ΠΛΗ10 Κεφάλαιο 2. ΠΛH10 Εισαγωγή στην Πληροφορική: Τόμος Α Κεφάλαιο: : Συστήματα Αρίθμησης ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

Transcript

1 ΠΛH10 Εισαγωγή στην Πληροφορική: Τόμος Α Κεφάλαιο: : Συστήματα Αρίθμησης ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

2 ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. Στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, αντί για δεκάδες, εκατοντάδες με τις οποίες μετρουσαμε στο δεκαδικό, μετράμε σχηματίζοντας δυάδες (2=2 1 ), τετράδες (4=2 2 ), οκτάδες (8=2 3 ),δεκαεξάδες (16δες) (16=2 4 ), 32δες(32=2 5 ), 64δες (64=2 6 ), 128δες (128=2 7 ), 256δες (256=2 8 ) κ.ο.κ. Δηλαδή δυνάμεις του 2. Δύο μονάδες μιας τάξης μας δίνουν μια μονάδα ανώτερης ταξης, δηλαδή 2 2δες μου δίνουν μια 4αδα, 2 4δες μια 8αδα, 2 8αδες μια 16αδα κ.ο.κ

3 Εστω λοιπόν ότι σε ένα τραπέζι υπάρχουν 125 βόλοι. Θα μετρήσουμε αυτή την ποσότητα με τη βοήθεια του δυαδικού συστήματος αρίθμησης. Θα πρέπει να εκφράσουμε το 125 σε μονάδες, 2δες, 4δες, 8δες, 16δες, 32δες, 64αδες, 128δες (όχι γιατί 128>125), δηλαδή δυνάμεις του Αρα: 125 = = 1*2 6 +1*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1* (125) 10 = 1*2 6 +1*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = ( ) 2 1

4 Έτσι λοιπόν στο δυαδικό σύστημα οι αριθμοί αναπαριστωνται με συνδυασμούς δύο ψηφίων: 1,0 Κάθε ψηφίο πολλαπλασιάζεται με δύναμη του 2. Το δεξιότερο ψηφίο με 2 0 και πηγαίνοντας προς τα αριστερά, οι δυνάμεις του 2 αυξάνονται κατά 1. Είναι σύστημα θέσης με βάση το 2.

5 Οι Η/Υ αποτελούνται από ηλεκτρονικά κυκλώματα κ αυτά σε τελική ανάλυση φτιάχνονται από μικρότερα ηλεκτρονικά κυκλωματα (transistors) τα οποία λειτουργούν πάντα σε δυο καταστάσεις: Δεν περνάει ρεύμα (συμβολίζουμε την κατάσταση αυτή με 0) Περνάει ρεύμα (συμβολίζουμε την κατάσταση αυτή με 1)

6 Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι οι πληροφορίες μέσα στον Η/Υ παριστάνονται ως ακολουθίες ψηφίων 1 κ 0, δηλαδή με το δυαδικό σύστημα αρίθμησης.

7 METAΤΡΟΠΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ: Υποθέτουμε ότι ο αριθμός εχει ακέραιο και δεκαδικό μέρος. Α) Για το μεν ακέραιο μέρος: Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αρίθμησης στο δεκαδικό, τον αναπτύσουμε σε δυνάμεις του 2, πολλαπλασιάζοντας κάθε ψηφίο του (1 ή 0) που βρίσκεται στη θέση ν, με δύναμη του 2 ν και κατόπιν αθροίζουμε τις δυνάμεις αυτές. Έτσι το τελευταίο ψηφίο πριν την υποδιαστολή (θέση 0) πολλαπλασιάζεται με 2 0, το προτελευταίο (θέση 1) με 2 1 κ.ο.κ Β) Για το μεν δεκαδικό μέρος: Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή πολλαπλασιάζεται με 2-1, το δευτερο με 2-2 κ.ο.κ

8 METAΤΡΟΠΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ: Παράδειγμα1: Ο αριθμός (10010) 2 = (?) 10 (10010) 2 =1* * * * *2 0 = 16+2 = (18) 10 Παράδειγμα2: Ο αριθμός ( ) 2 = (?) 10 ( ) 2 =1* * * * * * *2-3 = = /2+1/8 = = (12.625) 10

9 METAΤΡΟΠΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ Στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, αντί για δεκάδες, εκατοντάδες με τις οποίες μετρουσαμε στο δεκαδικό, μετράμε σχηματίζοντας δυάδες (2=2 1 ), τετράδες (4=2 2 ), οκτάδες (8=2 3 ),δεκαεξάδες (16δες) (16=2 4 ), 32δες(32=2 5 ), 64δες (64=2 6 ), 128δες (128=2 7 ), 256δες (256=2 8 ) κ.ο.κ. Δηλαδή δυνάμεις του 2. Δύο μονάδες μιας τάξης μας δίνουν μια μονάδα ανώτερης ταξης, δηλαδή 2 2δες μου δίνουν μια 4αδα, 2 4δες μια 8αδα, 2 8αδες μια 16αδα κ.ο.κ

10 ΜΕΤΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΟ: Α ΤΡΟΠΟΣ (ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΣ μετρώντας με δυνάμεις του 2) Εστω λοιπόν ότι σε ένα τραπέζι υπάρχουν 125 βόλοι. Θα μετρήσουμε αυτή την ποσότητα με τη βοήθεια του δυαδικού συστήματος αρίθμησης Θα πρέπει να εκφράσουμε το 125 σε μονάδες, 2δες, 4δες, 8δες, 16δες, 32δες, 64αδες, 128δες (όχι γιατί 128>125), δηλαδή δυνάμεις του Αρα: 125 = = 1*2 6 +1*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 1 (125) 10 = 1*2 6 +1*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = ( ) 2

11 ΜΕΤΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΟ: Β ΤΡΟΠΟΣ - διαιρεση με 2 Διαιρούμε τον δεκαδικό αριθμό συνεχώς με το 2, έως ότου προκύψει ΠΗΛΙΚΟ 0. Τα δυαδικά ψηφία προκύπτουν από τα υπόλοιπα όπως φαίνεται στο σχήμα

12 ΜΕΤΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΟ: Β ΤΡΟΠΟΣ - διαιρεση με 2 Ο ίδιος (προηγούμενος τρόπος με άλλη σχηματική αναπαράσταση. Σχηματίζουμε τον αριθμό γράφοντας τα υπόλοιπα από το τέλος προς την αρχή. (LSB, MSB)

13 ΜΕΤΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΟ Στην περίπτωση που ο δεκαδικός αριθμός έχει και δεκαδικό μέρος, η μετατροπή του σε δυαδικό γίνεται χωριστά για κάθε μέρος. Α (ακέραιο μέρος ), Β (δεκαδικό μέρος). Το δεκαδικό μέρος μετατρέπεται σε δυαδικό με διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς με το 2, όπου κρατάμε τα ακέραια ψηφία που προκύπτουν.

14

15 Ασκηση1: Να μετατρέψετε σε δυαδικό τον αριθμό: (54,623) 10 Ασκηση2: Να μετατρέψετε σε δεκαδικό τον αριθμό: ( ) 2