Γραμμικός Προγραμματισμός

Transcript

1 Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης

2 ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας εργοταξίων, γραφείων αποθηκών

3 Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στόχος του είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος προμήθειας και μεταφοράς του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια.

4 Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στόχος του είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος προμήθειας και μεταφοράς του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια. Βήμα 1 Βασικά στοιχεία που πρέπει να ληφθούν υπ όψη στη μοντελοποίηση αυτού του προβλήματος? Τι είδους δεδομένα είναι απαραίτητα? Βήμα 2 Παραδοχές Βήμα 3 Αρχικό μοντέλο: Μεταβλητές / Αντικειμενική Συνάρτηση / Περιορισμοί

5 Το Πρόβλημα Μεταφοράς Μεταβλητές 2 δείκτες: i = 1,2,3 συμβολίζει τον προμηθευτή j = 1,2,3,4 συμβολίζει το εργοτάξιο Χ ij = Ποσότητα ready-mix που μεταφέρεται από προμηθευτή i στο εργοτάξιο j Αντικειμενική Συνάρτηση: Ελαχιστοποίηση κόστους μεταφοράς C ij = Κόστος μεταφορά ανά μεταφερόμενη μονάδα ready-mix από προμηθευτή i στο εργοτάξιο j Συνολικό Κόστος = i j C ij X ij

6 Το Πρόβλημα Μεταφοράς Περιορισμοί Ικανοποίηση της ζήτησης: Το σύνολο της ποσότητας που μεταφέρεται στο εργοτάξιο j ικανοποιεί τη ζήτηση D j η συνολικά ζητούμενη ποσότητα ready-mix στο εργοτάξιο j, τότε i X ij D j Ικανοποίηση του δυναμικού παραγωγής: Το σύνολο της ποσότητας που μεταφέρεται από τον προμηθευτή i δεν μπορεί να ξεπερνά τη διαθέσιμη ποσότητα του συγκεκριμένου προμηθευτή S i η διαθέσιμη ποσότητα ready-mix στον προμηθευτή i, τότε j X ij S i

7 ΓΠ σε Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν συνολικά να καλύψουν τη ζήτηση. Οι διαθέσιμες ποσότητες από κάθε προμηθευτή είναι: S1: 4; S2: 8; S3:12, ενώ οι απαιτούμενες ποσότητες στα τέσσερα εργοτάξια είναι: A: 5, B: 2, C:10, D:7 Συμφωνήθηκε ότι το κόστος μεταφοράς θα είναι ανάλογο της απόστασης από κάθε εργοτάξιο όπως στον πίνακα που ακολουθεί: A B C D S S S Με ποιο τρόπο θα ελαχιστοποιηθεί το κόστος προμήθειας του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια;

8 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος ΒΔ Γωνίας Ξεκινούμε από πάνω αριστερά και εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα σε κάθε διαδρομή. Όταν εξαντληθεί η διαθεσιμότητα ή ικανοποιηθεί η ζήτηση αλλάζουμε γραμμή ή στήλη αντίστοιχα Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσιμότητα Πάτρα Βόλος Θεσ/νίκη Ζήτηση

9 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος ΒΔ Γωνίας Ξεκινούμε από πάνω αριστερά και εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα σε κάθε διαδρομή. Όταν εξαντληθεί η διαθεσιμότητα ή ικανοποιηθεί η ζήτηση αλλάζουμε γραμμή ή στήλη αντίστοιχα Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσιμότητα Πάτρα Βόλος Θεσ/νίκη Ζήτηση Κόστος: 216

10 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές II. Μέθοδος Ελάχιστου κόστους Ξεκινούμε από τη διαδρομή με το χαμηλότερο μοναδιαίο κόστος και συνεχίζουμε με αύξουσα σειρά κόστους. Κάθε φορά εκχωρούμε τη μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσιμότητα Πάτρα Βόλος Θεσ/νίκη Ζήτηση Κόστος: 218

11 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα =1 Βόλος Θεσ/νίκη Ζήτηση =1 6-5=1 Ποινές 11-6= =4 5-2=3 6-5=1

12 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα =1 Βόλος =1 Θεσ/νίκη =1 Ζήτηση Ποινές 11-6= = = =5 5-2=3 13-5=8 6-5=1 12-6=6

13 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα =1 Βόλος = =6 Θεσ/νίκη =1 11-6=5 Ζήτηση Ποινές 11-6= = = =5 5-2=3 13-5=8 6-5=1 12-6=6

14 Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα =1 Βόλος = =6 Θεσ/νίκη =1 11-6=5 Ζήτηση Κόστος: 205 Ποινές 11-6= = = =5 5-2=3 13-5=8 6-5=1 12-6=6

15 Επίλυση του Προβλήματος Μεταφοράς με Solver ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΖΗΤΗΣΗΣ & ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Πάτρα Βόλος Θεσσαλονίκη Ζήτηση ΔΕΔΟΜΕΝΑ Κόστος Μεταφοράς ανά μονάδα Ζήτηση Διαθεσιμότητα ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΛΥΣΗ - ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟ >= Ζήτησης Διαθεσιμότητα ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Διαθεσιμότητα Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Πάτρα Βόλος Θεσσαλονίκη Ζήτηση ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΑΠΟ ΠΗΓΗ <= Διαθεσιμότητας Κοστος Ελαχιστοποίηση Συνολικό Κόστος Μεταφοράς 205

16 Ανάλυση του Προβλήματος Μεταφοράς με Solver 1/2 Microsoft Excel 15.0 Αναφορά ευαισθησίας Φ ύλλο εργασίας: [TRANSPORTATION.xls]TRANSPORTATION MODEL Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς: 17/1/ :19:18 πμ Ρυθμιζόμενα κελιά Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός ΕπιτρεπόμενηΕπιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή κόστος συντελεστής αύξηση μείωση $B$11 Πάτρα Ιωάννινα E+30 $C$11 Πάτρα Λάρισα E+30 2 $D$11 Πάτρα Αθήνα E+30 2 $E$11 Πάτρα Ηράκλειο E+30 4 $B$12 Βόλος Ιωάννινα E+30 1 $C$12 Βόλος Λάρισα $D$12 Βόλος Αθήνα E+30 2 $E$12 Βόλος Ηράκλειο $B$13 Θεσσαλονίκη Ιωάννινα $C$13 Θεσσαλονίκη Λάρισα E+30 1 $D$13 Θεσσαλονίκη Αθήνα $E$13 Θεσσαλονίκη Ηράκλειο Μειωμένο Κόστος: Μεταβολή στο βέλτιστο κόστος, στην περίπτωση που η τιμή της μεταβλητής αυξηθεί κατά 1 μονάδα. Δηλαδή αν εκχωρηθεί μία μονάδα προϊόντος για μεταφορά στην αντίστοιχη διαδρομή η οποία δεν έχει επιλεγεί στη βέλτιστη λύση. Προφανώς με προσαρμογές εκχωρήσεων στις άλλες διαδρομές

17 Ανάλυση του Προβλήματος Μεταφοράς με Solver 2/2 Microsoft Excel 15.0 Αναφορά ευαισθησίας Φύλλο εργασίας: [TRANSPORTATION.xls]TRANSPORTATION MODEL Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς: 17/1/ :19:18 πμ Περιορισμοί Τελική Σκιώδης Περιορισμός ΕπιτρεπόμενηΕπιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή τιμή R.H. Side αύξηση μείωση $B$14 Ζήτηση Ιωάννινα $C$14 Ζήτηση Λάρισα $D$14 Ζήτηση Αθήνα $E$14 Ζήτηση Ηράκλειο $F$11 Πάτρα Διαθεσιμότητα $F$12 Βόλος Διαθεσιμότητα E+30 0 $F$13 Θεσσαλονίκη Διαθεσιμότητα Σκιώδης τιμή: Μεταβολή στο βέλτιστο κόστος αν ο περιορισμός (ζήτηση ή διαθεσιμότητα) αυξηθεί κατά 1 μονάδα. - Γιατί η διαφορά μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών; - Γιατί η μεταβολή στη διαθέσιμη ποσότητα στο Βόλο δεν επηρεάζει το συνολικό κόστος;

18 Το Πρόβλημα Μεταφοράς Άλλα Ζητήματα Κόστος παραγωγής είναι διαφορετικό ανά προμηθευτή Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη ζήτηση Κάποιες διαδρομές δεν επιθυμούμε να χρησιμοποιηθούν ή αντίθετα επιθυμούμε να χρησιμοποιηθούν Χρησιμοποιούνται διαφορετικά μέσα μεταφοράς: Χωρητικότητα / Κόστος / Ταχύτητα /

19 Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Στο προηγούμενο πρόβλημα ας υποθέσουμε ότι η μεταφορά γίνεται με διαφορετικά μεταφορικά μέσα το οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε όλες τις διαδρομές, αλλά έχουν διαφορετική χωρητικότητα και διαφορετικό κόστος? Πως θα άλλαζε το μοντέλο του προβλήματος

20 Homework Στο πρόβλημα μεταφοράς υποθέστε ότι οι διαθέσιμες ποσότητες από κάθε προμηθευτή είναι: S1: 4; S2: 8; S3:12, ενώ οι απαιτούμενες ποσότητες στα τέσσερα εργοτάξια είναι: A: 5, B: 2, C:10, D:7 Επίσης Συμφωνήθηκε ότι το κόστος μεταφοράς θα είναι ανάλογο της απόστασης από κάθε εργοτάξιο όπως στον πίνακα που ακολουθεί: A B C D S S S Με ποιο τρόπο θα ελαχιστοποιηθεί το κόστος προμήθειας του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια. Επιλύστε το πρόβλημα λαμβάνοντας υπ όψη ότι το κόστος παραγωγής ανά μεταφερόμενο τόνο είναι διαφορετικό για κάθε προμηθευτή, δηλαδή S1: 110; S2: 100; S3:105,

21 Ένα άλλο παράδειγμα Μια επιχείρηση πρόκειται να επενδύσει σε διάφορα έργα επέκτασης των δραστηριοτήτων της. Τα αναγκαία κεφάλαια θα τα να δανεισθεί από διάφορες τράπεζες με τις οποίες συνεργάζεται και οι οποίες θεωρούν την επιχείρηση αξιόπιστη. Κάθε τράπεζα θέτει ένα μέγιστο όριο δανεισμού. Επίσης κάθε τράπεζα δίνει διαφορετικά επιτόκια για κάθε έργο ανάλογα με τον εκτιμώμενο κίνδυνο. Ο παρακάτω πίνακας δίνει συγκεντρωτικά τα χορηγούμενα επιτόκια στην επιχείρηση από κάθε τράπεζα, τις ανάγκες δανειοδότησης, καθώς και το ανώτατο όριο δανεισμού από κάθε τράπεζα. Τράπεζα Κίνησης Εξοπλισμού Επιτόκια ανά Τύπο Επένδυσης Κτιριακά Αγορές Εξωτερικού Μέγιστο όριο δανεισμού ΑΛΦΑ ΠΙΣΤΙΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑ Απαιτούμενα Κεφάλαια Τουλάχιστον 70 και έως 100

22 Προβλήματα Αναθέσεων Προσωπικού Πέντε project managers με διαφορετικές ικανότητες και εμπειρία πρόκειται να τοποθετηθούν σε πέντε έργα διαφορετικών τύπων και προϋπολογισμού. Η καταλληλότητα κάθε στελέχους για κάθε έργο αξιολογήθηκε από τη διοίκηση του οργανισμού σε 20-βάθμια κλίμακα ως εξής: Με ποιο τρόπο θα πρέπει να γίνει η ανάθεση των 5 έργων στους 5 project managers ώστε να επιτευχθεί το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα A B C D E Αντίστοιχο με πρόβλημα μεταφοράς με οριζόντια και κατακόρυφα αθροίσματα = 1

23 Ακέραιος Προγραμματισμός Όταν οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνον ακέραιες τιμές Η επίλυση του προβλήματος είναι δυσκολότερη (ειδικές τεχνικές) Δεν ισχύει η ανάλυση ευαισθησίας του ΓΠ Στον Solver οι μεταβλητές δηλώνονται στους περιορισμούς ως int Ειδική Περίπτωση: Δυαδικές (binary) μεταβλητές Οι δυαδικές μεταβλητές (τιμές 0 ή 1) χρησιμοποιούνται συχνά για να εκφράσουν την ανάληψη ή μη δραστηριοτήτων Y j = 1 όταν αναληφθεί η δραστηριότητα j, και Y j = 0 αν δεν αναληφθεί. Πιθανοί περιορισμοί: Υ 1 + Υ 2 + Υ = 1 για αμοιβαία αποκλειόμενες δραστηριότητες Υ 1 + Υ 2 + Υ (<= ή = ή >=) ν όταν το πολύ ή ακριβώς ή τουλάχιστον ν δραστηριότητες εκτελούνται ή επιλέγονται Υ j Υ i, η δραστηριότητα j μπορεί να εκτελεσθεί μόνον εφόσον εκτελεσθεί η i. Στον Solver οι μεταβλητές δηλώνονται στους περιορισμούς ως bin

24 Δυαδικές (binary) μεταβλητές: Παράδειγμα #1 Η εταιρεία ΧΥΖ εξετάζει τη σύνθεση του χαρτοφυλακίου των έργων της. Επτά υποψήφια έργα διαφέρουν τόσο ως προς την μακροπρόθεσμη απόδοση τους όσο και προς τις απαιτήσεις χρηματοδότησης, όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί: Έργα Απόδοση Χρηματοδότηση M Προσωπικό Εξοπλισμός ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Το συνολικό διαθέσιμο κεφάλαιο είναι 100 εκ. ευρώ. Το διαθέσιμο προσωπικό 16 άτομα, ενώ ο εξοπλισμός επαρκεί για 3 έργα. Τα έργα 1 και 2 είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα, όπως και τα έργα 3 και 4. Επί πλέον ούτε το 3 ούτε το 4 μπορούν να αναληφθούν αν δεν αναληφθούν το 1 και το 2 αντίστοιχα. Αντίθετα δεν υπάρχει κανείς περιορισμός για τα έργα 5, 6 και 7. Ποια η διατύπωση του προβλήματος σε μορφή Ακέραιου Προγραμματισμού? (Λύση αναρτημένη στο e-class: Lecture 3 - Επιλογή Προμηθευτών - Λύσεις.doc

25 Παράδειγμα #1 - Λύση Ορίζουμε τις 0/1 μεταβλητές Χ1, Χ2, Χ3, Χ4, Χ5, Χ6 & Χ7 να συμβολίζουν την επιλογή ή όχι κάθε ενός έργου. Δηλαδή αν Χ1=0 το έργο 1 δεν επιλέγεται, αν Χ1=1 επιλέγεται, κ.ο.κ. Η συνολική απόδοση είναι το άθροισμα των αποδόσεων των 7 έργων πολλαπλασιασμένων αντίστοιχα με τις μεταβλητές Χ1, Χ2 κ.λπ. Επομένως Μεγιστοποίηση Απόδοσης 17Χ1 + 10Χ2 + 15Χ3 + 19Χ4 + 7Χ5 + 13Χ6 + 9Χ7 Ομοίως διατυπώνονται και οι περιορισμοί: Χρηματοδότηση: 43Χ1 + 28Χ2 + 34Χ3 + 48Χ4 + 17Χ5 + 32Χ6 + 23Χ7 100 Προσωπικό: 7Χ1 + 5Χ2 + 4Χ3 + 7Χ4 + 4Χ5 + 5Χ6 + 8Χ7 16 Εξοπλισμός (το πολύ 3 έργα) : Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4 + Χ5 + Χ6 + Χ7 3 Τα 1 & 2 είναι αμοιβαία αποκλειόμενα : Χ1 + Χ2 1 Ομοίως τα 3 & 4: Χ3 + Χ4 1 Το 3 μπορεί να αναληφθεί μόνον στην περίπτωση που αναληφθεί το 1 : Χ3 Χ1 Ομοίως το 4 με το 2 : Χ4 Χ2

26 Παράδειγμα #1 - Λύση Excel

28 Δυαδικές (binary) μεταβλητές: Παράδειγμα #2 Η ΙΝΤΕRCON σκοπεύει να προμηθευτεί άμεσα 26 έως 32 νέα αυτοκίνητα για τις ανάγκες επίβλεψης ενός μεγάλου οδικού έργου. Η εταιρία επιθυμεί τα 14 να είναι τουλάχιστον κυβισμού 1200cc (τύπος Α), μέχρι 12 να είναι κυβισμού 1600cc (τύπος Β), και τα υπόλοιπα να είναι κυβισμού 2000cc (τύπος Γ). Η εταιρία εξετάζει τις ακόλουθες προσφορές 4 αντιπροσωπειών. 1 η Προσφορά 10 Α και 2 Β και 2 Γ συνολική τιμή η Προσφορά 15 Α η Προσφορά 4 Α και 8 Β και 5 Γ η Προσφορά 2 Α και 5 Β και 4 Γ ή 4 Α και 6 Β και 5 Γ ή Η παρούσα αξία του αναμενόμενου κέρδους για κάθε τύπο αυτοκινήτου χωρίς να υπολογίζεται η αξία αγοράς είναι (τύπος Α), (τύπος Β) και (τύπος Γ). Η ΙΝΤΕRCON επιθυμεί να προμηθευτεί τα αυτοκίνητα που χρειάζεται από μία ή το πολύ 2 αντιπροσωπείες. Ποια η διατύπωση του προβλήματος σε μορφή Ακέραιου Προγραμματισμού?

29 Παράδειγμα - Λύση Ορίζουμε τις 0/1 μεταβλητές Χ1, Χ2, Χ3, Χ4, Χ5 να συμβολίζουν την επιλογή ή όχι κάθε ενός προμηθευτή (οι 2 προσφορές του 4 ου προμηθευτή θεωρούνται διαφορετικές. Με περιορισμό που ακολουθεί δεν θα επιτρέψουμε να επιλεγούν και οι δύο). Υπολογίζουμε το καθαρό αναμενόμενο κέρδος το οποίο θα προκύψει από την επιλογή κάθε προμηθευτή εάν αυτός επιλεγεί: Τύπου Α Τύπου Β Τύπου Γ ΠΑ Αναμενόμενου κέρδους 40Α+47Β+50Γ Κόστος Αγοράς Επομένως το καθαρό αναμενόμενο κέρδος (σε χιλιάδες) που επιθυμούμε να μεγιστοποιηθεί είναι : Μεγιστοποίηση: Ζ = 354Χ Χ Χ Χ Χ5 Καθαρό Αναμενόμενο Κέρδος 1 η η η η - Α η - B

30 Παράδειγμα - Λύση Περιορισμοί: Ομοίως διατυπώνονται και οι περιορισμοί: Επιλογή το πολύ 2 προμηθευτών: Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4 + Χ5 <=2 Επιλογή το πολύ ενός εκ των 4 & 5 διότι είναι του ίδιου προμηθευτή: Χ4 + Χ5 <=1 Συνολικός αριθμός αυτοκινήτων μεταξύ 26 και 32: 14Χ1 + 15Χ2 + 17Χ3 + 11Χ4 + 15Χ5 >= 26 14Χ1 + 15Χ2 + 17Χ3 + 11Χ4 + 15Χ5 <= 32 Τουλάχιστον 14 τύπου Α: 10Χ1 + 15Χ2 + 4Χ3 + 2Χ4 + 4Χ5 >= 14 Μέχρι 12 τύπου Β: 2Χ1 + 8Χ3 + 5Χ4 + 6Χ5 <= 12

33 Παράδειγμα #1 - Βέλτιστη Λύση Excel

34 Διαφοροποίηση του προβλήματος Επιλογής Προμηθευτών Ας θεωρήσουμε μία παραλλαγή του προβλήματος προμήθειας αυτοκινήτων που εξετάσαμε ήδη Η επιλογή για τους 3 τύπους αυτοκινήτων μπορεί να γίνει ανεξάρτητα από διάφορους προμηθευτές i. Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων που μπορεί να διαθέσει ένας προμηθευτής για έναν τύπο δεν επαρκεί μπορεί να χρησιμοποιηθούν 2 ή περισσότεροι ii. Για κάθε προμηθευτή που επιλέγεται υπάρχει ένα σταθερό κόστος, ανεξάρτητα από τον αριθμό αυτοκινήτων που αγοράζονται από αυτόν

35 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Δεδομένα ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΏΝ ΣΕ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΑ ΚΆΘΕ ΤΥΠΟΥ ΤΥΠΟΥ Α ΤΥΠΟΥ Β ΤΥΠΟΥ Γ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΤΙΜΕΣ ΑΝΑ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗ ΤΥΠΟΥ Α ΤΥΠΟΥ Β ΤΥΠΟΥ Γ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ

36 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Δεδομένα ΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΑΡΙΘΜΟ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΖΗΤΗΣΗ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΚΆΘΕ ΤΥΠΟΥ ΤΥΠΟΥ Α ΤΥΠΟΥ Β ΤΥΠΟΥ Γ ΣΤΑΘΕΡΟ ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 1 5 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 2 6 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 3 6 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 4 7

37 Παράδειγμα Λύσης ΑΓΟΡΑ ΑΠΌ ΚΆΘΕ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗ ΤΥΠΟΥ Α ΤΥΠΟΥ Β ΤΥΠΟΥ Γ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 1 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 3 5 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 4 5 Ικανοποιούνται οι απαιτήσεις ΤΙΜΕΣ ΑΝΑ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗ ΤΥΠΟΥ Α ΤΥΠΟΥ Β ΤΥΠΟΥ Γ ΚΟΣΤΟΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 1 7 x 20 = ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 2 8 x 14 = x 35 = ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 3 5 x 13 = 65 1 x 36 = 36 6 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ 4 Συνολικό Κόστος =

38 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Μοντελοποίηση Ποιος είναι ο στόχος? Ελαχιστοποίηση Κόστους Πως υπολογίζουμε το κόστος? Κόστος Αυτοκινήτων & Κόστος Προμηθευτών Κόστος Αυτοκινήτων. Κόστος Προμηθευτών.. Ποιες είναι οι μεταβλητές του προβλήματος? Ποια είναι η σχέση μεταξύ τους?

39 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Μεταβλητές 2 δείκτες: i = 1,2,3,4 συμβολίζει τον προμηθευτή j = A,B,Γ συμβολίζει τον τύπο αυτοκινήτου Χ ij = Ποσότητα αυτοκινήτων τύπου j που αγοράζονται από προμηθευτή i Y i = 0-1 ανάλογα με το αν ο προμηθευτής i έχει επιλεγεί Το Y i δεν μπορεί να είναι μηδέν αν κάποιο από τα Χ ij είναι θετικό, ή Τα Χ ij δεν μπορούν να είναι >0 αν το Y i είναι 0.

40 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Αντικειμενική Συνάρτηση Έστω C ij το κόστος του τύπου j αυτοκινήτου από τον προμηθευτή i, και F i το σταθερό κόστος για τον προμηθευτή i Χ ij = η ποσότητα αυτοκινήτων τύπου j που αγοράζονται από προμηθευτή i Y i = 0-1 ανάλογα με το αν ο προμηθευτής i έχει επιλεγεί Συνολικό Κόστος = i j C ij X ij + i F i Y i

41 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Περιορισμοί Έστω S ij η διαθέσιμη ποσότητα τύπου j αυτοκινήτων από τον προμηθευτή i, τότε X ij S ij Y i Αν ο προμηθευτής i, διαθέτει S ij αυτοκίνητα τύπου j τότε η ποσότητα που αγοράσουμε από αυτόν δεν μπορεί να ξεπερνά τα S ij. Αν ο προμηθευτής I δεν επιλεγεί τότε X ij = 0

42 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Άλλοι περιορισμοί Έστω D j η συνολικά ζητούμενη ποσότητα τύπου j αυτοκινήτων, τότε i X ij D j O συνολικός αριθμός αυτοκίνητων τύπου j που θα αγορασθούν από όλους τους προμηθευτές πρέπει να καλύπτει τη ζήτηση

43 Το Πρόβλημα Επιλογής Προμηθευτών - ΙΙ Συνολική Διατύπωση Ελαχιστοποίηση Κόστους i j C ij X ij + i F i Y i Υπό τους περιορισμούς X ij S ij Y i i X ij D j αριθμός περιορισμών i x j αριθμός περιορισμών j Y i μεταβλητές 0, 1