ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ SARIMA (sp,sd,qs) ARIMA (p,d,q)

2 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 1 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ SARIMA(sp,sd,sq) Γενικά ένα υπόδειγμα SARIMA(sp,sd,sq) αποτελείται από στοιχεία διάρκειας μικρότερης του έτους και παρουσιάζει το φαινόμενο της εποχικότητας. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί μια κανονική κύμανση μέσα στο χρονολογικό έτος οδηγώντας σε υψηλή συσχέτιση ανάμεσα στις τιμές τις σειράς που αντιστοιχούν στην ίδια περίοδο ανάμεσα στα διαφορετικά έτη.. A ( L ) (1 L ) d (1 L ) S Y = a + Θ ( L ) Θ ( L s ) ε s t 0 t

3 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 2 Υπόδειγµα SARIMA (sp, sd, sq)-αντιµετώπιση Μια πρώτη αντιµετώπιση αφορά την αφαίρεση της εποχικότητας από την χρονοσειρά µας και την ανάπτυξη της γνωστής ως µεθοδολογία Box-Jenkins για την ταυτοποίηση, εκτίµηση και πρόβλεψη. Μια δεύτερη προσέγγιση αφορά την ενσωµάτωση του εποχικού προτύπου των στοιχείων µας στο κανονικό ARIMA υπόδειγµα και την χρησιµοποίηση της Box-Jenkins µεθοδολογίας. Στην παρούσα φάση θα ασχοληθούµε µε την δεύτερη µέθοδο.

4 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 3 ΔιαδικασίαΠροσαρμογής SARIMA(sp,sd,sq) xarima(p,d,q) Πρώτα προσαρμόζουμε το εποχικό κομμάτι και στην συνέχεια το μη εποχικό. Στο εποχικό κομμάτι SARIMA(sp,sd,sq) εξετάζουμε PACF καιμάλιστατα12ο,24ο,36ο lags (max.number=40) για το εάν είναι στάσιμη ή όχι.η επιλογήτων sp,sq γίνεταιομοίωςαπότα PACF,ACF αντίστοιχα. Επειτα περνάμε στην εκτίμηση του SARIMA(sp,sd,sq).Οταν τελειώσει η διαδικασία εκτίμησης προσθέτουμε και το μη εποχικό κομμάτι.

5 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 4 ΔιαδικασίαΠροσαρμογής SARIMA(sp,sd,sq) xarima(p,d,q) Στο μη εποχικό κομμάτι εργαζόμαστε όπως γνωρίζουμε αλλά ως μεταβλητή χρησιμοποιούμε τα σφάλματα του εποχικού κομματιού(errors). Πλέον η εκτίμηση του ARIMA(p,d,q)γίνεται ταυτόγχρονα με του SARIMA(sp,sd,sq). Δενξεχνάμετοέλεγχοστοτέλοςγιατην καταλληλότητατουυποδείγματος.

6 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια5 Box-Jenkins Methodology Η μεθοδολογία Box-Jenkins για την ανάλυση χρονολογικών σειρών περιλαμβάνει τρία στάδια: 1) Ταυτοποίηση 2) Εκτίμηση και Διαγνωστικός Έλεγχος 2α)Έλεγχος Καταλοίπων 2β) Έλεγχος Τάξεως Υποδείγματος 2γ) Κριτήρια Επιλογής Υποδείγματος 3) Προβλέψεις.

7 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 6 Ταυτοποίηση (Identification) Η ταυτοποίηση περιλαμβάνει τον καθορισμό των τιμών p,d και q. Αρχικά περιλαμβάνει τον καθορισμό του αριθμού d των διαφορών που χρησιμοποιούμε για να μετατραπεί μια διαδικασία σε στάσιμη εάν αυτή δεν είναι. Έπειτα πρέπει να καθοριστεί η τάξη(p) της αυτοπαλίνδρομης διαδικασίας και η τάξη (q) της διαδικασίαςκινητούμέσου.

8 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 7 Έλεγχοι στασιµότητας Έλεγχος του Bartlett (Bartlett Test), Q Στατιστική (Box Pierce Test), Στατιστική των Ljung Box (Ljung Box Statistic) Έλεγχοι µοναδιαίας ρίζας (unit root test) (εκτός παρούσας ύλης)

9 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 8 Εκτίμηση(Estimation) Το στάδιο της εκτίμησης περιλαμβάνει την εκτίμηση των p παραμέτρων της AR διαδικασίας όπως και των q παραμέτρων της διαδικασίας MA. Παράλληλη με την στατιστική συνάρτηση Q των Box-Pierce ελέγχεται η από κοινού σημαντικότητα ενός αριθμού συντελεστών αυτοσυσχετίσεως. Από την άλλη διενεργείται και έλεγχος της τάξεως συγκρίνοντας το υπόδειγμα με άλλο μεγαλύτερης τάξεως. (Κριτήρια AIC,SBC).

10 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 9 Εκτίμηση(Estimation) Το στάδιο της εκτίμησης περιλαμβάνει την εκτίμηση των p παραμέτρων της AR διαδικασίας όπως και των q παραμέτρων της διαδικασίας MA. Παράλληλη με την στατιστική συνάρτηση Q των Box-Pierce ελέγχεται η από κοινού σημαντικότητα ενός αριθμού συντελεστών αυτοσυσχετίσεως. Από την άλλη διενεργείται και έλεγχος της τάξεως συγκρίνοντας το υπόδειγμα με άλλο μεγαλύτερης τάξεως. (Κριτήρια AIC,SBC).

11 Προβλέψεις (Forecasting) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 10 Ο κύριος σκοπός της εξειδίκευσης και εκτιμήσεως ενός υποδείγματος ARIMA είναι η διενέργεια προβλέψεων σε βραχυχρόνια περίοδο. Με βάση λοιπόν το εκτιμώμενο υπόδειγμα και τις υπάρχουσες πληροφορίες μέχρι την περίοδο Τ,είναι δυνατόν να προβλέψουμε την τιμή της μεταβλητής μας την περίοδο Τ+1, Τ+2 κ.τ.λ.

12 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 11 Μερικάκριτήριαεπιλογήςυποδειγμάτων Τα κριτήρια αυτά είναι χρήσιμα για επιλογή υποδειγμάτων, και σύγκριση προβλέψεων Τοκριτήριοτου Akaike(AIC): 2 lnaic ln RSS k = + N N Συγκρίνοντας δυο υποδείγματα με το κριτήριο AIC, επιλέγεται εκείνο γιατοοποίοητιμήτουκριτηρίουτουaicείναιημικρότερη. RSS k lnsic = ln + ln( N) N N Το κριτήριο του Schwarz(SIC): Συγκρίνοντας δυο υποδείγματα με το κριτήριο SIC, επιλέγεται εκείνο για το οποίο η τιμή του κριτηρίου του SIC είναι η μικρότερη.

13 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 12 Αξιολόγηση Προβλέψεων Κριτήριο της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης (Mean Absolute Deviation (MAD)) : 1. Υπολογισµός της απόλυτης διαφοράς µεταξύ προβλέψεων και πραγµατικών τιµών 2. Εύρεση της µέσης τιµής της διαφοράς. Κριτήριο του Μέσου Τετραγωνικού Λάθους (Mean Squared Error (MSE)) : 1. Υπολογισµός του τετραγώνου της διαφοράς µεταξύ προβλέψεων και πραγµατικών τιµών. 2. Εύρεση της µέσης τιµής της διαφοράς

14 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 13 Άσκηση1-Παραδείγματα Έστω για μια χρονολογική σειρά που εκφράζει τριμηνιαία στοιχεία και ακολουθεί το υπόδειγμα Y = Y + Y Y + ε 0.5ε t t 1 t 4 t 5 t t 1 Είναι στάσιμη; Με ποιόν μετασχηματισμό θα γίνει και ποιο είναι το καινούργιο υπόδειγμα που θα προκύψειαπότονμετασχηματισμόαυτό;

15 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 14 Άσκηση2-Παραδείγματα Να εκφράσετε τις ακόλουθες στοχαστικές διαδικασίες: 4 θ 4 t 1 4 (1 L)(1 L ) Y = (1 L)(1 L ) (1 LY ) = (1 L L ) t 1 2 (1 LY ) = (1 L)(1 L ) t 2 θ θ ε 1 12 t 12 θ θ ε θ ε t t

16 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 15 Άσκηση3-Παραδείγματα Δίνονται οι 10 πρώτες δειγματικές αυτοσυσχετίσεις και δειγματικές μερικές αυτοσυσχετίσεις από 100 παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς ρ : 0.91,0.87,0.62,0.48,0.36,0.25,0.16,0.11,0.08,0.07 s ρ : 0.91, 0.64, 0.14, 0.11, 0.08, 0.05, 0.04, 0.03, 0.02, 0.02 ss 1) Να βρεθούν οι στατιστικά σημαντικές αυτοσυσχετίσεις και μερικές αυτοσυσχετίσεις. 2) Να βρεθεί το κατάλληλο υπόδειγμα 3) Να βρεθούν οι αρχικές εκτιμήσεις του υποδείγματος.