ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας 80, ενώ το ετήσιο κόστος διατήρησης είναι υψηλό λόγω τεχνολογικής απαξίωσης και εκτιμάται στο 0% της αξίας. Ο χρόνος ικανοποίησης της παραγγελίας είναι μέρες, το δε σύστημα δεν επιτρέπεται να μείνει ούτε στιγμή χωρίς απόθεμα. Να προσδιοριστούν τα βασικά μεγέθη λειτουργίας του συστήματος: α) η ποσότητα παραγγελίας που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος διαχείρισης β) η ενδεδειγμένη στάθμη παραγγελίας γ) το πλήθος των παραγγελιών και ο χρονικός κύκλος δ) το ελάχιστο ετήσιο κόστος διαχείρισης των αποθεμάτων του εξαρτήματος ε) το μέσο απόθεμα που διατηρεί το σύστημα
Απάντηση Το κύριο χαρακτηριστικό αυτού του συστήματος αποθεμάτων είναι η ικανοποίηση όλης της ζήτησης χωρίς καθυστέρηση (βλ. ενότητα 5.3.3). Οι τιμές των δεδομένων μεταβλητών είναι: Z = 10.000, C 1 = 8, C = 80, I = 0, και t =. Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): Z C 10000 80 Q 0 = 1000 μονάδες I C1 0, 8 Η στάθμη παραγγελίας προσδιορίζεται από τη σχέση (5.6), A = z t. Για τον προσδιορισμό της ημερήσιας ζήτησης z απαιτείται η γνώση των εργάσιμων ημερών ανά έτος. Θεωρώντας ότι ο κάθε μήνας έχει εργάσιμες μέρες, τότε z= 10000/(1) = 37,9, οπότε: A = z t = 37,9 = ~76 μονάδες Κατά τη διάρκεια ενός έτους πραγματοποιούνται n = Ζ/Q 0 = 10000/1000 = 10 παραγγελίες, ενώ ο χρονικός κύκλος (το διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές παραγγελίες) είναι περίπου 6 μέρες (γιατί;). Το ελάχιστο ετήσιο κόστος διαχείρισης υπολογίζεται από τη σχέση (5.8): K 0 Z C I C1 10000 80 0, 8 1600 ευρώ Το μέσο απόθεμα που διατηρεί το σύστημα είναι το 50% της άριστης ποσότητας παραγγελίας, άρα ισούται με 500 μονάδες.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μία εμπορική επιχείρηση προμηθεύεται για τις ετήσιες ανάγκες της ποσότητα 100 μονάδων ενός υλικού προς 10 την κάθε μονάδα. Κάθε παραγγελία επιβαρύνει την επιχείρηση με κόστος 00, ενώ για τη διατήρηση της κάθε μονάδας ξοδεύει σε ετήσια βάση. Το συγκεκριμένο υλικό είναι απαραίτητο για τη λειτουργία της επιχείρησης και η έλλειψη της κάθε μονάδας του προκαλεί υψηλό κόστος 3, ενώ ταυτόχρονα είναι δυσεύρετο με επακόλουθο μεγάλο χρόνο ικανοποίησης της κάθε παραγγελίας που εκτιμάται σε δύο μήνες. Ο χρόνος ικανοποίησης της παραγγελίας είναι μήνες. Να υπολογιστούν τα όλα τα βασικά μεγέθη του συστήματος και να εντοπιστεί και σχολιαστεί η ιδιαιτερότητά του.
Απάντηση Προφανώς αποτελεί σύστημα αποθεμάτων στο οποίο μέρος της ζήτησης ικανοποιείται με καθυστέρηση. Από την εκφώνηση του προβλήματος προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές των κύριων μεταβλητών: Z = 100, C 1 = 10, C = 00, C 3 = 3, t = μήνες και I = 0,. Η άριστη ποσότητα παραγγελίας προκύπτει από τη σχέση (5.17): Q 0 Z C I C1 I C1 C C3 3 100 00 0, 10 0, 10 3 3 = 18 μονάδες Η στάθμη παραγγελίας υπολογίζεται από τη σχέση (5.0): A z t C Z C ( I C 3 1 I C1 C3) 100 1 100 00 0, 10 3 (0, 10 3) 16,6-73 = ~-56 μονάδες Το μέγιστο απόθεμα που διατηρεί το σύστημα υπολογίζεται από τη σχέση (5.18): S 0 Z C I C1 C3 100 00 3 I C1 C3 0, 10 0. 10 3 ~110 μονάδες Η μέγιστη ποσότητα που ικανοποιείται με καθυστέρηση ισούται με Q 0 -S 0 = 18-110 = 7 μονάδες. Το πλήθος των παραγγελιών n ισούται με Z/Q 0 = 100/18 = 0,55 παραγγελίες/έτος, δηλαδή το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών παραγγελιών αγγίζει τα δύο έτη. Η ιδιαιτερότητα του συγκεκριμένης περίπτωσης έγκειται στην αρνητική τιμή της στάθμης παραγγελίας και στα συνεπακόλουθά της. Η αρνητική τιμή της στάθμης σημαίνει ότι κάθε νέα παραγγελία πρέπει να δίνεται όταν ήδη υπάρχουν 56 μονάδες ζήτησης που δεν έχουν ικανοποιηθεί ακόμη. Η ποσότητα των 7 μονάδων που ικανοποιούνται με καθυστέρηση συνεπάγεται ότι περίπου το 40% του χρόνου το σύστημα βρίσκεται χωρίς απόθεμα (γιατί;). Τα δύο αυτά φαινόμενα παρότι δε συναντώνται συχνά σε πραγματικά προβλήματα, είναι ωστόσο απόλυτα πιθανά όταν συντρέχουν οι κατάλληλες συνθήκες όσον αφορά τα αριθμητικά δεδομένα ενός προβλήματος.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Μία επιχείρηση έχει τη δυνατότητα είτε να αγοράσει ένα από τα κύρια προϊόντα της προς 5 τη μονάδα είτε να το παράγει η ίδια με ρυθμό 10.000 μονάδων το χρόνο με κόστος τη μονάδα. Στην περίπτωση της αγοράς το κόστος παραγγελίας είναι 5, ενώ σε αυτήν της παραγωγής το κόστος προετοιμασίας της εκτιμάται σε 50. Η ετήσια ζήτηση του προϊόντος ισούται με 500 μονάδες και το ετήσιο κόστος διατήρησης του αποθέματος εκτιμάται στο 10% της αξίας του. Θεωρείται επίσης ότι οι εργάσιμες μέρες του χρόνου είναι 50. Ζητείται να αποφασιστεί ποια πολιτική συμφέρει στην επιχείρηση: αγορά ή παραγωγή του προϊόντος;
Απάντηση Δεδομένα προβλήματος: Z =.500, C 1 (αγορά) = 5, C 1 (παραγωγή) =, C (αγορά) = 5, C (παραγωγή) = 50, ετήσιος ρυθμός παραγωγής R = 10.000, I = 0,1. Περίπτωση αγοράς Η άριστη ποσότητα παραγγελίας ισούται με: Z C 500 5 Q 0 = 100 τεμάχια I C1 0,1 5 Το αντίστοιχο ετήσιο κόστος K α για τη διεκπεραίωση των παραγγελιών και τη διατήρηση του αποθέματος προκύπτει από τη σχέση: K Z C I C1 500 5 0,1 5 50 ευρώ Το ετήσιο κόστος αγοράς ισούται με Z C 1 = 500 5 = 6.500, επομένως το συνολικό κόστος του συστήματος στην περίπτωση της αγοράς του προϊόντος είναι 6.750. Περίπτωση παραγωγής Ο ετήσιος ρυθμός κατανάλωσης k ισούται με την ετήσια ζήτηση, δηλαδή k =.500. Μπορεί πλέον να υπολογιστεί άμεσα η άριστη ποσότητα παραγωγής: Z C 500 5 Q 0 390 τεμάχια k 500 I C1 1 0,1 1 R 10000 Το συνολικό κόστος του συστήματος με παραγωγή του προϊόντος δίνεται από τη σχέση: C Z C Z Q C Q k 1 1 R I C 1 500 390 500 500 50 1 0,1 = ~ 5564 390 10000 Συνεπώς συμφέρει σαφώς η παραγωγή του προϊόντος. Είναι ενδιαφέρον να προσδιοριστεί το όριο της τιμής αγοράς της μονάδας του προϊόντος, κάτω από το οποίο συμφέρει οικονομικά η προμήθειά του αντί της παραγωγής του. Η διερεύνηση αυτή δεν είναι δύσκολη και επαφίεται στον αναγνώστη.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Μία χημική βιομηχανία χρειάζεται 00 τόνους μίας βασικής πρώτης ύλης που χρησιμοποιεί στην ετήσια παραγωγική της διαδικασία. Κάθε παραγγελία ανανέωσης του αποθέματος επιβαρύνει τη βιομηχανία με 40, ενώ το ετήσιο κόστος διατήρησης κάθε τόνου πρώτης ύλης εκτιμάται στο 0% της τιμής αγοράς της. Η κανονική τιμή αγοράς της πρώτης ύλης είναι /τόνο, ωστόσο ο προμηθευτής προσφέρει έκπτωση,5% που αγοράζονται πάνω από 1500 τόνοι. Να διερευνηθεί κατά πόσο συμφέρει στη βιομηχανία η αποδοχή της προσφερόμενης έκπτωσης.
Απάντηση Έχουμε περίπτωση ολικής έκπτωσης (βλ. ενότητα 5.3.8). Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: Z = 00, C 1 (εκπτωτική τιμή) = -,5% = 1,95, C ο (κανονική τιμή) =, C = 40, I = 0,, εκπτωτικό όριο = 1500. Αρχικά υπολογίζεται ο συντελεστής p (πηλίκο μεταξύ εκπτωτικής και κανονικής τιμής). C1 1,95 p 0,975 C 0 O συντελεστής p 1 (Q 1 /Q 0 ) υπολογίζεται από την ακόλουθη δευτεροβάθμια εξίσωση: 1 Z C0 p1 p ( 1 p) 0 p1 I C 1 00 p1 0,975 (1 0,975) 0 p1 0, 40 (μετά από πράξεις) 0,975 p 1,5 p 1 +1 = 0 p 1 = 1,71 και p 1 = 0,6 Η άριστη ποσότητα παραγγελίας με την κανονική τιμή αγοράς ισούται με: Q Z C I C0 0 00 40 = 00 τόνοι 0, είναι: Επομένως εφόσον p 1 = Q 1 /Q 0 οι ποσότητες Q 1 και Q 1 που δίνουν ίσο κόστος με την Q 0 Q 1 = 1,71 00 = 34 και Q 1 = 0,6 00 = 10 Κατά συνέπεια η δεδομένη έκπτωση συμφέρει να γίνει αποδεκτή για οποιαδήποτε ποσότητα μεταξύ 10 και 34 τόνων. Επειδή η έκπτωση παρέχεται για ποσότητα αγοράς τουλάχιστον 1500 τόνων πρέπει να αγνοηθεί από τη βιομηχανία.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Μία αποθήκη διατηρεί δύο κύρια εισαγόμενα υλικά, έστω Α και Β, με τα ακόλουθα αντίστοιχα δεδομένα: Μοναδιαίες αξίες: 6,1 και 8 Ετήσιες ζητήσεις: 1.500 και 0.000 μονάδες Κόστη παραγγελίας: 10.000 και 15.000 Δαπάνες διατήρησης των αποθεμάτων: 10% της αξίας και για τα δύο υλικά. Έχοντας υπόψη τον περιορισμό που δόθηκε από το λογιστήριο ότι δεν είναι δυνατή η δέσμευση ποσού μεγαλύτερου των 75.000 για την προμήθεια των δύο υλικών να υπολογιστούν οι άριστες ποσότητες παραγγελίας για την ανανέωση των αποθεμάτων τους.
Απάντηση Αρχικά πρέπει να ελεγχθεί αν οι άριστες ποσότητες παραγγελίας παραβιάζουν τον υπάρχοντα περιορισμό, γι αυτό σε πρώτη φάση υπολογίζονται ανεξάρτητα από τη σχέση: Q 0 A Z I A 1A C C A 1A 1500 10000 = 0.44 τεμάχια 0,1 6,1 Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο υπολογίζεται ότι Q 0B = 7.386 τεμάχια Αν θεωρηθεί η δυσμενέστερη περίπτωση, κατά την οποία οι ποσότητες των υλικών Α και Β παραλαμβάνονται ταυτόχρονα, τότε το κεφάλαιο που δεσμεύεται ισούται με: K = C 1A Q oa + C 1B Q ob = 6,1 044 + 8 7386 = 34.576 ποσό το οποίο υπερβαίνει κατά πολύ το διαθέσιμο κεφάλαιο των 75.000. Επομένως ο υπάρχων περιορισμός κεφαλαίου είναι ενεργός. Η συνάρτηση του συνολικού κόστους που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι: C τ = Z Q A A C Α + Q A Ι Α C 1Α + Z Q B B C Β + Q B Ι Β C 1Β + λ (C 1A Q A + C 1B Q B d) Από τη διαδοχική παραγώγιση της συνάρτησης C T ως προς Q A, Q B και λ και την εξίσωση των τριών αντίστοιχων εξισώσεων με το μηδέν προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Λύνοντας το σύστημα προκύπτουν οι ακόλουθες λύσεις: λ = 0,99, Q A = 4.418 τεμάχια και Q B = 5.976 τεμάχια Οι παραπάνω τιμές των Q A και Q B αποτελούν τις άριστες ποσότητες παραγγελίας που ικανοποιούν τον περιορισμό του κεφαλαίου. Το αντίστοιχο ελάχιστο συνολικό κόστος αγοράς και διαχείρισης των αποθεμάτων των δύο υλικών ισούται με 75.000, εξαντλώντας όλο το διαθέσιμο κεφάλαιο.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 Ένα τυπογραφείο εκτυπώνει βιβλία τα οποία διανέμει σε βιβλιοπωλεία. Η συνολική ζήτηση ενός συγκεκριμένου βιβλίου είναι περίπου σταθερή και εκτιμάται σε 600 βιβλία το μήνα. Το κόστος παραγωγής του κάθε αντιτύπου είναι 14,5 και η ετήσια δαπάνη διατήρησής του εκτιμάται στο 18% της αξίας του. Η εκτυπωτική δυναμικότητα του τυπογραφείου είναι 5.000 αντίτυπα το χρόνο, ενώ το κόστος προετοιμασίας της παραγωγής υπολογίστηκε σε 150. Το τυπογραφείο εργάζεται κάθε μέρα εκτός από Σαββατοκύριακα και επίσημες αργίες και λόγω φόρτου εργασίας και σχετικά παλιού εξοπλισμού χρειάζεται 15 μέρες για την προετοιμασία της παραγωγής. Να υπολογιστούν όλα τα βασικά μεγέθη του συστήματος: παρτίδα παραγωγής, περίοδοι παραγωγής ανά έτος, κύκλος παραγωγής, μέγιστο απόθεμα, στάθμη έναρξης της παραγωγής, ετήσιο συνολικό κόστος.
Απάντηση Αποτελεί σύστημα με ικανοποίηση όλης της ζήτησης από παραγωγή. Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: - Ρυθμός κατανάλωσης: Z=k=6001=7.00 - Κόστος παραγωγής: C 1 =14,5 - Κόστος διατήρησης: I=0,18 - Κόστος προετοιμασίας παραγωγής: C =150 - Ρυθμός παραγωγής R=5.000 - Χρόνος προετοιμασίας της παραγωγής: t=15 μέρες Η άριστη παρτίδα παραγωγής υπολογίζεται από τη σχέση (5.36): Z C 700 150 Q 0 ~ 1078 βιβλία k 700 I C1 1 0,18 14,5 1 R 50000 Το χρονικό διάστημα τ κατά το οποίο ενεργοποιείται το τμήμα παραγωγής δίνεται από τη σχέση (5.30): Q 1078 0,043 έτη = ~ 13 μέρες (θεωρώντας 300 εργάσιμες μέρες/έτος) R 5000 Ο χρονικός κύκλος Τ στη διάρκεια του οποίου καταναλώνονται τα αποθέματα είναι: Q 1078 T 0,15 έτη = 45 μέρες k 700 αποτέλεσμα που σημαίνει ότι δίνονται ~ 6,7 παραγγελίες το χρόνο (300/45) Το μέγιστο απόθεμα που διατηρεί το σύστημα δίνεται από τη σχέση (5.38): k 700 M Q0 1 1078 1 767 βιβλία R 5000 Η στάθμη του αποθέματος στην οποία πρέπει να δοθεί εντολή για παραγωγή δίνεται από τη σχέση (5.37): Α = k t = 700 15 μέρες (15/300 του έτους) = 360 βιβλία Τέλος, το συνολικό κόστος παραγωγής και διαχείρισης των αποθεμάτων προκύπτει από τη συνάρτηση: C Z C Z Q C Q k 1 1 R I C 1 700 1078 700 C 700 14,5 150 1 0,18 14,5 1078 5000 C = 104.400 (κόστος παραγωγής) + 1.001 (κόστος παραγγελίας παραγωγής) + 1001 (κόστος διατήρησης αποθεμάτων) = 106.40