Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)

Transcript

1 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c 3 0 a n 1 b n 1 c n 1 a n b n x 1 x 2 x 3 x n 1 x n = d 1 d 2 d 3 d n 1 d n όπου A R n n, και b, x R n Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 1 µέθοδο / 13

2 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος είναι ο : A = b 1 c 1 d1 a 2 b 2 c 2 0 d 2 a 3 b 3 c 3 d3 0 a n 1 b n 1 c n 1 dn 1 a n b n dn Τριγωνοποίηση 1ο ϐήµα i = 1 m 2 = a2 b 1 ( αν b 1 0 ) Ενηµέρωση 2ης γραµµής a 2 = 0 b 2 = b 2 + m 2c 1 d 2 = d 2 + m 2d 1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 2 µέθοδο / 13

3 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο του Gauss 2ο ϐήµα i = 2 m 3 = a 3 b 2 ( αν b 2 0 ) Ενηµέρωση 3ης γραµµής a 3 = 0 b 3 = b 3 + m 3 c 2 d 3 = d 3 + m 3 d 2 i-οστό ϐήµα i = i m i+1 = a i+1 b i ( αν b i 0 ) Ενηµέρωση i+1 γραµµής a i+1 = 0 b i+1 = b i+1 + m i+1 c i d i+1 = d i+1 + m i+1 d i Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 3 µέθοδο / 13

4 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο του Gauss Μετά από n 1 ϐήµατα προκύπτει το ισοδύναµο άνω τριγωνικό σύστηµα: 2 A = 6 4 Αρα έχουµε τον αλγόριθµο: 1 Τριγωνοποίηση for i = 1 to n 1 do m i+1 = a i+1/b i b i+1 = b i+1 + m i+1c i d i+1 = d i+1 + m i+1d i b 1 c 1 d1 b 2 c 2 0 d 2 b 3 c 3 d3 0 b n 1 c n 1 dn 1 b n dn Υπολογιστική Πολυπλοκότητα : n 1 διαιρέσεις, 2(n 1) πολ/σµοί, 2(n 1) προσθ/αφαιρ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 4 µέθοδο /

5 Επίλυση ενός άνω διδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Στη συνέχεια επιλύεται το άνω διδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα µε προς τα πίσω αντικατάσταση, οπότε έχουµε τον αλγόριθµο: x n = d n /b n for i = n 1 to 1 do x i = (d i c i x i+1 )/b i Υπολογιστική Πολυπλοκότητα : n 1 διαιρέσεις, n 1 πολ/σµοί, n 1 προσθ/αφαιρ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 5 µέθοδο / 13

6 Block µορφές αµέσων µεθόδων 11 Ανάλυση της block µορφής KJI-GJ n : τάξη πίνακα Α n = q r Ο πίνακας A διαχωρίζεται σε q 2 υποπίνακες r r Ακολουθιακή block µορφή KJI-GJ for k = 1 to q do for j = k + 1 to q do for i = 1 to q, i k do A ij = A ij A ik A 1 kk A kj Οι αντίστροφοι των διαγώνιων υποπινάκων A kk δεν υπολογίζονται άµεσα, αλλά µε τη λύση r γραµµικών συστηµάτων µε τον ίδιο πίνακα A kk µε εφαρµογή της σηµειακής µεθόδου GJ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 6 µέθοδο / 13

7 Block µορφή KJI-GJ For k = 1 to q do TB kj : for j = k + 1 to q do A kj = A 1 kk A kj for i := 1 to q, i k do A ij = A ij A ik A kj Ορισµός των εργασιών της block µορφής KJI-GJ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 7 µέθοδο / 13

8 Πολυπλοκότητα της block µορφής KJI-GJ 1 Υπολογισµός των A kj = A 1 kk A kj είναι ισοδύναµος µε τη λύση r συστηµάτων τάξης r µε τον ίδιο πίνακα, οπότε απαιτούνται 4r 3 /3 αριθµητικές πράξεις 2 Υπολογισµός των A ij = A ik A ik A kj αντιστοιχεί σε q 1 πολλαπλασιασµούς πινάκων και προσθέσεις πινάκων, οπότε απαιτούνται r 3 (q 1) αριθµητικές πράξεις Εποµένως η εκτέλεση της εργασίας TB kj απαιτεί Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο [ 3 Αµεσοι ] Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 8 µέθοδο / 13

9 Block τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα 11 Block µορφή της LU παραγοντοποίησης Εστω το ακόλουθο q q block τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = b A = D 1 F 1 E 2 D 2 F 2 0 E 3 D 3 F 3 0 E q 1 D q 1 F q 1 E q D q όπου A R n n, n = qr, D i, E i, F i R r r και b i, x i R r x 1 x 2 x 3 x q 1 x q = b 1 b 2 b 3 b q 1 b q Ο πίνακας A διαχωρίζεται σε 3q 2 υποπίνακες r r και το διάνυσµα στήλη b σε q υποδιανύσµατα στήλες r 1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 9 µέθοδο / 13

10 Block µορφή LU Θεωρούµε την block LU παραγοντοποίηση A = LU : D 1 F 1 E 2 D 2 F 2 0 E 3 D 3 F 3 A = I L 2 I 0 L = 3 I 0 L q 1 I L q I 0 E q 1 D q 1 F q 1 E q D q U 1 F 1 = U 2 F 2 0 U 3 F 3 0 U q 1 F q 1 U q οπότε έχουµε τον ακόλουθο αλγόριθµο για την block µορφή της µεθόδου LU Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 10 µέθοδο / 13

11 Αλγόριθµος της Block µορφής LU /* Παραγοντοποίηση */ U 1 = D 1 For i = 2 to q do /* Επίλυση ως προς L i */ L i U i 1 = E i /* Υπολογισµός U i */ U i = D i L i F i 1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 11 µέθοδο / 13

12 Επίλυση Block τριγωνικών συστηµάτων /* Επίλυση block κάτω τριγωνικού συστήµατος Ly = b */ ϑέσε L 1 y 0 0 For i = 1 to q do y i = b i L i y i 1 /* Επίλυση block άνω τριγωνικού συστήµατος Ux = y */ ϑέσε F q x q+1 0 For i = q to 1 do /* Επίλυση ως προς x i */ U i x i = y i F i x i+1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 12 µέθοδο / 13

13 Αλγόριθµος της block µορφής LU /* Παραγοντοποίηση */ U 1 = D 1 For i = 2 to q do /* Επίλυση ως προς L i */ L iu i 1 = E i /* Υπολογισµός U i */ U i = D i L if i 1 /* Επίλυση Block τριγωνικών συστηµάτων */ /* Επίλυση block κάτω τριγωνικού συστήµατος Ly = b */ ϑέσε L 1y 0 0 For i = 1 to q do y i = b i L iy i 1 /* Επίλυση block άνω τριγωνικού συστήµατος Ux = y */ ϑέσε F qx q+1 0 For i = q to 1 do /* Επίλυση ως προς x i */ U ix i = y i F ix i+1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 13 µέθοδο / 13