Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Transcript

1 Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι Υποστόχοι Δραστηριότητες Πετράκη Ζαχαρούλα Προύντζου Δέσποινα Χριστοπούλου Ευθαλεία

2 Κανονικότητες Συναρτήσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις Ισότητα Ανισότητα

3 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΕΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Β ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Αναγνωρίζουν την ύπαρξη μιας κανονικότητας [A1]. Συμπληρώνουν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες [Α2]. Περιγράφουν και εξηγούν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες και τη διαδικασία δημιουργίας τους [Α3]. Αναγνωρίζουν την ύπαρξη μεταβαλλόμενης κανονικότητας [Α1]. Συμπληρώνουν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες (αυξανόμενες ή μειούμενες) κανονικότητες [Α2]. Περιγράφουν και εξηγούν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες (αυξανόμενες ή μειούμενες) κανονικότητες και τη διαδικασία δημιουργίας τους [Α3]. Αναγνωρίζουν, διερευνούν, περιγράφουν και συμπληρώνουν αριθμητικές και γεωμετρικές κανονικότητες [Α1]. Εκφράζουν μια κανονικότητα με διαφορετικά μέσα (λεκτικά, αριθμητικά, εικονικά) [Α2]. Διατυπώνουν τον κανόνα μιας κανονικότητας [Α4]. Αναγνωρίζουν, διερευνούν, περιγράφουν και συμπληρώνουν αριθμητικές, γεωμετρικές και αναδρομικές κανονικότητες [Α1]. Εκφράζουν μια κανονικότητα με διαφορετικά μέσα (λεκτικά, αριθμητικά, εικονικά) [Α2]. Βρίσκουν κάποιον «απομακρυσμένο» όρο μιας κανονικότητας [Α4]. Αξιοποιούν κανονικότητες και τις ιδιότητές τους για να επιλύσουν σχετικά προβλήματα [Α1]. Μελετούν και εκφράζουν κανονικότητες σε διαφορετικά αναπαραστατικά συστήματα [Α1]. Συγκρίνουν τον τρόπο εξέλιξης απλών κανονικοτήτων [Α3]. Συγκρίνουν τον τρόπο εξέλιξης κανονικοτήτων [Α3]. Η αρίθµηση που ακολουθεί το Πιλοτικό Πρόγραµµα Σπουδών του 2011 προσδιορίζεται στο τέλος κάθε στόχου µέσα σε αγκύλες.

4 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Β ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Κατασκευάζουν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες [Α4]. Δημιουργούν και περιγράφουν αντιστοιχίες [A5]. Αναγνωρίζουν, αναπαριστάνουν και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ συμμεταβαλομένων μεγεθών [A6]. Κατασκευάζουν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες κανονικότητες [Α4]. Δημιουργούν και περιγράφουν αντιστοιχίες [Α5]. Αναγνωρίζουν, αναπαριστάνουν και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ συμμεταβαλομένων μεγεθών [Α6]. Με διαδικασίες δοκιμής και ελέγχου, διερευνούν τις μεταβολές που προκαλούνται σε μια ποσότητα λόγω μεταβολής μιας άλλης ποσότητας (ανεξάρτητη εξαρτημένη μεταβλητή) [Α2]. Διερευνούν την έννοια της συνάρτησης μέσω απλών αναπαραστάσεων μονοσήμαντων αντιστοιχιών [Α4]. Διερευνούν την έννοια της συνάρτησης μέσω διαφορετικών αναπαραστάσεων μονοσήμαντων αντιστοιχιών [Α3]. Διερευνούν την έννοια της μεταβλητής σε γνωστούς τύπους από τη Φυσική και τη Γεωμετρία [Α4]. Η αρίθµηση που ακολουθεί το Πιλοτικό Πρόγραµµα Σπουδών του 2011 προσδιορίζεται στο τέλος κάθε στόχου µέσα σε αγκύλες.

5 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Β ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Αντιλαμβάνονται το σύμβολο της ισότητας ως σχέση ανάμεσα σε σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις [Α7]. Αντιλαμβάνονται το σύμβολο της ισότητας ως σχέση ανάμεσα σε σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις [Α7]. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α8]. Διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να δημιουργείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α9]. Χρησιμοποιούν σύμβολα (ως μεταβλητές) και τα αντικαθιστούν με αριθμούς σε «κλειστές» (π.χ. 3 + = 9) και σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (π.χ. + = 8) [Α8]. Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α9]. Διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να μοντελοποιείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α10]. Χρησιμοποιούν σύμβολα (ως αγνώστους και ως μεταβλητές) και τα αντικαθιστούν με αριθμούς σε «κλειστές» (π.χ. 3 + = 9) και σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (π.χ. r + = 8) [Α5]. Χρησιμοποιούν σύμβολα (ως αγνώστους και ως μεταβλητές) και τα αντικαθιστούν με αριθμούς σε σύνθετες «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (π.χ. + = 8) [Α5]. Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α6]. Χρησιμοποιούν γράμματα για να εκφράσουν μεγέθη σε τύπους και σχέσεις (από την καθημερινή ζωή και τις επιστήμες) [Α7]. Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση και διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να μοντελοποιείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση (απλές περιπτώσεις) [Α5]. Χρησιμοποιούν γράμματα ως μεταβλητές στο γενικό όρο κανονικοτήτων και συναρτήσεων [Α8]. Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση και διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να μοντελοποιείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α5]. Η αρίθµηση που ακολουθεί το Πιλοτικό Πρόγραµµα Σπουδών του 2011 προσδιορίζεται στο τέλος κάθε στόχου µέσα σε αγκύλες.

6 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Β ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Διερευνούν τον αλγεβρικό χαρακτήρα των ιδιοτήτων των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική) και τη γενίκευση της ισχύος τους [Α7]. Υπολογίζουν την τιμή μιας απλής αριθμητικής παράστασης με χρήση της προτεραιότητας των πράξεων (χωρίς παρενθέσεις) [Α8]. Υπολογίζουν την τιμή μιας απλής αριθμητικής παράστασης με χρήση της προτεραιότητας των πράξεων (και με παρενθέσεις) [Α6]. Υπολογίζουν την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης με χρήση της προτεραιότητας των πράξεων (με παρενθέσεις και δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη μέχρι 4) [Α7]. Συζητούν για τη δομή μιας αριθμητικής παράστασης, χρησιμοποιώντας κατάλληλη ορολογία (π.χ. άθροισμα και όροι του, γινόμενο και παράγοντές του) [Α6]. Η αρίθµηση που ακολουθεί το Πιλοτικό Πρόγραµµα Σπουδών του 2011 προσδιορίζεται στο τέλος κάθε στόχου µέσα σε αγκύλες.

7 ΙΣΟΤΗΤΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Β ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Διερευνούν την έννοια της ισότητας και ανισότητας σε διάφορα πλαίσια: αριθμητικά, μεγεθών, και διατυπώνουν τη σχέση συμβολικά [Α10]. Συγκρίνουν αριθμούς και κάνουν πράξεις με αυτούς χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα [Α11]. Διερευνούν την έννοια της ισότητας και ανισότητας σε διάφορα πλαίσια: αριθμητικά, μεγεθών, και διατυπώνουν τη σχέση συμβολικά [Α11]. Συγκρίνουν αριθμούς και κάνουν πράξεις με αυτούς χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα [Α12]. Χρησιμοποιούν το κατάλληλο σύμβολο (ισότητας ανισότητας) για την αναπαράσταση μιας σχέσης μεταξύ αριθμών (π.χ ή ) [Α7]. Συμπληρώνουν ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό (π.χ = + 7 ή 6 + = 10 1) [Α8]. Προσδιορίζουν τον αριθμό που πρέπει να προστεθεί σε έναν άλλο για να προκύψει ένας τρίτος αριθμός (π.χ. 7 + = 21) [Α9]. Συμπληρώνουν ανισότητες με κατάλληλους αριθμούς (π.χ < + 7 ή 6 + > 10 1) [Α10]. Προσδιορίζουν τον αριθμό που πρέπει να πολλαπλασιαστεί με έναν άλλο για να προκύψει ένας τρίτος αριθμός (π.χ. 7 = 21) [Α11]. Διερευνούν τις διαφορετικές χρήσεις του συμβόλου «=» σε αριθμητικές ισότητες με άγνωστη ποσότητα στο 1 ο ή στο 2 ο μέλος [Α9]. Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των αριθμών για να συμπληρώσουν σύνθετες αριθμητικές προτάσεις, όπως: (5 + 3) + = 5 + (3 + 4) ή 2 (3 + 4) = + 8 [Α8]. Η αρίθµηση που ακολουθεί το Πιλοτικό Πρόγραµµα Σπουδών του 2011 προσδιορίζεται στο τέλος κάθε στόχου µέσα σε αγκύλες. Χρησιμοποιούν γράμματα ως αγνώστους σε απλές αριθμητικές εξισώσεις ενός βήματος και επιλύουν τις αντίστοιχες εξισώσεις [Α12].

8 Αναγνωρίζουν την ύπαρξη μιας κανονικότητας [Α1] Α " Αναγνωρίζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα με ήχους, σχήματα, εικόνες, αντικείμενα, αριθμούς και γράμματα (αναγνωρίζουν το στοιχείο του μοτίβου που επαναλαμβάνεται). Ποιο ρυθμικό μοτίβο (αποτελούμενο από ήχους) προκύπτει; Εξηγήστε τι παρατηρείται: Παλαμάκια, παλαμάκια, (παύση), παλαμάκια, παλαμάκια, (παύση) " Αναγνωρίζουν απλά μεταβαλλόμενα μοτίβα με ήχους, σχήματα, εικόνες, αντικείμενα, αριθμούς και γράμματα (αναγνωρίζουν τον τρόπο που μεταβάλλεται ένα μοτίβο). o Παρατηρήστε την κανονικότητα και περιγράψτε πώς λειτουργεί:

9 Συμπληρώνουν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες [Α2] Α " Αναπαράγουν και επεκτείνουν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες. Συνεχίστε τα μοτίβα, γράφοντας τους επόμενους όρους. Εξηγήστε πώς σκεφτήκατε: Α, Β, Γ, Δ, Α, Β, Γ, Δ " Συμπληρώνουν τους όρους που λείπουν σε επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Συμπληρώστε τους όρους που λείπουν στο παρακάτω μοτίβο:

10 Περιγράφουν και εξηγούν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες και τη διαδικασία δημιουργίας τους [Α3] Α " Περιγράφουν λεκτικά τον κανόνα κατασκευής του μοτίβου, δηλαδή εξηγούν τη σειρά σε μοτίβα που οι όροι τους: έχουν διαφορετικό μέγεθος, χρώμα, σχήμα ή θέση είναι αριθμοί ή γράμματα Περιγράψτε και εξηγήστε τη σειρά στα παρακάτω μοτίβα: " Εξηγούν γιατί μια σειρά αντικειμένων, ήχων, σχημάτων, αριθμών ή γραμμάτων δεν αποτελούν μοτίβο. Εξηγήστε αν το παρακάτω σχήμα αποτελεί ή όχι κανονικότητα και γιατί:

11 Κατασκευάζουν επαναλαμβανόμενες κανονικότητες [Α4] Α " Δημιουργούν τα δικά τους απλά μοτίβα, χρησιμοποιώντας διαφορετικά υλικά (ήχους, σχήματα, εικόνες, αντικείμενα, αριθμούς και γράμματα), και παρουσιάζουν τον κανόνα τους. Συνεργαστείτε με το διπλανό σας και δημιουργήστε τα δικά σας μοτίβα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ό,τι υλικά θέλετε: σχήματα, εικόνες, αντικείμενα, γράμματα, αριθμούς, κ.λπ. Οταν τα ολοκληρώσετε, θα τα παρουσιάσετε στην τάξη!

12 Δημιουργούν και περιγράφουν αντιστοιχίες [Α5] Α " Περιγράφουν τη σχέση μεταξύ των όρων δύο αριθμητικών αλυσίδων και διατυπώνουν τον κανόνα της αντιστοιχίας. Συνεχίστε τις αριθμητικές ακολουθίες: 1, 2, 3, 4, 5,,,,,, 8, 9, 10, 11, 12,,,,,, Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ των όρων των δύο παραπάνω αριθμητικών αλυσίδων; " Συμπληρώνουν αντιστοιχίες γνωρίζοντας τον κανόνα τους. Συμπληρώστε τον πίνακα:

13 Αναγνωρίζουν, αναπαριστάνουν και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ συμμεταβαλομένων μεγεθών [Α6] Α " Περιγράφουν και εκφράζουν τις σχέσεις μεταξύ μεγεθών που όταν αυξάνεται ή μειώνεται το ένα, αυξάνεται ή μειώνεται (αντίστοιχα) και το άλλο με τον ίδιο ρυθμό. Για να γίνει ένα βραχιόλι χρειάζονται 2 κόκκινες, 4 άσπρες και 5 μαύρες χάντρες. Για να γίνουν 2 βραχιόλια πόσες κόκκινες, πόσες άσπρες και πόσες μαύρες χάντρες χρειάζονται; Για να γίνουν 3 βραχιόλια πόσες χάντρες χρειάζονται; Τι παρατηρείτε; " Περιγράφουν και εκφράζουν τις σχέσεις μεταξύ μεγεθών που όταν αυξάνεται το ένα μειώνεται το άλλο με τον ίδιο ρυθμό, και αντίστροφα. Εχω 12 βόλους και θέλω να τους χαρίσω σε φίλους μου. Αν τους μοιράσω σε 2 φίλους μου, πόσους βόλους θα πάρει ο καθένας; Αν τους μοιράσω σε 3 φίλους μου, πόσους βόλους θα πάρει ο καθένας; Αν τους μοιράσω σε 4 φίλους μου, πόσους βόλους θα πάρει ο καθένας; Τι παρατηρείτε;

14 Αναγνωρίζουν την ύπαρξη μεταβαλλόμενης κανονικότητας [Α1] Β " Αναγνωρίζουν κανονικότητες με σχήματα, εικόνες, αριθμούς και γράμματα και περιγράφουν τον τρόπο μεταβολής τους. Δηλαδή, προσδιορίζουν αν οι μεταβαλλόμενες κανονικότητες είναι αυξανόμενες ή μειούμενες. Παρατηρήστε τα παρακάτω μοτίβα. Πώς εξελίσσονται; 28, 32, 36, 50, 42, 34, 26,

15 Συμπληρώνουν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες (αυξανόμενες ή μειούμενες) κανονικότητες [Α2] Β " Συνεχίζουν επαναλαμβανόμενα και μεταβαλλόμενα μοτίβα, συμπληρώνοντας τους επόμενους όρους. Συνεχίστε τα παρακάτω μοτίβα: 4, 8, 12, 16, " Συμπληρώνουν τους όρους που λείπουν σε δεδομένα επαναλαμβανόμενα και μεταβαλλόμενα μοτίβα. Συμπληρώστε τους όρους των μοτίβων που λείπουν: 55,, 75, 85 " Εντοπίζουν και διορθώνουν το λανθασμένο όρο σε μοτίβα. Διορθώστε τα παρακάτω μοτίβα: 80, 120, 160, 210, 240, 19, 29, 39, 59,

16 Περιγράφουν και εξηγούν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες (αυξανόμενες ή μειούμενες) κανονικότητες και τη διαδικασία δημιουργία τους [Α3] Β " Περιγράφουν και εξηγούν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες κανονικότητες, προσδιορίζοντας τον κανόνα κατασκευής τους. Παρατηρήστε τα παρακάτω μοτίβα. Ποιος είναι ο κανόνας τους; Προσθέτω κάθε φορά. 20, 30, 40, Αφαιρώ κάθε φορά. 93, 85, 77,

17 Κατασκευάζουν επαναλαμβανόμενες και μεταβαλλόμενες κανονικότητες [Α4] Β " Δημιουργούν δικές τους επαναλαμβανόμενες ή μεταβαλλόμενες κανονικότητες, με ή χωρίς προϋποθέσεις. Δουλέψτε σε ομάδες για να κατασκευάσετε βραχιολάκια με πολύχρωμες χάντρες. Βεβαιωθείτε ότι έχετε ακολουθήσει κάποιο μοτίβο. Ποιον κανόνα ακολουθήσατε;

18 Δημιουργούν και περιγράφουν αντιστοιχίες [Α5] Β " Περιγράφουν τη σχέση μεταξύ των όρων δύο αριθμητικών αλυσίδων και διατυπώνουν τον κανόνα της αντιστοιχίας. Συνεχίστε τις αριθμητικές ακολουθίες: 1, 2, 3, 4, 5,,,,,, 2, 4, 6, 8, 10,,,,,, Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ των όρων των δύο παραπάνω αριθμητικών αλυσίδων; " Συμπληρώνουν αντιστοιχίες γνωρίζοντας τον κανόνα τους. Συμπληρώστε τον πίνακα:

19 Αναγνωρίζουν, αναπαριστάνουν και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ συμμεταβαλλόμενων μεγεθών [Α6] Β " Περιγράφουν και εκφράζουν τις σχέσεις μεταξύ μεγεθών που όταν αυξάνεται ή μειώνεται το ένα, αυξάνεται ή μειώνεται (αντίστοιχα) και το άλλο με τον ίδιο ρυθμό. Για να γεμίσουμε μία κανάτα με πορτοκαλάδα, χρειαζόμαστε 8 πορτοκάλια. Για να γεμίσουμε δύο κανάτες, πόσα πορτοκάλια χρειαζόμαστε; Για πέντε κανάτες, πόσα πορτοκάλια χρειαζόμαστε; Κανάτες Πορτοκάλια " Περιγράφουν και εκφράζουν τις σχέσεις μεταξύ μεγεθών που όταν αυξάνεται το ένα μειώνεται το άλλο με τον ίδιο ρυθμό, και αντίστροφα. Η Μαρία έφτιαξε 40 κουλουράκια για το πάρτι γενεθλίων της. Αν είναι στο πάρτι 20 παιδία, πόσα θα φάει το καθένα; Πόσα κουλουράκια θα φάει το καθένα, αν στο πάρτι πάνε 10, 8, 5, 4 παιδιά;

20 Αναγνωρίζουν, διερευνούν και συμπληρώνουν αριθμητικές και γεωμετρικές κανονικότητες [Α1] Γ " Αναγνωρίζουν και περιγράφουν κανονικότητες, αριθμητικές (μοτίβα με αριθμούς) αλλά και γεωμετρικές (μοτίβα με γεωμετρικά σχήματα). " Συμπληρώνουν τους όρους σε αριθμητικές και γεωμετρικές κανονικότητες. Παρατηρήστε τον παρακάτω πίνακα: α) Παρατηρήστε τους αριθμούς στις γραμμές. Υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ τους; Ποια; β) Τώρα, παρατηρήστε τους αριθμούς στις στήλες. Τι συμβαίνει μ αυτούς; γ) Παρατηρήστε τους αριθμούς στις διαγώνιους. Ποιος κανόνας περιγράφει τη σχέση τους; Συμπληρώστε τους επόμενους τρεις όρους του μοτίβου: " Εντοπίζουν τα λάθη σε αριθμητικές και γεωμετρικές κανονικότητες. Είναι το 48 όρος του μοτίβου 31, 33, 35, ; Γιατί;

21 Εκφράζουν μια κανονικότητα με διαφορετικά μέσα (λεκτικά, αριθμητικά, εικονικά) [Α2] Γ " Παρουσιάζουν την ίδια κανονικότητα με πολλαπλούς τρόπους, δηλαδή με λέξεις, αριθμούς και εικόνες. Παρουσιάζουν οι παρακάτω τρεις εκφράσεις την ίδια ακολουθία; α) των περιττών αριθμών β) 1, 3, 5, 7, γ)

22 Διατυπώνουν τον κανόνα μιας κανονικότητας [Α4] Γ " Διατυπώνουν και αξιοποιούν τον κανόνα μιας κανονικότητας, προκειμένου να προσδιορίσουν κάποιον «απομακρυσμένο» όρο της. Παρατηρήστε την παρακάτω κανονικότητα: Ποιος είναι ο κανόνας με τον οποίο εξελίσσεται; Ποιος θα είναι ο 12 ος όρος του μοτίβου;

23 Συγκρίνουν τον τρόπο εξέλιξης απλών κανονικοτήτων [Α3] Γ " Διατυπώνουν τον κανόνα δύο ή περισσότερων κανονικοτήτων και στη συνέχεια εντοπίζουν ομοιότητες και διαφορές ως προς τον τρόπο εξέλιξής τους. Η Σοφία ζητά από τους φίλους της να συνεχίσουν το μοτίβο 3, 6, 9, Η Αγγελική λέει ότι ο επόμενος όρος είναι το 12, ενώ ο Κοσμάς το 15. Κάνει κάποιος από τους δύο λάθος; Γιατί;

24 Αναγνωρίζουν, διερευνούν, περιγράφουν και συμπληρώνουν αριθμητικές, γεωμετρικές και αναδρομικές κανονικότητες [Α1] Δ " Αναγνωρίζουν, περιγράφουν και συμπληρώνουν κανονικότητες, αριθμητικές (μοτίβα με αριθμούς) αλλά και γεωμετρικές (μοτίβα με γεωμετρικά σχήματα). Παρατηρήστε το παρακάτω ημερολόγιο: α) Ποιοι αριθμοί αποτελούν κανονικότητα; β) Περιγράψτε τον κανόνα κάθε κανονικότητας. " Αναγνωρίζουν, περιγράφουν και συμπληρώνουν αναδρομικές κανονικότητες (μοτίβα όπου ο κάθε όρος προκύπτει από μια σταθερή σχέση ανάμεσα στους δύο αμέσως προηγούμενους όρους). Παρατηρήστε την παρακάτω αριθμητική αλυσίδα. Μπορείτε να γράψετε τους επόμενους τρεις όρους; 2,1 2,2 4,3 6,5 Ποιος είναι ο κανόνας κατασκευής της κανονικότητας;

25 Εκφράζουν μια κανονικότητα με διαφορετικά μέσα (λεκτικά, αριθμητικά, εικονικά) [Α2] Δ " Παρουσιάζουν την ίδια κανονικότητα με πολλαπλούς τρόπους, δηλαδή με λέξεις, αριθμούς και εικόνες. Παρουσιάζουν οι παρακάτω τρεις εκφράσεις την ίδια κανονικότητα; α) Ο κανόνας της κανονικότητας είναι: «Ο πρώτος όρος είναι το 2 και κάθε επόμενος όρος προκύπτει προσθέτοντας 5 μονάδες στον προηγούμενο όρο». β) 2, 7, 12, 17, γ)

26 Βρίσκουν κάποιον «απομακρυσμένο» όρο μιας κανονικότητας [Α4] Δ " Διατυπώνουν και αξιοποιούν τον κανόνα μιας κανονικότητας, προκειμένου να προσδιορίσουν κάποιον «απομακρυσμένο» όρο της. Παρατηρήστε την παρακάτω κανονικότητα: 3 4,5 6 7,5 Ποιος είναι ο κανόνας με τον οποίο εξελίσσεται; Ποιος θα είναι ο 9 ος όρος του μοτίβου; Παρατηρήστε την παρακάτω κανονικότητα: 3,8 4 4,2 Είναι το 5 ο 7 ος όρος του μοτίβου; Εξηγήστε τη σκέψη σας.

27 Συγκρίνουν τον τρόπο εξέλιξης κανονικοτήτων [Α3] Δ " Διατυπώνουν τον κανόνα δύο ή περισσότερων κανονικοτήτων και στη συνέχεια εντοπίζουν ομοιότητες και διαφορές ως προς τον τρόπο εξέλιξής τους. Ο Μίλτος και η Αννα κάνουν συλλογή με κάρτες ζώων. Ο Μίλτος έχει 35 κάρτες, που του χάρισε ο αδερφός του, και κάθε μέρα αγοράζει 2 κάρτες. Η Αννα δεν έχει κάρτες, αλλά κάθε μέρα αγοράζει 7 κάρτες. Μετά από 10 ημέρες, ποιος θα έχει περισσότερες κάρτες; Υπάρχει κάποια ημέρα που θα έχουν τον ίδιο αριθμό καρτών; Συμπληρώστε τον πίνακα:

28 Αξιοποιούν κανονικότητες και τις ιδιότητές τους για να επιλύσουν σχετικά προβλήματα [Α1] Ε " Περιγράφουν κανονικότητες που αφορούν προβλήματα της καθημερινής ζωής. Διατυπώνουν και αξιοποιούν τον κανόνα τους ώστε να προσδιορίσουν έναν «απομακρυσμένο» όρο. Η Δήμητρα χρησιμοποιεί σπίρτα για να κατασκευάσει σπίτια στη σειρά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: α) Ζωγραφίστε πώς θα είναι τα 4 σπίτια στη σειρά. β) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Αριθμός σπιτιών Αριθμός σπίρτων γ) Η Δήμητρα έχει 41 σπίρτα. Πόσα σπίτια στη σειρά μπορεί να κατασκευάσει; δ) Η Δήμητρα λέει: «Χρειάζομαι 55 σπίρτα για να κατασκευάσω 11 σπίτια στη σειρά!». Εχει δίκιο;

29 Με διαδικασίες δοκιμής και ελέγχου, διερευνούν τις μεταβολές που προκαλούνται σε μια ποσότητα λόγω μεταβολής μιας άλλης ποσότητας (ανεξάρτητη εξαρτημένη μεταβλητή) [Α2] Ε " Αναγνωρίζουν ότι, σε κάποιες περιπτώσεις, η μεταβολή μιας ποσότητας (ανεξάρτητη μεταβλητή) προκαλεί μεταβολή σε κάποια άλλη ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή). Η Αναστασία έφτιαξε ένα τετράγωνο με πλευρά 4 εκ. και υπολόγισε ότι η περίμετρός του είναι 16 εκ. Επειτα, έφτιαξε ένα τετράγωνο με πλευρά 8 εκ. και υπολόγισε ότι η περίμετρός του είναι 32 εκ. Τι παρατηρείτε; Στη συγκεκριμένη περίπτωση, πώς η μεταβολή του μήκους της πλευράς επηρέασε την περίμετρο του τετραγώνου;

30 Διερευνούν την έννοια της συνάρτησης μέσω απλών αναπαραστάσεων μονοσήμαντων αντιστοιχιών [Α4] Ε " Επιλύουν προβλήματα συναρτήσεων όπου μία μεταβλητή ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται με μία μόνο μεταβλητή ενός συνόλου Β. " Οργανώνουν τα δεδομένα και αναπαριστούν τη λύση των προβλημάτων με τη χρήση πινάκων τιμών/δεδομένων, γραφικών αναπαραστάσεων και άλλων οπτικών μέσων (ως βοηθητικά εργαλεία). Παρατηρήστε τη διπλανή «μηχανή παραγωγής απαντήσεων». Πώς πιστεύετε ότι λειτουργεί; Αντικαταστήστε τα μαύρα κουτιά με τους κατάλληλους αριθμούς: 2x

31 Μελετούν και εκφράζουν κανονικότητες σε διαφορετικά αναπαραστατικά συστήματα [Α1] ΣΤ " Μελετούν διάφορα είδη κανονικοτήτων (αριθμητικές, γεωμετρικές και αναδρομικές κανονικότητες). Παρατηρήστε το παρακάτω μοτίβο και συμπληρώστε τον πίνακα: " Εκφράζουν κανονικότητες με πολλαπλά διαφορετικά μέσα (λεκτικά, αριθμητικά, εικονικά και διαγραμματικά). Αριθμός όρου Αριθμός κουκίδων Ποιος θα είναι ο 16 ος όρος του παραπάνω μοτίβου; Μπορείτε να διατυπώσετε τον κανόνα του;

32 Διερευνούν την έννοια της συνάρτησης μέσω διαφορετικών αναπαραστάσεων μονοσήμαντων αντιστοιχιών [Α3] ΣΤ " Επιλύουν προβλήματα συναρτήσεων όπου μία μεταβλητή ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται με μία μόνο μεταβλητή ενός συνόλου Β. Στον παρακάτω πίνακα, συμπληρώστε τις ηλικίες της Μαρίας και του πατέρα της για κάθε χρόνο. Μετά απαντήστε στις ερωτήσεις που ακολουθούν. " Οργανώνουν τα δεδομένα και αναπαριστούν τη λύση των προβλημάτων με τη χρήση πινάκων τιμών/δεδομένων, γραφικών αναπαραστάσεων και άλλων οπτικών μέσων (ως βοηθητικά εργαλεία). Οταν η ηλικία της Μαρίας είναι 24, η ηλικία του πατέρα της θα είναι:. Οταν η ηλικία της Μαρίας είναι 32, η ηλικία του πατέρα της θα είναι:. Ποια σχέση συνδέει την ηλικία του πατέρα της Μαρίας με την ηλικία της Μαρίας; Ηλικία του πατέρα της Μαρίας = +. Να γράψεις μια παράσταση, χρησιμοποιώντας μ για την ηλικία της Μαρίας και π για την ηλικία του πατέρα της.

33 Διερευνούν την έννοια της μεταβλητής σε γνωστούς τύπους από Φυσική και Γεωμετρία [Α4] ΣΤ " Αναγνωρίζουν σε ποια έννοια αντιστοιχεί κάθε μεταβλητή των γνωστών τύπων από τη Φυσική και τη Γεωμετρία. " Επιλύουν προβλήματα με τη χρήση γνωστών τύπων, διακρίνοντας σε κάθε περίπτωση την άγνωστη μεταβλητή. Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει εμβαδόν 24 τ.εκ., πόσα εκατοστά μπορεί να είναι οι κάθετες πλευρές του; Γράψτε με σύμβολα τη σχέση που συνδέει το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου με τις κάθετες πλευρές του. Εντοπίστε στη σχέση τις γνωστές και άγνωστες μεταβλητές. Πόσες πιθανές λύσεις μπορείτε να εντοπίσετε; Οργανώστε τις σε ένα πίνακα.

34 Αντιλαμβάνονται το σύμβολο της ισότητας ως σχέση ανάμεσα σε σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις [Α7] Α " Αντιλαμβάνονται την έννοια της ισότητας μέσω δραστηριοτήτων, οι οποίες διερευνούν την κατάσταση ισορροπίας στη ζυγαριά. " Μετατρέπουν σε αριθμητικές παραστάσεις/σχέσεις τα δεδομένα μιας οπτικής αναπαράστασης ισορροπίας στη ζυγαριά, δίνοντας έμφαση στην ορθή χρήση του συμβόλου της ισότητας «=». Παρατηρήστε την παρακάτω ζυγαριά. Τι συμβαίνει; Βάλτε στη θέση που είναι τα μπαλάκια τον κατάλληλο αριθμό. Είναι σωστό να αντικαταστήσουμε τη ζυγαριά με το «=»; Γιατί; Γράψτε τώρα τη σχέση χωρίς τη ζυγαριά = 9

35 Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α8] Α " Μετατρέπουν σε αριθμητική παράσταση/σχέση ένα απλό πρόβλημα που τους παρουσιάζεται με μορφή ιστορίας. Η γιαγιά της Αννας της έδωσε τρία αυτοκόλλητα. Η μαμά της της έδωσε πέντε ακόμη αυτοκόλλητα. Επομένως, η Αννα έχει τώρα οκτώ αυτοκόλλητα. Γράψτε αυτήν την ιστορία με αριθμούς και σύμβολα. " Εκφράζουν και επιλύουν ένα απλό πρόβλημα με οπτικές αναπαραστάσεις και, στη συνέχεια, με αριθμητική παράσταση/σχέση. Ο Στάθης είχε δύο κάρτες. Ο αδελφός του του χάρισε μερικές κάρτες ακόμη και τώρα ο Στάθης έχει έξι κάρτες. Πόσες κάρτες του χάρισε ο αδελφός του; Ζωγράφισε τις κάρτες και δείξε πώς θα λύσεις το πρόβλημα. = Γράψε με αριθμούς και σύμβολα τη σκέψη σου.

36 Διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να δημιουργείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α9] Α " Μετατρέπουν μια δεδομένη αριθμητική παράσταση/σχέση σε απλό πρόβλημα, δημιουργώντας τη δική τους ιστορία (εκφώνηση), και στη συνέχεια την επιλύουν. Γράψτε μια ιστορία για την παρακάτω παράσταση και ύστερα λύστε την: 7 = 5

37 Αντιλαμβάνονται το σύμβολο της ισότητας ως σχέση ανάμεσα σε σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις [Α7] Β " Αντιλαμβάνονται την έννοια της ισότητας μέσω δραστηριοτήτων, οι οποίες διερευνούν την κατάσταση ισορροπίας στη ζυγαριά. " Μετατρέπουν σε αριθμητικές παραστάσεις/σχέσεις τα δεδομένα μιας οπτικής αναπαράστασης ισορροπίας στη ζυγαριά, δίνοντας έμφαση στην ορθή χρήση του συμβόλου της ισότητας «=». Κάντε την αντιστοίχιση: Αιτιολογήστε την απάντησή σας. " Διευρύνουν την έννοια της ισότητας σε πιο γενικά μαθηματικά πλαίσια.

38 Χρησιμοποιούν σύμβολα (ως μεταβλητές) και τα αντικαθιστούν με αριθμούς σε «κλειστές» (π.χ. 3 + = 9) και σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (π.χ. + = 8) [Α8] Β " Αναγνωρίζουν ότι τα σύμβολα/μεταβλητές σε «κλειστές» αριθμητικές προτάσεις αντιστοιχίζονται σε ένα συγκεκριμένο αριθμό. Αντικαταστήστε τα παρακάτω σύμβολα με τους σωστούς αριθμούς: 4 + = = 6 7 = 42 " Αναγνωρίζουν ότι κάθε σύμβολο/μεταβλητή σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις έχει πολλές πιθανές αριθμητικές τιμές, σε συνδιακύμανση με τις άλλες μεταβλητές. Αντικαταστήστε τα παρακάτω σύμβολα με τους σωστούς αριθμούς: + = 8 Μπορείτε να σκεφτείτε και άλλες πιθανές λύσεις; Ας ζωγραφίσουμε όλες τις πιθανές λύσεις ως ζυγαριά. (* Απεικονίζονται δύο υποδειγματικές περιπτώσεις.)

39 Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α9] Β " Χρησιμοποιούν σύμβολα (π.χ. γεωμετρικά σχήματα) ως μεταβλητές για να εκφράσουν την άγνωστη ποσότητα σε μια αριθμητική παράσταση/σχέση, η οποία προκύπτει από τα δεδομένα ενός απλού προβλήματος. " Μετατρέπουν ένα απλό πρόβλημα σε αριθμητική παράσταση/σχέση και, στη συνέχεια, το επιλύουν (προτείνεται η χρήση οπτικών αναπαραστάσεων ως βοηθητικό εργαλείο). Ο Γιώργος σκέφτεται έναν αριθμό. Του προσθέτει 3 και η απάντηση είναι 15. Μπορείς να χρησιμοποιήσεις τα σύμβολα που έχεις μάθει μέχρι τώρα για να γράψεις τη σκέψη του Γιώργου στο χαρτί σου; Ποιον αριθμό σκέφτηκε ο Γιώργος;

40 Διατυπώνουν ένα απλό πρόβλημα που να μοντελοποιείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α9] Β " Μετατρέπουν μια δεδομένη αριθμητική παράσταση/σχέση σε απλό πρόβλημα, δημιουργώντας τη δική τους ιστορία (εκφώνηση), και στη συνέχεια την επιλύουν. Γράψτε μια ιστορία για την παρακάτω παράσταση και ύστερα λύστε την: 23 = 75

41 Χρησιμοποιούν σύμβολα (ως αγνώστους και ως μεταβλητές) και τα αντικαθιστούν με αριθμούς σε «κλειστές» (π.χ. 3 + = 9) και σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (π.χ. r + =8) [Α5] Γ " Αναγνωρίζουν ότι τα σύμβολα/μεταβλητές σε «κλειστές» αριθμητικές προτάσεις (που εκφράζουν την άγνωστη αριθμητική τιμή) αντιστοιχίζονται σε ένα συγκεκριμένο αριθμό. " Αναγνωρίζουν ότι κάθε σύμβολο/μεταβλητή σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (που αντιπροσωπεύει κάποιον άγνωστο όρο) έχει πολλές πιθανές αριθμητικές τιμές, σε συνδιακύμανση με τις άλλες μεταβλητές. Βρείτε ποιοι είναι οι γνωστοί και ποιοι οι άγνωστοι όροι στις παρακάτω παραστάσεις: 3 + = 9 + = = + 7 Αντικαταστήστε τους άγνωστους όρους με αριθμούς για να ισχύουν οι ισότητες. Μπορείς να αντικαταστήσεις τα παραπάνω σύμβολα με άλλα; Αν ναι, θα αλλάξουν οι αριθμοί που βρήκατε;

42 Χρησιμοποιούν σύμβολα (ως αγνώστους και ως μεταβλητές) και τα αντικαθιστούν με αριθμούς σε σύνθετες «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (π.χ. + =8) [Α5] Δ " Αναγνωρίζουν ότι κάθε σύμβολο/μεταβλητή σε «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις (που αντιπροσωπεύει κάποιον άγνωστο όρο) έχει πολλές πιθανές αριθμητικές τιμές, σε συνδιακύμανση με τις άλλες μεταβλητές. " Επιλύουν σύνθετες «ανοιχτές» αριθμητικές προτάσεις στα πλαίσια προβλημάτων (υπάρχει διαβάθμιση δυσκολίας ως προς τις πράξεις και τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται). Η Μαργαρίτα θέλει να αγοράσει ένα κουτί με LEGO που στοιχίζει 12. Ο παππούς της της έδωσε κάποια χρήματα για να το αγοράσει. Ομως, πρέπει να συμπληρώσει και αυτή κάποια χρήματα από τις οικονομίες της. Γράψτε την αριθμητική παράσταση που προκύπτει από το παραπάνω πρόβλημα, χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια λύσεων υπάρχουν για την αριθμητική παράσταση που προέκυψε;

43 Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α6] Δ " Χρησιμοποιούν σύμβολα ως μεταβλητές για να εκφράσουν την άγνωστη ποσότητα σε μια αριθμητική παράσταση/σχέση, η οποία προκύπτει από τα δεδομένα ενός απλού προβλήματος. " Μετατρέπουν ένα απλό πρόβλημα σε αριθμητική παράσταση/σχέση και, στη συνέχεια, το επιλύουν (προτείνεται η χρήση οπτικών αναπαραστάσεων ως βοηθητικό εργαλείο). Ενας αγρότης τριπλασίασε τον αριθμό από τις αγελάδες του και τώρα έχει 54 αγελάδες. Πόσες αγελάδες είχε αρχικά ο αγρότης; Προσπάθησε να φτιάξεις μια αριθμητική παράσταση για την παραπάνω ιστορία.

44 Διερευνούν τον αλγεβρικό χαρακτήρα των ιδιοτήτων των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική) και τη γενίκευση της ισχύος τους [Α7] Δ " Αντιλαμβάνονται τη λειτουργία της αντιμεταθετικής ιδιότητας σε επίπεδο πράξεων και οδηγούνται στη γενίκευση ότι το αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά παράθεσης των όρων στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό. Τι παρατηρείτε στην παρακάτω εικόνα; = Παίζει ρόλο η σειρά των αριθμών στο τελικό αποτέλεσμα; " Αντιλαμβάνονται τη λειτουργία της προσεταιριστικής ιδιότητας σε επίπεδο πράξεων και οδηγούνται στη γενίκευση ότι, όταν επαναλαμβάνεται η ίδια πράξη στην ίδια αριθμητική πρόταση, το αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά εκτέλεσης των πράξεων, όσον αφορά την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. " Αντιλαμβάνονται τη λειτουργία της επιμεριστικής ιδιότητας σε επίπεδο πράξεων και οδηγούνται στη γενίκευση ότι όταν προηγείται η πρόσθεση δύο όρων εντός των παρενθέσεων και έπεται ο πολλαπλασιασμός του αθροίσματος με κάποιον τρίτο όρο καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα με το να προηγούνταν ο πολλαπλασιασμός του τρίτου όρου με καθέναν από τους δύο όρους εντός των παρενθέσεων και να ακολουθούσε η πρόσθεση των γινομένων. Υπολογίστε τα παρακάτω αποτελέσματα: (4 + 12) = 12 + (39 + 4) + 25 = Τι παρατηρείτε; Λύστε την παρακάτω αριθμητική παράσταση με δύο τρόπους: 12 ( ) = 12 ( ) = Εξήγησε γιατί δούλεψες με αυτόν τον τρόπο.

45 Υπολογίζουν την τιμή μιας απλής αριθμητικής παράστασης με χρήση της προτεραιότητας των πράξεων (χωρίς παρενθέσεις) [Α8] Δ " Επιλύουν απλές αριθμητικές παραστάσεις (χωρίς παρενθέσεις), εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων. " Επιλύουν αριθμητικές παραστάσεις αξιοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική και προσεταιριστική). Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: = : 7 = : 3 = Πραγματοποιήστε αναλυτικά τις πράξεις.

46 Χρησιμοποιούν γράμματα για να εκφράσουν μεγέθη σε τύπους και σχέσεις (από την καθημερινή ζωή και τις επιστήμες) [Α7] Ε " Προσδιορίζουν σε τύπους και σχέσεις, από την καθημερινή ζωή και τις επιστήμες, την αριθμητική τιμή του αγνώστου (εκπεφρασμένου με γράμμα), χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες και την προτεραιότητα των πράξεων. " Διακρίνουν πότε ένα γράμμα χρησιμοποιείται ως μεταβλητή και πότε ως σύμβολο μονάδας μέτρησης. Ενα μαγαζί με γλυκίσματα παρήγγειλε 6 κουτιά με σοκολάτες. Οταν τις τοποθέτησαν στα ράφια και τις μέτρησαν, διαπίστωσαν ότι συνολικά ήταν 234 σοκολάτες. Πόσες σοκολάτες περιείχε το κάθε κουτί; Γράψτε την αριθμητική σχέση που προκύπτει από το πρόβλημα, συμβολίζοντας με σ τις σοκολάτες που περιείχε το κάθε κουτί. Στη συνέχεια, επιλύστε την! Αντικαταστήστε τώρα το σ με x. Αλλάζει κάτι; Γιατί; Βρείτε στις παρακάτω περιπτώσεις πότε τα γράμματα χρησιμοποιούνται ως μεταβλητές και πότε ως μονάδες μέτρησης. Ε = β υ

47 Εκφράζουν συμβολικά ένα απλό πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση και διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να μοντελοποιείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση (απλές περιπτώσεις) [Α5] Ε " «Μεταφράζουν» ένα λεκτικά (ή εικονικά) περιγραφόμενο πρόβλημα σε αριθμητική παράσταση/σχέση. Η κα. Στέλλα είχε 92 σοκολατάκια και τα μοίρασε στους μαθητές της. Κάθε μαθητής πήρε 4 σοκολατάκια. Πόσους μαθητές έχει η κα. Στέλλα; Προσπάθησε να φτιάξεις μια αριθμητική παράσταση που να εκφράζει το παραπάνω πρόβλημα. " Δημιουργούν προβλήματα ώστε να εκφράσουν λεκτικά μια δεδομένη αριθμητική παράσταση/ σχέση. Δημιουργήστε ένα πρόβλημα για την παράσταση που δίνεται παρακάτω και στη συνέχεια λύστε το: 3 12 ω = 25

48 Υπολογίζουν την τιμή μιας απλής αριθμητικής παράστασης με χρήση της προτεραιότητας των πράξεων (και με παρενθέσεις) [Α6] Ε " Επιλύουν απλές αριθμητικές παραστάσεις (με ή χωρίς παρενθέσεις), εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων. " Επιλύουν αριθμητικές παραστάσεις αξιοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική). Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: 5 (38 14) : 3= (49 26 : 2 + 7) 40 = Πραγματοποιήστε αναλυτικά τις πράξεις. Βάλτε παρενθέσεις όπου χρειάζεται, έτσι ώστε να ισχύει η παρακάτω σχέση: = 19

49 Χρησιμοποιούν γράμματα ως μεταβλητές στο γενικό όρο κανονικοτήτων και συναρτήσεων [Α8] ΣΤ " Παρατηρούν μια κανονικότητα και διατυπώνουν τον κανόνα της, χρησιμοποιώντας γράμματα ως μεταβλητές. Ο κανόνας της κανονικότητας παρουσιάζεται με τη μορφή συνάρτησης. " Αντιλαμβάνονται ότι δύο διαφορετικές μεταβλητές μπορεί να έχουν την ίδια αριθμητική τιμή στα πλαίσια του ίδιου προβλήματος. " Αντιλαμβάνονται ότι η ίδια μεταβλητή μπορεί να έχει διαφορετικές αριθμητικές τιμές στα πλαίσια διαφορετικών προβλημάτων. Ενας εργολάβος κατασκευάζει παράθυρα με τούβλα, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα: 1 παράθυρο 2 παράθυρα 3 παράθυρα 6 τούβλα 10 τούβλα 14 τούβλα Διατυπώστε τον κανόνα του παραπάνω μοτίβου, χρησιμοποιώντας π για τον αριθμό των παραθύρων και τ για τον αριθμό των τούβλων. Μπορείτε να λύσετε την απορία αυτού του μαθητή;

50 Εκφράζουν συμβολικά ένα πρόβλημα με αριθμητική παράσταση ή σχέση και διατυπώνουν ένα πρόβλημα που να μοντελοποιείται από δεδομένη αριθμητική παράσταση ή σχέση [Α5] ΣΤ " «Μεταφράζουν» ένα λεκτικά (ή εικονικά) περιγραφόμενο πρόβλημα σε αριθμητική παράσταση/σχέση. Η Κατερίνα σκέφτηκε έναν αριθμό. Τον πολλαπλασίασε με το 3, μετά του πρόσθεσε 8, στη συνέχεια τον διαίρεσε με το 5 και, τέλος, βρήκε ως αποτέλεσμα 22. Προσπαθήστε να φτιάξετε μια αριθμητική παράσταση για να δείξετε την πορεία που ακολούθησε η Κατερίνα. Από ποιον αριθμό ξεκίνησε η σκέψη της; " Δημιουργούν προβλήματα ώστε να εκφράσουν λεκτικά μια δεδομένη αριθμητική παράσταση/ σχέση. Δημιουργήστε ένα πρόβλημα για την παράσταση που δίνεται παρακάτω και στη συνέχεια λύστε το: (85 + β) : 5 = 20

51 Υπολογίζουν την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης με χρήση της προτεραιότητας των πράξεων (με παρενθέσεις και δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη μέχρι 4) [Α7] ΣΤ " Επιλύουν σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις (με δυνάμεις και παρενθέσεις), εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων. " Επιλύουν αριθμητικές παραστάσεις αξιοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική). Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: = : 4 7 (37 34) = 4 + (5 3) 8 + (5 6 3 ) = Πραγματοποιήστε αναλυτικά τις πράξεις.

52 Συζητούν για τη δομή μιας αριθμητικής παράστασης, χρησιμοποιώντας κατάλληλη ορολογία (π.χ. άθροισμα και όροι του, γινόμενο και παράγοντές του) [Α6] ΣΤ " Χρησιμοποιούν σε δεδομένη αριθμητική παράσταση την κατάλληλη ορολογία σε επίπεδο πράξεων (π.χ. άθροισμα και όροι του, διαφορά και αφαιρετέος μειωτέος, γινόμενο και παράγοντές του, πηλίκο και διαιρετέος διαιρέτης, δύναμη και βάση εκθέτης, κ.λπ.). Δίνεται η παρακάτω αριθμητική παράσταση: 6 (4 + 25) + 18 = 192 Ποια είναι τα αθροίσματα και ποιοι οι όροι των αθροισμάτων; Ποια είναι τα γινόμενα και ποιοι οι παράγοντες των γινομένων αυτών; " Χρησιμοποιούν σε δεδομένη αριθμητική παράσταση την κατάλληλη ορολογία για να περιγράψουν μια εξίσωση (π.χ. 1 ο και 2 ο μέλος, σταθερές, άγνωστος, συντελεστής αγνώστου, κ.λπ.). Δίνεται η παρακάτω εξίσωση: 3x + 6 = 9 Ποιοι είναι οι όροι της εξίσωσης αυτής; Ποιος είναι ο άγνωστος και ποιες είναι οι σταθερές; Ο άγνωστος έχει συντελεστή; Τώρα, λύστε την εξίσωση!

53 Διερευνούν την έννοια της ισότητας και ανισότητας σε διάφορα πλαίσια: αριθμητικά, μεγεθών, και διατυπώνουν τη σχέση συμβολικά [Α10] Α " Αντιλαμβάνονται την έννοια της ισότητας και της ανισότητας, μελετώντας την ισορροπία ή μη αντικειμένων στη ζυγαριά και, στη συνέχεια, «αντικαθιστώντας» τα με αριθμούς. " Διατυπώνουν συμβολικά τη σχέση που υφίσταται σε μια ζυγαριά, χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο («=» ή «<» ή «>») ανά περίσταση. Παρατηρήστε τις παρακάτω ζυγαριές: α) Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις σφαίρες και στον κύλινδρο; + + = β) Ποια είναι η σχέση μεταξύ των σφαιρών; Αντικαταστήστε τις σφαίρες με αριθμούς.

54 Συγκρίνουν αριθμούς και κάνουν πράξεις με αυτούς χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα [Α11] Α " Συγκρίνουν αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα («=» ή «<» ή «>»). " Πραγματοποιούν πράξεις και χρησιμοποιούν το κατάλληλο σύμβολο («=» ή «<» ή «>») για να αναδείξουν τη σχέση που προκύπτει ανάμεσα σε δύο διαφορετικά ζεύγη αριθμών, όταν έχει προηγηθεί η σύγκριση των επιμέρους ζευγών. Χρησιμοποιήστε το κατάλληλο σύμβολο για να είναι σωστή η σχέση μεταξύ των αριθμών: Τώρα, παρατηρήστε τις παρακάτω σχέσεις και συμπληρώστε το κατάλληλο σύμβολο όπου χρειάζεται: Αν 6 > 3 και 4 > 2, τότε Αν 4 < 7 και 2 = 2, τότε

55 Διερευνούν την έννοια της ισότητας και ανισότητας σε διάφορα πλαίσια: αριθμητικά, μεγεθών, και διατυπώνουν τη σχέση συμβολικά [Α11] Β " Αντιλαμβάνονται την έννοια της ισότητας και της ανισότητας, μελετώντας την ισορροπία ή μη αντικειμένων στη ζυγαριά και, στη συνέχεια, «αντικαθιστώντας» τα με αριθμούς. Παρατηρήστε τις παρακάτω ζυγαριές και γράψτε τις σχέσεις που ισχύουν: " Διατυπώνουν συμβολικά τη σχέση που υφίσταται σε μια ζυγαριά, χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο («=» ή «<» ή «>») ανά περίσταση.

56 Συγκρίνουν αριθμούς και κάνουν πράξεις με αυτούς χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα [Α12] Β " Συγκρίνουν αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα σύμβολα («=» ή «<» ή «>»). " Πραγματοποιούν πράξεις και χρησιμοποιούν το κατάλληλο σύμβολο («=» ή «<» ή «>») για να αναδείξουν τη σχέση που προκύπτει ανάμεσα σε δύο διαφορετικά ζεύγη αριθμών, όταν έχει προηγηθεί η σύγκριση των επιμέρους ζευγών. Χρησιμοποιήστε το κατάλληλο σύμβολο για να είναι σωστή η σχέση μεταξύ των αριθμών: Τώρα, παρατηρήστε τις παρακάτω σχέσεις και συμπληρώστε το κατάλληλο σύμβολο όπου χρειάζεται: Αν 16 > 9 και 14 > 7, τότε Αν 42 < 73 και 20 = 20, τότε

57 Χρησιμοποιούν το κατάλληλο σύμβολο (ισότητας ανισότητας) για την αναπαράσταση μιας σχέσης μεταξύ αριθμών (π.χ ή ) [Α7] Γ " Χρησιμοποιούν το κατάλληλο σύμβολο («=» ή «<» ή «>») για να αναδείξουν τη σχέση μεταξύ αριθμών, πραγματοποιώντας τις πράξεις προς διευκόλυνσή τους. Χρησιμοποιήστε το κατάλληλο σύμβολο για να ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

58 Συμπληρώνουν ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό (π.χ = + 7 ή 6 + = 10 1 ) [Α8] Γ " Αντικαθιστούν τα σύμβολα/μεταβλητές με τους κατάλληλους αριθμούς (σε «κλειστές» αριθμητικές παραστάσεις), έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα. Συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό: = = =

59 Προσδιορίζουν τον αριθμό που πρέπει να προστεθεί σε έναν άλλο για να προκύψει ένας τρίτος αριθμός (π.χ. 7 + = 21) [Α9] Γ " Αντικαθιστούν το σύμβολο/μεταβλητή με τον κατάλληλο αριθμό, έτσι ώστε όταν προστεθεί με έναν άλλο να προκύψει ένας τρίτος αριθμός. Συμπληρώστε την ισότητα με τον κατάλληλο αριθμό: 5 + = 12 Παρατηρήστε την παρακάτω ζυγαριά. Τι θα κάνετε για να βρείτε την άγνωστη ποσότητα; 5 5 (* Τα διακεκομμένα σχήματα είναι αυτό που αναμένεται να κάνουν οι μαθητές.)

60 Συμπληρώνουν ανισότητες με κατάλληλους αριθμούς (π.χ < + 7 ή 6 + > 10-1 ) [Α10] Δ " Αντικαθιστούν τα σύμβολα/μεταβλητές με τους κατάλληλους αριθμούς (σε «ανοιχτές» αριθμητικές παραστάσεις, με πεπερασμένο ή όχι αριθμό λύσεων), έτσι ώστε να ισχύει η ανισότητα. Συμπληρώστε τις παρακάτω ανισότητες με τον κατάλληλο αριθμό: < < Πόσες λύσεις έχουν οι παραπάνω ανισότητες; Αιτιολογήστε τη σκέψη σας.

61 Προσδιορίζουν τον αριθμό που πρέπει να πολλαπλασιαστεί με έναν άλλο για να προκύψει ένας τρίτος αριθμός (π.χ. 7 x = 21 ) [Α11] Δ " Αντικαθιστούν το σύμβολο/μεταβλητή με τον κατάλληλο αριθμό, έτσι ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με έναν άλλο να προκύψει ένας τρίτος αριθμός. Συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό: 5 = = 135

62 Διερευνούν τις διαφορετικές χρήσεις του συμβόλου «=» σε αριθμητικές ισότητες με άγνωστη ποσότητα στο 1 ο ή στο 2 ο μέλος [Α9] Ε " Αντιλαμβάνονται ότι τα δύο μέλη μιας αριθμητικής ισότητας είναι ισοδύναμα και μπορούν να αντιστραφούν, χωρίς να διαφοροποιείται η αριθμητική τιμή της άγνωστης ποσότητας. Αντικαταστήστε την άγνωστη ποσότητα με τον κατάλληλο αριθμό, έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα: κ 6 = 32 Αν στην παραπάνω ισότητα αντιστραφούν τα μέλη της, αλλάζει κάτι; 32 = κ 6

63 Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των αριθμών για να συμπληρώσουν σύνθετες αριθμητικές προτάσεις, όπως: (5 + 3) + = 5 + (3 + 4) ή 2 x ( 3 + 4) = + 8 [Α8] Ε " Αντικαθιστούν τα σύμβολα/μεταβλητές με τους κατάλληλους αριθμούς σε σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις, αξιοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική). Συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό: = (73 39) = : 4 23 = 8 (21 13) + 42 Αιτιολόγησε τη σκέψη σου.

64 Χρησιμοποιούν γράμματα ως αγνώστους σε απλές αριθμητικές εξισώσεις ενός βήματος και επιλύουν τις αντίστοιχες εξισώσεις [Α12] ΣΤ " Αντιλαμβάνονται την έννοια της ισότητας και τη χρήση του συμβόλου «=» στα προβλήματα εξισώσεων. " Προσδιορίζουν σε δεδομένη εξίσωση την αριθμητική τιμή του αγνώστου (εκπεφρασμένου με γράμμα), χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες και την προτεραιότητα των πράξεων. Συμπληρώστε τον κατάλληλο αριθμό, έτσι ώστε να ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις: 159 : κ = 77 8 ( ) = 4α γ 53 = : 2

65 ς ύ π ύ!