Στατιστική ΙΙΙ-Εφαρμογές Χρονολογικές Σειρές(Μέθοδοι Εξομάλυνσης ΙΙΙ-Εφαρμογές)

Transcript

1 Στατιστική ΙΙΙ-Εφαρμογές Χρονολογικές Σειρές(Μέθοδοι Εξομάλυνσης ΙΙΙ-Εφαρμογές) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230)

2 Περιγραφή 1 Μέθοδοι Εξομάλυνσης Χρονολογικές Σειρών ΙΙΙ Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) 2 Γενικές Παρατηρήσεις στην Εξομάλυνση 3 Μετασχηματισμοί στην Εξομάλυνση Χρονολογικές Σειρών Λογαριθμικός μετασχηματισμός στην πολλ. εξομάλυνση H-W Μετασχηματισμός της τετργωνικής ρίζας στην πολλ. εξομάλυνση H-W 4 Παρατηρήσεις στην ερμηνεία των καταλοίπων 5 Βιβλιογραφία

4 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Αθροιστική Εποχικότητα Η Αθροιστική Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Additive Η αθροιστική μέθοδος των H-W βασίζεται σε τρείς εξισώσεις εξομάλυνσης. Το επίπεδο: την τάση: και την εποχικότητα: l t = α(y t s t s )+(1 α)(l t 1 + b t 1 ), b t = β(l t l t 1 )+(1 β)b t 1, s t = γ(y t l t )+(1 γ)s t s όπου s το επίπεδο εποχικοτητας(s = 12 για μηνιαία δεδομένα). Ετσιγιαχρόνο t + hθαέχουμεπρόβλεψη: f t+h = l t + h b t + s t s+h. βεαμερ-τυ-λογ

5 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Εκίνηση: H-W(Αθροιστική) Για την εκίνηση του Αθροιστικού H-W θα πρέπει να θέσουμε αρχικές τιμέςγιατοεπίπεδοτηντάσηκαιτηνεποχικότητα.πρώτααπ όλα όμωςπρέπειναορίσουμετηνεποχή s(έστω, s = 12γιαμηνιαία δεδομένα). Ετσι, θέτουμε αρχικές τιμές για, 1 Επίπεδο: 2 Τάση: l s = 1 s (y 1 + y y s ), 3 Εποχικότητα: b s = 1 s [y s+1 y 1 s + y s+2 y 2 s + + y s+s y s ], s s 1 = y 1 l s, s 2 = y 2 l s,...s s = y s l s.

6 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Πολλαπλασιαστική Εποχικότητα ΠολλαπλασιαστικήΜέθοδος Holt-Winters (H-W) Multiplicative Η πολλαπλασιαστική μέθοδος των H-W βασίζεται σε τρείς εξισώσεις εξομάλυνσης. Το επίπεδο: l t = α y t s t s +(1 α)(l t 1 + b t 1 ), την τάση: και την εποχικότητα: b t = β(l t l t 1 )+(1 β)b t 1, s t = γ y t l t +(1 γ)s t s. Οι παράμετροι αυτοί της χρονοσειράς εισέρχονται με τρόπο πολλαπλασιαστικό. Ετσι για χρόνο t + h θα έχουμε πρόβλεψη: f t+h = (l t + h b t ) s t s+h. βεαμερ-τυ-λογ

7 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Ερμηνεία: H-W(Πολλαπλασιαστική) 1 Στηνεποχικήεξίσωση,εανηπαρατήρηση y t σεχρόνο tείναι μεγαλύτερητηςαντίστοιχηςτάσης l t ηαντίστοιχηεποχικότηταθα επηρεάζεται με συντελεστή μεγαλύτερο του γ από την μη-εποχικότητα. Επίσης, υπάρχει εποχική επίδραση της τάξης του 1 γ(παρ.οιπωλήσειςτουμηνόςιουλίουεπηρεάζονταιαπότις αντίστοιχες πωλήσεις του ίδιου μήνα ένα χρόνο πρίν με συντελεστή 1 γ.εδώ,υποθέτουμεότι s = 12.) 2 Ηεξίσωσητάσηςείναιίδιαμεαυτήπουεφαρμόστηκεστη Αθροιστική μέθοδο H-W 3 Η εξίσωση του επιπέδου επιδιώκει στην απάληψη της εποχικότητας απότηνεπίδρασητηςπαρατήρηση y t στοεπίπεδο.εανη παρατήρηση y t σεχρόνο tείναιμεγαλύτερητηςεποχικής s t s το επίπεδο θα επηρεάζεται με συντελεστή μεγαλύτερο του α.

8 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Εκίνηση: H-W(Πολλαπλασιαστική) Για την εκίνηση του Πολλαπλασιαστικό H-W θα πρέπει να θέσουμε αρχικές τιμές για το επίπεδο την τάση και την εποχικότητα. Πρώτα απ όλαόμωςπρέπειναορίσουμετηνεποχή s(έστω, s = 12γιαμηνιαία δεδομένα). Ετσι, θέτουμε αρχικές τιμές για, 1 Επίπεδο: 2 Τάση: l s = 1 s (y 1 + y y s ), b s = 1 s [y s+1 y 1 s + y s+2 y 2 s + + y s+s y s ], s 3 Εποχικότητα: s 1 = y 1 l s, s 2 = y 2 l s,...s s = y s l s.

9 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Εκτίμηση-Αριστοποίηση Οπροσδιορισμόςτωνπαραμέτρων α, βκαι γείναιτοπιοσημαντικό μέρος για την εξομάλυνση και την μελλοντική πρόβλεψη της χρονοσειράς μας. Ακολουθούμε τα εξης βήματα: 1 Καθορισμόςτιμώςγια α, βκαι γόπου 0 < α,β,γ 1. 2 Εκτίμηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος(Μ.Τ.Σ.), δεδομένωντων α βκαι γ. 3 Επανάληψη της διαδικασίας επιλογής των α, β και γ καθορισμού Μ.Τ.Σ. για πολλές διαδοχικές τιμές. 4 Επιλογήτωνάριστων α, βκαι γωςαυτοώνπουελαχιστοποιούντο Μ.Τ.Σ. κριτήριο(δυνατότητα χρήσης του MAPE κριτηρίου).

10 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Παράδειγμα: Μεθόδου Holt-Winters μέσω EViews 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας: File/New/Workfile/Select data type 2 Εισαγωγήδεδομένωνσεμορφή txtήexcel File/Import/Read text-lotus-excel Επιλογή αρχείου:data.xls 3 Εκτίμησημέσωτηςμέθοδου HW Procs/Exponential Smoothing/Smoothing Method:Holt-Winters(Multiplicative) Ορίζουμεπαράμετρο 0 < α,β,γ 1ήορίζουμεΕγιανα εκτιμηθούν 4 Εκτίμησε μέσω ΟΚ

15 Μέθοδος Holt-Winters (H-W) Στρατηγικές μεθόδου H-W (Multiplicative) Πραγματοποιούμε αναλλακτικές εξομαλύνσεις υποθέτοντας διάφορες διακριτές τιμες για τους παραμέτρους α, β, γ συνήθως απο 0, 05εως 0, 9. Μέσω του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος(Mean Square Error) επιλέγουμε τις καλύτερες τιμή για τις παραμέτρους. Οσοπιομεγάλοείναιτο ατόσοπιομικρήεξομάλυνσηέγινεστα δεδομένα. Ητιμέςτων α, βκαι γμπορούνεπίσηςναεκτιμηθούνμέσω μη-γραμμικής μεθοδου αριστοποίησης.

16 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Μέθοδος Hodrick-Prescott (Multiplicative) Η μέθοδος των(h-p) βασίζεται στην εύρεση της εκτιμόμενης σειράς μέσω της ελαχιστοποιησης της σχέσης: T T 1 (y t S t ) 2 +α [(S t+1 S t ) (S t S t 1 )] 2, t=1 t=2 ωςπρος S t. Η παράμετρος α ελέγχει το βαθμό εξομάλυνση της σειράς. α = 100γιαετήσιαδεδομένα α = 1600 για τριμηνιαία δεδομένα α = 14400γιαμηνιαίαδεδομένα

17 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα: Μεθόδου H-P μέσω EViews 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας: File/New/Workfile/Select data type 2 Εισαγωγήδεδομένωνσεμορφή txtήexcel File/Import/Read text-lotus-excel Επιλογή αρχείου:data.xls 3 Εκτίμησημέσωτηςμέθοδου HW Procs/Hodrick-Prescott Filter Ορίζουμε παράμετρο α ανάλογα με το είδος των δεδομένων σου. 4 Εκτίμησε μέσω ΟΚ

22 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Αθροιστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Εξομάλυνση και πρόβλεψη(μέσω PSPP)

23 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παρατηρύσεις: Εξομάλυνση και πρόβλεψη Καθορίσαμε(τεχνιτά) την περίοδο 01/ /1960 ως μια περίοδο εκτός δείγματος με σκοπό την πρόβλεψη. Τί παρατηρούμε στην εντός δείγματος ενσωμάτωση των δεδομένων; Υπάρχει ενσωμάτωση της εποχικότητας στην εντός δείγματος ενσωμάτωση των δεδομένων; Μήπως υπάρχει κάποια υστέρηση σε αυτήν την ενσωμάτωση; Τί παρατηρούμε στην εκτός δείγματος ενσωμάτωση των δεδομένων; Υπάρχει ενσωμάτωση της εποχικότητας στην εκτός δείγματος ενσωμάτωση των δεδομένων;

24 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Αθροιστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Συναρτήσεις ACF PACF καταλοίπων

25 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παρατηρύσεις: Συναρτήσεις ACF PACF καταλοίπων Παρουσιάζουμε τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης(acf, PACF) των καταλοίπων στην εντός δείγματος ανάλυση. Τί παρατηρούμε στις συναρτήσεις ACF PACF; Υπάρχει εποχικότητα ή όχι στις συναρτήσεις ACF PACF των καταλοίπων μας; Εάν υπάρχει είναι καλό ή όξι αυτό; Μπορείτε να συγκρίνετε τα υπόδειγμα H-W(Αθροιστική) και ΕΕ βάσει των συναρτήσεις ACF PACF;

26 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Αθροιστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης(εντός δείγματος)

27 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Αθροιστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης MAE, MSE, MAPE(εκτός δείγματος)

28 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Εξομάλυνση και πρόβλεψη(μέσω PSPP)

29 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Συναρτήσεις ACF PACF καταλοίπων

30 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης(εντός δείγματος)

31 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης MAE, MSE, MAPE(εκτός δείγματος)

32 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Παρατηρύσεις: Μέτρα ενσωμάτωσης(εντός και εκτός δείγματος) Παρουσιάζουμε διάφορα μέτρα ενσωμάτωσης εντός και εκτός δείγματος. Τί εκφράζουν κάποια από αυτά τα μέτρα(βλ. R-squared, RMSE, MAPE); Υπάρχει δυνατότητα σύγκρισης αυτών των μέτρων; Μπορείτε να συγκρίνετε τα υπόδειγμα H-W βάσει αυτών των μέτρων;

33 Μέθοδος Hodrick-Prescott (H-P) Συγκριση των μεθόδων εξομάλυνσης βάσει μέτρων προβλεπτικής ικανότητας Πίνακας: Συγκριση μέτρων προβλεπτικής ικανότητας μέτρα υποδείγματα MAE MSE MAPE Ε.Ε. 76, ,25 Ε.Ε. με τάση 65, ,31 H-W(Αθρ.) 12,34 273,82 2,60 H-W(Πολλ.) 9,87 249,07 2,09

35 Ζητήματα στη Χρήση Εξομάλυνσης Οι μέθοδοι εξομάλυνσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν ανεξάρτητως υποθέσεων για τα δεδομένα(στασιμότητα, Κανονικότητα). Βάσει των κλασσικών υποθέσεων τα κατάλοιπα θα πρέπει να είναι ασυσχέτιστα. Οι μέθοδοι εξομάλυνσης πραγματοποιούν προβλέψεις ακόμη και όταν τα κατάλοιπα αυτοσυσχετίζονται. Για τις περισσότερες μεθόδους εξομάλυνσης δεν υπάρχουν οι γνωστές στατιστικές υπόθεσεις. Οι μέθοδοι εξομάλυνσης δεν επιτρέπουν τον προσδιορισμό διαστημάτων εμπιστοσύνης(όταν τις χρησιμοποιούν δεν βασίζονται σε χρήση Κανονικών σειρών).

37 Λογαριθμικός μετασχηματισμός στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Εξομάλυνση και πρόβλεψη(μέσω PSPP)

38 Λογαριθμικός μετασχηματισμός στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Συναρτήσεις ACF PACF καταλοίπων

39 Λογαριθμικός μετασχηματισμός στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης(εντός δείγματος)

40 Λογαριθμικός μετασχηματισμός στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης MAE, MSE, MAPE(εκτός δείγματος)

41 Μετασχηματισμός της τετργωνικής ρίζας στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Εξομάλυνση και πρόβλεψη(μέσω PSPP)

42 Μετασχηματισμός της τετργωνικής ρίζας στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Συναρτήσεις ACF PACF καταλοίπων

43 Μετασχηματισμός της τετργωνικής ρίζας στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης(εντός δείγματος)

44 Μετασχηματισμός της τετργωνικής ρίζας στην πολλ. εξομάλυνση H-W Παράδειγμα H-W(Πολλαπλασιαστική) με δεδομένα αεροπορικών αφίξεων: Μέτρα ενσωμάτωσης MAE, MSE, MAPE(εκτός δείγματος)

45 Μετασχηματισμός της τετργωνικής ρίζας στην πολλ. εξομάλυνση H-W Συγκριση των μεθόδων εξομάλυνσης βάσει μέτρων προβλεπτικής ικανότητας-χρήση μετασχηματισμών Πίνακας: Συγκριση μέτρων προβλεπτικής ικανότητας της H-W(Πολλ.) μέτρα υποδείγματα MAE MSE MAPE H-W(Πολλ.) 9,87 249,07 2,09 H-W(Πολλ.) με λογάριθμο 26,06 956,31 5,35 H-W(Πολλ.) με τετρ. ρίζας 13,36 336,36 2,79

47 Κατανομή συναρτήσεων ACF, PACF Υπάρχει ανάγκη για εξέταση των καταλοίπων ως προς την υπόθεση της μηδενικής τους συσχέτισης. Αυτός γίνεται με δύο τρόπους: 1 Μέσω των διαστημάτων εμπιστοσύνης: Αυτά μπορούν να εκφράζουν(βλ. σχετικά διαγράμματα) το 95% διάστημα για τις ACF, PACF σε διάφορες υστερήσεις. Αποτελούν τους συντελεστές ±1, 96/ n.εάνβρίσκονταιεντόςαυτώντωνορίων (διακεκομμένων) οι ACF, PACF είναι ασυσχέτιστες(white noise) αλλιώς εμφανίζουν μη επιθυμητή αυτοσυσχέτιση μερική ή ολική. 2 Box-Ljung test: Q = n(n + 2) K k=1 r 2 k n k, όπου r k η ACFτην k-υστέρησηκαι Kοαριθμόςτωνμέγιστων υστερήσεωνπουλαμβάνουμευπόψιν.επειδή, Q χ 2 K mμε mτον αριθμόπαραμέτρωνστουπόδειγμα.ηυπόθεση H 0 τουλευκού θορύβου(white noise)γίνεταιδεκτήόταν Q χ 2 K m,1 α για επίπεδο σφάλματος α. βεαμερ-τυ-λογ

48 Συγκριση των μεθόδων εξομάλυνσης βάσει υπόθεσης της ανεξαρτησίας των καταλοίπων Πίνακας: Συγκριση του μέτρου Box-Ljung μέτρα υποδείγματα Box Ljung p value H-W(Πολλ.) 35,791 0,002 H-W(Πολλ.) με λογάριθμο 23,715 0,070 H-W(Πολλ.) με τετρ. ρίζας 32,986 0,005

49 Συγκριση των μεθόδων εξομάλυνσης βάσει υπόθεσης της ανεξαρτησίας των καταλοίπων Κριτική των αποτελεσμάτων ελέγχου Box-Ljung Η εκτίμηση του μέτρου Box-Ljung Q βασίζεται σε 18 υστερήσεις. Ετσι,οιβαθμοίελευθερίαςμαςείναι k m = 18 3 = 15. Χρησιμοποιώνταςτηνκατανομή χ 2 καιγια 5%ποσοστόσφάλματος βρίσκουμεότι χ 2 15,0.95 = 25, 00. Ετσιέχουμε: 1 Απόρριψη της ανεξαρτησίας των καταλοίπων για τις περιπτώσεις: H-W(Πολλ.), H-W(Πολλ.)μετετρ.ρίζαςγιατί Q > χ 2 15, Αποδοχή της ανεξαρτησίας των καταλοίπων για την περίπτωση: H-W(Πολλ.)μελογάριθμογιατί Q = 23, 715 < χ 2 15,0.95 = 25, Επιβεβαίωση του πιο πάνω αποτελέσματος από το μέτρο p-value, γιατί είναι μεγαλύτερο του 5%(σημ. το μέτρο αυτό εμφανίζει την πιθανότηταναέχουμεαποδοχήτης H 1 υπόθεσηςότανθαισχύειη H 0.Μιατιμήίσηήμεγαλύτερητου αθαεπιβεβαιώσειτην H 0 αλλιώςθαεπιβεβαιώσειτην H 1 ). βεαμερ-τυ-λογ

51 Βιβλιογραφία Πετρόποπουλος, Φ., Ασημακόπουλος, Β. Επιχειρησιακές Προβλέψεις. Συμμετρία, Αθήνα Jarrett, J. Μέθοδοι Πρόβλεψεων. Gutenberg, Αθήνα 2002.