Ονοματεπώνυμο: «Όνομα» «Επώνυμο» Ημ/νία: Δευτέρα, 19 Νοεμβρίου 018 Κεφάλαιο 10: Πολλαπλάσια και διαιρέτες Διαιρέτες (Δ) ενός ακέραιου αριθμού λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 10,18 και 4 είναι αντίστοιχα: Δ10 = 1,,5,10. Δ18 = 1,,3,6,9,18. Δ4 = 1,,3,4,6,8,1,4. Πολλαπλάσιο (Π) ενός ακέραιου αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο ακέραιο αριθμό (1,,3,4,5...). Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια του και του 3 είναι αντίστοιχα οι αριθμοί: Π = 0,,4,6,8,10,1,14,16,18,0,,4... Π3 = 0,3,6,9,1,15,18,1,4,7,30,33,36... Τα πολλαπλάσια κάθε φυσικού αριθμού είναι άπειρα. Κοινά πολλαπλάσια (Κ.Π.) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι φυσικοί α- ριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των φυσικών αριθμών: π.χ. ο αριθμός 4 έχει πολλαπλάσια τους αριθμούς 0,4, 8, 1, 16, 0, 4, 8,... Ο αριθμός 6 έχει πολλαπλάσια τους αριθμούς 0, 6, 1, 1 8, 4, 30, 36,... Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 4 και 6 είναι οι αριθμοί 0, 1, 4,... Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα 1 διαδοχικά πολλαπλάσια των αριθμών, 3 και 6. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Π 4 6 8 10 1 14 16 18 0 4 Π3 3 6 9 1 15 18 1 4 7 30 33 36 Π6 6 1 18 4 30 36 4 48 54 60 66 7 Παρατηρούμε ότι μερικά απ' τα πολλαπλάσια του, τα 6, 1, 18, 4 συμβαίνει να είναι πολλαπλάσια και των άλλων αριθμών 3 και 6. Αν ο πίνακας ήταν μεγαλύτερος, θα βρίσκαμε κι άλλα κοινά πολλαπλάσια. Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι άπειρα, αφού και τα πολλαπλάσιά τους είναι άπειρα. Τα κοινά πολλαπλάσια δημιουργούνται με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του μικρότερου κοινού πολλαπλασίου. Π.χ. 6, 1, 18, 4...
Υπολογισμός του Ε.Κ.Π. 1 ος τρόπος: Βήμα 1: Βρίσκω τα πολλαπλάσια των αριθμών. Βήμα : Βρίσκω τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών. Βήμα 3: Επιλέγω το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια (Ε.Κ.Π.). - Π4 = 0, 4, 8, 1, 16, 0, 4, 8, 3, 36, 40, 44, 48,... - Π6 = 0, 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, 48,... - Π8 = 0, 8, 16, 4, 3, 40, 48,... - Κ.Π. (4, 6, 8) = 0, 4, 48,... Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 4 ος τρόπος: Εξετάζουμε: Αν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς, των οποίων ζητάμε το Ε.Κ.Π. τους, είναι πολλαπλάσιο των υπολοίπων, δηλαδή αν διαιρείται ακριβώς με τους άλλους αριθμούς. Αν διαιρείται α- κριβώς, τότε αυτός, ο μεγαλύτερος, είναι το Ε.Κ.Π. τους. Παράδειγμα 1: Ε.Κ.Π. (3,4,1) = 1, γιατί 1 : 3 = 4 και 1 :4 = 3. Αν ο μεγαλύτερος αριθμός δε διαιρείται ακριβώς με τους άλλους, δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιό τους, τότε τον διπλασιάζουμε ή τον τριπλασιάζουμε κ.ο.κ., μέχρι να βρούμε έναν αριθμό, δηλαδή ένα πολλαπλάσιό του. που να διαιρείται ακριβώς με όλους τους άλλους δοσμένους α- ριθμούς. Αυτός ο αριθμός είναι το Ε.Κ.Π. τους. Παράδειγμα : Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των αριθμών 1 και 15. Διαλέγω τον μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς, που είναι το 15. Το 15 δεν είναι πολλαπλάσιο του 1 (δεν διαιρείται ακριβώς με το 1), οπότε το διπλασιάζουμε, τριπλασιάζουμε κ.ο.κ. μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιό του. Έτσι λοιπόν, στον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού εντοπίζω τα πολλαπλάσια του 15: Παρατηρούμε ότι το μικρότερο πολλαπλάσιο του 15 που είναι ταυτόχρονα και πολλαπλάσιο του 1 είναι το 60.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8 83 84 85 86 87 88 89 90 91 9 93 94 95 96 97 98 99 100 Επομένως: Ε.Κ.Π. (1, 15) = 60 Παράδειγμα 3: Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 4. Πώς το βρήκαμε: Επειδή ο μεγαλύτερος αριθμός, ο 8, δε διαιρείται με το 4 και το 6 (δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιό τους), τον διπλασιάζουμε ( 8= 16) και ελέγχουμε αν ο 16 διαιρείται με το 4 και το 6. Επειδή ο 16 δε διαιρείται ακριβώς, τριπλασιάζουμε το 8 (3 8 = 4) και ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα διαιρείται από τους 4 και 6. Παρατηρούμε ότι ο 4 διαιρείται ακριβώς με το 4 και το 6 (4 : 4 = 6 και 4 : 6 = 4), γιατί είναι πολλαπλάσιό τους. Άρα το 4 είναι το Ε.Κ.Π. του 4, 6 και 8. 3 ος τρόπος Παράδειγμα: Να βρεθεί το Ε.Κ.Π των αριθμών, 3, 5, 4. Γράφουμε τους αριθμούς οριζόντια και τραβάμε μια κάθετη γραμμή, όπως στο παράδειγμα 3 5 4 3
Κοιτάζουμε αν κάποιος από τους παραπάνω αριθμούς διαιρείται με κάποιον από τους πρώτους αριθμούς, αρχίζοντας με το. Αν διαιρείται, γράφουμε δεξιά της γραμμής τον αριθμό. 3 5 4 Κάνουμε στο μυαλό μας τη διαίρεση και γράφουμε αριστερά της γραμμής, κάτω από κάθε αριθμό το πηλίκο. Τους άλλους αριθμούς που δε διαιρούνται, τους ξαναγράφουμε όπως είναι. 3 5 4 1 3 5 Κοιτάζουμε τώρα αν κάποιος από τους νέους αριθμούς διαιρείται πάλι με το. Αν διαιρείται γράφουμε δεξιά της γραμμής τον αριθμό. Κάνουμε τη διαίρεση, γράφουμε το πηλίκο και τους άλλους αριθμούς τους ξαναγράφουμε όπως είναι. 3 5 4 1 3 5 1 3 5 1 Αν δεν υπάρχει άλλος αριθμός που να διαιρείται με το, συνεχίζουμε με το 3. Αν υπάρχει αριθμός, που διαιρείται με το 3, γράφουμε δεξιά της γραμμής το 3 και κάνουμε τη διαίρεση, όπως παραπάνω. 3 5 4 1 3 5 1 3 5 1 1 1 5 1 Συνεχίζουμε με το 5 (διαιρείται κάποιος). Γράφω δεξιά της γραμμής το 5 και κάνω τη διαίρεση, όπως προηγουμένως. 3 5 4 1 3 5 1 3 5 1 1 1 5 1 1 1 1 1 3 3 5 Όταν όλα τα πηλίκα γίνουν 1 (μονάδα), πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που είναι δεξιά της γραμμής και βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. Εδώ έχουμε : 3 5 = 4 3 5 =1 5 = 60. Άρα Ε.Κ.Π των (,3,5,4) είναι ο αριθμός 60. 4
Διαιρέτες - Μ.Κ.Δ. Διαιρέτες (Δ) ενός φυσικού αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό: π.χ. ο αριθμός 8 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1,, 4, 8. Κάθε φυσικός αριθμός έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες: τη μονάδα και τον εαυτό του. Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι πάντα μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού: π.χ. οι διαιρέτες του 1 είναι οι 1,, 3, 4, 6, 1. Λυμένα προβλήματα 1. Τρία αδέρφια επισκέπτονται τους θείους τους ως εξής: ο α ' κάθε 3 ημέρες, ο β' κάθε 5 και ο γ' κάθε 6. Αν τους επισκέφτηκαν σήμερα και οι τρεις, σε πόσες μέρες θα ξανακάνουν κοινή επίσκεψη και πόσες φορές θα έχει επισκεφτεί ο καθένας μέχρι τότε τους θείους του; Η πρώτη φορά που θα συναντηθούν είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5, 6. Π3-0, 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 7, 30,... Π5-0, 5, 10, 15, 0, 5, 30, 35, 40,... Π6-0, 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4,... Κ.Π. (3, 5, 6) = 0, 30, 60,... Ε.Κ.Π. (3, 5, 6) = 30 Επομένως, θα συναντηθούν μετά από 30 ημέρες. Μέχρι τότε θα έχουν επισκεφτεί τους θείους τους: ο α' 30 : 3 = 10 φορές, ο β' 30 : 5 = 6 φορές και ο γ 30 : 6 = 5 φορές.. Οι μαθητές ενός τμήματος μπορούν να παραταχθούν σε τριάδες, τετράδες και εξάδες χωρίς να περισσεύει κανείς. Πόσοι το λιγότερο είναι οι μαθητές του τμήματος; Ο μικρότερος δυνατός αριθμός των μαθητών του τμήματος είναι όσο και το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3,4,6. Π3-0, 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 7, 30,... Π4 = 0, 4, 8, 1, 16, 0, 4, 8, 3,... Π6 = 0, 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4,... Κ.Π. (3, 4, 6) = 0, 1, 4,... 5
Ε.Κ.Π. (3, 4, 6) =1 Επομένως, το τμήμα έχει τουλάχιστον 1 μαθητές. Βέβαια, το πιο πιθανό είναι να έχει το τμήμα μαθητές ίσους με το επόμενο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών 3, 4, 6, δηλαδή 4 μαθητές. 3. Η γυμνάστρια ενός σχολείου θέλει να χωρίσει τους 4 μαθητές ενός τμήματος σε ομάδες με ίδιο αριθμό μαθητών. Ποιοι είναι οι δυνατοί συνδυασμοί ομάδων που μπορεί να δημιουργήσει; Για να χωριστούν ακριβώς οι μαθητές σε ομάδες, χωρίς να περισσεύει κανένας, πρέπει να βρω τους διαιρέτες του αριθμού 4, έτσι ώστε να προκύψουν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί: Δ4 =1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4 Επειδή ο ένας μαθητής δεν αποτελεί ομάδα, οι περιπτώσεις χωρισμού είναι: 4 : = 1, άρα ομάδες των 1 μαθητών 4 : 3 = 8, άρα 3 ομάδες των 8 μαθητών 4 : 4 = 6, άρα 4 ομάδες των 6 μαθητών 4 : 6 = 4, άρα 6 ομάδες των 4 μαθητών 4 : 8 = 3, άρα 8 ομάδες των 3 μαθητών 4 : 1=, άρα 1 ομάδες των μαθητών Ασκήσεις εξάσκησης 4. Χρωματίζω με διαφορετικό χρώμα τα πολλαπλάσια του 1 και τα πολλαπλάσια του 18: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7 73 74 75 76 77 78 79 80 6
81 8 83 84 85 86 87 88 89 90 91 9 93 94 95 96 97 98 99 100 Κυκλώνω τους αριθμούς που έχουν και τα δυο χρώματα και επιλέγω τον πιο μικρό. Το Ε.Κ.Π. των αριθμών 1 και 18 είναι το:. 5. Στους παρακάτω πίνακες είναι σκιασμένα μερικά από τα πολλαπλάσια κάποιων αριθμών. Βρίσκω αυτούς τους αριθμούς: 1 1 1 1 α) πολλαπλάσια του.. β) πολλαπλάσια του.. γ) πολλαπλάσια του.. δ) πολλαπλάσια του.. 6. Βρίσκω τα πρώτα 7 πολλαπλάσια των αριθμών: α) Π7 = ε) Π1 = β) Π9 = στ) Π0 = γ) Π11 = ζ) Π5 = 7. Βρίσκω τα πολλαπλάσια των αριθμών, ξεκινώντας από το 0, και τα συμπληρώνω στα κουτάκια. Μετά χρωματίζω όσα βλέπω ότι είναι κοινά και στους τρεις αριθμούς. Π6 0 Π8 Π1 Π0 Π4 Π40 7
8. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών: Π3 Π6 Π4 9. Βρίσκω τα πολλαπλάσια των αριθμών, μέχρι να βρω 3 κοινά πολλαπλάσια για κάθε ζευγάρι αριθμών, όπως στο παράδειγμα: 10. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών: α) Ε.Κ.Π. (4, 6) = β) Ε.Κ.Π. [5, 8, 10)= = γ) Ε.Κ.Π. (15, 0,30) = 11. Ακολουθώ το μοτίβο: Σε ποια στήλη συναντιούνται και τα τρία σχήματα; Τι συμπεραίνω; 8