Ασκήσεις και δραστηριότητες

Transcript

1 Ασκήσεις και δραστηριότητες 1. Ποιος είναι ο Ευκλείδης, συγγραφέας των Στοιχείων; Πότε έζησε; Τι γνωρίζουμε γι αυτόν και για το έργο του; Από πού; Να διαβάσεις σχετικά σε μιαν εγκυκλοπαίδεια ή ένα βιβλίο ιστορίας των μαθηματικών ή ένα βιογραφικό λεξικό ή έναν αξιόπιστο δικτυακό τόπο και να απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα σύντομα και περιεκτικά (σε περίπου 200 λέξεις). 2. i. Ετυμολόγησε τις λέξεις μαθηματικά, αριθμός, σύνολο, σχήμα. ii. Γιατί λες να λέγονται τα μαθηματικά μαθηματικά; Μια απάντηση μπορείς να βρεις στο Ivor Thomas, Greek Mathematical Works, Α τομ., Loeb Classical Library, σελ. 3. Σχολιάσέ την. 3. Διάβασε σε μιαν εγκυκλοπαίδεια ή αλλού ποιοι ήταν οι Αυγουστίνος και Gottfried Leibniz που αναφέραμε και γράψε μια σύντομη αλλά περιεκτική παρουσίασή τους (έως 300 λέξεις για τον καθένα). 4. Να βρεις σε μιαν εγκυκλοπαίδεια ή ιστορία των μαθηματικών ή αλλού τις βασικές αρχές του τρόπου με τον οποίον οι αρχαίοι Έλληνες ή οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ή οι Βαβυλώνιοι αναπαριστούσαν τους φυσικούς αριθμούς. Δώσε παραδείγματα. 5. Να γράψεις τους παρακάτω αριθμούς στο ρωμαϊκό σύστημα Ως χρονολογίες οι αριθμοί αυτοί αντιστοιχούν σε λιγότερο ή περισσότερο σημαντικά ιστορικά γεγονότα. Γράψε ποια νομίζεις ότι είναι αυτά. 6. Να γράψεις τους παρακάτω αριθμούς στο ρωμαϊκό σύστημα Να γράψεις τους παρακάτω τέσσερις αριθμούς στο ινδοαραβικό σύστημα. MMCLXXVII, LXVII, MDCLI, LXXVIII, CCCXVI, MDCCCX 8. Να γράψεις τους αριθμούς 1204 και 1897 στο τετραδικό, το επταδικό και το δωδεκαδικό σύστημα αναπαράστασης. Για τους αριθμούς 10 και 11 στο δωδεκαδικό χρησιμοποίησε τα ψηφία $ και &.

2 2 9. Να γράψεις τους αριθμούς (453) 6, ( ) 2, (3065) 8 στο δεκαδικό σύστημα αναπαράστασης. 10. Σε κάποιο σύστημα αναπαράστασης (με βάση και αξία θέσης) ο αριθμός 2357 έχει επόμενο τον i. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός στο δεκαδικό σύστημα; ii. Γράψε τον στο ρωμαϊκό σύστημα. 11. Εάν γράψεις τον έναν μετά τον άλλον τους 2000 πρώτους φυσικούς αριθμούς, πόσες φορές θα χρησιμοποιηθεί το ψηφίο 1; Α Β Γ Δ Κάνε το παρακάτω ταχυδακτυλουργικό κόλπο σε μια φίλη σου. Παρουσίασέ της τις παραπάνω τέσσερις κάρτες. Ζήτα από τη φίλη σου να βάλει στο νου της, χωρίς να σου αποκαλύψει, έναν αριθμό από το 1 ως το 15 και να σου πει σε ποιες κάρτες ο αριθμός αυτός εμφανίζεται. Εσύ δεν βλέπεις τις κάρτες από τη μεριά που είναι γραμμένοι οι αριθμοί, αλλά από την πίσω μεριά όπου είναι σημειωμένο μόνον το γράμμα που αντιστοιχεί στην κάρτα. Όταν η φίλη σου σου πει σε ποιες κάρτες είναι ο αριθμός που έβαλε στον νου της, εσύ προσθέτεις γρήγορα και νοερά τους χαρακτηριστικούς αριθμούς των καρτών αυτών που είναι 1 για την Α, 2 για την Β, 4 για την Γ και 8 για την Δ. Το άθροισμα είναι ο αριθμός που έβαλε στο νου της η φίλη σου. Πείσου ότι το κόλπο πετυχαίνει πάντα. Εξήγησε γιατί πετυχαίνει.

3 3 (Υπόδειξη: Γράψε τους αριθμούς 1 ως 15 στο δυαδικό σύστημα. Τι παρατηρείς σε σχέση με τις παραπάνω κάρτες;) Μπορεί να γίνει το ίδιο κόλπο με περισσότερους αριθμούς; Αν ναι, με ποιους; Πόσες κάρτες χρειάζονται τότε; 2.9. Ασκήσεις 13. Αν οι α, β, γ και μ 0 είναι φυσικοί αριθμοί ποια από τα παρακάτω ισχύουν; i. Αν ο μ διαιρεί τον α και το άθροισμα α + β, τότε ο μ διαιρεί και τον β. ii. Αν ο μ διαιρεί τον α και δεν διαιρεί το α + β, τότε ο μ δεν διαιρεί τον β. iii. Αν ο μ διαιρεί τον α και δεν διαιρεί τον β, τότε ο μ δεν διαιρεί και τον α + β. iv. Αν ο μ διαιρεί το α + β, τότε ο μ διαιρεί τόσο τον α όσο και τον β. v. Αν ο μ διαιρεί το α + β, τότε ο μ διαιρεί τον α ή διαιρεί τον β. vi. Αν ο μ διαιρεί τον α β, τότε ο διαιρεί τον α ή διαιρεί τον β. vii. Αν ο α β διαιρεί τον μ, τότε ο α διαιρεί τον μ και ο β διαιρεί τον μ. (Υπόδειξη: Για να δείξεις ότι κάποια από τις παραπάνω δεν ισχύει, αρκεί να εκθέσεις ένα «αντιπαράδειγμα», δηλαδή να βρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύει η κατάσταση που περιγράφει η υπόθεση του υποθετικού λόγου, αλλά δεν ισχύει η απόδοσή του. Για να δείξεις ότι κάποια από τις παραπάνω ισχύει, πρέπει να δείξεις ότι κάθε κατάσταση στην οποία ισχύει η υπόθεση του υποθετικού λόγου, είναι κατάσταση στην οποία ισχύει και η απόδοσή του. Για να το κάνεις αυτό προφανώς δεν αρκεί να αναφερθείς σε ένα ορισμένο πλήθος αριθμητικών παραδειγμάτων). 14. Έστω ότι η διαίρεση α : μ έχει υπόλοιπο υ 1, ενώ η διαίρεση β : μ έχει υπόλοιπο υ 2. Τι μπορείς να πεις για το υπόλοιπο της διαίρεσης α + β : μ; 15. Πόσοι είναι όλοι γνήσιοι (δηλαδή οι διαφορετικοί από τον 1 και 36) διαιρέτες του 36; Βρες τους. 16. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι και η διαφορά τους Ποιοι είναι οι αριθμοί; 17. Το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι 123. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί;

4 4 18. Υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος που ο διπλάσιός του να ισούται με το μισό του συν 18; 19. Πότε η διαφορά των δύο τριψήφιων αριθμών χψz και zψχ είναι διψήφιος και πότε τριψήφιος αριθμός; Αν η διαφορά είναι τριψήφιος αριθμός, ποιο είναι το μεσαίο ψηφίο και με τι ισούται το άθροισμα του πρώτου και του τρίτου ψηφίου της; Γιατί; 20. Να βρεις ένα διψήφιο αριθμό χψ, με άθροισμα ψηφίων 15, για τον οποίον ισχύει χψ ψχ = Ποια είναι τα υπόλοιπα που μπορεί να προκύψουν, αν ο διαιρέτης μιας διαίρεσης είναι το 7; 22. Ποιοι είναι οι αριθμοί που όταν διαιρεθούν δια του 11, αφήνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο; 23. Μαγικό τετράγωνο τρίτης τάξης. Να τοποθετήσεις τους αριθμούς 1, 2,, 9 στο παρακάτω τετράγωνο, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιο να είναι το ίδιο. 24. Ο Σάκης που μαζεύει τηλεκάρτες έχει λιγότερες από 320 και περισσότερες από 300. Όταν τις μετρά ανά 9 περισσεύουν 7, όταν τις μετρά ανά 7 περισσεύουν 5, όταν τις μετρά ανά 5 περισσεύουν 3. Πόσες τηλεκάρτες έχει; 25. Να βρεις έναν φυσικό αριθμό που διαιρούμενος δια 2 αφήνει υπόλοιπο 1, διαιρούμενος δια 3 αφήνει υπόλοιπο 2, διαιρούμενος δια 4 αφήνει υπόλοιπο 3, διαιρούμενος δια 5 αφήνει υπόλοιπο 4, διαιρούμενος δια 6 αφήνει υπόλοιπο Χίλιοι εκατόν εικοσιοκτώ χειροκροτητές πρέπει να μεταφερθούν με λεωφορεία των 36 θέσεων. Πόσα λεωφορεία χρειάζονται;

5 5 27. Τέσσερις φίλοι πήγαν σε ένα μπαρ και πλήρωσε ο καθένας τα ποτά που ήπιε. Τα χρήματα που έδωσαν ο πρώτος, ο δεύτερος και ο τρίτος μαζί ήταν 27 ευρώ. Τα χρήματα που έδωσαν ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος μαζί ήταν 31 ευρώ. Ο τρίτος, ο τέταρτος και ο πρώτος 34 ευρώ, ενώ ο τέταρτος, ο πρώτος και ο δεύτερος 37 ευρώ. Πόσα χρήματα πλήρωσε καθένας τους; Σε ποιους θα συνέφερε να έχουν πληρώσει «ρεφενέ»; 3.5. Ασκήσεις 28. Η παραπάνω μέθοδος πολλαπλασιασμού χρησιμοποιήθηκε από τους μουσουλμάνους και τους Βενετούς: Εξήγησε τι κάνουμε στη μέθοδο αυτή και κάνε έτσι και τον ακόλουθο πολλαπλασιασμό: 4325 επί Συμπλήρωσε τους δύο παρακάτω πίνακες (προπαίδεια με βάση το 5):

6 6 30. Να βρεις τον φυσικό αριθμό β για τον οποίο ισχύουν οι πράξεις i. (34) β + (43) β = (110) β ii. 9β Χ 9 β = (74) β 31. Πρόσθεσε τους αριθμούς (147) 8, (256) 8 στο οκταδικό σύστημα. 32. Πολλαπλασίασε τους αριθμούς (23) 6, (14) 6 στο εξαδικό σύστημα. 33. Δείξτε ότι για κάθε β > 2, ο αριθμός (121) β είναι τέλειο τετράγωνο. 34. Είναι σωστοί οι παρακάτω πολλαπλασιασμοί διψήφιων αριθμών στην ίδια δεκάδα; 23Χ 8 = (23 + 8) Χ 20+ 3Χ 8= 31Χ = = Χ 52 = (57 + 2) Χ 50+ 7Χ 2= 59Χ = = 2964 Αν ναι, ποιος είναι ο κανόνας που ακολουθείται; Γιατί δίνει το σωστό αποτέλεσμα; 35. Εξήγησε τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι παρακάτω πολλαπλασιασμοί. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο έκαναν πολλαπλασιασμούς οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι 1. 7 φορές το 13 κάνει φορές το 7 κάνει Εξήγησε τον τρόπο με τον οποίο έγινε η διαίρεση 156:12 = 13 (τρόπος των αρχαίων Αιγυπτίων) 2. 1 Βλ. λχ., Victor J. Katz, ο.π. σ Ο.π. σ

7 Η πρακτική ρωσική μέθοδος. Εξήγησε τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι παρακάτω πολλαπλασιασμοί 14 φορές το 16 κάνει 544 και 25 φορές το 13 κάνει 325. Γιατί βγαίνει το σωστό αποτέλεσμα; Στις παρακάτω πράξεις να αντικαταστήσεις τα γράμματα με αριθμούς (σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικοί αριθμοί και σε ένα γράμμα αντιστοιχεί πάντα ο ίδιος αριθμός) έτσι ώστε η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός να είναι σωστά εκτελεσμένες πράξεις. i. ΟΚΤΩ ii. ΔΥΟ + ΔΥΟ ΔΥΟ ΔΕΚΑ ΠΕΝΤΕ 39. Βλέπεις κάποιο μοτίβο στα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων; Αν ναι, ποιο είναι αυτό; Γιατί εμφανίζεται; Με τι ισούται το ; 1Χ= Χ 11 = ; 111Χ 111 = ; 5.5. Ασκήσεις και δραστηριότητες 1. Να γράψεις τις συνήθεις 150 λέξεις για καθένα από τους Ερατοσθένη, Frermat, Mersenne. 2. Είναι δυνατόν ο αριθμός Ν 2-1 να είναι πρώτος αριθμός και ο Ν να είναι

8 8 σύνθετος; Ναι, όχι, γιατί; Ν 3. Δείτε ότι αν ο είναι πρώτος αριθμός, τότε φυσικό αριθμό. ν Ν= 2, για κάποιον ν 4. Πάρε δύο οποιουσδήποτε διαδοχικούς αριθμούς. Πολλαπλασίασέ τους. Διαιρείται ο αριθμός που βρήκες δια 2; Πάρε τρεις οποιουσδήποτε διαδοχικούς αριθμούς. Πολλαπλασίασέ τους. Διαιρείται ο αριθμός που βρήκες δια 6; Απόδειξε ότι το γινόμενο ν(ν > 1) διαδοχικών φυσικών αριθμών διαιρείται πάντοτε με το ν! 5. Να υπολογίσεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών και Να γράψεις τον ΜΚΔ(17063, 28841) ως διαφορά ενός πολλαπλασίου του και ενός πολλαπλασίου του Να παραγοντοποιήσεις τον αριθμό Πόσοι αριθμοί της μορφής ΑΒ36 διαιρούνται δια του 36; 8. Πόσοι αριθμοί μεταξύ του 1 και 1500 δεν διαιρούνται ακριβώς ούτε δια του 3 ούτε δια του 5; 9. Δείξτε ότι ο 36 είναι γνήσιος διαιρέτης του χωρίς να εκτελέσεις τη διαίρεση. 10. Δείξε ότι ο αριθμός 1609 είναι πρώτος και δείξε ότι ο 5621 είναι σύνθετος. Ανάλυσε τον 5621 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. 11. Ένας αριθμός έχει 27 διαιρέτες από τους οποίους τρεις είναι οι 21, 33, 77. Ποιος είναι ο αριθμός και πόσοι διαιρέτες του είναι πολλαπλάσια του 21; Πόσοι διαιρέτες του δεν είναι πολλαπλάσια του 33; 12. Πόσοι είναι όλοι οι διαφορετικοί πενταψήφιοι αριθμοί που περιέχουν ακριβώς από μία φορά και τα τέσσερα ψηφία 1, 3, 5, 7, 9; Αν διατάξουμε όλους αυτούς τους αριθμούς από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο, ποιος θα είναι ο 50ός; 13. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς Α, Β έχει περισσότερους διαιρέτες και γιατί; Α= 9 Χ13 Χ 17 και Β= 11 Χ13 Χ17 Χ Ο αριθμός Α19Β διαιρείται ακριβώς δια του 72. Ποιος είναι ο αριθμός και ποιο είναι το πηλίκο της διαίρεσης; 15. Ο πενταψήφιος αριθμός ΑΒΓΔΕ έχει 18 διαιρέτες. Το άθροισμα των

9 9 ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3 αλλά όχι του 9. Επίσης Α Γ Ε (Β Δ) = 0 και ο αριθμός (ΑΒΓΔ) - 2Χ Ε είναι πολλαπλάσιο του 7. Ποιος είναι ο αριθμός; 16. Να βρεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 2491, 3127 και Οι αριθμοί 4, 9 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Παρατηρούμε ότι και οι 13= 4+ 9 και οι 36 = 4Χ 9 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επίσης οι αριθμοί 2, 3 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Παρατηρούμε ότι και οι 5= 2+ 3 και οι 6= 2Χ 3 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Δείξτε ότι αυτό δεν είναι τυχαίο, δηλαδή ότι αν δύο φυσικοί αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους είναι και το άθροισμα και το γινόμενό τους. 18. Να βρεις έναν τετραψήφιο αριθμό ΑΒΓΔ για τον οποίον ισχύει 4 ΑΒΓΔ ΔΓΒΑ και έναν τριψήφιο αριθμό χψζ για τον οποίον 3 χψζ ζψχ. 19. Μια δημοτική πισίνα έχει τις ακόλουθες ώρες λειτουργίας: 9 π.μ. 12 π.μ. και 1 μ.μ μ.μ. Καθημερινά απασχολούνται δύο ναυαγοσώστες που αλλάζουν βάρδιες κατά τη διάρκεια της λειτουργίας της. Οι βάρδιες τους είναι δίκαια μοιρασμένες καθημερινά, δηλαδή καθημερινά είναι ισόχρονες και ισοπληθείς. Ποια είναι η μεγαλύτερη διάρκεια που μπορεί να έχουν αυτές οι βάρδιες; 20. Ο 22 ος ορισμός στο έβδομο βιβλίο των Στοιχείων λέει: «Ένας (φυσικός) αριθμός λέγεται τέλειος, αν είναι το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του». i. Απόδειξε την πρόταση 36 του ένατου βιβλίου των Στοιχείων ότι αν το ν- 1 ν άθροισμα = 2-1, ν> 1, είναι πρώτος αριθμός, τότε ο ν- 1 ν αριθμός 2 Χ(2-1) είναι τέλειος. ii. Βρες τους πρώτους τέσσερις τέλειους αριθμούς. iii. Ποιος είναι ο 5 ος ; Το 1738 ο Euler απέδειξε ότι κάθε άρτιος τέλειος αριθμός είναι της μορφής ν- 1 ν 2 Χ(2-1). Ωστόσο ακόμη δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι αν υπάρχει πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον Δύο αριθμοί λέγονται φίλοι αν το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ενός ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. Δείξε ότι τα ζευγάρια (200, 284) και (1184, 1210) είναι ζευγάρια φίλων αριθμών.

10 Αποδείξτε ότι ο ΜΚΔ(α, β, γ) = ΜΚΔ((α, β), γ). Τρεις αριθμοί α, β, γ λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν ο ΜΚΔ(α, β, γ) = 1. Ισχύει ότι εάν τρεις αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε είναι και ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους. Ισχύει ότι αν τρεις αριθμοί είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους, τότε είναι και πρώτοι μεταξύ τους. 23. Δύο κινητά κινούνται ομόρροπα πάνω σε μια κυκλική περιφέρεια, την οποία καλύπτουν το πρώτο σε 72 ώρες και το δεύτερο σε 108. Αν κάποια στιγμή βρεθούν ταυτόχρονα στο σημείο Α της περιφέρειας, μετά πόσο χρόνο θα ξανασυναντηθούν;