Επίλυση Εξισώσεων. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. λύση ... = ... ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Transcript

1 Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων m m... n... n mn M n b M b m µη-οµογενείς Μπορεί να υπάρχει µία, πολλές ή καµία λύση Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 58

2 ΈστωΈστω το σύστηµα: 5 λύση: 7/3, 8/3 συντεταγµένες τοµής γραµµών Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 59

3 ΈστωΈστω το σύστηµα: λύση: ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 60

4 ΈστωΈστω το σύστηµα: 6 5 λύση: ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 6

5 Το σύστηµα m m... n... n mn M n b M b m παριστάνεται µε µορφή πινάκων: ΑΧΒ και λύνεται: ΧΑ - Β X inv(a) ) * B Χρήσιµη η κλασµατική απεικόνιση rts(x) Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 6

6 Σύστηµα της µορφής ΑΧ0 Οµογενές Περιπτώσεις: det(a)<>0 προφανής λύση Χ0-0 0 det3, 0 det(a)0 µπορεί να υπάρχουν περισσότερες της µίας λύσης det0, Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 63

7 Τάξη ενός πίνακα συντελεστών Πίνακας Α Οι µεγαλύτερες ορίζουσες 333 όλες µηδέν (0) Υπάρχουν ορίζουσες µη-µηδενικές µηδενικές τάξη Τάξη ενός πίνακα στο MATLAB: rnk(a) Λύση συστήµατος εξισώσεων µε αγνώστους και έναν ελεύθερο άγνωστο: λύσεις: -0/7 3, 6/7 3 Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 64

8 Επίλυση γραµµικών συστηµάτων εξισώσεων στο MATLAB: τελεστής «\»«- 5 A[ -; ]; B[ ; 5]; XA\B Ο τελεστής «\» δίνει πάντα λύση, ακόµη και ειδική Για τον έλεγχο εισάγεται η έννοια του επαυξηµένου πίνακα [Α Β] και εξετάζεται η τάξη του Α (n)( και του [Α Β] (r).( rn µοναδική λύση r<n άπειρες λύσεις (ως προς n-r µεταβλητές) Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 65

9 Παράδειγµα επίλυσης: A[ 3 4; ]; B[4; 5]; rnk(a) )rnk(b) υπάρχει µία λύση A\B [8; 0; -3] τάξη<πλήθος µεταβλητών λύση ως προς 3- ελεύθερες µεταβλητές 3, -6-3 Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 66

10 Ψευδοαντίστροφος ενός πίνακα: Μη-τετραγωνικός πίνακας Α (mn) δεν έχει αντίστροφο Μπορεί να οριστεί πίνακας P (nm( nm), ώστε: A*P*AA, P*A*PP Ο P ονοµάζεται ψευδοαντίστροφος του Α Στο MATLAB: χρήση συνάρτησης pinv Στο προηγούµενο παράδειγµα: Xpinv(A pinv(a)*b Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 67

11 Υπερπροσδιορισµένα συστήµατα (περισσότερες ανεξάρτητες εξισώσεις από αγνώστους): rnk(a)3, rnk([a B])4 X A\B[.0887; A -057;.5349]!!!!! A*X[5.8; 4.9; 3; 0.89] <> B!!!!! Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 68

12 Υπερπροσδιορισµένα συστήµατα: Λύση ελαχίστων τετραγώνων Έστω φαινόµενο στο οποίο δύο µεταβλητές σχετίζονται: yb Έστω m πειράµατα για τον προσδιορισµό των, b Στο i-οστό πείραµα έχουµε είσοδο i και µετρούµε έξοδο y i Ορίζουµε e i το σφάλµα µέτρησης της yi.. Έχουµε: y i b i e i, i,,,m Στην πράξη µετρούµε: (y i -e i )b i Για m> το σύστηµα αυτό δεν έχει λύση ενδιαφερόµαστε για προσέγγιση µε ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος σφαλµάτων. ΕΣ e i κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων Συνεπώς αναζητούνται, b που ελαχιστοποιούν το Ε Αποδεικνύεται ότι [;b[ ;b] ] (A A) - A Y, όπου A[ ; ; ; m ] Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 69

13 Λύση ελαχίστων τετραγώνων (συνέχεια) 0:.5:0; erndn(,length());.5; b3.6; yb b*e; A[ ones(size())' ']; Yy'; Xinv(A inv(a'*a)*a'*y XXA\Y % εδώ δίνει λύση κατά την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων plot(,y,'*',,(x()x()*),'r'); Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 70

14 Λύση ελαχίστων τετραγώνων (συνέχεια) -y y- y 5 y5-6-y y365 A[ -; ; 6 -]; B[; 5; -5]; XA\B -:6; y*-; ; y5-; y36*5; plot(,y,,y,,y3,x(),x(),'*'); grid; is tight; legend('y_-','y_5 ','y_5-','y_365', 'LSE solution'); Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 7

15 Ασταθή συστήµατα Σφάλµατα µετρήσεων και ανοχές A[ ;.0]; ; B[;.0]; X[; ]; formt short; ; XA\B formt long; ; XA\B % αλλαγή κατά 0,5% % 0% µείωση, 00% αύξηση A(,).005; XA\B % αλλαγή <0.5% στο Β() 50% µεταβολή στα Χ A(,); B().05; XA\B % δείκτης αξιοπιστίας ευαισθησία λύσης σε µεταβολές formt short e; cond(a (A), formt short; Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 7

16 Θέση διακόπτη A B C D Ασκήσεις: Εύρος (ma) είξτε ότι το σύστηµα δεν έχει λύση: 4-4 3, Κάνετε χρήση θεµελιώδους ιδιότητας οριζουσών.. ώστε γεωµετρική ερµηνεία.. Έστω το ασταθές σύστηµα: / / 3 / 4 X () 0.95 (α). Βρείτε λύση (β). Βρείτε λύση εάν B(3)0.53 ώστε σχετικές µεταβολές / 3 / 4 / 4 / 5 X () 0.67 / 6 X (3) 0.5 (γ). Βρείτε το δείκτη αξιοπιστίας και συµπεράσµατα για τη λύση 3. Έστω αµπερόµετρο µεταβλητής κλίµακας. Η κλίµακά του οργάνου είναι 0-mA0 ma. Η εσωτερική αντίστασή του είναι 55Ω. Να βρεθούν οι αντιστάσεις R, R, R3, R4 / 5 Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 73