ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Αρχές Βιοκινητικής» Μάθηµα του βασικού κύκλου σπουδών (Γ εξάµηνο) 7η ιάλεξη: «Γωνιακά δυναµικά µεγέθη» Θέµατα προς ανάλυση: Εισαγωγή στην περιστροφική δυναµική Ροπή δύναµης - Ροπή ζεύγους Μοχλοί - Μοχλοί στο ανθρώπινο σώµα Αντιστοιχίες των νόµων του Νεύτωνα στην περιστροφική κίνηση Κινήσεις στον αέρα χωρίς στροφορµή Ι ΑΣΚΩΝ: ρ. Αθανάσιος Λ. Τσιόκανος Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής Εισαγωγή στην περιστροφική δυναµική Η περιστροφική δυναµική (γωνιακά δυναµικά χαρακτηριστικά) ασχολείται µε τα τεκταινόµενα κατά την περίπτωση που ένα σώµα υπό την επίδραση κάποιας δύναµης κινείται περιστροφικά. Στην ουσία όλες οι εκούσιες κινήσεις του ανθρώπινου σώµατος είναι περιστροφικές, καθότι η ανάπτυξη µυϊκών δυνάµεων έχει ως αποτέλεσµα την περιστροφική κίνηση στις διάφορες αρθρώσεις. Η µεταφορική κίνηση κάποιου ανθρώπινου µέλους είναι αποτέλεσµα δύο ή περισσότερων περιστροφικών κινήσεων (η µεταφορική κίνηση του άκρου χεριού και η ώθηση της σφαίρας στη σφαιροβολία είναι αποτέλεσµα της έκτασης του αγκώνα λόγω της εφαρµοζόµενης δύναµης του τρικέφαλου βραχιόνιου µυός και της κάµψης του καρπού λόγω της δύναµης που αναπτύσσουν οι καµπτήρες της άρθρωσης αυτής). Ροπή δύναµης Όταν µια δύναµη F επιδρά σε ένα σώµα, χωρίς ο φορέας της δύναµης να περνά από το συµµετρικό κέντρο του σώµατος, τότε το περιστρέφει µε µια ροπή περιστροφής Μ. Ροπή περιστροφής είναι το γινόµενο της δύναµης F επί την κάθετη απόσταση r (µοχλοβραχίονας της δύναµης, κάθετη απόσταση του κέντρου περιστροφής από τον φορέα της δύναµης) (N.m). M = F. r Πολλές ροπές περιστροφής µπορούν να δρουν ταυτόχρονα σε ένα σώµα. Η συνισταµένη τους προκύπτει από το άθροισµά τους. Οι ροπές µε φορά αντίθετη των δειχτών του ωρολογιού είναι θετικές (αριστερόστροφες). Ροπή δύναµης Ροπή δύναµης Η εφαρµογή των δύο δυνάµεων F1 και F2 έχει ως αποτέλεσµα την µεταφορική κίνηση του αναπηρικού καροτσιού. Η εφαρµογή µόνο της F1 έχει ως αποτέλεσµα, εκτός από την µεταφορική, και περιστροφική κίνηση του καροτσιού (ροπή περιστροφής). Η ροπή δύναµης είναι διανυσµατικό µέγεθος και η διεύθυνσή της ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Έχει θετική φορά όταν αυτή είναι αντίθετη της κίνησης των δειχτών του ωρολογιού. Εδώ, παρουσιάζονται ο άξονας περιστροφής, ο µοχλοβραχίονας της δύναµης και ο φορέας της δύναµης. 1
Ροπή ζεύγους Μια ροπή F R *d R αναπτύσσεται από το δεξί άκρο πόδι, ενώ άλλη µια ροπή F L *d L αναπτύσσεται από το αριστερό άκρο πόδι. Αφού αυτές οι δύο ροπές είναι ίσες και µε την ίδια γωνιακή κατεύθυνση, η ροπή ζεύγους (ζεύγος δυνάµεων) θα έχει ως αποτέλεσµα µια περιστροφή γύρω από τον επιµήκη άξονα τον διερχόµενο από το κέντρο µάζας του σώµατος. Μοχλοί Οι µοχλοί είναι µηχανές που χρησιµοποιούνται: α) για την αλλαγή της διεύθυνσης ή και της φοράς της δύναµης, β) για τον πολλαπλασιασµό της µετατόπισης του σηµείου εφαρµογής της δύναµης αντίστασης, γ) για τον πολλαπλασιασµό του αποτελέσµατος της εφαρµοζόµενης δύναµης. Ο µοχλός είναι µια άκαµπτη ράβδος που περιστρέφεται γύρω από ένα σηµείο ή έναν άξονα περιστροφής (υποµόχλιο) υπό την επίδραση δύο αντιµαχόµενων δυνάµεων (της εφαρµοζόµενης δύναµης και της δύναµης αντίστασης). Στο µοχλό διακρίνουµε και δύο µοχλοβραχίονες (της δύναµης και της αντίστασης), που είναι οι κάθετες αποστάσεις των φορέων των δυνάµεων από το υποµόχλιο. Μοχλός περιστροφής Μοχλοί Στο µοχλό µε άξονα περιστροφής Α, ενεργούν οι δυνάµεις F1 και F2. M1 = F1. r1 (δεξιόστροφη) M2 = F2. r2 (αριστερόστροφη) Η συνολική ροπή Μ = Μ1 + Μ2 (αριστερόστροφη, θετική). Απλές µηχανές που είναι µοχλοί Είδη µοχλών ιακρίνουµε τρία είδη µοχλών: Πρώτου είδους: το υποµόχλιο βρίσκεται µεταξύ του σηµείου εφαρµογής της δύναµης και του σηµείου εφαρµογής της αντίστασης. ευτέρου είδους: το σηµείο εφαρµογής της αντίστασης βρίσκεται µεταξύ του υποµοχλίου και του σηµείου εφαρµογής της δύναµης. Τρίτου είδους: το σηµείο εφαρµογής της δύναµης βρίσκεται µεταξύ του υποµοχλίου και του σηµείου εφαρµογής της αντίστασης. Μοχλοί στο ανθρώπινο σώµα Μοχλός πρώτου είδους: Το βάρος της κεφαλής είναι η δύναµη αντίστασης. Οι σπληνοειδείς µύες εξασφαλίζουν την εφαρµοζόµενη δύναµη. Υποµόχλιο είναι η ατλαντοϊνιακή άρθρωση. Στον µοχλό πρώτου είδους καταβάλλουµε λιγότερη δύναµη (κέρδος), αλλά διανύουµε µεγαλύτερη απόσταση (απώλεια). 2
Μοχλοί στο ανθρώπινο σώµα Μοχλός δευτέρου είδους: Η δύναµη αντίστασης (φορτίο του καροτσιού) είναι ανάµεσα στην εφαρµοζόµενη δύναµη (δύναµη του ανθρώπου στις χειρολαβές) και το υποµόχλιο (άξονας της ρόδας). Ο άνθρωπος θα καταβάλει µικρή δύναµη σε σχέση µε το µέγεθος της αντίστασης, λόγω του µεγάλου µοχλοβραχίονα της δύναµης σε σχέση µε το µοχλοβραχίονα της αντίστασης. Μοχλοί στο ανθρώπινο σώµα Μοχλός τρίτου είδους: ύναµη αντίστασης είναι το βάρος του πήχη. Υποµόχλιο είναι ο αγκώνας Η εφαρµοζόµενη δύναµη εξασφαλίζεται από τους καµπτήρες της άρθρωσης του αγκώνα. Οι περισσότερες κινήσεις του ανθρώπινου κινητικού µηχανισµού γίνονται µε µοχλούς τρίτου είδους (κερδίζονται µεγάλες µετατοπίσεις των µελών εφαρµόζοντας, σε αντιστάθµισµα, µεγάλες δυνάµεις.) Στη γραµµική κίνηση η ιδιότητα της ύλης να διατηρεί την κινητική της κατάσταση ονοµάζεται αδράνεια και δείκτης της αδράνειας είναι η µάζα (ποσότητα της ύλης) του σώµατος. Στην περιστροφική κίνηση η αντίστοιχη ιδιότητα ονοµάζεται ροπή αδράνειας. ενός σώµατος ως προς ένα σηµείο ή έναν άξονα περιστροφής, είναι η ιδιότητα της µάζας να διατηρεί την περιστροφική κινητική της κατάσταση, είτε αυτή είναι οµαλή περιστροφική κίνηση είτε ηρεµία. Η ροπή αδράνειας (Ι) ισούται: Ι = m * r 2 όπου m είναι η µάζα και r η απόσταση της µάζας από το σηµείο περιστροφής Στο µέγεθος της ροπής αδράνειας συνεισφέρει περισσότερο η απόσταση της µάζας από το σηµείο περιστροφής παρά η ίδια η µάζα του σώµατος. Η ροπή αδράνειας είναι το άθροισµα των γινοµένων της κάθε επιµέρους µάζας επί την ακτίνα περιστροφής στο τετράγωνο. Η κατανοµή της µάζας γύρω από τον επιµήκη άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας του σώµατος (Α) και γύρω από τον εγκάρσιο άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας του σώµατος (Β). Η γραφική παράσταση απεικονίζει τις µεταβολές της ροπής αδράνειας του ποδιού κατά τη διάρκεια του δροµικού διασκελισµού. 3
Η γωνία του γονάτου επιδρά στην τιµή της ροπής αδράνειας του αιωρούµενου ποδιού ως προς το ισχίο, λόγω των µεταβολών της ακτίνας περιστροφής (k) της κνήµης και του άκρου ποδιού. Μεταβολές στη ροπή αδράνειας του ανθρώπινου σώµατος ανάλογα µε την πόζα του σώµατος και αναφορικά µε τους άξονες περιστροφής. Αν ένα σώµα περιστρέφεται µε µια γωνιακή ταχύτητα ω, το αίτιο που µπορεί να αλλάξει την ορµή αυτού του σώµατος είναι η ροπή µιας δύναµης. (G) είναι η ορµή ενός περιστρεφόµενου σώµατος και ισούται µε τη ροπή αδράνειας επί την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής: G = I * ω Η στροφορµήείναι αποτέλεσµα εξωτερικών ροπών δύναµης που εφαρµόζονται πάνω σε ένα σώµα. Η εξίσωση: M * dt = G είναι η εξίσωση µεταβολής της στροφορµής (M * dt = περιστροφική ώθηση). Αρχή διατήρησης της στροφορµής Από την παραπάνω εξίσωση συνάγεται ότι αν δεν εφαρµοστεί καµιά εξωτερική ροπή (Μ = 0) η στροφορµήενός σώµατος παραµένει σταθερή (πτήση του σώµατος στον αέρα). Επειδή ισχύει αυτό, σε πολλές περιπτώσεις, αυξάνοντας τη ροπή αδράνειας (Ι) µειώνεται ανάλογα η γωνιακή ταχύτητα (ω) του σώµατος, ενώ µειώνοντας τη ροπή αδράνειας αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα. Κατά την κίνηση του ανθρώπινου σώµατος, περιστρέφονται πολλά µέλη του. Έτσι, κάθε σωµατικό µέλος έχει µια στροφορµήγύρω από το κέντρο µάζας του µέλους, καθώς και µια στροφορµήγύρω από το συνολικό ΚΜΣ. Η στροφορµήτου σωµατικού µέλους γύρω από το ΚΜ του λέγεται τοπική στροφορµή (local angular momentum), ενώ η στροφορµή του µέλους γύρω από το συνολικό ΚΜΣ αποµακρυσµένη στροφορµή (remote angular momentum). Η συνολική στροφορµήενός σωµατικού µέλους είναι το άθροισµα της τοπικής και της αποµακρυσµένης στροφορµής: Η Total = H Local + H Remote Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορµής των άνω άκρων, της κεφαλής και του κορµού, των κάτω άκρων, και ολόκληρου του σώµατος δροµέα σε ταχύτητα αντιπροσωπευτική των µεσαίων αποστάσεων. Όταν η στροφορµήτου σώµατος διατηρείται σταθερή, οι τυχόν µεταβολές στην πόζα του σώµατος έχουν ως αποτέλεσµα την αύξηση ή µείωση της ροπής αδράνειας και αντισταθµιστικά αντίστοιχη µείωση ή αύξηση της γωνιακής ταχύτητας. 4
Αντιστοιχίες των νόµων του Νεύτωνα στην περιστροφική κίνηση Κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης του καρφιού στο βόλεϊ, η αντισταθµιστική περιστροφική κίνηση των κάτω άκρων εξισορροπεί την ισχυρή αιώρηση του χεριού, µε αποτέλεσµα τη διατήρηση της στροφορµής. Οι νόµοι του Νεύτωνα θα µπορούσαν να διατυπωθούν ως εξής για την περιστροφική κίνηση: 1 ος νόµος: Ένα περιστρεφόµενο σώµα θα διατηρήσει την κατάσταση της οµαλής περιστροφικής κίνησης, εκτός και αν ασκηθεί πάνω του µια εξωτερική ροπή. 2 ος νόµος: Τ = Ι * α Μια ροπή (Τ) προκαλεί σε ένα σώµα γωνιακή επιτάχυνση (α), η οποία είναι ευθέως ανάλογη του µεγέθους της ροπής, έχει την ίδια κατεύθυνση µε αυτή, και είναι αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειας (Ι) του σώµατος. 3 ος νόµος: Για κάθε ροπή ασκούµενη από ένα σώµα σε άλλο σώµα, υπάρχει µια ίση και αντίθετη ροπή ασκούµενη από το δεύτερο σώµα πάνω στο πρώτο. Εφαρµογές Κινήσεις στον αέρα χωρίς στροφορµή (ρίψη γάτας) Σώµατα που βρίσκονται στον αέρα µπορούν να αρχίσουν περιστροφές ακόµα και αν η συνολική τους στροφορµή είναι µηδενική (περιστροφές µε µηδενική στροφορµή). Η γάτα έχει µηδενική αρχική στροφορµή και πάντα προσγειώνεται µε τα πόδια. Όταν αρχίζει να πέφτει κυρτώνει περισσότερο τη ράχη της (καµπουριάζει), ώστε να δηµιουργήσει δύο τµήµατα στο σώµα της, µπροστινό και πίσω, και δύο ξεχωριστούς άξονες περιστροφής (Α). Τα µπροστινά της πόδια έρχονται κοντά στο κεφάλι, µειώνοντας έτσι τη ροπή αδράνειας του µπροστινού τµήµατος και το πάνω µέρος του κορµού περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του κορµού. Ως αντίδραση, το πίσω µέρος περιστρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα προς την αντίθετη κατεύθυνση, µε µικρότερη γωνιακή ταχύτητα λόγω της µεγαλύτερης ροπής αδράνειας (τα πίσω πόδια γωνία µε τον κορµό). Στο τέλος της φάσης αν το µπροστινό µέρος έχει περιστραφεί 70 ο προς τα δεξιά, το πίσω έχει περιστραφεί 15 ο προς τα αριστερά (Β). Εφαρµογές Κινήσεις στον αέρα χωρίς στροφορµή (ρίψη γάτας) Προεκτείνει τα µπροστινά πόδια και τεντώνει τα πίσω, µε αποτέλεσµα την αύξηση της ροπής αδράνειας του µπροστινού µέρους και τη µείωση της αντίστοιχης του πίσω µέρους. Περιστρέφει το πίσω µέρος κατά 60-70 ο προς τα δεξιά (αντίθετα από την περιστροφή που είχε πριν) και ως αντίδραση το µπροστινό µέρος περιστρέφεται κατά 10-20 ο προς τα δεξιά (αντίθετα µε την προηγούµενη περιστροφή). Στο τέλος αυτής της φάσης όλο το σώµα έχει περιστραφεί 50-60 ο προς τα δεξιά (C). Στο τέλος της φάσης, η γάτα έχει περιστραφεί ικανοποιητικά, ώστε να προσγειωθεί στα τέσσερά της πόδια (D). Παρόµοιες ενέργειες έχουµε στις καταδύσεις, ενόργανη γυµναστική και σε αγωνίσµατα στίβου. Βιβλιογραφία Θέµατα για συζήτηση ή µελέτη Κόλλιας Η. (1997). Βιοκινητική της αθλητικής κίνησης. Θεσσαλονίκη. Τσαρούχας Λ. (1983) Βιοµηχανική αθλητικών κινήσεων, Αθήνα. Φωτεινόπουλος Β. (). Μηχανική. Εκδόσεις Βλάσση, Αθήνα. Baumann W. (1996). Βασικές αρχές της βιοµηχανικής των αθλητικών κινήσεων. Εκδόσεις Σάλτο, Θεσσαλονίκη. Abernethy B., Kippers V., Mackinnon L.T., Neal R.J., Hanrahan S. (1997). The Biophysical Foundations of Human Movement. Human Kinetics, Champaign, IL. Adrian M.J., Cooper J.M. (1995). Biomechanics of Human Movement. Brown & Benchmark Publishers, IA, USA. Hall S.J. (1995). Basic Biomechanics. McGraw-Hill Companies, USA. Hamill J., Knutzen K.M. (1995). Biomechanical Basis of Human Movement. Williams & Wilkins, PA, USA. Αναφέρετε παραδείγµατα από χρήσης µηχανών και αντικειµένων από τις καθηµερινές ασχολίες αντιπροσωπευτικά των τριών ειδών µοχλών. Τι είδους κίνηση προκαλεί µια δύναµη που εφαρµόζεται στο ΚΜΣ. Αν η εφαρµοζόµενη δύναµη συµπίπτει µε τον άξονα περιστροφής του σώµατος τι είδους κίνηση προκαλεί; Υπάρχουν διάφορες ασκήσεις για την εκγύµναση των κοιλιακών µυών. Με βάση την έννοια της ροπής δύναµης εξηγείστε πως µια τέτοια είδους άσκηση µπορεί να διαφοροποιηθεί ώστε να γίνει πιο δύσκολη. Αν µια δύναµη 200 Ν ασκείται σε µια ράβδο σε απόσταση 34 cm από τον άξονα περιστροφής της, σε τι απόσταση από τον ίδιο άξονα πρέπει να ασκηθεί δύναµη 185 Ν ώστε η ράβδος να ισορροπήσει; 5
Επίλογος Τα γωνιακά δυναµικά µεγέθη αφορούν στις δυνάµεις (στις διάφορες εκφράσεις τους) που συνδέονται µε την πρόκληση των περιστροφικών κινήσεων. Ροπή περιστροφής είναι το γινόµενο της προκαλούσας την περιστροφή δύναµης επί την κάθετη απόστασή της από το κέντρο ή άξονα περιστροφής. Ενώ στις µεταφορικές κινήσεις έκφραση της αδράνειας ενός σώµατος είναι η µάζα του, στις περιστροφικές κινήσεις το αντίστοιχο µέγεθος είναι η ροπή αδράνειας (η µάζα επί το τετράγωνο της απόστασης της µάζας από το κέντρο περιστροφής). Η ορµή (µεταφορικές κινήσεις) έχει ως αντίστοιχο µέγεθος στις περιστροφικές κινήσεις τη στροφορµή (ισούται µε το γινόµενο της ροπής αδράνειας επί τη γωνιακή ταχύτητα). Οι νόµοι του Νεύτωνα βρίσκουν εφαρµογή και στις περιστροφικές κινήσεις, αρκεί να γίνει αντικατάσταση των µάζα, δύναµη και επιτάχυνση µε τα αντίστοιχα ροπή αδράνειας, ροπή περιστροφής και γωνιακή επιτάχυνση. 6