дефинасале сваку од четири тачке. Ова сазвежђа су током дугих временских периода мењала место услед кретања земљине осе познатог као прецесија еквинокција. Полаган али непрекидни помак на запад тачака где небески екватор пресеца еклиптику догађа се тако да се,, E и E померају за приближно 50 лучних секунди годишње или 1 сваке 72 године. Сходно томе, приближно сваких 2150 година знаци зодијака или приближно зодијакална сазвежђа која дефинишу ова четири главна положаја сунчевог кретања се промене, а сваких 25,800 година сва сазвежђа се враћају на почетне положаје после потпуног циклуса. Taбела 1. Квартети основних зодија (знакова) од пре н.е. до године (Једно од различитих мишљења о трајању астрономских епоха) ПРОЛЕЋЕ ЛЕТО ЈЕСЕН ЗИМА пре н.е. Gemini Virgo Sagittarius Pisces пре н.е. Taurus Leo Scorpius Aquarius пре н.е. 1. Aries Cancer Libra Capricornus Pisces Gemini Virgo Sagittarius Aquarius Taurus Leo Scorpius Табела 1 представља приближне периоде када су различити знаци или сазвежђа једнаке дужине, била, јесу или ће бити у положајима еквинокција и солстиција. Али пре увођења дванаест једнаких знакова, најранија сазвежђа нису била једнаке дужине, чак ни у квартету! Ову чињеницу подржао је Геминус: Aли знаци начињени од непокретних звезда нити су једнаки по величини нити начињени од истог броја звезда (Heath, 1932, стр. 126). Ова чињеница, као и она да неки узимају за почетак епохе улазак Сунца у «знак зодијака» а други у зодијачко сазвежђе, и да постоје различите дефиниције небеског положаја почетка знака, ствара прилично неслагање у одређивању почетка и краја поједине епохе. Важно је такође да су ови датуми за догађај када се приликом еквинокција или солстиција Сунце појављује унутар граница сазвежђа, а то је догађај који се не може посматрати. Према томе, Табела 1 даје само једно од неколико различитих мишљења, како да се разматрани астрономски периог подели у астрономске епохе или ере. Сваки квартет сазвежђа узима име оног које је у тачки пролећне равнодневице ( ) у току одговарајуће епохе. Али пошто је уређивање сазвежђа извршено у првом хиљадугодишту пре н.е., када је пролећна раввнодневица била у сазвежђу Овна (Aries), зовемо ( ) прва тачка Ariesa (Овна) чак и данас а симбол ( ) је уствари упрошћена скица главе са овнујским роговима. Древно име зодијачког сазвежђа које дефинише тачку јесење равнодневице настало је од Χηλαί Σκορπίου (= Шкорпијина кљешта) и највероватније је у току истог периода промењено у Ζυγός (=Вага односно 440
5 МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС теразије) да би означавало једнаку дужину дана и ноћи (тамни и осветљени део дана од 24 ч.), приликом јесење равнодневице. Дакле од тада, Вага (Libra) је једино зодијакално сазвежђе названо према неживом објекту. У време Хипарха (други век пре н.е.) сазвежђе Овна (Aries) било је у првој дванаестини (0 до 30 ) зодијачког круга (знак и сазвежђе су били истоветни), док је данс у последњој (330 до 360 ). Услед прецесије еквинокција, сазвежђа зодијакалне зоне се непрекидно померају од једне дванаестине до следеће. Године пре н.е. зодијакална сазвежђа су се налазила у дванаестинама одговарајућих кућа. Aries (Ован) је био називан Вођа небеских знакова (Princeps signorum coelestium), Вођа Зодијака (Princeps zodiaci) и Предводник армије Зодијака (Ductor exercitus zodiaci), док данас Рибе (Pisces) имају назив Вођа небеског мноштва (Allen 1963, стр. 76, 337). Источне религије биле су дубоко под утицајем астрономских појава; приписивале су им дубоко астролошко значење, узимајући сваки улазак Сунца у нови астролошки знак као почетак нове сунчане или космичке ере за Универзум. За време сваке од ових епоха, приписивали су богу-сунцу облик који је одговарао сазвежђу у коме је био његов лик. Напоменимо такође, да је, као што се може видети из Табеле 1, у раном историјском пеиоду од 4500 до 2000 пре н.е., сазвежђе Бика (Taurus) било прво у кругу Зодијака, оно у коме је пролећна равнодневица. Р. Х. Ален пише у свом фундаменталном раду : Taurus... је свугде било једно од најранијих и најистакнутијих сазвежђа, можда прво које је установљено, зато што је обележавало пролећну равнодневицу од око до пре н.е.., у златном периоду архаичне астрономије (Аllen 1899, стр. 378). Сходно томе, када је тачка пролећне равнодневице била у сазвежђу Бика, готово сви народи источног Медитерана су приносили бика на жртву. У Египту, бог-сунце Озирис, био је рођен у облику ове животиње, док је у индији бог Шива јахао на великом белом бику, Надију, и постојала је традиција према којој је бик разбијао годишње космичко јаје, дозвољавајући тако рођење нове године Стога је народ Ирана у том периоду користио Бика, примарни симбол мушке плодности, да представи пролеће. Персијски свештеници узимали су Бика као симбол религије, као што се може видети на рељефу на троструком порталу Апантана палате и у декорацији храмова Митре. Божанство Сунца Митра, обожаван у Тарзусу, чији се култ проширио у Европи и Азији, увек је на статуама и рељефима приказиван како жртвује бика, често међу симболима зодијакалних сазвежђа (види нпр. Bon, Ćirković, Milosavljević, 2002); а претставе митраистичког бика су уобичајене на гемама. Митра жртвује животородног космичког бика, чија крв оплођује растиње. За време митраистичких мистерија, у току чина жртвовања бика, претпостављено је да су они који се иницирају били прожети божанском есенцијом у облику крви и меса бика. (Theodossiou and Danezis, 1994); у старој Грчкој су се такође током Кабиријских мистерија верници купали у крви жртвованих 441
6 EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ и др. бикова, док су за време Елеусинских и Бахових ритуала на преваранте бацали клетве под кожама свеже жртвованих бикова. Осим тога, бик је присутан у декорацији древних Минојских палата и храмова (tavrokathapsia). Бик зодијачког знака, можда је био чувени критски бик, познатији као Европин бик. Ипак, сматрамо да је сазвежђе Бика добило своје име раније, пошто се египатско обожавање небеског бика бога Аписа Озириса, проширило по свим источно медитеранским земљама. У Старом Завету, такође, налази се златно теле које је направио Арон када је Мојсије био отсутан, на планини Синају, са одговарајућом симболиком. Према Изласку, Арон је примио златне минђуше и начинио......идола изливеног у облику телета, кога је обликовао алатом. Тада су рекли Ово су ваши богови (Exodus 32:4). Када је Мојсије сишао са брда Синај, веома се растужио и молио је Бога да опрости народу и Арону: Када сам погледао, видео сам да сте сагрешили Господу, вашем Богу; направили сте идола обликованог као теле......узео сам од вас ове грешне ствари, теле које сте направили, и бацио сам га у ватру; онда сам га разбио... (Deuteronomy 9:16,21). У сваком случају, чињеница је да данас многи истраживачи више воле да говоре о традицијама и слојевима традиција док су њихови претходници говорили о изворима. Штавише, сазвежђе Лав, које симболизује летњи солстициј, у истом периоду је претстављено на Лављим вратима у Микени, као и на рељефу троструког портала у палати Апантана у Персеполису у комбинацији са Биком. Ипак, треба бити веома опрезан, замка у коју лако може да се упадне је да се изаберу изоловане чињенице из неповезаних култура да би се начинило уопштавање. Без обзира на то, мислимо да имамо доста чињеница од старе Персије до Грчке и Рима, у односу на обожавање Бика: Јупитер као бик Eвропин бик бик Митре. Квартет сазвежђа је употпуњен са Шкорпијом, распрострањеном као симбол у старим вавилонским и египатским изворима. Они који проучавају Уранографију (проучавање фигура и облика на ноћном небу), знају да сазвежђе Шкорпија убада Сунце бацајући га у водену област Водолије (Aquarius), који вероватно симболизује обилне зимске кише и поплаве река Тигар и Еуфрат у Месопотамији. Ово водено сазвежђе чини позадину за Сунце које даје светлост у току његовог зимског силаска у царство мртвих: распрострањено веровање у митологији древних Месопотамских цивилизација. Такође је познато да се сазвежђе Бика помиње у најстаријим сумерским таблицама са клинастим писмом, као бик великог бога Ану Господара Неба док сазвежђе Водолија одговара Енкију, великом богу вода. Слично је, важни вавилонски бог Ниниб поистовећиван са сазвежђем Бика а Нергал са сазвежђем Лава. Сматрамо да је значајно да у Месопотамији нису нађени натписи који се односе на сазвежђа Ован (Aries) или Рак (Cancer), док напротив постоје спомени на Једнорога (Capricornus), симбол вавилонског бога океана, Еа или Шумаршу, који одговара сумерском богу Енкију. У Мул-апин клинастим 442
7 МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС таблицама (седми век пре н.е.), налазе се каталози 36 звезда означених као звезде богова Еа, Ану или Енлил. Рак (Cancer), као симбол лета, алегоријски означава промену сунчевог понашања. Наиме када Сунце прође кроз тачку летњег солстиција Е, оно престаје да се у тренутку поднева пење ка северу и сваког следећег поднева достиже све мању и мању висину изнад хоризонта, што је кретање уназад, као код рака. У квартету Риба су двоструки знакови: Рибе (Pisces), Близанци (Gemini), Девица (Virgo) и Стрелац (Sagittarius). Рибе су двоструке када их представимо шематски, а Gemini су близанци Кастор и Полукс, који су, као пролећни знак од око пре н.е., били извор новог живота за неолитске људе и симбол пролећног буђења природе. Девица (Virgo) симболише богињу Мајку Земљу, универзалну мајку (Ge+мајка = Demeter, девица virgo Ceres). Сазвежђе Девица (Virgo) је дакле повезано са богињом Деметром Demeter, Мајком Земљом према значењу њеног грчког имена, и богињом земљорадње; али истовремено оно слави Ћерку, Персефону. Дакле и симболизам овог знака је двострук, а повезан је са полодношћу, пошто је Богиња девица представљена на небеској карти како држи клас жита. Управо зато се најсјанија звезда у сазвежђу зове Spica (клас жита). Стрелац (Sagittarius) је ловац, кентаур Хирон са својом двоструком природом: пола човек, пола коњ. Дакле сазвежђе можемо да окарактеришемо као «двоструко». У неолитском квартету, Стрелац гађа Сунце, присиљавајући га да започне свој силазак према подземном свету (јужној полулопти), падајући у водено сазвежђе Јужне рибе (Piscis Australis). Око пре н.е., када су Вавилонци заснивали систем мерења времена, тачка пролећне равнодневице је заузела место када се Сунце приближава Овну. Ипак, прецесија Земљине осе има за последицу, како смо већ поменули, померање екваторијалних тачака, тако да се тачка пролећне равнодневице стално помера уназад кроз знакове приближно брзином од једног знака сваких 2100 година. То је стара тема са обимном литературом. Дискутовао је Hartner (1965), а Rogers (1998) пише прегледни чланак о пореклу вавилонског Зодијака. Истина је да су од око 3200 пре н.е. до око 1359 пре н.е., Месопотамци полако почели да додају симболе и богове, који ће касније бити употребљавани у Зодијаку. Око пре н.е., видимо да ови симболи који су раније постојали почињу да се повезују са сазвежђима на небу, а цео систем је комплетиран око 500. пре н.е. и тада вероватно пренет старим Грцима, као целина, око петог века пре н.е., а они су организовали и кодификовали имена зодијакалних знакова и осталих сазвежђа. Дакле коначна имена северних сазвежђа су грчки допринос и грчка митологија је преживела на небу. Две хиљаде година пошто су Вавилонци дефинисали тачку пролећне равнодневице у знаку Овна, Сунце је почело да се приближава знаку Риба. Ова чињеница се приближно поклопила са рођењем Христа, и веома је вероватно да је то разлог што је ΙΧΘΥΣ један од првих симбола 443
8 EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ и др. Хришћанства, т.ј. иницијали који значе Исус Христ, Божји син, Спаситељ. Сматрамо да хришћански симбол риба потиче од приближавања Сунца (у тачки пролећне равнодневице) Рибама. Михаел Молнар (Molnar, 1999) сматра да је то средњовековна идеја. Наше мишљење је да није у праву. Постоје хришћанске гробне плоче са симболом рибе, као једна из четвртог века са натписом ΙΧΘΥC ΖΩΝΤΩΝ (ЖИВИ), и хришћански симбол рибе. Симбол рибе и реч ΙΧΘΥC налази се такође у катакомбама Светог Калиста (крипта Луцине трећи век) у Риму. Према Цезијусу: рибе представљају ΙΧΘΥΣ од Ιησούς Χριστός Θεού Υιός Σωτήρ, риба је увек била симбол ране хришћанске вере (Allen 1899, стр ). Figure 2: ΙΧΘΥΣ (Ихтхис): Риба насликана на поду улаза у Катедралу на грчком острву Калимнос. Дакле следи да је око 2000 година после Христовог рођења (услед раније поменуте неодређености небеског положаја почетка знака, постоје различите процене о датуму када ће започети ера Водолије ), у тачки пролећне равнодневице, Сунце дошло у близину знака Водолије. То је чињеница која обележава нашу епоху као еру Водолије, у вези са покретом Новог доба (New Age), како чујемо или читамо у медијима. Само Сунце ће, према некима, бити у сазвежђу Водолије око године. 444
9 МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС Слика 3: Добри Пастир из крипте Луцине у катакомбама Светог Калиста (Рим, 3. век). Слика 4: Саркофаг у катакомбама Светог Калиста (Рим, 3. век). 445
10 EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ и др. Слика 5: ΙΧΘΥΣ (Ихтхис): Еухаристијска риба (катакомбе Светог Калиста, Рим 2. век). 3. ЗАКЉУЧЦИ Подржавамо поглед да за време одговарајућих астрономских ера, представљање појединих сцена на скулптурама има карактеристичну тежњу, која указује на смену зодијакалних сазвежђа, која пролазе кроз тачку пролећне равнодневице ( ). Посебно указујемо да мермерна статуа Мосхофороса (= носач телета ) у музеју на Акропољу у Атини (Сл. 1 лево) и овај тип (стил) фигура одражавају еру Бика или утицај ове ере, у којој је сазвежђе Бика (Taurus) заузимало ; док камена статуа Криофорос (= носач овна ) из Аполоновог храма у Куриу (Кипар) (Сл. 1 десно) означава еру Овна (Aries). Вајари, вероватно под утицајем овог прелаза, заменили су теле или малог бика на човековом рамену са овном на одговарајућим статуама. Ипак, веома вероватно се могу наћи и касније статуе оваквог типа, Пошто је остао утицај ове ере, као што је у духовима уметника остао спомен и на ранију еру Бика. Дакле скрећемо пажњу да статуа Moсхофорос може бити и старија, пошто вероватно слави крај ере Бика. Исто тако, предлажемо археолозима да додатно истраже везу скулптура са астрономским ерама и њихов утицај. Слично, статуа Kриофорос из Аполоновог храма на Кипру, може бити каснија, пошто симболизује следећу еру, еру Ariesа - Овна. Додатно напомињемо да је, када је тачка пролећне равнодневице била у Овну, божанство Сунца било представљено као пастир златне косе који носи 446
11 МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС овна на плећима. Можда је то значење Доброг Пастира у катакомбама Светог Калиста у Риму (трећи век). У току ере Овна, овнујски рогови су красили главу Амона-Зевса; Александра Великог су многи уметници такође представљали са овнујским роговима на глави, као сина Амона-Зевса. Удаљени одјек ове ере је Микеланђелова статуа Мојсија са овнујским роговима. Слика 6: Хришћански симбол из катакомби Светог Калиста (Рим, 2. век). На крају, 2200 година после почетка ере Овна, тачка је ушла у сазвежђе Риба, што је био догађај који се приближно поклопио са Исусовим рођењем (Theodossiou и Danezis, 2000). Због тога се, према неколицини истраживача, Христ означава као Велики рибар и симбол му је риба (Ихтхис). То је значење «Еухаристијске рибе» (други век) и симбола рибе са речима ΙΧΘΥC у катакомбама Светог Калиста. Слично, то објашњава мозаичку представу рибе на поду на уласку у Катедралу на грчком острву Калимнос: она означава како Исуса Христа, асоцирајући на ΙΧΘΥΣ, иницијале који значе Исус Христ, Божји син, Спаситељ, тако и еру Риба. Ова чињеница указује на астрономске корене бројних хришћанских симбола, као и на могући допринос веома старих астрономских идеја у изражавању дела хришћанских догми. Да закључимо, покушали смо да нађемо однос између астрономских ера и симбола у уметности античког, грчко-римског периода. Наша хипотеза може бити и погрешна, пошто неки научници сматрају да је појам ера 447
12 EФСТРАТИЈЕ ТЕОДОСИЈУ и др. вероватно модерни мит, формулисан у раним 1900 ; ипак, сматрамо да овакав рад даје прилику истраживачима да покушају да нађу сакривене тајне односе између науке и уметности. Захвалница Овај рад је урађен у оквиру пројекта «Астрономија, историја и филозофија», потписаног између Астрономске опсерваторије у Београду и Катедре за Астрономију, Астрофизику и Механику, Школе за Физику, Универзитета у Атини. Такође је део пројекта Историја и епистемологија природних наука, код Министарства за науку и технолошки развој Републике Србије. Литература Аllen, R. H.: 1899, Star Names: Their Lore and Meaning, Dover Publications (1st edition). New York. Archie, E. Roy: 1984, "The origin of the constellations", Vistas in Astronomy, 27, 171. Bon, E., Ćirković, M. M., Milosavljević, I.: 2002, "A new proposition for redating the Mithraic tauroctony scene", Astronomische Nachrichten, 6, 579. Gurshtein, A.: 1993, "The origin of the Zodiacal constellations". Vistas in Astronomy, 36, 171. Gurshtein, A.: 1995a, "When the Zodiac Climbed into the Sky", Sky & Telescope, 90, no 4, 28. Gurshtein, A.: 1995b, "Prehistory of Zodiac dating: three strata of Upper Palaeolithic constellations". Vistas in Astronomy, 39, 347. Gurshtein, A.: 1997, "The origin of constellations", American Scientist, 85, 264. Gurshtein, A.: 1998, "The evolution of the Zodiac in the context of ancient Oriental history". Vistas in Astronomy, 41, 507. Gurshtein, A.: 2004, "Relevant queries in respect to the archaic Chinese sky", In Orchiston, W., Stephenson, R., Debarbat, S., and Njha, I.-S. (eds.). Astronomical Instruments and Archives from the Asia-Pacific Region. Seoul, Yonsei University Press, 75. Hartner, W.: 1965, "The Earliest history of the Constellations in the Near East and Motif of the Lion-Bull Combat", Journal of Near Eastern Studies, 24 (xxiv), no 2, 1. Heath, Th. L.: 1932, Greek Astronomy (Geminus, pp ), Dover Publications. New York. Molnar, M.: 1999, The star of Bethlehem: The Legacy of the Magi, Rutgers University Press. Ovenden, Michael: 1966, "The origin of the constellations", Philosophical Journal, 1. Rogers, J. H.: 1998, "Origins of the ancient constellations: I. The Mesopotamian tradition, II. The Mediterranean traditions", Journal of British Astronomical Association, 108, I: 9 and II: 79. The New International Version Bible: 1984, Zondervan Bible Publishers. Theodossiou, E. and Danezis, E.: 1994, Measuring the Timeless Time Time in Astronomy (in Greek), Diavlos Publ., Athens. Theodossiou, E. and Danezis, E.: 2000, ICHTYS Astronomy-History-Philosophy (in Greek), Diavlos Publ., Athens. Theodossiou, E. and Danezis, E.: 1991, The Stars and Their Myths An Introduction to Uranography (in Greek), Diavlos Publ., Athens. Thurston, Hugho: 1994, Early Astronomy, Springer, New York, Berlin. 448
13 МОСХОФОРОС, КРИОФОРОС, ИХТХИС MOSCHOPHOROS, KRIOPHOROS, ICHTHYS CONSTELLATIONS MYTHOLOGY AND TIME In order to consider the influence of celestial mythology and the precession of Earth's rotation axis on art, we discuss here the possible connection between the ancient statues of Greek gods and the constellations or the so-called astronomical eras. Namely does the Moschophoros (= calf-bearer ) in the Museum of the Acropolis of Athens has relation with the era of Taurus, during which the constellation Taurus occupied the point of the vernal equinox ( ), or the stone Kriophoros (= ram-bearer ) from the temple of Apollo in Kourio (Cyprus) signifies the era of Aries. Finally, does the Ichthys (= fish) in the Catacombs and on the floor of Kalymnos Cathedral signifies not only Jesus Christ but also the era of Pisces. 449
1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
Теорија електричних кола
др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,
КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,
6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни
ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни
ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце
РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез
Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10
Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда
ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре
0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских
Анализа Петријевих мрежа
Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,
Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.
VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),
4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова
4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид
2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА
. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност
6.5 Површина круга и његових делова
7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност
Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011
Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна
(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.
Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45
Примена првог извода функције
Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или
b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:
Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним
Количина топлоте и топлотна равнотежа
Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина
6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23
6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо
Предмет: Задатак 4: Слика 1.0
Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну
Теорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,
7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде
математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,
5.2. Имплицитни облик линеарне функције
математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.
Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )
Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P
Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.
Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Упутство за избор домаћих задатака
Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да
предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА
Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем
Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић
Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно
Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1
За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика
ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА
ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом
. Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0
Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији
Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Време у астрономији За размишљање 1. Нека сви часовници на Земљи показују тачно време. Колико пута ће бар 1 часовник показати 13.01 5. августа
TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА
TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима
50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
10.3. Запремина праве купе
0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка
2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван
2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу
Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)
ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно
Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:
Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом
Осцилације система са једним степеном слободе кретања
03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)
School of Physics, University of Athens, Panepistimioupolis, Zographos 157 84, Athens-Greece ** Aстрономска опсерваторија, Волгина 7,
27-725 Indikoplovac K. 528.425(495.02) ВАСИЛИЈЕ Н. МАНИМАНИС * ЕВСТРАТИЈЕ Т. ТЕОДОСИЈУ * МИЛАН С. ДИМИТРИЈЕВИЋ ** * Department of Astrophysics-Astronomy and Mechanics, School of Physics, University of
ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).
СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која
СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ
СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ Захваљујем се организатору на љубазном позиву да узмем учешћа у данашњем скупу а поводом врло значајног догађаја и врло значајне теме. Када се у јесен прошле године,
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези
Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте
I Наставни план - ЗЛАТАР
I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1
Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала
Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја
Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ
Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира
F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ
НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F
Од површине троугла до одређеног интеграла
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање
ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ
& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r
&. Брзина Да би се окарактерисало кретање материјалне тачке уводи се векторска величина брзина, коју одређује како интензитет кретања тако и његов правац и смер у датом моменту времена. Претпоставимо да
О ВЕРИ КОД ПОЛА ТИЛИХА 1)
О ВЕРИ КОД ПОЛА ТИЛИХА 1) Епископ Григорије (Дур и ћ) Вера је врхунска брига поглављу под насловом Шта вера јесте, П. Тилих, пре свега, говори о вери као врхунској бризи, те да би појаснио динамику вере
УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП
ПОГЛАВЉЕ XI УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП ОВО може бити појам којим смо скренули од наслова ове књиге. Али како је симетријска група сваког правилног политопа или ханикомба изведена рефлексијама, то онда изгледа
Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба
Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање ОРГАНИЗАЦИЈА ПАРКИРАЛИШТА 1. вежба Место за паркирање (паркинг место) Део простора намењен, технички опремљен и уређен за паркирање једног
Нивелмански инструмент (нивелир) - конструкција и саставни делови, испитивање и ректификација нивелира, мерење висинских разлика техничким нивелманом
висинских техничким нивелманом Страна 1 Радна секција: 1.. 3. 4. 5. 6. Задатак 1. За нивелмански инструмент нивелир са компензатором серијски број испитати услове за мерење висинских : 1) Проверити правилност
Теорија друштвеног избора
Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних
ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО
ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Митраизам и ранохришћанска (црквена) архитектура у Далмацији 1
Митраизам и ранохришћанска (црквена) архитектура у Далмацији 1 Бранислав Кончаревић, Рокфорд, УСА 2 Апстракт: Радом се настоји кроз сличности, које су очигледне, између Митраизма и Хришћанства, најприје
ПРАВОСЛАВЉЕ И МОДЕРНОСТ СУКОБ ИЛИ САРАДЊА?
Зоран Крстић Abstract. Аутор анализира амбивалентан однос православља и модерности. Основна теза рада је да евентуалне тешкоће постоје у прихватању каснијих фаза модерности а да сукоб на релацији модерности
АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА
371.3::94(497.11)"18" 930.85(37+38) Др СВЕТОЗАР БОШКОВ Филозофски факултет Универзитет у Новом Саду АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА Апстракт: У овом раду се излажу промене у начину
ЗАШТИТА ПОДАТАКА. Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним кључем
Показано је у претходној беседи да се
ДРУГА БЕСЕДА КАКАВ ДОПРИНОС ЖИВОТУ У ХРИСТУ ПРУЖА БОЖАНСКО КРШТЕЊЕ Показано је у претходној беседи да се свештени живот у Христу садржи у светим Тајнама. Испитајмо сада како нас свака од Тајни уводи у
МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић
МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4
МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :
Семинарски рад из линеарне алгебре
Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити
ХЕЛИОЦЕНТРИЧНИ СИСТЕМ ОД ОРФИЧКИХ ХИМНИ И ПИТАГОРЕЈАЦА ДО ЦАРА ЈУЛИЈАНА АПОСТАТЕ
Зборник радова конференције Развој астрономије код Срба V Београд, 18-22. април 2008, уредник М. С. Димитријевић Публ. Астр. друш. Руђер Бошковић бр. 8, 2009, 463-479 ХЕЛИОЦЕНТРИЧНИ СИСТЕМ ОД ОРФИЧКИХ
1. Функција интензитета отказа и век трајања система
f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани
ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА
ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег
АПОФАТИЧКИ КАРАКТЕР НАЧИНА ПОСТОЈАЊА ЛИЦА СВЕТЕ ТРОЈИЦЕ (по светом Василију Великом)
АПОФАТИЧКИ КАРАКТЕР НАЧИНА ПОСТОЈАЊА ЛИЦА СВЕТЕ ТРОЈИЦЕ (по светом Василију Великом) УВОД Одређени грчки теолози тежећи да створе мостове комуникације са савременом философском мишљу, а особито са егзистенцијалистичком
I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате
УЧЕЊЕ О КРЕТАЊУ СВЕТОГ МАКСИМА ИСПОВЕДНИКА
UDC 116:27.1 DOI: 10.2298/ZMSDN1342039C Оригинални научни рад УЧЕЊЕ О КРЕТАЊУ СВЕТОГ МАКСИМА ИСПОВЕДНИКА Владимир Цветковић Теолошки факултет, Архус универзитет, Архус, Данска vlad.cvetkovic@gmail.com
РАЗВОЈ ПРЕДСТАВА О ПРОСТОРУ И ВРЕМЕНУ У НАУЦИ О КЊИЖЕВНОСТИ
УДК: 82.01:111/115 ИД: 195670284 Оригинални научни рад ДОЦ. ДР НЕБОЈША Ј. ЛАЗИЋ 1 Универзитет у Приштини са привременим седиштем у Косовској Митровици Филозофски факултет, Катедра са српску књижевност
ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА
ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ТЕЗИ СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА Д О КТО РСКИ и с п и т НА СЕДНИЦИ ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ ОД 5. ЈУНА 1913. ГОД. ПРЕМА РЕфЕРАТУ
Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q
Разлика потенцијала Разлика потенцијала између тачака A и B се дефинише као промена потенцијалне енергије (крајња минус почетна вредност) када се наелектрисање q помера из тачке A утачку B подељена са
Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.
IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита