ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου

ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΒΕ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, θεωρούμε Μ, Ν και Ρ τα μέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο MN Δ Ρ είναι ισοσκελές. Iσοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ έχει γωνία κορυφής Â 84. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Bˆ και Γˆ του τριγώνου, β) Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, θεωρούμε Μ και Ν τα μέσα των πλευρών του ΑΓ και ΑΒ. Να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι ΒΜ και ΓΝ είναι ίσες. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ του διπλα-νού σχήματος έχουν ΑΒ = Α Β, ΒΓ = Β Γ και ίσες διάμεσες ΑΜ = Α Μ. α) Να αποδείξετε ότι Β ˆ Β ˆ, β) Να αποδείξετε ότι ABΓ Α Β Γ. Δ Δ ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα

6) Στο διπλανό σχήμα η διάμεσος ΑΜ έχει προεκταθεί κατά τμήμα ΜΝ=ΑΜ. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα και να δείξετε ότι ΝΓ = ΑΒ. β) Να αποδείξετε ότι ΒΝ = ΑΓ. και 7) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, θεωρούμε τα ύψη ΒΚ και ΓΛ προς τις ίσες πλευρές του. Να αποδείξετε ότι τα ύψη ΒΚ και ΓΛ που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα. 8) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, από το μέσο Δ της βάσης ΒΓ φέρουμε ΔΚ ΑΒ και ΔΛ ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΚ = ΔΛ και β) Να αποδείξετε ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. 9) 10) 1 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, από τα μέσα Μ και Ν των ίσων πλευρών του, φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΝΛ, από τη βάση ΒΓ του τριγώνου. α) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν από τη βάση του τριγώνου. β) Να δείξετε ότι τι τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΓΔ και ΑΔ=ΒΓ φέρουμε τα ύψη ΔΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε AB ΓΔ ότι: α) ΑΕ = ΖΒ και β) ΑE Δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν A ˆ A ˆ, ίσα ύψη ΒΔ=Β Δ και ΓΕ=ΓΈ. α) ΑΒ = Α Β, β) ΑΓ = Α Γ και Δ γ) ABΓ Α Β Γ Δ ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 3

ΜΑΘΗΜΑ Α1. Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων Στο διπλανό σχήμα το ABΓΔ είναι τραπέζιο με ΑΒ ΓΔ. Οι παράλληλες στις βάσεις του τραπεζίου ΖΕ και ΚΛ χωρίζουν την ΑΓ σε τρία ίσα μέρη. Να βρείτε τα x και y. ) Στο διπλανό σχήμα οι παράλληλες ΑΑ,ΒΒ και ΓΓ ορίζουν στην ΑΓ δυο ίσα τμήματα ΑΒ=ΒΓ. Αν Α Β = x και Β Γ =χ+3, να υπολογίσετε την τιμή του x και τα μήκη των Α Β και Β Γ. Στο διπλανό σχήμα ΑΒ=5cm και ΓΚ ΔΛ ΕΜ ΖΝ ΗΡ ΘΒ. Να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΚ, ΑΛ, ΑΜ, ΑΝ και ΑΡ. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με A ˆ 90. Προεκτείνουμε τις ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα. Να υπολογίσετε: α) τα μήκη των ΒΓ και ΔΕ β) του λόγους,,, και, Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα ζητούμενα τμήματα. ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 4

ΜΑΘΗΜΑ Α1.3 Θεώρημα του ΘΑΛΗ Να υπολογίσετε το x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα: ) Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ έχουμε ΚΛ ΒΓ, ΔΕ=8cm και ΔΓ=13cm. Να υπολογίσετε τα μήκη α, β, γ και δ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΕΔ ΒΑ και ΕΖ ΑΔ. Να υπολογίσετε τα x και y. Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ έχουμε την EZ παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου. Να υπολογίσετε τo μήκος x. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο με ΑΔ = 18cm. Θεωρούμε σημείο Σ στην ΒΓ ώστε ΣΓ = 6cm και ΣΕ = 13cm. Να βρείτε τα ΣΑ και ΣΒ. ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 5

ΜΑΘΗΜΑ Α1.5 Α. Όμοια πολύγωνα Nα εξετάσετε ως προς την ομοιότητα τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ των παρακάτω σχημάτων και σε αυτά που είναι όμοια να βρείτε το λόγο ομοιότητας τους. Nα εξετάσετε ως προς την ομοιότητα τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ των παρακάτω σχημάτων και σε αυτά που είναι όμοια να βρείτε το λόγο ομοιότητας τους. ) Τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 1/3. Να υπολογίσετε τα μήκη x, κ, λ, μ και ν. Να αποδείξετε ότι δύο κανονικά εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ και Α Β Γ Δ Ε Ζ εγγεγραμμένα σε κύκλους ακτίνων cm και 3 cm είναι όμοια. ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 6

ΜΑΘΗΜΑ Α1.5 Β. Όμοια τρίγωνα Να δείξετε ότι τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και σε κάθε περίπτωση να γράψετε τους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα. Να δείξετε ότι τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και σε κάθε περίπτωση να γράψετε τους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα. ) Να βρείτε το μήκος x στο διπλανό σχήμα. Στο διπλανό σχήμα: α) Να βρείτε την πλευρά ΑΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. β) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια και να βρείτε το x. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΔ είναι το ύψος στην υποτείνουσα ΒΓ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι όμοια β) Να δείξετε ότι ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 7

6) Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΔ είναι το ύψος στην υποτείνουσα ΒΓ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια και ότι β) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑΒΓ είναι όμοια και ότι 7) Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ οι μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ και ΒΓ όταν προεκταθούν τέμνονται στο σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΔΓ είναι όμοια και ότι 8) Στο διπλανό κύκλο (Ο,ρ) οι χορδές του ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΕΔΒ είναι όμοια και ότι 9) Στο διπλανό κύκλο (Ο,ρ) οι προεκτάσεις των χορδών του ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΕΒΓ και ΕΔΑ είναι όμοια και ότι 10) Στο διπλανό τρίγωνο είναι ΕΜ ΒΓ και ΜΔ ΑΒ. Να δείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΑΒΓ είναι όμοια β) τα τρίγωνα ΜΔΓ και ΑΒΓ είναι όμοια γ) 1 ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 8

ΜΑΘΗΜΑ Α1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων ) Στο διπλανό σχήμα το τραπέζιο ΑΒΓΔ έχει εμβαδό 150 cm. Το τραπέζιο ΕΖΗΘ είναι όμοιο με αυτό και κάθε πλευρά του είναι τα 3/5 της πλευράς του ΑΒΓΔ. Να βρείτε το εμβαδό (ΕΖΗΘ). Στο διπλανό σχήμα το ΑΔ είναι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. α) Να βρείτε την ΒΔ και το εμβαδό (ΑΒΔ) β) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια και να υπολογίσετε τα εμβαδά (ΑΒΓ) και (ΑΔΓ). Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι ΜΓ=3ΜΒ, ΜΔ ΑΒ και ΜΕ ΑΓ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΜΕΓ είναι όμοια και (ΜΕΓ)=9(ΜΔΒ) β) Αν το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ΜΔΒ και ΜΕΓ είναι 0 cm να βρείτε το εμβαδό καθενός. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 4cm και 9 cm. Να βρεθούν οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου όμοιου προς αυτό με διπλάσιο εμβαδόν. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το σημείο Κ της ΒΓ είναι τέτοιο ώστε ΚΓ= και ΚΒ=4. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΛ και ΑΒΚ είναι το καθένα όμοιο με το ΚΓΛ ( ) ( ) β) Να βρείτε τους λόγους, ( ) ( ) και να δείξετε ότι (ΑΒΓΔ)=1(ΚΓΛ) ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Τριγωνομετρία Κεφάλαιο ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 10 Γυμνάσιο Αμυνταίου

ΜΑΘΗΜΑ Α.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0 ω 180 Στο διπλανό σχήμα έχουμε το σημείο Μ(-3, στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy. Αν ω = xo ˆ M να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω, συνω και εφω. ) Δίνεται η ευθεία της διχοτόμου του 1 ου τεταρτημορίου με εξίσωση: y x α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείο Μ της ευθείας που έχει τεταγμένη 1. β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = xo ˆ M. Στο διπλανό σχήμα είναι εφω = 0,75 και η τετμημένη του σημείου Μ είναι. α) Να βρείτε την τεταγμένη μ, β) Να βρεθούν τα ημω και συνω. 6) 6) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α = ημ0 συν0 1 εφ0, Β = συν90 1 εφ180 Γ = 1 ημ0 συν90 1 σ 180 ημ90, ημ90 συν180. 1, Δ = 1 εφ0 συν0 Να βρείτε τα πρόσημα των παρακάτω αριθμών: α = ημ18 συν108, β = ημ9 συν3, γ = εφ87 εφ187, δ = ημ6 συν100, ε = εφ147 συν19 Αν η γωνία ω είναι οξεία και η γωνία φ αμβλεία, τότε α) Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α = ημω συνω εφω ημφ συνφ, β) Να αποδείξετε ότι ημφ > συνφ γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς α=ημφ συνφ και β=συνφ + εφφ Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α = 3ημχ +, Β = 4 συνχ και Γ = ημχ 5συνχ ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 11

ΜΑΘΗΜΑ Α. Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ) 6) ημ100 ημ80, συν100 συν80, εφ100 εφ80, ημ147 ημ33, συν147 συν33, εφ147 εφ33 ημ130 συν140 ημ50 συν40 0, ημ150 εφ6 εφ154 0, εφ135 εφ78 εφ10 ημ30 0, συν 110 συν 70 0, εφ 64 εφ 116 0, ημ 10 ημ 30 1, 3 3 ημ 10 ημ 135 ημ 150, συν 10 συν 135 συν 150 ημ(14 ω) ημ(56 ω) 0, συν(160 φ) συν(0 φ) 0, εφ(100 x) εφ(80 x) Να λύσετε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις: ημx 0, συνx 0, συνx 1, 1 ημx, 1 συνx, ημx, συνx, 3 ημx, ημx ημ50, ημx 1, 3 συνx, συνx συν50, συνx συν150, συνx 1 0, εφx 3, Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: ημ(a B) ημγ, συν(a B) συνγ, εφ(a B) εφγ, ημ( Γ) ημα, συν(a Γ) συνβ, εφ(a Γ) εφβ εφx 3 3 7) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών φ, η του τριγώνου ΑΒΓ. ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑ Α.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ) 6) 3 Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ημω, τότε να υπολογίσετε τους άλλους 5 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. 1 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει συνω, τότε να υπολογίσετε τους 13 άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. 11 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω, τότε να υπολογίσετε τους 6 άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει εφω, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει εφω 15, τότε να υπολογίσετε την τιμή ημω εφω 0,75 της παράστασης Κ=. συνω α) Αν 0 ω 90 τότε συνω ημ ω και ημω συν ω β) Αν 90 ω 180 τότε συνω ημ ω και ημω συν ω 7) 8) 9) συνx α) ημx συνx εφx συν x, β) εφx 1 ημχ συνx α) ημx συνx εφx συν x, β) εφx 1 ημχ α) ημx συνx ημx συνx γ) ημx συνx ημx συνx 3, β) ημx συνx ημx συνx, δ) 5 ημ x 5 συν x 5 ε) συν x ημ x συνx συνx, στ) ημ x συν x 1 ημ x ζ) συν x εφ x 1 συν x 10) ημx 3 συνx 3 ημx συνx 13 ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 13

4 4 1 ημ x συν x ημ x 1 1 συν x ημ x α) συνx συνx συν x β) ημx ημx συν x συν x γ) ημx ημx 1 και και ημ x συνx συνx συν x ημx ημx ημx συνx συνx ημx ημx συνx ημx 1 εφx ημx συνx 1 16) 17) 18) 19) 0) α) εφx 1 εφx 1 ημx συνx 1 1 εφ x ημ x εφ x ημ x εφ x συν 1 x εφ β) Αν για την αμβλεία γωνία x ισχύει εφx 3, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x, με τη βοήθεια της σχέσης που δείξατε στο (α) ερώτημα. Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω με ημω = 0,6 και συνω =0,8 Αν ναι να βρείτε το είδος της γωνίας ω; Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω με ημω = 0,5 και συνω =-0,5 Αν ναι να βρείτε το είδος της γωνίας ω; x ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 14

ΜΑΘΗΜΑ Α.4 Α. Νόμος των ημιτόνων Να υπολογίσετε το x σε κάθε περίπτωση: α) β) γ) ) Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται τα μέτρα των γωνιών του και η πλευρά ΑΒ = cm, να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ΑΓ και ΒΓ. Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται τα μήκη των πλευρών του ΑB = 6cm και ΒΓ = 8cm και το μέτρο της γωνίας Α. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών Β και Γ σε μοίρες. Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται τα μήκη των πλευρών του ΑΓ = 60mm και ΒΓ = 90mm και το μέτρο της γωνίας Â 10. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών Β και Γ σε μοίρες. Στο διπλανό σχήμα το σημείο Κ φαίνεται από το σημείο Α υπό γωνία 5 και από το σημείο Β υπό γωνία 35. Αν τα σημεία Α, Β απέχουν 10m να υπολογίσετε το ύψος ΚΗ. 6) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Γˆ 30, α=30cm και γ=35cm, να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου. ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 15

ΜΑΘΗΜΑ Α.4 Α. Νόμος των συνημιτόνων Να υπολογίσετε το x σε κάθε περίπτωση: α) β) γ) ) Στο διπλανό σχήμα οι πλευρές ΑΓ = 8cm και ΒΓ = 10cm ενώ η γωνία ˆ 30. α) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΒ β) Να υπολογίσετε τις γωνίας Βˆ και Αˆ. Στο διπλανό σχήμα το σημείο O είναι το κέντρο του κύκλου ακτίνας cm. Αν η γωνία των ακτινών AOB ˆ 10 να υπολογίσετε το μήκος της χορδής ΑΒ. Στο διπλανό σχήμα το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει πλευρές ΑΒ = 10cm και ΑΓ = 8cm. Αν η γωνία του Â 60 να βρείτε τα μήκη των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ. Να βρείτε τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν: α) Â 60, α = 3 και β = β) Bˆ 135, β = 3 και γ = 3 ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου Σελίδα 16