ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα των αποστάσεων από δύο σταθερά σηµεία Ε1 και Ε2 είναι σταθερός και ίσος µε 2α. Είναι δηλαδή Ε1Μ+ΜΕ2= 2α (Σχ. 1) Τα σηµεία Ε1 και Ε2 είναι οι εστίες της έλλειψης τα δε,, και οι κορυφές της. Το µέσον του είναι το κέντρο της έλλειψης. 2α Κάθε ευθύγραµµο τµήµα που διέρχεται από το και τα άκρα του είναι σηµεία της έλλειψης ονοµάζεται διάµετρος αυτής. Σχήµα 1 Η διάµετρος =2α είναι η µεγαλύτερη των διαµέτρων της έλλειψης και ονοµάζεται µεγάλος άξονας της έλλειψης ή εστιακός άξονας. Η διάµετρος =2β που είναι κάθετη προς την είναι η µικρότερη των διαµέτρων της έλλειψης και ονοµάζεται µικρός άξονας. Η απόσταση Ε1Ε2= 2γ ονοµάζεται εστιακή απόσταση, είναι δε α 2 = β 2 + γ 2. ι κύκλοι µε διαµέτρους τον µεγάλο και τον µικρό άξονα της έλλειψης ονοµάζονται αντίστοιχα πρωτεύων και δευτερεύων κύκλος της έλλειψης. (Σχ 3) Η διάµετρος της έλλειψης η παράλληλη προς τις εφαπτόµενες στα άκρα µιας διαµέτρου, ονοµάζεται συζυγής διάµετρος της (Σχ 2) ι άξονες της έλλειψης είναι ταυτόχρονα συζυγείς διάµετροι κάθετες µεταξύ τους. Σχήµα 2
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 2 2. ΚΤΣΚΕΥΕΣ a) Κατασκευή σηµείων της έλλειψης όταν είναι γνωστό το ζεύγος των αξόνων της Σ Θεωρούµε τον πρωτεύοντα και δευτερεύοντα κύκλο της έλλειψης (σχήµα 3). Μ Η τυχούσα ακτίνα Σ του πρωτεύοντα κύκλου συναντά τον δευτερεύοντα στο σηµείο Τ. Τ πό το Σ φέρουµε την κάθετο προς την και από το Τ την παράλληλο προς αυτήν. Το σηµείο τοµής Μ αυτών των ευθειών είναι σηµείο της έλλειψης. β) Χάραξη έλλειψης µέσω εγγύτατων κύκλων της, όταν είναι γνωστό το ζεύγος των αξόνων της. Σχηµατίζουµε το ορθογώνιο Ε ( Σχ. 4) και από την κορυφή Ε θεωρούµε την κάθετη προς την. Σχήµα 3 Η κάθετη αυτή συναντά τους άξονες της έλλειψης στα σηµεία Κ1 και Κ2. κύκλος κέντρου Κ1 και ακτίνας Κ1 είναι ο εγγύτατος κύκλος της έλλειψης στο σηµείο. Κ3 ντίστοιχα ο κύκλος κέντρου Κ2 και ακτίνας Κ2 είναι ο εγγύτατος κύκλος της έλλειψης στο σηµείο. Ε ι εγγύτατοι κύκλοι της έλλειψης στα σηµεία και είναι συµµετρικοί των προηγουµένων ως προς το κέντρο της έλλειψης. γ) Κατασκευή των αξόνων της έλλειψης όταν δίνεται ζεύγος συζυγών διαµέτρων της (κατασκευή Rytz) Κ4 Κ1 Έστω ότι και συζυγείς διάµετροι έλλειψης (σχήµα 5). Θεωρούµε την Ε= και κάθετη στην. Εάν Ρ µέσον του Ε, ο κύκλος (Ρ, Ρ), συναντά την Ε στα σηµεία Σ και Τ. Κ2 ι ευθείες Σ και Τ είναι οι φορείς των αξόνων της έλλειψης. Σχήµα 4
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 3 Σ µεγάλος άξονας είναι επί της Τ, είναι δε Κ=Λ=Σ=ΤΕ. Ε µικρός άξονας είναι επί της Σ, είναι δε Μ=Ν=ΣΕ=Τ. Μ P δ) Κατασκευή σηµείων της έλλειψης όταν ορίζεται από ένα ζεύγος συζυγών διαµέτρων της. Έστω ότι και συζυγείς διάµετροι έλλειψης (σχήµα 6). Κ Τ Λ Θεωρούµε τον κύκλο διαµέτρου και την ακτίνα Ε την κάθετη στην. άσει µιας παραλλήλου οµολογίας µεταξύ της έλλειψης και του κύκλου, κατασκευάζονται διάφορα σηµεία της έλλειψης ως εξής: Ν πό τυχόν σηµείο Τ της φέρουµε την Κ1Κ2 κάθετο προς αυτήν και την παράλληλο προς την διάµετρο. Σχήµα 5 ι παράλληλοι προς την Ε από τα σηµεία Κ1 και Κ2, τέµνουν την Μ1Μ2 στα σηµεία Μ1 και Μ2 αντίστοιχα. Τα σηµεία Μ1 και Μ2 είναι σηµεία της έλλειψης. Κ1 Μ1 Ε Λ1 Ν1 Τ Σ Μ2 Κ2 Ν2 Λ2 Σχήµα 6
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 4 ΠΡΛΕΣ ΚΥΚΛΥ Κατά την ορθή και γενικά την παράλληλη προβολή (αξονοµετρική προβολή) ένας κύκλος ο οποίος ανήκει σε τυχόν επίπεδο Σ (σ1,σ2 ), προβάλλεται εν γένει κατά µία έλλειψη. Κάθε διάµετρος του κύκλου έχει ως προβολή µία διάµετρο της έλλειψης (Σχ. 7) Το τυχόν ζεύγος καθέτων διαµέτρων του κύκλου προβάλλεται γενικά κατά ένα ζεύγος συζυγών διαµέτρων της έλλειψης. Σχήµα 7 Το ζεύγος των καθέτων µεταξύ τους συζυγών διαµέτρων της έλλειψης είναι το ζεύγος των αξόνων της έλλειψης. Κατά την προβολή του κύκλου σε ένα επίπεδο, µία των διαµέτρων του θα προβληθεί κατά τον µεγάλο άξονα της έλλειψης. Η συγκεκριµένη αυτή διάµετρος είναι η παράλληλη προς το επίπεδο προβολής και κατά συνέπεια ο µεγάλος άξονας της έλλειψης σε κάθε προβολή ισούται προς την διάµετρο του κύκλου. ια την κατασκευή των δύο προβολών του κύκλου, από την κατάκλιση του, επιλέγουµε το ζεύγος των καθέτων διαµέτρων του από τις οποίες θα προκύψουν οι άξονες της έλλειψης της 1 ης προβολής ( Σχ. 9) Η οριζόντια διάµετρος του κύκλου θα είναι ο µεγάλος άξονας της έλλειψης της 1 ης προβολής. Σχήµα 8 Η οριζόντια αυτή διάµετρος του κύκλου η οποία είναι 1 η ιχνοπαράλληλος του επιπέδου του, έχει ως κατάκλιση το ευθύγραµµο τµήµα ο ο. Helmunt Jahn, Σικάγο, 1979-84 πό την διάµετρο την κάθετη προς την θα προκύψει ο µικρός άξονας έλλειψης της 1 ης προβολής.
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 5 Σχήµα 9 ια την έλλειψη της 2 ης προβολής του κύκλου οι κάθετες διάµετροι και, θα προβληθούν κατά ένα ζεύγος συζυγών διαµέτρων της. Το ζεύγος των αξόνων Ε Ζ και Η Θ της 2 ης προβολής του κύκλου προκύπτει από ένα διαφορετικό ζεύγος καθέτων διαµέτρων του. Η διάµετρος ΕΖ του κύκλου από την οποία θα προκύψει ο µεγάλος άξονας Ε Ζ της έλλειψης της 2 ης προβολής είναι µετωπική και κατά συνέπεια ανήκει σε µία 2 η ιχνοπαράλληλο του επιπέδου Σ (σ1,σ2 ), το δε µέγεθος της Ε Ζ ισούται προς την διάµετρο του κύκλου. Η Η Θ είναι δυνατόν να προκύψει είτε κατόπιν εφαρµογής της κατασκευής Rytz, στο αρχικό ζεύγος των συζυγών διαµέτρων είτε κατόπιν κατάκλισης στο 2 ο επίπεδο προβολής ( Σχ. 10)
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 6 Σχήµα 10
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 7 ΣΚΙ ΚΥΚΛΥ Η σκιά ενός κύκλου προκύπτει ως τοµή της επιφάνειας φωτισµού που ορίζει ο κύκλος µε την φωτεινή πηγή. Σε σηµειακό φωτισµό, η επιφάνεια αυτή είναι µία κωνική επιφάνεια 2 ου βαθµού, ενώ σε παράλληλο φωτισµό είναι µία κυλινδρική επιφάνεια. Εποµένως, σε σηµειακό φωτισµό, η ερριµµένη σκιά ενός κύκλου σε ένα επίπεδο, δυνατόν να είναι οποιαδήποτε κωνική. Σε παράλληλο φωτισµό, η σκιά του κύκλου σε τυχόν επίπεδο, είναι µία έλλειψη. Σχήµα 11 Στην περίπτωση που ο κύκλος ρίχνει σκιά σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδό του, η σκιά του θα είναι ένας κύκλος, µεγαλύτερης ακτίνας εάν πρόκειται για σηµειακό φωτισµό και ίσης ακτίνας εάν πρόκειται για παράλληλο φωτισµό. Σχήµα 12
ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 8 ΠΡΕΙΜΤ Στα παραδείγµατα που ακολουθούν θεωρούµε τις φωτεινές ακτίνες παράλληλες. Στην περίπτωση αυτή, τα σηµεία του κύκλου, τα οποία ανήκουν σε ζεύγος καθέτων διαµέτρων του, έχουν ερριµµένες σκιές, σηµεία που ορίζουν συζυγείς διαµέτρους της σκιάς του κύκλου. ΣΚΙ ΤΥΧΝΤΣ ΚΥΚΛΥ ΣΤ Υ ΕΠΙΠΕ ΠΡΛΗΣ Στο σχήµα 12, έχουν δοθεί οι δύο προβολές ενός κύκλου που ανήκει σε τυχόν επίπεδο, και έστω και, ένα ζεύγος συζυγών διαµέτρων των δύο προβολών του. ι φωτεινές ακτίνες είναι παράλληλες προς την διεύθυνση φ (φ,φ ). ι ερριµµένες σκιές 1(1) και (1)1 των διαµέτρων και, στο οριζόντιο επίπεδο ε1, είναι συζυγείς διάµετροι µιας έλλειψης, τµήµα της οποίας είναι η σκιά του κύκλου στο οριζόντιο επίπεδο προβολής. Σχήµα 13 ντίστοιχα, οι ερριµµένες σκιές (2)2 και 2(2), των διαµέτρων και, στο κατακόρυφο επίπεδο ε2, είναι συζυγείς διάµετροι µιας έλλειψης, τµήµα της οποίας είναι η σκιά του κύκλου στο κατακόρυφο επίπεδο προβολής. ι δύο κωνικές αυτές έχουν κοινά σηµεία στον άξονα Υ12 και σχηµατίζουν της ερριµµένη σκιά του κύκλου. ΣΚΙ ΚΥΚΛΥ ΣΕ ΞΝΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΛΗ. Η αξονοµετρική προβολή ενός κύκλου, είναι µία έλλειψη η οποία εν γένει ορίζεται από ζεύγος συζυγών διαµέτρων της, το οποίο προκύπτει από τυχόν ζεύγος καθέτων διαµέτρων του κύκλου. ι σκιές των συζυγών αυτών διαµέτρων, ορίζει, επίσης συζυγείς διαµέτρους της έλλειψης της ερριµµένης σκιάς. Σχ.13 και 14. Σχήµα 14