МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић Београд 200.

2 ПРЕДГОВОР Овај мастер рад је посвећен појмовима доње и горње граничне вредности низа и низа скупова на скупу реалних бројева. У првом делу рада сам обрадио горњи и доњи лимес низа и низа скупова. Други део рада обрађује основне појмове Лебегове мере, Лебеговог интеграла и мерљиве функције. У трећем делу рада наводимо неједнакости о Лебеговој мери. Четврти део рада се састоји од левел скупова и епи лимеса. Аутор дугује велику захвалност ментору рада проф. др. Кечкићу и члановима комисије за одбрану: проф. др. Ивану Аранђеловићу и мр.ђорђу Кртинићу Београд Милинко Миловић

3 САДРЖАЈ ПредговорKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK Садржај KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 2. Горњи доњи лимес KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 3 2. Лебегова мера и лебегов интеграл на скупу реалних бројева KKKKKK 7 3. Једна неједнакост о лебеговој мери KKKKKKKKKKKKKKK 2 4. Левел скупови и епи лимеси KKKKKKKKKKKKKKKKK 25 2

4 I ГОРЊИ И ДОЊИ ЛИМЕС У овом делу уводимо дефиниције доње и горње границе низа и скупа и неке теореме. Дефиниција : Нека је A и A..Реалан број g зовемо доња граница скупа A ако важи ( x)( x A) ( g x). 2. Реалан број G зовемо горња граница скупа A ако важи ( x)( x A) ( x G). Теорема :. Може постојати највише једна доња граница скупа која му припада. 2. Може постојати највише једна горња граница скупа која му припада. Доказ:. Нека су g и g 2 доње границе скупа A и нека g ( )( ) ( ) x x A g x g g 2 A и g2 A. Како је и ( )( ) ( ) x x A g x g g 2 2 па је g = g Слично као под. Дефиниција 2:.Доњу границу g скупа A која му припада зовемо минимум скупа A и пишемо mi A = g. 2.Горњу границу G скупа A која му припада зовемо максимум скупа A и пишемо max A = G. Tеорема 2:. Ако скуп A има доњу границу, онда постоји максимум скупа S свих доњих граница. горњих граница. 2. Ако скуп A има горњу границу, онда постоји минимум скупа T свих Доказ: Ову теорему доказујемо на основу представљања реалних бројева помоћу децималних записа. 3

5 . Ако постоји доња граница скупа A онда постоји и g који је доња граница. Разликујемо два случаја:.. g = mi A. Тада је g = max S. Заиста, ако је g произвољна доња граница од A, онда је Дакле ( x)( x A) ( g x) g g. ( g )( g S ) g g, што значи да је g једна горња граница од S. Како је при томе g S, то значи да је g = max S.. 2. ( x)( x A) ( g x). Формираћемо низ g2, g3, K, g, K на следећи начин:. Нека је природан број или нула који задовољава релацију: ( x)( x A)( g x) ( x)( x A)( x g ) + < + +. Ставимо g2 = g +. Ако је g2 = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље као под, само за g 2. Ако није g2 = mi A, идемо на следећи корак. 2. Нека је 2 елемент скупа { 0,,2,,9} K који задовољава релацију ( x)( x A)( g 0, x) ( x)( x A)( x g 0, 0,) + < Узмимо g3 = g2 + 0, 2. Ако је g3 = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље као под, само за g 3. Ако није g3 = mi A, идемо на следећи корак. Нека је елемент скупа { 0,,2,,9} K који задовољава релацију ( x)( x A)( g + 0,0 0 x) ( x)( x A)( x < g + 0, ,0 0) K K K. Ставимо g = g + 0,0K 0. Ако је g = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље + као под, само за g +. Ако није g+ = mi A, идемо на следећи корак итд. Нека је g децималан број који за сваки природан број ( 2) има првих 2 децимала истих као и g. Тада је g = max S. Пре свега, из самог начина формирања низа g, g2, g3, K, g, K следи да је g доња граница скупа A. 4

6 Претпоставимо сада да је g произвољан реалан број за који важи g > g. Како су g и g децимални бројеви, то из релације g > g следи да постоји природан број j такав да g и g имају ( j ) ву исту децималу, док је z > z, j j при чему је z j j децимала од g а z j j децимала од g. С обзиром да из претходног поступка следи ( x)( x A) ( x g j + 2 0, 0 0) < + K, јер g j + 2 и g имају истих првих j децимала, имамо ( x)( x A) ( x < g ). Сваки број g ( g g ) 2. Доказује се слично као под. > није доња граница скупа A, па је према томе g = max S. На основу претходног тврђења можемо увести нове појмове: Дефиниција 3:. Ако за скуп A важи да је ( )( ) ( x)( x A)( x < ) онда кажемо да скуп A нема доње границе и пишемо if A =. 2. Ако скуп A има доњу границу, онда највећу доњу границу скупа A зовемо инфимум од A и пишемо { ( )( )( )} if A = max g x x A g x. 3. Ако за скуп A важи да је ( )( ) ( x)( x A)( x) онда кажемо да скуп A нема горње границе и пишемо sup A =. 4. Ако скуп A има горњу границу, онда најмању горњу границу скупа A зовемо супремум од A и пишемо { ( )( )( )} sup A = mi G x x A x G. Дефиниција 4: Нека је T скуп свих тачака нагомилавања низа { } x и A { a } =. реалних бројева 5

7 . Ако је if A =, онда пишемо lim if a =, и читамо лимес инфериор од a је минус бесконачност 2. Ако је sup A =, онда пишемо limsup a =, и читамо лимес супериор од a је плус бесконачно. 3. Ако је скуп A ограничен, онда је и lim if lim sup a a У употреби су још и ознаке : lim lim = if T = supt. (чита се доњи лимес ) уместо lim if и (чита се горњи лимес ) уместо limsup. Пример :. Нека је a = ( ). Тада је { 0} lim if 2. Нека је a = ( ). Тада је { } 3. Нека је a = ( ) ( ). Тада је {,} 4. Нека је a ( ) a не постоји. 5. Нека је a ( ) T = и lim if a = limsup a = 0. T = и limif a = limsup a =. T = limif a = и limsup a = =. Тада је T = θ и sup A =, па је limsup a = док =. Тада је T = θ и if A =, па је limif a =, док limsup a не постоји. Дефиниција 5: Нека је { } a низ реалних бројева.. Ако постоји реалан број a такав да важи lim if a = lim sup a = a, онда кажемо да је низ { } a lim a = a, конвергентан и пишемо и за a кажемо да је гранична вредност (limes) низа { a }, односно да низ{ a } конвергира ка вредности a. 6

8 2.Ако не постоји limif lim a =. a, а limsup a =, онда пишемо 3. Ако не постоји limsup a, а limif a =, онда пишемо lim a = 4. У случајевима 2. и 3. кажемо да је низ { } a 5.Ако постоји lim if при томе lim if a онда кажемо да је низ { } a Пример 2:. Низ 2. Низ { } 3. Низ { } одређено дивергентан. a и limsup a, било да су реални бројеви или да су, или, и lim sup a, неодређено дивергентан. је конвергентан и 4. Низ { } lim = 0. је конвергентан и lim =. 5. Низ {( ) } 6. Низ Теорема 3: Нека је { } a постоји 0 тако да је је одређено дивергентан и lim =. је одређено дивергентан и lim ( ) је неодређено дивергентан. ( ) ( ) + ( ) =. + је неодређено дивергентан. 2 2 ( ) низ са позитивним члановима такав да за свако ε > 0 a < a + ε 0 + тада је низ конвергентан. Доказ: Из услова тореме, за изабрано 0 имамо ε >, одговарајуће ( ) 0 ε и фиксирано 0 lim a = lim a a + ε. () + Означимо lim a = A и lim a = a. Како је a > 0 за, то је 0 a A. 7

9 Из релације (), како је за све > 0 следи A < a + ε, A lim a + ε = a + ε. (2) Неједнакост (2) важи за све ε > 0. Значи, A a, одакле добијамо A = a, те је низ { a } конвергентан. Теорема 4: Нека су { } a 0. Тада је lim a Доказ: За сваки 0 и { } b lim b и lim a limb. је if { a } if { b } ограничени низови такви да је a b за свако и како је { } { } lim a = lim if a = sup if a,, то је lim a lim b. На исти начин се доказује да је за свако 0 sup{ a } sup { b } и због { } { } ( ) lim a = lim sup a lim sup b = lim b,. Напомена. Уочене неједнакости важе и за произвољне низове у проширеном скупу реалних бројева = U ( ) Теорема 5: Нека су { } a важи неједнакост,. и { } b ограничени низови ненегативних бројева. Тада ( ) ( ) lim a lim b lim a b lim a lim b lim a b lim a lim b. () Доказ:. Докажимо да је Како је lim a limb lim( a b ) = { } и limb = lim if { b } lima lim if a и за сваки и за сваки је { } { } if a a, if b b, 8

10 одакле следи па је и то је тј. if { } if { } a b a b за свако, { a } { b } { a b }( ) if if if, ({ a } { b }) { a } { b } { ab }( ) lim = lim if lim if lim if, lima limb lim( a b ). 2. Докажимо да је ( ) lim a b lim a lim b. d = sup b,. Тада је Уведимо ознаку { } { } lim b = lim d = if d. За сваки и за сваки je b d, пa je ab ad за свако, одакле следи и тј. 3. Докажимо да је { a b } { a d } = d { a }( ) if if if { } { } ( ) { }( ) lim if a b lim d if a = lim d lim if a, ( ) lim a b lim a lim b. lim a lim b lim( a b ). c = if a,. Тада је lim a = lim c. За сваки Уведимо ознаку { } и за сваки је a c, па је и ab cb за свако. Следи да је као и { a b } { c b } = c { b }( ) sup sup sup { } { } ( ) { }( ) lim sup a b lim c sup b = lim c lim sup b, 9

11 што да је 4. Докажимо да је па је и Стога је, тј. ( ) lim a b lim a lim b. ( ) lim a b lim a lim b. За сваки и сваки је a sup { a }( ), b sup{ b } онда следи { } sup{ }( ) a b sup a b, { a b } { a } { b }( ) sup sup sup. { } { } { } ( ) { } { }( ) lim sup a b lim sup a sup b = lim sup a lim sup b, ( ) lim a b lim a lim b. Напомена. Неједнакост () је тачна и у проширеном скупу реалних бројева (, ) = U уколико су производи ab, ab и ab дефинисани, тј. ако нису облика 0. Напомена 2. Из доказане неједнакости непосредно следи да је за конвергентан низ { } a ненегативних бројева и произвољан низ { } b ( a b ) = a b и ( ) lim lim lim Напомена 3. За произвољан низ { } a у : lim a b = lim a lim b. позитивних бројева важе следеће једнакости lim = a lim a и lim = a lim a. неједнакости Ако је lim a > 0 и lim a < тврђење следи непосредно из доказане и = lim a lim a lim lim a = a a a = lim a lim lim a lim a =. a a a 0

12 Ако је lim 0 a = постоји подниз { a } a низа { } који конвергира 0. Тада a и lim a =. Ако је lim a =, низ { } a неграничен низ има a тачку нагомилавања 0 и lim 0 a =. Горња и доња гранична вредност низа скупова Појмови горње и доње граничне вредности (лимеса) низа могу се пренети и на низове скупова. Нека је { A } низ скупова. Лимес супериор се дефинише као скуп свих елемената који се налазе у бесконачно много чланова, а лимес инфериор као скуп свих елемената који се налазе у свим, сем у највише коначно много чланова тог низа скупова. Уколико су та два скупа једнака, за низ скупова { A } важи lim A = lim A = lim A. Теорема 6: За произвољан низ скупова { A } важи: кажемо да је конвергентан и =UI и lim A A = = =IU. lim A A = = Доказ: Из x lim A следи да за сваки природан број постоји такав да је x A, одкле добијамо да x U A за свако, па је према томе = x IU A. = = Тиме смо показали да је lim A A Претпоставимо сада да је = = IU. = = x IU A.

13 Дакле, добијамо да је x U A за свако, па за сваки природан број постоји = такав да је x x A, одакле следи lim A. На тај начин смо добили: lima IU A. = = Из x lim A следи да постоји природан број такав да је за свако x A, одакле добијамо да x I A, па је према томе = x UI A. = = Тиме смо показали да је Претпоставимо сада да lim A A = = UI. = = x UI A. Дакле, добијамо да постоји такав да је одакле следи x A. На тај начин смо добили x I A, па за свако важи x A, = UI. lim A A = = Теорема 7: За произвољан низ скупова { A } Доказ: Из x I A lima lima U A. = = важи: I A следи да x припада свим члановима низа па према томе x lim A =. Ако је x lim A онда се x налази у бесконачно много чланова низа, па према томе x lim A. Из x lim A следи да се x налази у бар једном члану низа, па x U A. = 2

14 Низ скупова { A } важи A A ( A A ) + + је рстући (опадајући) ако за сваки природан број. Низ скупова је монотон ако је растући или опадајући. Теорема 8: Сваки монотон низ скупова је конвергентан..ако је { A } растући низ, тада је =U. lim A A = 2. Ако је { A } опадајући низ, тада је =I. lim A A = Доказ: Према теореми 7. увек важи lim A инклузије. односно Нека је { } lim A. Остaje нам да докажемо обрнуте A растући низ скупова. Из x A следи да x I A, па је UI x A = lim A = = = U A lim A. Из теореме 7. добијамо обрнуте инклузије па према томе важи па је Нека је { } lim A = lim A =U A. = = A опадајући низ скупова.из x A следи да x U A одакле је IU x A = lim A I = = = A lim A Из теореме 7. добијамо обрнуте инклузије па према томе важи lim A = lim A =I A. = = 3

15 Теорема 9: Ако су { A } и { B } Тада је A lim A Доказ: Из x lim A Из x B. два низа скупова таква да је за свако lim B и lim A lim B. да се x налази у бесконачно много чланова низа { } A следи x B бесконачно много чланова низа { } Из низа { } lim A A., за сваки природан број, па се према томе x налази у lim B. B, одакле следи x lim B. Према томе важи: x lim A следи да се x налази у свим, сем у највише коначно много, чланова B, одакле следи x lim B. Према томе важи lim A lim B. Теорема 0: Ако су { A } и { B } c c. ( lima ) lim ( A ) = ; c c 2. ( lima ) lim( A ) = ; два низа скупова тада је: I I ; 3. lim ( A B ) = ( lima ) ( limb ) U U ; 4. lim ( A B ) = ( lima ) ( limb ) U U ; 5. ( lima ) ( limb ) lim( A B ) I I ; 6. lim ( A B ) ( lima ) ( limb ) ; 7. A lim A lim ( A A ). 8. A lim A lim ( A A ) Доказ:. Коришћењем Де Морганових правила добијамо c c c c ( lima ) = A = A = A = lim ( A ) IU U I UI. = = = = = = c 4

16 2. Коришћењем Де Морганових правила добијамо c c c c ( lima ) = A = A = A = lim ( A ) 3. Из x ( A B ) много, чланова низа ( A B ) UI I I IU. = = = = = = lim I следи да се x налази у свим, сем у највише коначно I. Према томе постоји природан број m такав да за свако c m, Значи x се налази у свим, сем у највише коначно много чланова низа { A } налази у свим, сем у коначно много, чланова низа { B } ( A B ) је ( lim ) ( lim ) x A I B. 4. Из x ( A B ). Према томе x A и x B. и да се x lim U следи да се x налази у бесконачно много чланова низа U. Према томе за сваки природан број m постоји природан број m такав да x A или x B. Одакле следи да се x налази у бесконачно многo чланова низа { A } или да се x налази у бесконачно много чланова низа { B } ( lim ) ( lim ) x A U B.. Према томе: У теореми 0. за тачке 5, 6, 7 и 8. могу се конструисати контра примери из којих се се види да не важе обрнуте инклузије, одакле следи да у општем случају не важе одговарајуће једнакости. На пример, ако је { a} A = и { a } {, b, = 2 =, { } онда је:, = 2 +, A b { } { b, = 2 + A A = { a, b}, = 2, одакле следи lim A = { a, b}, A lim A = { b} и lim ( A A ) = { a, b} не важи једнакост., па према томе у 5.8. Нека је A произвољан скуп реалних бројева. Са χ A означавамо карактеристичну функцију скупа A дефинисану са: χ A ( x) c 0, x A =, x A. 5

17 Теорема : Нека је { A } произвољан низ скупова. Тада је Доказ: Ако је χ ( x) ( x) χ lim lim χ A =. A lim = онда функције A χ A узимају бесконачно много пута вредност у тачки x, одакле следи да се x налази у бесконачно много чланова низа { } A то јест x lima, па је према томе χ =. lim Ако је ( x) limχ = 0 онда функције A у тачки, одакле следи x lim A па је према томе χ = 0. lim A χ A узимају коначно много пута вредност A 6

18 II ЛЕБЕГОВА МЕРА И ЛЕБЕГОВ ИНТЕГРАЛ НА СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА Уовом делу рада дефинишемо: σ прстен, адитивну функцију, Лебегову меру, спољну меру на скупу реалних бројева, мерљиве функције и Лебегов интеграл. Наводимо и неке значајне теореме без доказа које користимо у даљем раду. Колекција подскупова непразног скупа X, зове се σ прстен ако: а) Из A, B следи AI B б) Из A, =, 2, K следи U A. = Функција f : (, ) ( ) = ( ) + ( ) је адитивна ако из A, B и AI B = следи f AU B f A f B, а σ адитивна ако из A R, =,2, K следи f A = f A U ( ). = = Лебегова мера. Нека је σ прстен и λ : ( 0, ) Ако за сваки растући низ скупова A, =, 2K важи ( A ) = λ ( U A ) lim λ σ адитивна функција. онда је λ Лебегова мера на σ прстену. Спољна мера на скупу реалних бројева. Коначне уније отворених интервала зову се елементарни скупови и они чине прстен елементарних скупова. Мера интервала се дефинише као његова дужина. Како се сваки елементарни скуп A може представити као унија дисјунктних интервала, тј. A =U I = тада се његова мера дефинише са λ ( A) = λ ( I ). = 7

19 За било који скуп B подскуп скупа реалних бројева, његова спољна мера дефинише се релацијом где је ( ) if ( ) m B = A, A, пребројив прекривач скупа B елементарним скуповима а инфимум се узима преко свих таквих покривача. За скупове A и B подскупове скупа реалних бројева, нека је (, ) = ( ) d A B m A B где је са A B означена симетрична разлика скупова A и B. Тада пресликавање d са партитивним скупом реалних бројева образује псеудо метрички простор, тј. испуњене су све метричке аксиоме осим што из d ( A, B ) = 0 не следи A = B. А подскуп скупа реалних бројева за који постоји низ { } таквих да је A = lim A, A мерљивих скупова где се конвергенција узима у смислу метрике d, назива се коначно мерљив, а скуп који је пребројива унија коначно мерљивих скупова зове се мерљив скуп. Колекција мерљивих скупова означава се са M. функција. Колекција M мерљивих скупова је σ прстен а m на M је σ адитивна Рестрикција спољне мере на колекцију M зове се Лебегова мера и обиљежава са λ. Скуп A, за који је λ ( A) = 0, зове се скуп мере нула. За неку особину везану за реалне бројеве, која не важи само у тачкама скупа A, где је λ ( A) = 0 каже се да важи скоро свуда на скупу реалних бројева. Мерљиве функције. Нека је са означен скуп реалних бројева. Функција f :, је мерљива ако и само ако су скупови { x f ( x) > c} мерљиви за свако c. Теорема : Нека је f низ мерљивих функција. За x N дефинишимо: ( ) = sup ( ), ( ) = if ( ), ( ) = lim ( ), и h ( x) f ( x) g x f x g x f x h x f x 2 2 = lim. 8

20 Тада су функције g, g2, h и h 2 такође мерљиве. Теорема 2: Ако су f и g мерљиве а F : ( ) ( ) ( ), ( ) h x = F f x g x мерљива функција. функције. Специјално f g, f g, f g, 2 + и f g (ако је g ( x) 0, непрекидна функција онда је x ) су мерљиве Лебегов интеграл. Карактеристична функција скупа E се дефинише са где су χ E ( x ) = 0, c x E, x E. Коначна линеарна комбинација карактеристичних функција ( ) = α χe ( x) s x = E дисјунктни скупови, назива се проста функција. Примећујемо да је s ( x ) мерљива ако и само ако су сви E мерљиви. Нека је s ( x ) проста ненегативна мерљива функција дефинисана са ( ) = α χ ( x). s x = E Интеграл функције s ( x ) дефинише са U s dλ = λ ( E ). = = Ако је f ( x ) мерљива на и ненегативна, њен интеграл је f dλ = sup 0 s f s dλ где се супремум узима преко свих мерљивих простих функција које задовољавају неједнакост 0 s( x) f ( x) за свако x. Ако f :, њен позитивни део се дефинише са f ( x) + = ( ) ( ) f ( x) f x, f x 0, 0, < 0 а њен негативни део са f ( x) = f ( x) ( ) ( ) 0, > 0. f x, f x 0 9

21 Ако је f мерљива и ако је интеграл тада је интеграл функције дефинсан са f+ dλ или интеграл f dλ коначан, f dλ = f dλ + f dλ +. Ако су оба интеграла коначна, функција f је интеграбилна. Регуларност Лебегове мере. Нека је A Лебег мерљив скуп. а) За свакокε > 0 постоји отворен скуп V A λ > λ ε ; коначне мере то се своди на ( A) ( V ) такав да је λ ( V \ A) < ε, а ако је A б) Ако је A коначне мере онда за свако ε > 0 постоји компактан скуп K A такав да λ = λ λ < ε. је ( A \ K ) ( A) ( K ) Теорема Лузина. Нека је : (, ) постоји мерљив скуп A ( a, b) такав да је λ ( a b) Теорема Јегорова. Нека је f :[, ] тачка, и нека је 0 f a b мерљива функција, и нека је ε > 0. Тада (, \ A) < ε, и f је непрекидна на A. a b низ функција који конвергира ка f тачка по ε >. Тада постоји мерљив скуп A [ a, b] такав да је λ ([ a, b] \ A) такав да f конвергира ка f равномерно на скупу A. < ε и 20

22 III ЈЕДНА НЕЈЕДНАКОСТ О ЛЕБЕРГОВОЈ МЕРИ У овом делу рада наводимо неке познате теореме о и неједнакостима Лебегове мере као и њихове доказе који су објавили Иван Д.Аранђеловић и Дојчин С.Петковић. Нека је λ ознака за Лебегову меру на скупу реалних бројева. Теорема : Ако је { A } низ Лебег мерљивих скупова у, тада je:. λ ( lima ) limλ ( A ), док за неједнакост; 2. ако је λ ( U i= Ai ) < за бар једну вредност, онда важи λ ( lima ) limλ ( A ). Доказ:. Нека је B = I A, =, 2, K тада је B растући низ скупова који конвергира ка скупу λ i= B = lima. Пошто је Лебегова мера непрекидна одоздо, добијамо да је ( B) lim λ ( B ) =. Како је мера растућа функција и B Ai за i, па је λ ( B ) λ ( A ) за i односно λ ( A ) if λ ( B )( i ), одакле се кад добија тражена неједнакост. i 2. Нека је C = U A, =,2, K, тада је C опадајући низ скупова који конвергира скупу i= C = lima. Пошто је Лебегова мера непрекидна одозго на коначним скуповима добијамо да је λ ( C) lim λ ( C ) λ ( A ) λ ( C ) i за i тражена неједнакост. =. Како је мера растућа функција и Ai C односно λ ( C ) λ ( A ) за i па је sup i за i, одакле се кад a добија У општем случају имамо следећу неједнакост, која је доказана ураду [2]: Теорема 2: Нека је А мерљив скуп позитивне мере и { x } ограничен низ реалних бројева. Тада је λ Доказ: Нека је K A λ ( ) ( A) λ ( x A) ( lim( x K )) λ lim( x A) lim +. () компактан скуп. Из lim ( x K ) lim( x A) ( ) + +, па имамо Како је λ ( ) λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) + + следи λ К = lim λ x + K λ lim x + K λ lim x + A (2) A = sup { K К компактан подскуп од А}, то из (2) следи (). i 2

23 теореме. Познати пољски математичар Хуго Штајнхаузен је доказао наредне две Теорема 3: Нека је А Лебег мерљив скуп позитивне мере. Тада у А постоје бар две различите тачке чије је међусобно растојање рационалан број. Доказ. Нека је ( q ) произвољан ограничен низ рационалних бројева, такав да су им чланови различити. Из следи да скуп lim ( A q ) ( ) ( ) λ ( A q ) 0 < λ Α lim + + није празан. Тако постоје, 2 p + q = p2 + q2, што повлачи p p2 = qi q j. p p A и i, j такви да је Tеорема 4: Нека је A Лебег мерљив скуп позитивне мере. Тада његов скуп = = садржи неку околину нуле. разлика A A { x x a a, a, a A} 2 2 Доказ: Претпоставимо да тврдња није тачна. Тада постоји компактан скуп позитивне мере K Aтакав да разлика K K не садржи околину нуле. Одатле постоји конвергентан низ { } следи да је скуп lim ( K x ) { } x такав да је lim 0 ( ) ( K ) λ ( K x ) 0 < λ lim x = и { x } I ( K K ) =. Из непразан што повлачи да постоји t R такав да x + t K за бесконачно много вредности. Из lim x = 0 следи да t K, јер је K затворен. Тако постоје бесконачни низови { a j } x = a t K K, што је контрадикција. j j K и { x } { x } такви да је У овом делу рада дајемо даље примене ове неједнакости. Прва од њих је следећи доказ непрекидности мерљивих решења Кошијеве функцијоналне једначине. Први доказ ове тврдње даo је М. Фреше [4], али он се ослања на аксиому избора. Доказе независне од аксиоме избора дали су С. Банах [2] и В. Сјерпински [9]. j 22

24 Теорема 5: (М. Фреше [4]) Нека је f : мерљива функција таква да је ( ) ( ) f ( x + y) = f x + f y, за ма које x, y. Тада је f непрекидна функција. Доказ: Претпоставимо да f није непрекидна. Тада постојеε > 0, x и конвергентан низ { x } такав да је lim и ( ) ( ) x = x f x f x > ε. Тада, према теореми Лузина, постоји компактан скуп позитивне мере K такав да је f непрекидна на K. Низ { x } је ограничен, јер је конвергентан. Тада, према Теореми 2, имамо што повлачи да је ( ( K x )) λ ( K ) λ lim > 0, ( lim( K x )) λ Тако, постоји t и подниз { x } { x } j такав да је { j } следи t + x K, јер је K затворен. Тако је ( f ( x j t) f ( x t) ) lim + + = 0, јер је f непрекидна на K. Отуда што је контрадикција. ( f ( x t) f ( x )) ( ) ( ) j t f x f x j ( ) lim + + = lim = 0, t + x K. Из x j x 23

25 Теорема 6. (Ј. Карамата[7]) Нека је f : ( ) ( ) lim f s + t f s = 0, s + за све t. Тада је t [ a,b] ( ) ( ) lim sup f s + t f s = 0 s +, за произвољне a, b такве да је a < b. мерљива функција таква да је Доказ: Користећи теорему Јегорова, следи да за све a, b ( a < b ) постоји мерљив скуп A [ a, b] позитивне мере такав да је t A ( ) ( ) lim sup f t + s f s = 0. s + Узимамо сада да конвергенција није равномерна на [ a, b ]. Тада постоји ε > 0,{ x } [ a, b],{ y } Према Tеореми 2. имамо, такви да је lim y = и ( ) ( ) f x + y f y > ε. lim ( ( A x )) λ ( A) λ lim > > 0, што повлачи да постоји t и подниз { x } { x } j такав да је { j } Сада t + x A. Тада је ( j j ) ( j ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j f x + y f y f x + t + y t f y t + f y t f y. јер { t + x j } A и lim ( y ) j t Из следи што је контрадикција. ( ) ( ) ( ) j j j lim f x + t + y t f y t = 0, =. ( f ( y t) f ( y ) j j ) lim = 0, ( f ( x y ) ( ) j f y j j ) lim + = 0, 24

26 IV ЛЕВЕЛ СКУПОВИ И ЕПИ ЛИМЕСИ У овом делу рада дефинишемо епи конвергенцију, PK-конвергенцију и левел низове и доказујемо две теореме на основу радова: Rogera J-B-Wetsa, Geralda Beera, R.T.Rocafellara. Дефиниција : Нека је дата реална функција f : X на метричком простору X. Функцију f зовемо полунепрекидна одоздо под условом да је њен епиграф {(, α ), α, α ( )} epi f = x x X f x затворен подскуп од X. Аналогно f је полунепрекидна одозго под условом да за свако реално α левел низ у тачки α функције f, је затворен скуп од X. { α} (, α ) ( ) lev f x X f x Дефиниција 2: За низ { f } полунепрекидних функција одоздо на метричком простору ( X, d ) кажемо да епи конвергира ка функцији f и пишемо f = e lim f, за свако x X. За свако x X, важе следећа два услова: Ако { x } конвергира ка x, онда је f ( x) lim if f ( x ) ; () =. (2) Постоји низ { x } који конвергира ка x, такав да је f ( x) lim f ( x ) Дефиниција 3: За неке затворене или могуће празне подскупове A, A, A2, K од X конвергенција { A } по Paileve-Kuratowsi се дедефнише ако је испуњен услов где је LiA { x X A = LiA = LsA = да постоји низ { } много } a који конвергира ка x тако да је a A за коначно LsA = { x X да постоје < 2 < 3 <Kи x }. a A такви да низ { a } конвергира ка Када је A = LiA = LsA, онда пишемо A = PK lim A. 25

27 Значи да је низ { } f епи конвергентан ка f ако и само ако epi f = PK lim epi f. Уколико није назначено подразумевамо да је X метрички простор са метриком d. Кад радимо са метриком, морамо водити рачуна о производу X, и уводимо следећу { } метрику ( x ) ( x ) d ( x x ) ρ α α α α,, 2, 2 = max, 2, 2. Лимес инфериор и лимес супериор можемо дефинисати и на следећи начин. Нека је { S, =, 2, } супериор су скупови и K низ скупова. Његов лимес инфериор и лимес { } lim if S = x = lim x x S, =, 2, K { lim sup S x lim x x S,, 2, = = = K.за неке { } } Дакле, lim if S је скуп граничних вредности сваког могућег низа { x, =, 2, Kгде је x S } и lim sup S је скуп свих тачака нагомилавања таквих низова. Очигледно увек важи lim if S lim sup S. Нека је { f, =,2, } K низ функција дефинисаних на Епи лимес инфериор и лимес супериор су функције ( lie f ) и ( lse f ) са вредностима у. чији епи графици одговарају лимес супериору и лимес инфериору низа скупова { epi f, =,2, } {(, α ) ( ) α} epi g = x g x. Из дефиниције и наведене инклузије следи да је li f e ls f. e Низ { f, =,2, K } има епи лимес који означавамо са lme f ако важи једнакост K где је e e e lm f = li f = ls f. У том случају кажемо да да низ епи конвергира ка lme f и пишемо f e ( lme f ). 26

28 Значи да је функција f епи граница низа { f, =,2, } ls f f li f. e e K ако важи Користећи дефиниције није тешко уочити да ће друга неједнакост бити задовољена зa x, ако: ( ) e за било који подниз функција { f,, 2, } {,,2, } x = K који конвергира ка x важи ( ) ( ) lim if f x f x, а прва неједнакост важи, за свако ( ) 2 e постоји низ { x, =,2, } дат формулом ( ) ( ) x ако: lim sup f x f x. За сваки опадајући низ { S, =,2, } = K и било који низ K који конвергира ка x такав да је K подскупова постоји lim S који је lim S =I cls. = Слично, ако је { f } растући низ функција тј. f + f, онда постоји епи граница која је дефинисана са ( ) = lim ( ) lm f x cl f x где је cl g доње полунепрекидно ограничење од g или еквивалетно cl g је функција таква да је epi cl g = cl epi g. Следећа теорема нам даје карактеризацију левел скупова ограничених функција у односу на левел скупове функција f. Дефиниција 4: За α, α левел скуп функције g је скуп дефинисан са {(, ) ( ) } levα g = x α g x α. Генерално ако је f = lim f, то не значи да lev f = lim lev f. α α 27

29 Узмимо опадајућу фамилију функција ( ) 2,,2, f x = x = K која епи конвергира ка 0 0 { } lim lev f = 0 или lev0 f =. f. Како је lev f { } α = 0, за свако и следи да је Чак је могуће за f да епи конвергира ка f, за неко α, lim lev f можда и не постоји, што значи да lim if lev f α Теорема : Нека је { f =, =, 2, } и је стриктно садржан у lim suplev f. K низ функција. Тада за свако α важи ( levα f ) levα ( li f ) lim lim sup e () α α ( e ) lim lim if α α ( α ) lev ls f lev f. (2) α α α Доказ: Нека је T = lim suplev f и T = lim. Како су левел скупови (било које α α T α α α функције) опадајући кад α α, следи да су и T α опадајући кад α α и важи T = lim T = I T. α α α α α > α Скупови T α су затворени, што следи из дефиниције лимес супериор. Следи да је x T ако и само ако је x T α за свако α > α. Инклузија () је тривијално задовољена ако је { 0} T =. Претпоставимо да T није празан скуп. Ако је x T α, из дефиниције лимес супериора за низове скупова следи да мора да постоји подниз функција { f, =, 2, K } и низ {,,2, } x lev f α или еквивалетно да за свако =, 2, K важи epi li f ( x ), α = epi f. Како је ( ) lim sup па је x lev ( li f ). α e e = epif, следи да је ( x, ) lim ( x, ) ( ) α α epi lie f x = K који конвергира ка x за свако =, 2, K 28

30 Одакле, ако је x T α за свако α > α следи што имплицира да је ( e ) x lev li f. α ( e ) x lev li f, пошто је за сваку функцију g α Нека је lev g = I lev g. α α > α α S = lim if lev f и S = lim S = I S. α α α α Инклузија (2) је тривијална ако је lev ( ). празан. α ls f e α α α > α = Разматрајмо случај кад тај скуп није Ако је x lev ( lse f α ) следи да постоји низ уређених парова ( x, ) ка ( x, α ) такав да важи ( x, ) α epi f, epi ls f пошто је по дефиницији ( ) lim if e = epi f. α који конвергира Како је α = lim α, за било које α > α, постоји одговарајући да је α α за свако. Из импликације x lev f за свако следи да је x S α. То важи за свако α > α па је x S. α Теорема 2: Нека је X сепарабилан метрички простор и нека су функције f, f, f2, K проширене функције полунепрекидне одоздо на X. () Ако је f e lim f =, онда за свако α постоји низ { } α = ; који конвергира ка α такав да је lev( f, ) PK lim lev( f, a ) α реалних бројева (2) Ако за свако α постоји низ реалних бројева { α } који конвергирају ка α такав да је lev( f, ) PK lim lev( f, a ) α =, онда је f e lim f =. Доказ: (). Фиксирајмо неко α. Познато је да за било који низ који конвергира каα, важи Ls lev( f, α ) lev ( f, α ). 29

31 Претпоставимо да је x Ls lev( f, α ) (, ) x lev f α за, 2, + За свако { }, тј. постоје индекси 2 3 = K такви да низ { x } је x Доказали смо да x lev( f, α ) x. < < <K и = x. Онда из { x } x, по епи конвергенцији имамо ( ) ( ) ( ) f x lim if f x lim if f x lim if α = α.. Доказ инклузије (, α ) (, α ) скалара { α }. Како је epi f такав да за свако свако i (, 2,, m) lev f Li lev f захтева сепарабилност и добар избор низа Li epi f, за сваки позитиван број m, онда постоји позитиван број N m N постоји низ тачака m K имамо ( m) d ( ω, ) i xi < и m α ( m) i α <. m ( ) {( ω, ), 2,, } m i α i i = K m из epi f па за Без губитка општости можемо претпоставити да је низ { N m} строго растући низ. Сада можемо дефинисати низ скалара { } α : узмимо α = α + за < N и за Nm < N m + и одаберимо α = α +, m =, 2, K. Докажимо да је ово добар избор. m За доказ инклузије (, α ) (, α ) lev f Li lev f узимамо олакшавајућу околност па радимо са Fell топологијом. Узмимо да је lev ( f, ) Изаберимо тачку (, α ) колекцији тачака низа { x i } За фиксирано x lev f V и 0 ε 2 < и d ( x, x) α V, V отворен подскуп скупа X. ε > такву да [ ] Sε x V. Како x припада, можемо изабрати тако да важи ε <. 2 N онда постоји највећи m такав да је Nm Из неједнакости ( m) d ( ω, x ) <, m ( m) имамо да је ω lev ( f, α ). α ( m) α < и m f +. ( m) ( m) ( ) < + = m ω α α α 30

32 Такође важи ( m) па је ω V. То значи да да за свако ( m) ( m) ε ε d ( ω, x) d ( ω, x ) + d ( x, x) < + + < ε, m 2 2 N важи V lev( f, α ). Доказали смо да је (, α ) (, α ) lev f Li lev f тако да је (, α ) lim (, α ) lev f = PK lev f. (2) Из услова (, α ) (, α ) и свако α и за неки низ { } конвергира ка α, следи да је lev f Li lev f epi f Li epi f. Да би доказали да је Ls epi f α који epi f, претпоставимо супротно да ( x β ) Ls epi f такав да ( x, β ) epi f. Онда је f ( x), Можемо наћи растући низ 2 3 β <. < < <K и ( x, β ) epi f такав да низ {( x, β )} α низ конвергира ка ( x, β ). Изаберимо скалар α између β и f ( x ) и нека је { } скалара који конвенгирају ка α, за који важи (, α ) lim (, α ) lev f = PK lev f. Тада за довољно велико важи β < α. За свако такво имамо x lev ( f, α ). Из услова Ls lev( f, α ) lev ( f, α ) следи да је x lev( f, α ) је f ( x) > α.. Што је контрадикција да 3

33 ЛИТЕРАТУРА.Др. Аљанчић С. Увод у реалну и функционалну анализу, Грађевинска књига, Београд Др.Иван Д.Аранђеловић, AN INQUALITY FOR LEBESGUE MEASURE, Унив.Београд.Публ. Електротехнички Факакултет Сер.Мат.5 (2004), Др Иван Д.Аранђеловић и Др Дојчин С. Петковић, AN INQUALITY FOR LEBESGUE MEASURE AND ITS APLIKACACATIONS, Факта универ.(ниш) Сер. Мат. Информ. Вол. 22,Но. (2007), пп Др Милан Тасковић и др Драгољуб Аранђеловић, Теорија функција и функционална анализа, НИРО, Књижевне новине, Београд Др Милош Лабан, Збирка решених задатака из математике, Научна књига Београд Др Милош Лабан, Основи математичке анализе, Научна књига, Београд, Мр Мила Мршевић и мр Ђорђе Дугошија, Збирка решених задатака из математичке анализе, Грађевинска књига, Београд, Др Милан Р. Тасковић, Нелинеарна функционална анализа, Завод за уџбенике и наставна средства Београд, Др Светозар Курепа, Математичка анализа 2, Техничка књига Загреб, Roger J-B.Wets, A formula for the level sets of epi limits ad some applicatios, septembar 982, WP Gerald Beer, R.T.Rocafellar, ad Roger J-B.Wets,Proceedigs of the Amerca mathematical society, Volume6, Number3, November