Εθνικό και Καποιστιακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Δυναμική των Ρευστών, 6 Φεβουαίου 08 Απαντήστε σε 3 από τα 4 θέματα ιάκεια εξέτασης ώες Καλή επιτυχία = bonus εωτήματα) Θέμα ο : Εστω μια ισόθεμη ατμόσφαια σε υοστατική ισοοπία, σε ομογενή βαύτητα g = gẑ. α) Δείξτε ότι η πυκνότητα και η πίεση μειώνονται εκθετικά με το ύψος, σαν = 0 e z/h και P = P 0 e z/h, με κλίμακα ύψους H = P 0 0 g. β) Βείτε την ύναμη που ασκεί το ευστό σε ένα κατακόυφο κύλινο. Θεωήστε ότι οι βάσεις του κυλίνου έχουν εμβαόν S και βίσκονται σε ύψη z και z = z + h. γ) Ισχύει η αχή του Αχιμήη για την άνωση που ασκείται στον κύλινο από αυτή την ατμόσφαια; ) Δείξτε ότι για h H η άνωση είναι ανάλογη του όγκου του κυλίνου. Επίσης ότι για z H η πίεση είναι πακτικά ίια με αυτή που θα ποέκυπτε αν η ατμόσφαια είχε σταθεή πυκνότητα 0. Δίνεται το ανάπτυγμα e + για. ε) Ενα σφαιικό μπαλόνι ακτίνας R = και μάζας M = 4 kg αφήνεται να κινηθεί στην πααπάνω ατμόσφαια, για την οποία η πυκνότητα και η πίεση στην επιφάνεια είναι 0 =. kg/ 3 και P 0 = 0 5 N/, ενώ η επιτάχυνση βαύτητας είναι g = 9.8 /s. Θεωώντας ότι οι ιαστάσεις του μπαλονιού εν αλλάζουν καθώς ανυψώνεται, σε ποιο ύψος θα καταλήξει; Θέμα ο : α) Μη-ιεατό, ασυμπίεστο ευστό πειστέφεται μεταξύ ύο ομοαξονικών, κατακόυφων κυλίνων ακτίνων R και R + και μήκους h. Ο εξωτεικός κύλινος είναι ακίνητος ενώ ο εσωτεικός πειστέφεται με γωνιακή ταχύτητα. α ) Βείτε την ταχύτητα πειστοφής u = uϖ) ˆφ. α ) Βείτε την εφαπτομενική συνιστώσα της ύναμης που ασκεί το ευστό στην μονάα της επιφάνειας του εσωτεικού κυλίνου. Εξηγήστε γιατί το αποτέλεσμα για R πειμένουμε να είναι η R ˆφ, όπου η το ιξώες. α 3 ) Ποια η συνολική οπή που ασκεί το ευστό στον εσωτεικό κύλινο αν R; β) Ενα ιξωόμετο πειστεφόμενου κυλίνου φαίνεται στο σχήμα. Το κενό μεταξύ των κυλίνων γεμίζει με ευστό του οποίου θέλουμε να μετήσουμε το ιξώες. Ο εξωτεικός κύλινος κατείται ακίνητος, ενώ στον εσωτεικό ασκείται οπή M gr λόγω του βάους που φαίνεται στο σχήμα, η οποία τον θέτει σε πειστοφή με γωνιακή ταχύτητα. Μετά από σύντομο χονικό ιάστημα αποκατάστασης το βάος κατεβαίνει με σταθεή ταχύτητα V = r. β ) Βείτε την έκφαση που ίνει το ιξώες συνατήσει της ταχύτητας V το βάος M g και τα γεωμετικά χαακτηιστικά του ιξωόμετου θεωούνται γνωστά). Αγνοήστε το ευστό που υπάχει μεταξύ των βάσεων των ύο κυλίνων. β ) Αιτιολογήστε γιατί το ευστό μεταξύ των βάσεων εν επηεάζει το αποτέλεσμα αν οι λόγοι b και πr πrh είναι ακούντως μικοί. b r R h M V
Θέμα 3 ο : Ενα πείαμα στο εγαστήιο γίνεται μέσα σε κυλινική εξαμενή ακτίνας R = 0 c, η οποία πειέχει νεό μέχι ύψος H = 50 c στο κέντο. Η εξαμενή μαζί με το νεό πειστέφονται με συχνότητα 30 στοφές το λεπτό. α) Δείξτε ότι όταν το νεό είναι ακίνητο στο πειστεφόμενο σύστημα της εξαμενής, υπάχει ολοκλήωμα Bernoulli P +gz ϖ = σταθεά και βείτε την ανύψωση του νεού στην πείμετο της εξαμενής. β) Ποιο είναι το πάχος του στώματος Ekan; γ) Κάποια στιγμή ελαττώνουμε την συχνότητα πειστοφής σε 9 στοφές το λεπτό, οπότε το ευστό πειστέφεται ως πος την εξαμενή. γ ) Ελέγξτε αν ισχύει η γεωστοφική ισοοπία. γ ) Το πείαμα ποσομοιάζει κινήσεις γύω από βαομετικό χαμηλό ή υψηλό; γ 3 ) Ποια φοά έχουν οι ακτινικές κινήσεις μέσα στο στώμα Ekan; Θα υπάξουν κατακόυφες κινήσεις στην εξαμενή; Δίνεται η βαύτητα g = 9.8 /s και το κινηματικό ιξώες του νεού ν = 0 6 /s. Θέμα 4 ο : Δύο ευστά ελαφά ιαφοετικών πυκνοτήτων και > βίσκονται σε γεωστοφική ισοοπία, όπως στο σχήμα. Η βαύτητα είναι g = gẑ και η πειστοφή = ẑ. α) Ποια η ιαφοά πιέσεων P B P A στα σημεία A και B που απέχουν απόσταση ; Ομοια, ποια η ιαφοά P Γ P ; Ποια η ιαφοά πιέσεων P A P στα σημεία A και που απέχουν απόσταση z; Ομοια, ποια η ιαφοά P B P Γ ; β) Χησιμοποιήστε τα πααπάνω αποτελέσματα για να βείτε με ύο τόπους την ιαφοά P B P και είξτε την εξίσωση Margules για τον θεμικό άνεμο tan γ = f g v v ). γ) Σε ένα πείαμα στην πειστεφόμενη εξαμενή του σχήματος, η οποία είναι γεμάτη νεό πυκνότητας, έχουμε αχικά χωματισμένο αλατόνεο πυκνότητας γύω από τον άξονα πειστοφής, μέσα στον κύλινο που φαίνεται στο αιστεό σχήμα ο κύλινος εν έχει βάσεις, αλλά ακουμπά στην βάση της εξαμενής και τα ευστά εν αναμειγνύονται). Ολο το σύστημα πειστέφεται γύω από τον άξονα της εξαμενής με γωνιακή ταχύτητα τα ύο ευστά είναι ακίνητα ως πος την εξαμενή). Κάποια στιγμή ταβάμε απότομα πος τα πάνω τον κύλινο οπότε το αλατόνεο βυθίζεται μέσα στο ελαφύτεο νεό. Λόγω της πειστοφής το σύστημα ποσαμόζεται σε γεωστοφική ισοοπία και ημιουγείται μια στάσιμη στήλη αλατόνεου όπως φαίνεται στο εξιό σχήμα. γ ) Δείξτε ότι λόγω ιατήησης στοφομής το νεό που μετατοπίζεται οιζόντια κατά ϖ αποκτά πειστοφική ταχύτητα u φ ως πος την εξαμενή) με ϖu φ + ϖ = σταθεό u φ ϖ. γ ) Συνυάστε την ποηγούμενη σχέση με την εξίσωση Margules με v u φ, v 0) και είξτε ότι η ακτινική μετατόπιση στη στήλη είναι της τάξης της εσωτεικής ακτίνας αποιαμόφωσης Rossby R = g H/f, όπου H το ύψος του νεού στην εξαμενή. Ποια η κλίση της επιφάνειας της στήλης; z υ γ Α uφ ϖ Β Γ υ
Θέμα ο : ΛΥΣΕΙΣ: α) Η εξίσωση υοστατικής ισοοπίας 0 = P + g με = z), P = z)k BT d και σταθεό T, ίνει = g k B T dz. Ολοκληώνοντας από z = 0 όπου = 0 σε τυχαίο z βίσκουμε = 0 e z/h κλίμακα ύψους είναι H = k BT g. Γάφεται και σαν H = P g = P 0 0 g. Η πίεση είναι P = k BT = P 0e z/h, όπου P 0 = 0k B T η πίεση στην επιφάνεια z = 0. όπου η β) Η ύναμη αυτή είναι η άνωση και οφείλεται στην πίεση του ευστού, η οποία στην επιφάνεια και το εξωτεικό του κυλίνου είναι ίια με αυτή που θα υπήχε απουσία του κυλίνου αφού για στατικό ευστό ικανοποιείται ταυτοτικά η οιακή συνθήκη του μηενισμού της ταχύτητας της ολικής ή μόνο της κάθετης συνιστώσας ανάλογα με το αν το ευστό είναι μη-ιεατό ή ιεατό, αντίστοιχα στην επιφάνεια του κυλίνου). Λόγω συμμετίας εν υπάχει συνεισφοά από την κυλινική επιφάνεια, οπότε μένουν μόνο οι συνεισφοές από τις βάσεις οι οποίες ίνουν A = P z )Sẑ + P z ) Sẑ) = P 0 Se z /H e h/h) ẑ. γ) Το βάος του ευστού που έχει εκτοπίσει ο κύλινος είναι dτ g = 0 e z/h dz S gẑ = z 0 SgHe z /H e h/h) ẑ, ηλ. ίσο κατά μέτο με την ύναμη A, αφού P 0 = 0 gh. Άα ισχύει η αχή του Αχιμήη ακόμα και σε συμπιεστά ευστά, ακεί να είναι στατικά. Γενικότεα, η ύναμη που ασκεί το ευστό σε οποιοήποτε σώμα ισούται με το ολοκλήωμα A = P da πάνω στην επιφάνεια του σώματος. Αφού στην επιφάνεια και το εξωτεικό του σώματος η πίεση είναι ίια με αυτή που θα υπήχε απουσία του, το ολοκλήωμα μποεί να υπολογιστεί θεωώντας την πείπτωση χωίς το σώμα και είναι A = P da = P dτ = gdτ χησιμοποιώντας την εξίσωση υοστατικής ισοοπίας, ηλ. είναι αντίθετη του βάους του ευστού που εκτοπίζει το σώμα έχει ίσο μέτο αλλά αντίθετη φοά με το βάος του εκτοπιζόμενου ευστού). ) Για h H είναι e h/h h H και A P 0Se z /H h H ẑ = Sh z=z gẑ. Είναι ανάλογη του όγκου Sh. Για z H είναι P = P 0 e z/h P 0 z/h) = P 0 0 gz, ίια με την λύση της υοστατικής ισοοπίας ασυμπίεστου ευστού 0 = P + 0 g 0 = dp dz 0g. ε) Η πυκνότητα του μπαλονιού είναι = ανυψώνεται. Θα καταλήξει στο ύψος z f z M 4πR 3 /3 = 0.95 kg 3 < 0, άα το μπαλόνι θα αχίσει να όπου η πυκνότητα του αέα είναι ίια με αυτή του μπαλονιού, ώστε η άνωση να είναι ίση με το βάος, ηλ. = 0 e z f /H = z f = H ln 0. Είναι H = P 0 = 8500 και 0 g z f = 900. Θέμα ο : α ) Η ˆφ συνιστώσα της εξίσωσης ομής ίνει u u ϖ = 0 d ϖ du ) = u ϖ dϖ dϖ ϖ. Η γαμμική αυτή εξίσωση έχεται λύσεις ϖ λ με την αντικατάσταση να ίνει λ = ±, επομένως η γενική λύση είναι u = C ϖ + C /ϖ. Οι οιακές συνθήκες u ϖ=r = R και u ϖ=r+ = 0 ίνουν C + C /R = και C + C /R + ) = 0, οπότε τελικά u = R + R ϖ + R R + ) + R ϖ. α ) Η ˆφ συνιστώσα της ύναμης ανά επιφάνεια του εσωτεικού κυλίνου ϖ=r ˆϖ) είναι Π ϖφ = ηϖ d u ) ϖ=r R + ) = η dϖ ϖ + R. Για R η ταχύτητα μειώνεται ποσεγγιστικά γαμμικά από R στην ακτίνα R σε 0 στην ακτίνα R +.
Επομένως η ύναμη ανά επιφάνεια έχει μέτο η u ϖ = η R. Η φοά της είναι στην ˆφ γιατί το ευστό θέλει να επιβαύνει την πειστοφή του εσωτεικού κυλίνου η οποία είναι το αίτιο πειστοφής του θέσει επίσης να θέσει σε πειστοφή τον εξωτεικό κύλινο με σκοπό να εξισωθούν οι πειστοφές και να μην υπάχουν υνάμεις ιξώους). α 3 ) Βάσει της σχέσης T = r F = ϖf φ ẑ η οπή ανά επιφάνεια είναι R η R ) ẑ. Ολοκληώνοντας στην κυλινική επιφάνεια, η συνολική οπή είναι T = R η R ) πrhẑ = πηr3 h ẑ. ] R + ) Το ακιβές αποτέλεσμα, ηλ. χωίς την ποσέγγιση R, είναι R [ η πrhẑ. + R β ) Η οπή T εξουετεώνει την οπή που ασκεί το ευστό στον εσωτεικό κύλινο, ηλ. Mgr = πηr 3 h με = V/r, οπότε η = Mgr πr 3 hv. β ) Το ευστό μεταξύ των βάσεων πειστέφεται με τόπο ώστε στο ύψος που ακουμπά τον εσωτεικό κύλινο να έχει ταχύτητα ϖ ˆφ, ενώ στο ύψος που ακουμπά τον εξωτεικό κύλινο να έχει μηενική ταχύτητα. Επομένως ασκεί πειστοφική ύναμη η u z = η ϖ στην μονάα επιφάνειας της κάτω βάσης του b εσωτεικού κυλίνου, με φοά ˆφ ιότι αντιστέκεται στο αίτιο πειστοφής του, που είναι η πειστοφή του κυλίνου). Η αντίστοιχη οπή ανά επιφάνεια είναι ηϖ /b. Αυτή είναι τάξης το πολύ /b φοές την αντίστοιχη οπή ανά επιφάνεια στην κυλινική επιφάνεια ιότι ϖ R). Επίσης οι επιφάνειες είναι ιαφοετικές, η βάση πr ενώ η παάπλευη πrh. Επομένως η συνολική οπή στη βάση θα έχει ένα παάγοντα τάξης πr σε σχέση με την οπή στην κυλινική επιφάνεια. πrh Πειμένουμε λοιπόν η οπή στη βάση να είναι τάξης T πr b πrh T. Η λύση που ικανοποιεί την εξίσωση ομής για μικούς αιθμούς Reynolds είναι u = ϖ z b ˆφ όπου z = 0 είναι η βάση του εξωτεικού κυλίνου) και ίνει ˆφ συνιστώσα της ύναμης ανά επιφάνεια στην βάση του εσωτεικού κυλίνου z=b ẑ ίση με Π zφ = η du dz = η ϖ z=b b. Η αντίστοιχη οπή ανά επιφάνεια είναι ϖ ηϖ/b) ẑ. Ολοκληώνοντας στην επιφάνεια της βάσης βίσκουμε συνολική οπή T = ϖ η ϖ ) R πϖdϖẑ = ηπr4 ẑ. 0 b b Είναι ηλ. T = R 4 b h T. Θέμα 3 ο : Συχνότητα πειστοφής = 30 λεπτό = 30 30, άα = π 60 s 60 rad/s = 3.4 rad/s και f = = 6.8 s. α) Στο πειστεφόμενο σύστημα, για στατικό νεό, η εξίσωση ομής είναι 0 = P υναμικό είναι Φ g = gz ϖ P + gz ϖ = σταθεό. άθοισμα βαύτητας και φυγόκεντου). Άα P + Φ g Φ g, όπου το ) = 0, ηλ. Στην επιφάνεια η πίεση είναι σταθεή, άα το ολικό υναμικό είναι σταθεό, gz ϖ = σταθεό. Η τιμή της σταθεάς βίσκεται από το ύψος στο κέντο z c = 0.5 c και άα στην πείμετο το ύωος είναι z με gz ϖ = gz c. Η ανύψωση είναι z z c = R = 5. g β) d = ν/f = 0.6.
γ ) Οι ταχύτητα ως πος την εξαμενή είναι +ϖ ˆφ με = π rad/s και άα έχει μέγιστο μέτο 60 U = R = c/s. Ro = U = 0.06, Ek = ν fr fh = 7 0 6, άα ισχύει η γεωστοφική ισοοπία. γ ) Αφού η ταχύτητα έχει την φοά + ˆφ, ηλ. κυκλωνική, η Coriolis είναι ακτινική πος τα έξω και εξουετεώνεται από ύναμη κλίσης πίεσης που αναπτύσσεται με φοά πος τον άξονα, άα αντιστοιχεί σε κίνηση γύω από βαομετικό χαμηλό. ς πος τον αανειακό παατηητή η κίνηση του ευστού και η κατανομή της πίεσης εν αλλάζουν αμέσως μετά την αλλαγή πειστοφής της εξαμενής. Στο πειστεφόμενο όμως σύστημα θεωούμε ότι το μέος της πίεσης ϖ / εξουετεώνει την φυγόκεντο και ασχολούμαστε μόνο με το υπόλοιπο που σχετίζεται με την γεωστοφία. Η ελάττωση του αύξησε το υπόλοιπο ημιουγώντας «βαομετικό χαμηλό» στον άξονα. γ 3 ) Πος το κέντο, όπως είχνει η λύση u H = u g e z/d cos z ) + ẑ u g e z/d sin z d d με u g = ϖ ˆφ. Δείτε ένα τέτοιο πείαμα http://paoc.it.edu/labweb/lab9/gfd_9.ht Θα υπάξουν κατακόυφες κινήσεις. Το ευστό που κινείται πος το κέντο μέσα στο στώμα Ekan ανεβαίνει πος την επιφάνεια στην πειοχή κοντά στον άξονα και κατόπιν επιστέφει στον πυθμένα από το μέος που συνοεύει με την παάπλευη επιφάνεια της εξαμενής. Θέμα 4 ο : α) Η οιζόντια κλίση πίεσης συνέεται με την γεωστοφική οή u g = HP ẑ f 0 v = f 0 P, επομένως P B P A = f 0 v και P Γ P = f 0 v. Η κατακόυφη κλίση πίεσης συνέεται με την βαύτητα 0 = P z g, επομένως P A P = g z και P B P Γ = g z. β) Χησιμοποιώντας τις ιαομές μέσα στο ευστό βίσκουμε P B P = P B P A ) + P A P ) = f 0 v g z, ενώ χησιμοποιώντας τις ιαομές μέσα στο ευστό βίσκουμε P B P = P B P Γ ) + P Γ P ) = f 0 v g z. Εξισώνοντας τα αποτελέσματα βίσκουμε z v v, ή ισούναμα tan γ f g v v ). = f 0 g γ ) Λόγω απουσίας οπών, η στοφομή ανά μάζα ως πος αανειακό παατηητή ϖu φa ιατηείται. Είναι όμως u φa = u φ + ϖ, οπότε το ολοκλήωμα στοφομής είναι ϖu φ + ϖ = σταθεό. Αυτό ποκύπτει και από την εξίσωσης ομής u t + u ) u = P ευστό φ = 0) η ˆφ συνιστώσα γάφεται u φ t +u u φ + u ϖu φ ϖ d Φ g u. Για αξισυμμετικό = u ϖ du φ dt + u φ dϖ ϖ dt ϖuφ + ϖ ) = 0, ηλ. το ζητούμενο ολοκλήωμα. + dϖ dt = 0. Πολλαπλασιάζοντας με ϖ ποκύπτει dt Αν η αχική ακτίνα είναι ϖ i η αχική ακτίνα της στήλης του αλατόνεου) και η τελική είναι ϖ = ϖ i + ϖ, το ολοκλήωμα ίνει ϖu φ + ϖ = ϖi u φ = ϖ i ϖ ) = ϖϖ i + ϖ) ϖ. ϖ ϖ i + ϖ γ ) Η εξίσωση Margules με ταχύτητες v u φ f ϖ, v 0 και κλίση tan γ H ίνει ϖ H ϖ f g ϖ ϖ R. Η κλίση της επιφάνειας της στήλης είναι tan γ = H/R = f H/g. Δείτε το πείαμα στο http://arshallplub.it.edu/eperients/gfd-i-fronts ή στο http:// weathertank.it.edu/links/projects/fronts-an-introduction/fronts-tank-eaples