µέχρι και την Τρίτη 24.3.2015 και ώρα 22:30 1η Ασκηση ΑΜΕΣΟΙ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ



Σχετικά έγγραφα
2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

3η ΕΡΓΑΣΙΑ. 3.1 Αµεσοι µέθοδοι για την Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

1 η ΑΣΚΗΣΗ. 1. Θεωρία (Κεφ. 1, 2) ξ = 2 της εξίσωσης fx ( ) = 0 για x

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 15 Οκτωβρίου 2006

Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 - Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Παράλληλη Επεξεργασία Εργαστηριακή Ασκηση Εαρινού Εξαµήνου 2008

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Επίλυση Εξισώσεων. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. λύση ... = ... ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι εύτερη εργαστηριακή άσκηση

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Εργασία

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Αρχιτεκτονική Νευρωνικών Δικτύων

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

4.2.1 Α εξάμηνο Β εξάμηνο Γ εξάμηνο 4.2. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

0.1 Εκχειλίσεις κατά την Επίλυση Τετραγωνικής Εξίσωσης

Μεταβατικές διατάξεις Νέου Προγράμματος Σπουδών (ΝΠΣ) για τους φοιτητές εισαγωγής 2013 και πριν Υποχρεωτικά Μαθήματα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ...xi

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι 2η Εργαστηριακή Ασκηση

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τ Μ Η Μ Α Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 9 ο Εργαστήριο. Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

1

Εισαγωγή στους Νευρώνες. Κυριακίδης Ιωάννης 2013

1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Β Εξάµηνο Τίτλος Μαθήµατος Θ Φ Α.Π Ε Φ.E. Π.Μ Προαπαιτούµενα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Προσομοίωση Νευρωνικού Δικτύου στο MATLAB. Κυριακίδης Ιωάννης 2013

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

8. Η δημιουργία του εκτελέσιμου προγράμματος γίνεται μόνο όταν το πηγαίο πρόγραμμα δεν περιέχει συντακτικά λάθη.

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Εισαγωγικά Ενδογενείς συναρτήσεις

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση

Μάθηµα 3 ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ LU και QR

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ και Τεχνικές Προγραμματισμού

Άξονας ανάπτυξης του µαθήµατος 3. Γενικός σκοπός του µαθήµατος. Το µάθηµα της Πληροφορικής στο Γυµνάσιο

Transcript:

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΗΜΕΡ/ΝΙΑ 9.3.205 Καταληκτική Ηµερ/νία υποβολής µέχρι και την Τρίτη 24.3.205 και ώρα 22:30 Προσοχή : Η άσκηση είναι ατοµική (δηλαδή ο κάθε ϕοιτητής ϑα πρέπει να εργαστεί µόνος του). (Η ένδειξη σηµαίνει ότι το αντίστοιχο ερώτηµα είναι προαιρετικό). η Ασκηση ΑΜΕΣΟΙ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μέθοδος Παραγοντοποίησης(ή Τριγωνικής ιαχώρισης) LU µε µερική οδήγηση (χωρίς ϕυσική αντιµετάθεση) 2. Μέθοδος Παραγοντοποίησης(ή Τριγωνικής ιαχώρισης) Cholesky LL T Να υλοποιηθούν σε γλώσσα προγραµµατισµού C (ή και) σε MatLab οι αλγόριθµοι των ανωτέρω µεθόδων για α) την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος Ax = b και ϐ) τον υπολογισµό του αντιστρόφου A του πίνακα A. Σε όλες τις ανωτέρω περιπτώσεις να χρησιµοποιήσετε αριθµητική διπλής ακρίβειας (double precision). Τα προγραµµατά σας πρέπει να δίνουν στο χρήστη τις ακόλουθες δυνατότητες επιλογής : (i) να εισάγει τα απαραίτητα δεδοµένα, (ii) να δηµιουργεί ένα συγκεκριµένο ή τυχαίο πίνακα και (iii) να εισάγει ένα πίνακα από αρχείο. Να υπολογίσετε πειραµατικά την υπολογιστική πολυπλοκότητα µε τον υπολογισµό του χρόνου εκτέλεσης (cputime) του εφαρµοζόµενου αλγορίθµου καθώς και να εκτιµήσετε τον αριθµό συνθήκης(condition number) του πίνακα A και το σφάλµα α) της λύσης x του γραµµικού συστήµατος µε τον υπολογισµό των ποσοτήτων (i) δx, όπου δx = x ˆx το απόλυτο σφάλµα (ii) δr, όπου δr = b Aˆx το απόλυτο υπόλοιπο και ˆx : η υπολογιζόµενη λύση από τον εφαρµοζόµενο αλγόριθµο, ϐ) του αντιστρόφου A µε τον υπολογισµό των ποσοτήτων (i) (ii) και A Â / A, το απόλυτο σχετικό σφάλµα AÂ I / A, το απόλυτο σχετικό υπόλοιπο Â : ο υπολογιζόµενος αντίστροφος από τον εφαρµοζόµενο αλγόριθµο. Στη συνέχεια να κάνετε κατάλληλη πινακοποίηση (ϐλ. παρακάτω πίνακες και 2) των αποτελεσµάτων σας και να σχολιάσετε τα συµπεράσµατά σας.

. Μέθοδος Παραγοντοποίησης LU µε µερική οδήγηση.α Επίλυση του Γραµµικού Συστήµατος Ax = b ιάσταση Απ. σχ. Σφάλµα Απ. σχ. Υπόλοιπο Αριθµός Συνθήκης Χρόνος Πίνακα Α δx δr cond(a) 00 000.β Υπολογισµός του αντιστρόφου A ιάσταση Απ. σχ. Σφάλµα Απ. σχ. Υπόλοιπο Αριθµός Χρόνος Πίνακα Α A Â / A AÂ I / A Συνθήκης 00 000 2. Μέθοδος Παραγοντοποίησης Cholesky LL T 2.α Επίλυση του Γραµµικού Συστήµατος Ax = b ιάσταση Απ. σχ. Σφάλµα Απ. σχ. Υπόλοιπο Αριθµός Συνθήκης Χρόνος Πίνακα Α δx δr cond(a) 00 000 2.β Υπολογισµός του αντιστρόφου A ιάσταση Απ. σχ. Σφάλµα Απ. σχ. Υπόλοιπο Αριθµός Χρόνος Πίνακα Α A Â / A AÂ I / A Συνθήκης 00 000 Υπόδειξη : Για την πειραµατική επαλήθευση της ορθότητας των αλγορίθµων σας. LU και 2. LL T α) για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος Ax = b ϑεωρήστε ότι το διάνυσµα x είναι γνωστό (ως προσχεδιασµένη λύση), υπολογίστε το b = Ax και στη συνέχεια επιλύστε το γραµµικό σύστηµα. (Για n παράδειγµα, αν x = (,,..., ) T, τότε b i = (A x) i = a ij, i =, 2,..., n) και ϐ) για τον υπολογισµό του αντιστρόφου A του πίνακα A λάβετε παραδείγµατα πινάκων, στα οποία εκ των προτέρων γνωρίζετε τον αντίστροφο πίνακα A. Ορισµός Αριθµός συνθήκης(condition number) του A: cond(a) = A A j=

(Ενδεικτικές) Εφαρµογές. Μέθοδος Παραγοντοποίησης(ή Τριγωνικής ιαχώρισης) LU µε µερική οδήγηση (χωρίς ϕυσική αντιµετάθεση) α) Επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος Ax = b Εφαρµογή.α. : n = 5, A = 2 3 4 2 3 2 5 3 8 3 2 4 4 2 3 5 6 2 5 9 3 5 8 26 Εφαρµογή.α.2 : n = 8, A = 0 2 2 3 4 7 5 3 0 3 3 3 4 7 2 5 3 2 2 3 8 7 2 3 2 2 4 2 5 4 8 3 4 2 9 2 4 4 7 3 3 4 3 4 7 6 25 75 37 46 5 93 6 4 Εφαρµογή.α.3 : Ο πίνακας A είναι ο 0 0 πίνακας του Hilbert µε στοιχεία, i, j =, 2,..., 0 i + j Για την πειραµατική επαλήθευση ϑεωρήστε ότι η λύση του γραµµικού συστήµατος είναι η x = (, 2,, 2,, 2,, 2,, 2) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b. Εφαρµογή.α.4 : Ο πίνακας A είναι n n, όπου n = 00,, 000 µε στοιχεία n, αν i = j i + j, αν i j Για την πειραµατική επαλήθευση ϑεωρήστε ότι η λύση του γραµµικού συστήµατος είναι η x = (,,...,, ) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b. Εφαρµογή.α.5 : ηµιουργία ενός τυχαίου n n πίνακα A, όπου n = 00,, 000 µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης rand( ). (Υπόδειξη: Ορίστε στην MatLab τον πίνακα A = rand(n, n) + (n ) eye(n)). Για την πειραµατική επαλήθευση ϑεωρήστε ότι η λύση του γραµµικού συστήµατος είναι η x = (,,...,, ) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b.

ϐ) Υπολογισµός του αντιστρόφου A Εφαρµογή.β.: n = 4, A = 5 7 6 5 7 0 8 7 6 8 0 9 5 7 9 0, A = 68 4 7 0 4 25 0 6 7 0 5 3 0 6 3 2 Εφαρµογή.β.2 : Ο A είναι ο n n πίνακας του Pei, όπου n = 00,, 000, µε στοιχεία n, αν i = j, αν i j και ο αντίστροφός του A έχει στοιχεία b ij = 2 2n, αν i = j (n )(2n ), αν i j Εφαρµογή.β.3 : Ο A είναι ο n n πίνακας του Hilbert, όπου n = 0, 50, 00, µε στοιχεία, i, j =, 2,..., n, i + j και ο αντίστροφός του A έχει στοιχεία b ij = ( ) i+j (n + i )!(n + j )! (i + j ) [(i )!(j )!] 2, i, j =, 2,..., n. (n i)!(n j)! Εφαρµογή.β.4 : ηµιουργία ενός τυχαίου n n πίνακα A, όπου n = 00,, 000 µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης rand( )(όπως στην εφαρµογή.α.5). Για την πειραµατική επαλήθευση υπολογίστε τον αντίστροφο B = Â και στη συνέχεια υπολογίστε τον AB. 2. Μέθοδος Παραγοντοποίησης(ή Τριγωνικής ιαχώρισης) Cholesky LL T α) Επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος Ax = b 5 7 6 5 7 0 8 7 Εφαρµογή 2.α. : n = 4, A = 6 8 0 9 5 7 9 0 23 32 33 3 Εφαρµογή 2.α.2 : n = 5, A = 2 2 0 0 0 0 3 0 4 2 0 2 5 όπου ο A είναι ο 5 5 πίνακας του Moler. 2 4 6 7,

Εφαρµογή 2.α.3 : n = 5, A = 2 3 4 5 3 6 0 5 4 0 20 35 5 5 35 70 όπου ο A είναι ο 5 5 πίνακας του Pascal. Εφαρµογή 2.α.4 : n = 8, A = όπου ο A είναι ο 8 8 πίνακας του Pascal. 5 5 35 70 26, 2 3 4 5 6 7 8 3 6 0 5 2 28 36 4 0 20 35 56 84 20 5 5 35 70 26 20 330 6 2 56 26 252 462 792 7 28 84 20 462 924 76 8 36 20 330 792 76 3432 8 36 20 330 792 76 3432 6435, Εφαρµογή 2.α.5 : Ο πίνακας A είναι ο n n πίνακας του Pascal, όπου n = 00,, 000, µε στοιχεία (i + j 2)!, i, j =, 2,..., n (i )!(j )! Για την πειραµατική επαλήθευση ϑεωρήστε ότι η λύση του γραµµικού συστήµατος είναι η x = (,,...,, ) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b. Εφαρµογή 2.α.6 : Ο πίνακας A είναι n n, όπου n = 00,, 000 µε στοιχεία n, αν i = j i + j, αν i j Για την πειραµατική επαλήθευση ϑεωρήστε ότι η λύση του γραµµικού συστήµατος είναι η x = (,,...,, ) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b. Εφαρµογή 2.α.7 : ηµιουργία ενός τυχαίου συµµετρικού και ϑετικά ορισµένου n n πίνακα A, όπου n = 00,, 000 µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης rand( ). (Υπόδειξη: Ορίστε στην MatLab τον πίνακα A = gallery( moler, n, rand)). Για την πειραµατική επαλήθευση ϑεωρήστε ότι η λύση του γραµµικού συστή- µατος είναι η x = (,,...,, ) T, υπολογίστε το b = Ax και επιλύστε το γραµµικό σύστηµα Ax = b. ϐ) Υπολογισµός του αντιστρόφου A Εφαρµογές :.β.,.β.2,.β.3, 2.α.4, 2.α.5, 2.α.6, 2.α.7.

Οδηγίες για την παράδοση της ης Ασκησης Σηµείωση : Ολες οι υλοποιήσεις των ασκήσεων να γίνουν σε C ( ή C++ ) (ή και) σε MatLab. Προσοχή : Η άσκηση είναι ατοµική (δηλαδή ο κάθε ϕοιτητής ϑα πρέπει να εργαστεί µόνος του και να παρουσιάσει στην παρούσα εργασία την προσωπική του προσπάθεια). Καταληκτική ηµεροµηνία υποβολής : Ο κάθε ϕοιτητής ϑα πρέπει εµπρόθεσµα να υποβάλει ηλεκτρονικά την η Ασκηση στην e_class του µαθή- µατος µέχρι και την Τρίτη 24.3.205 και ώρα 22:30. Η η Ασκηση πρέπει να περιλαµβάνει :. ένα αρχείο για τη κάθε µέθοδο µε όνοµα ask_method.i, ( όπου method το όνοµα της µεθόδου και όπου i η ένδειξη του αντιστοίχου ερωτήµατος, δηλ..α,.β, 2.α, 2.β, (π.χ. ask_lu ϐ), που ϑα περιέχει µόνο τον πηγαίο κώδικα για κάθε ερώτηµα και 2. ένα µόνο αρχείο κειµένου(για όλα τα ερωτήµατα) µε όνοµα ask_apotel(.doc σε word ) για την παρουσίαση των αποτελεσµάτων, των σχολίων και των συµπερασµάτων σας. Για την υποβολή στην e_class πρέπει να επισυνάψετε ΜΟΝΟ ένα Φάκελο (συµπιεσµένο) µε όνοµα ASK xxxxxxx.rar, όπου xxxxxxx τα τελευταία ψηφία του Α.Μ. σας. Μέσα στον ϕάκελο αυτό να περιέχονται τα αρχεία µε τον πηγαίο(source) κώδικα (και όχι εκτελέσιµα αρχεία) και το αρχείο κειµένου µε την ανάλυση των αποτελεσµάτων. Προσοχή: Είναι απαραίτητο στην αρχή του κάθε αρχείου (κώδικα και κειµένου) να αναγράφετε το ονο- µατεπώνυµό σας και τον ΑΜ.