Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Transcript

1 Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις βασικές γνώσεις της άλγεβρας. Ειδικότερα, παρουσιάζονται τα κύρια στοιχεία αναφορικά με: τους αριθμούς, τους δεκαδικούς, τα κλάσματα, τις δυνάμεις, τις ρίζες, τα ποσοστά, τις εξισώσεις και τις ανισώσεις πρώτου βαθμού, τις αλγεβρικές παραστάσεις και τις συναρτήσεις. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Αριθμοί. Δεκαδικοί και κλάσματα. Δυνάμεις και ρίζες. Ποσοστά. Εξισώσεις και ανισώσεις πρώτου βαθμού. Συναρτήσεις. 5

6 Φυσικοί αριθμοί (1) Με βάση το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, με τη χρήση των δέκα ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9, μπορούμε να σχηματίσουμε άπειρους αριθμούς. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται φυσικοί αριθμοί και ανάμεσά τους ο ελάχιστος είναι το 0. Για κάθε φυσικό αριθμό n, εκτός από το 0, υπάρχει ένας επόμενος, ο οποίος βρίσκεται εάν προσθέσουμε την μονάδα (n + 1) και ένας προηγούμενος, ο οποίος βρίσκεται εάν αφαιρέσουμε τη μονάδα (n 1). Για το 0 υπάρχει μόνον ο επόμενος φυσικός αριθμός, το 1. 6

7 Φυσικοί αριθμοί (2) Η διαδικασία κατασκευής φυσικών αριθμών μπορεί φυσικά να συνεχίζεται επ άπειρον και έτσι δημιουργείται το σύνολο των φυσικών αριθμών που συμβολίζεται με N (natural numbers). Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 ονομάζονται άρτιοι ή ζυγοί, ενώ αυτοί που δεν διαιρούνται με το 2 ονομάζονται περιττοί ή μονοί. 7

8 Στρογγυλοποίηση Φυσικών Αριθμών (1) Την διαδικασία κατά την οποία αντικαθιστούμε έναν φυσικό αριθμό με μια προσέγγισή του, δηλαδή με κάποιον άλλο λίγο μεγαλύτερο ή λίγο μικρότερό του, την ονομάζουμε στρογγυλοποίηση. Συχνά χρειάζεται να κάνουμε στρογγυλοποιήσεις, ιδιαίτερα όταν έχουμε να κάνουμε με πολύ μεγάλους αριθμούς. Για παράδειγμα, ο πληθυσμός της Ελλάδας είναι άτομα, σύμφωνα με τα πρώτα προσωρινά στοιχεία της απογραφής του Ωστόσο, σχεδόν ποτέ δεν λέμε αυτόν τον αριθμό ολόκληρο. Όταν αναφερόμαστε στον πληθυσμό της χώρας λέμε συνήθως ο πληθυσμός της Ελλάδας είναι 11 εκατομμύρια ή λέμε 10,7 εκατομμύρια, στρογγυλεύουμε δηλαδή τον αριθμό προς τα πάνω ή προς τα κάτω. 8

9 Στρογγυλοποίηση Φυσικών Αριθμών (2) Η στρογγυλοποίηση ενός φυσικού αριθμού γίνεται ως εξής: Προσδιορισμός της τάξης στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, εκατομμύρια, κλπ.). Αν το ψηφίο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι μικρότερο του 5 (δηλαδή 0, 1, 2, 3, 4) τότε αντικαθιστούμε με 0 το ψηφίο αυτό καθώς και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων, ενώ τα υπόλοιπα ψηφία παραμένουν στην πρότερή τους μορφή. 9

10 Στρογγυλοποίηση Φυσικών Αριθμών (3) Αν το ψηφίο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8, 9) τότε αυξάνουμε κατά µία μονάδα το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα επόμενα προς τα δεξιά ψηφία του. Εξυπακούεται ότι δεν στρογγυλοποιούνται οι αριθμοί τηλεφώνων, ο αριθμός φορολογικού μητρώου (Α.Φ.Μ.), διάφοροι κωδικοί αριθμοί, κλπ. 10

11 Ακέραιοι αριθμοί (1) Είδαμε ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι το μηδέν και όλοι οι θετικοί αριθμοί. Υπάρχουν βεβαίως και οι αντίστοιχοι αρνητικοί αριθμοί. Εάν μαζί με τους φυσικούς αριθμούς πάρουμε και τους αρνητικούς, τότε σχηματίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με Z από τη γερμανική λέξη Zahl, που σημαίνει αριθμός. Έτσι, λοιπόν, το σύνολο Z περιλαμβάνει τους αριθμούς 0, ±1, ± 2, ±3, ±4, κλπ. 11

12 Ακέραιοι αριθμοί (2) Για να απεικονίσουμε τους ακέραιους αριθμούς σε μια ευθεία γραμμή βάζουμε σε κάποιο σημείο το μηδέν και έχοντας ορίσει κάποια απόσταση ως μονάδα, προσθέτουμε διαδοχικά τη μονάδα στα δεξιά του μηδενός και αφαιρούμε διαδοχικά τη μονάδα από τα αριστερά του μηδενός, οπότε έχουμε: 12

13 Ακέραιοι αριθμοί (3) Η θέση κάθε σημείου που ορίζεται από έναν αριθμό πάνω στην ευθεία ονομάζεται τετμημένη του σημείου. Παρατηρούμε ότι ανάμεσα στους ακέραιους αριθμούς υπάρχουν κενά τα οποία μπορεί να καλυφθούν από αριθμούς που είναι μικρότεροι από τον δεξιά τους ακέραιο αριθμό και μεγαλύτεροι από τον αριστερά τους ακέραιο αριθμό. 13

14 Ρητοί αριθμοί (1) Θεωρώντας το πηλίκο m/n δύο ακεραίων αριθμών δημιουργούμε ένα κλάσμα (προσοχή: πρέπει πάντα n 0). Κάθε κλάσμα έχει μια συγκεκριμένη τιμή, η οποία μπορεί να είναι ένας ακέραιος αριθμός εάν η διαίρεση του αριθμητή m με τον παρονομαστή n γίνεται ακριβώς, ή μπορεί να είναι ένας δεκαδικός αριθμός εάν η διαίρεση δεν γίνεται ακριβώς. 14

15 Ρητοί αριθμοί (2) Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι για κάθε ρητό αριθμό μπορούμε να βρούμε επακριβώς τη θέση του στην ευθεία: Προσέξτε ότι οι ακέραιοι αριθμοί είναι επίσης ρητοί, αφού μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα. Για παράδειγμα, ο ακέραιος αριθμός 3 μπορεί να γραφτεί ως 3 1 ή 9 3 ή ή άπειρα ακόμα κλάσματα που δίνουν πηλίκο 3. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q, από την αγγλική λέξη Quotient, που σημαίνει πηλίκο. 15

16 Άρρητοι αριθμοί Κάποια κλάσματα δίνουν πηλίκο με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Τους αριθμούς αυτούς δεν μπορούμε να τους κατονομάσουμε, αφού εάν αρχίσουμε να τους λέμε δεν θα τελειώσουμε ποτέ. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται άρρητοι αριθμοί, ακριβώς γιατί δεν μπορούμε να τους πούμε, δεν είναι ρητοί. Χαρακτηριστικό παράδειγμα άρρητου αριθμού είναι το γνωστό π, που είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και είναι ο αριθμός 3, με άπειρα ακόμα δεκαδικά ψηφία. 16

17 Έλεγχος τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού (1) Ένας τρόπος για να δούμε εάν η τετραγωνική ρίζα ενός φυσικού αριθμού είναι ρητός ή άρρητος αριθμός είναι ο εξής: εάν ο φυσικός αριθμός είναι αποτέλεσμα της ύψωσης στο τετράγωνο άλλου φυσικού αριθμού, τότε η τετραγωνική ρίζα του είναι ρητός αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 16 προκύπτει από την ύψωση στο τετράγωνο του αριθμού 4 (4 2 = 16). Οπότε ο αριθμός 16 είναι ρητός αριθμός. 17

18 Έλεγχος τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού (2) Επίσης, ο αριθμός 4 είναι ρητός αριθμός, είναι το 2. Αντίθετα, οι αριθμοί 3, 5, 6, 7, 8, 10, είναι άρρητοι αριθμοί γιατί το 3, το 5, το 6, το 7, το 8, το 10 δεν προκύπτουν από την ύψωση κάποιου φυσικού αριθμού στο τετράγωνο. 18

19 Πραγματικοί αριθμοί Εάν πάρουμε το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών μαζί σχηματίζουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών που συμβολίζεται με R, από την αγγλική λέξη Real numbers, που σημαίνει πραγματικοί αριθμοί. 19

20 Πρόσημα Ένας θετικός αριθμός συνήθως δεν έχει πρόσημο, ενώ αντίθετα ένας αρνητικός αριθμός γράφεται και αναγνωρίζεται ως αρνητικός από το πρόσημό του. Εάν δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο λέγονται ομόσημοι, ενώ εάν έχουν αντίθετο πρόσημο λέγονται ετερόσημοι. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 231 και 346 είναι ομόσημοι, καθώς επίσης και οι αριθμοί 91, 38, 2, ενώ οι αριθμοί 14 και 28, καθώς επίσης και οι αριθμοί 246 και 4 είναι ετερόσημοι αριθμοί. 20

21 Απόλυτες τιμές Με την απόλυτη τιμή, που συμβολίζεται με δυο κάθετες γραμμές μέσα στις οποίες γράφουμε τον αριθμό, εννοούμε τον αριθμό χωρίς το πρόσημό του. Όταν γράφουμε 7 και 7 εννοούμε το ίδιο πράγμα, τον αριθμό 7. Επομένως, η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός ενώ η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή και είναι ετερόσημοι (όπως οι 7 και 7 που είδαμε προηγουμένως). Άλλα παραδείγματα: 3,5 = 3,5 = ( 3,5), 11,2 = 11,2. Προσέξτε ότι 0 = 0. 21

22 Δεκαδικοί αριθμοί (1) Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από ένα ακέραιο μέρος στο οποίο οι τάξεις των ψηφίων είναι όπως και στους φυσικούς αριθμούς (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κλπ.) και ένα δεκαδικό μέρος (μετά την υποδιαστολή) όπου οι τάξεις των ψηφίων είναι με τη σειρά: δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά, δεκάκις χιλιοστά, εκατοντάκις χιλιοστά, εκατομμυριοστά κλπ. 22

23 Δεκαδικοί αριθμοί (2) Έτσι, ο αριθμός ,35 είναι δεκαδικός αριθμός με δύο δεκαδικά ψηφία. Μπορούμε να πούμε ότι κάθε ακέραιος αριθμός είναι δεκαδικός αριθμός με μηδενικά στη θέση των δεκαδικών ψηφίων. Δηλαδή, ο αριθμός 4 γράφεται επίσης 4,0 ή ακόμα 4,

24 Δεκαδικοί αριθμοί (3) Προσέχουμε ότι ένας δεκαδικός αριθμός δεν αλλάζει εάν στο δεκαδικό μέρος του προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε μηδενικά. Δηλαδή, ο αριθμός 35,67 είναι ίδιος με τον αριθμό 35,670 ή με τον αριθμό 35, Ωστόσο, προσέξτε ότι στον αριθμό 35, διαγράφονται μόνο τα μηδενικά μετά το 1, δηλαδή γίνεται 35,

25 Πρώτοι αριθμοί Όλοι οι αριθμοί που διαιρούν έναν αριθμό λέγονται διαιρέτες. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1, 2, 4, 8 και 16 είναι διαιρέτες του 16. Κάθε αριθμός έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 έχει διαιρέτες το 1 και το 5 και κανέναν άλλο. Οι αριθμοί που έχουν ως διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό τους λέγονται πρώτοι αριθμοί. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

26 Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων είναι ο μεγαλύτερος δυνατός φυσικός αριθμός που να διαιρεί όλους τους αριθμούς ακριβώς. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων είναι ο μικρότερος δυνατός φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο όλων των αριθμών. 26

27 Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) (1) Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, τον καθένα με τη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται. Ο αριθμός που προκύπτει είναι ο ΜΚΔ. 27

28 Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) (2) 28

29 Εύρεση Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) (1) Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών και μη κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, τον καθένα με τη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται. Ο αριθμός που προκύπτει είναι το ΕΚΠ. 29

30 Εύρεση Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) (2) 30

31 Κλάσματα (1) Προσέξτε ότι: Κάθε φυσικός αριθμός α γράφεται και με τη μορφή κλάσματος ως α 1 = α. Όταν οι όροι του κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα ισούται με την μονάδα. Δηλαδή, α = 1, για α 0. α Όταν ο αριθμητής του κλάσματος ισούται με μηδέν, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το μηδέν. Δηλαδή, 0 α = 0, για α 0 Στο κλάσμα k εάν κ > ν τότε k n n k < 1 n > 1, ενώ εάν κ < n τότε 31

32 Κλάσματα (2) Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα θα πρέπει οι παρονομαστές να είναι ίδιοι, με άλλα λόγια τα κλάσματα να είναι ομώνυμα. Στη συνέχεια, για την πρόσθεση προσθέτουμε και για την αφαίρεση αφαιρούμε τους αριθμητές και απλοποιούμε όσο γίνεται το κλάσμα. Για παράδειγμα: = = 8 16 = 1 2, = = 6 16 =

33 Κλάσματα (3) Εάν όμως οι παρονομαστές δεν είναι ίδιοι τότε τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Η μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα γίνεται με τη χρήση του κοινού παρονομαστή, ο οποίος προκύπτει από το γινόμενο όλων των παρονομαστών. 33

34 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων (1) Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα πολλαπλασιάζουμε τους αντίστοιχους όρους μεταξύ τους, αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή, στη συνέχεια απλοποιούμε όσο γίνεται και έχουμε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, = = 6 40 =

35 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων (2) Η διαίρεση δύο κλασμάτων γίνεται με ένα μικρό τρικ: αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα. Για παράδειγμα, = = =

36 Δυνάμεις αριθμών Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του παίρνουμε δυνάμεις αυτού του αριθμού. Για παράδειγμα, η έκφραση γράφεται 5 4. Γενικά, για έναν αριθμό α, το γινόμενο α α α α όπου παίρνουμε n φορές το α, ονομάζεται νιοστή δύναμη του α ή δύναμη του α στη n, και συμβολίζεται με α n. Το n λέγεται δύναμη ή εκθέτης και ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης. 36

37 Ειδικές περιπτώσεις δυνάμεων Η πρώτη δύναμη ενός αριθμού α, είναι ο ίδιος ο αριθμός α. Δηλαδή, α 1 = α. H μηδενική δύναμη ενός αριθμού α, δίνει ως αποτέλεσμα πάντα την μονάδα. Δηλαδή, α 0 = 1. Οι δυνάμεις του 1 είναι όλες ίσες με 1. Δηλαδή, 1 n = 1. 37

38 Ιδιότητες δυνάμεων (1) 1 η ιδιότητα: α m α n = α m+n Παράδειγμα: = = η ιδιότητα: αm α n = αm n ΠαρΦδειγμα: = 56 2 = η ιδιότητα: α n β n = α β n Παράδειγμα: = =

39 Ιδιότητες δυνάμεων (2) 4 η ιδιότητα: αn = α β n β Παράδειγμα: = 2 3 n 2 5 η ιδιότητα: α n m = a n m Παράδειγμα: = = η ιδιότητα Παράδειγμα: α β n β n = 2 3 α 3 =

40 Πρόσημο δύναμης Οποιαδήποτε δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, εάν α > 0, τότε α n > 0. Εάν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης άρτιος (ζυγός) τότε η δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, εάν α < 0, και n άρτιος, τότε α n > 0. Παράδειγμα: 2 2 = 4. Εάν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός (μονός) τότε η δύναμη είναι αρνητικός αριθμός. Δηλαδή, εάν α < 0, και n περιττός, τότε α n < 0. Παράδειγμα: 2 3 = 8. 40

41 Τετραγωνικές ρίζες (1) Είδαμε ότι εάν το 5 υψωθεί στο τετράγωνο παίρνουμε τον αριθμό 25, δηλαδή, 5 2 = 25. Η αντίστροφη διαδικασία είναι να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 25 που είναι το 2 5. Η τετραγωνική ρίζα του 25 συμβολίζεται ως 25 = 5 ή πιο απλά 25 = 5. Επομένως, τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, καλείται ο θετικός αριθμός, ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει σαν αποτέλεσμα τον αριθμό α, δηλαδή εάν α = β τότε β 2 = α. 41

42 Τετραγωνικές ρίζες (2) Όμως, παρατηρούμε ότι και το 5 2 = 25. Επομένως, τετραγωνική ρίζα του 25 δεν είναι μόνο το 5 αλλά μπορεί να είναι και το 5. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι κάθε θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες (ή πιο απλά, ρίζες), μία θετική και μία αρνητική. Προσέξτε ότι οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν τετραγωνικές ρίζες, αφού δεν υπάρχει αριθμός ο οποίος υψωμένος στο τετράγωνο να μας δώσει αρνητικό αριθμό. 42

43 Ιδιότητες ριζών Παράδειγμα: α β = α β και α β = α β 4 25 = 4 25 και 4 25 =

44 Κυβικές ρίζες n n α k α β n a n n = a και α n n n n α β = α β = α n = α (προσοχψ: πρχπει β 0) n β n = α k όπου k θετικός ακχραιος n α n n β = α β 44

45 Κλασματικές δυνάμεις (1) Παραδείγματα: α n = 1 α n Ψ αλλιώς αn = 1 α n 3 2 = = 1 9, = 32 = 9 x 1 = 1 x 1 = 1 x, x 2 = 1 x 2 45

46 Κλασματικές δυνάμεις (2) Εάν η δύναμη είναι εκφρασμένη σε κλάσμα ισχύει ότι α 1 n n = a. Επομένως, η τετραγωνική ρίζα του α γράφεται α = α 1 2,. η κυβική ρίζα του α γράφεται 3 α = α 1 3 η τέταρτη ρίζα του α γράφεται 4 α = α

47 Ποσοστά (1) 47

48 Ποσοστά (2) 48

49 Παράδειγμα 1 με ποσοστά Να βρεθεί ποιού αριθμού το 25% είναι

50 Παράδειγμα 1 με ποσοστά - λύση Να βρεθεί ποιού αριθμού το 25% είναι 37. Ζητείται να βρεθεί ο αριθμός για τον οποίο γνωρίζουμε το ποσοστό. Δημιουργούμε την εξίσωση: 25% x = x = 37 25x = 3700 x 100 =

51 Παράδειγμα 2 Το ΑΕΠ της Ελλάδας το 2009 ήταν περίπου 235 δισεκατομμύρια ευρώ. Λόγω της κρίσης, η ύφεση έφτασε το 2010 στο 7,2% του ΑΕΠ. Πόσο έγινε το ΑΕΠ το 2010; 51

52 Παράδειγμα 2 - λύση Το ΑΕΠ της Ελλάδας το 2009 ήταν περίπου 235 δισεκατομμύρια ευρώ. Λόγω της κρίσης, η ύφεση έφτασε το 2010 στο 7,2% του ΑΕΠ. Πόσο έγινε το ΑΕΠ το 2010; Απάντηση: Η μείωση του ΑΕΠ ανέρχεται σε 7,2 235 = 16,92 δις. 100 Επομένως, το ΑΕΠ το 2010 ήταν ,92=218,08 δις. 52

53 Παράδειγμα 3 Το έλλειμμα της χώρας υπολογίστηκε για το 2009 σε 9,6% του ΑΕΠ. Σε αναθεώρηση όμως των σχετικών στοιχείων βρέθηκε ότι το έλλειμμα ήταν τελικά στο 15,4% του ΑΕΠ. Εάν το ΑΕΠ ήταν το 2009 περίπου 235 δις, σε τί ποσό ανέρχεται η αναθεώρηση του ελλείμματος και πόσο ήταν τελικά το συνολικό έλλειμμα της χώρας για το 2009; 53

54 Παράδειγμα 3 - λύση Απάντηση: Η διαφορά στις εκτιμήσεις ανέρχεται σε 15,4%-9,6%=5,8%. Επομένως με την αναθεώρηση του ελλείμματος φάνηκε ότι το έλλειμμα το 2009 ήταν κατά 5,8 235 = 13,63 δις 100 περισσότερο από ότι αρχικά είχε υπολογιστεί. Το συνολικό έλλειμμα ήταν 15,4 235 = 36,19 δις

55 Ποσοστιαία μεταβολή Η ποσοστιαία μεταβολή βρίσκεται από τον τύπο παλια τιμη νεα τιμη ποσοστιαωα μεταβολή = 100 παλια τιμη Έτσι, εάν η τιμή ενός προϊόντος ήταν 200 και την επόμενη χρονιά είναι 250 η ποσοστιαία μεταβολή είναι = = 25% Εάν η νέα τιμή είναι υψηλότερη από την παλιά τότε βρίσκουμε το ποσοστό αύξησης, εάν όμως η νέα τιμή είναι χαμηλότερη από την παλιά τότε βρίσκουμε αρνητικό αποτέλεσμα, δηλαδή έχουμε το ποσοστό μείωσης. 55

56 Παράδειγμα 4 Το εργατικό δυναμικό της χώρας ήταν το 2009 περίπου άτομα. Οι άνεργοι ήταν περίπου ενώ το 2010 ήταν άτομα (υποθέτουμε ότι δεν άλλαξε ο αριθμός των ατόμων που απαρτίζουν το εργατικό δυναμικό). Ποιά είναι η ποσοστιαία αύξηση της ανεργίας; 56

57 Παράδειγμα 4 - λύση Απάντηση: Το ποσοστό ανεργίας το 2009 ήταν: = 9,78% Το 2010 το ποσοστό ανεργίας έγινε: = 17,61% Επομένως, η ανεργία εάν το 2009 ήταν 100 το 2010 έγινε x: 9,78 17,61 = ,78 x = 1761 x = x 9,78 = 180 Δηλαδή, η ποσοστιαία αύξηση της ανεργίας ήταν 80%, ο αριθμός των ανέργων αυξήθηκε κατά 80%. Πράγματι, οι πρόσθετοι άνεργοι το 2010 είναι = άτομα που ισούται με το 80% του

58 Εξισώσεις 1 ου βαθμού (1) Εξίσωση 1 ου βαθμού, ονομάζεται μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές που ο υψηλότερος βαθμός τους δεν ξεπερνά μονάδα. Όλες οι γραμμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις πρώτου βαθμού. Για παράδειγμα, η εξίσωση της ευθείας είναι εξίσωση πρώτου βαθμού. Να διακρίνετε τις εξισώσεις πρώτου βαθμού: 2x + 3y 2 = 1 6x 2 + 2x + 3 = 1 4x + y = 2 3 x + 2y = 1 x 3 + 8x 2 + 2y 3 = 0 58

59 Εξισώσεις 1 ου βαθμού (2) Πολύ συνοπτικά, χωρίς να αποτελεί θέσφατο η διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: Απαλείφουμε τους παρονομαστές πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο). Το ΕΚΠ είναι ο αριθμός 18 x x x 9 = 1 18 x 1 + 3x x = x x 2(2 + x) = 18 59

60 Εξισώσεις 1 ου βαθμού (3) 2 ο Βήμα: Διώχνουμε τις παρενθέσεις εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. 6x x 4 2x = 18 3ο Βήμα: Χωρίζουμε του γνωστούς από τους άγνωστους όρους μεταφέροντας τους άγνωστους στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο. 6x + 9x 2x =

61 Εξισώσεις 1 ου βαθμού (4) 4ο Βήμα: Κάνουμε τις πράξεις σε κάθε μέλος. 13x = 19 5ο Βήμα: Διαιρούμε και τα δυο μέλη με το πρόσημο και το συντελεστή της άγνωστης μεταβλητής x = x =

62 Εξισώσεις 1 ου βαθμού: Σημειώνεται ότι: παρατηρήσεις εάν η λύση είναι της μορφής 0x = c και c 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. εάν η λύση είναι της μορφής 0x = 0, τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα. εάν η λύση είναι της μορφής αx = c και α, c 0, τότε η εξίσωση έχει μόνο μια λύση x = c α. 62

63 Εξισώσεις 1 ου βαθμού Εξίσωση 1 ου βαθμού, ονομάζεται μια ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή, δηλαδή έχει έναν άγνωστο όρο. Όταν αντικατασταθεί ο άγνωστος όρος της εξίσωσης από έναν αριθμό που επαληθεύει τη δοσμένη ισότητα, τότε έχει βρεθεί η ρίζα (δηλαδή η λύση) της εξίσωσης. 63

64 Εξισώσεις 1 ου βαθμού: ιδιαιτερότητες Μια εξίσωση ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη όταν όλοι οι αριθμοί είναι ρίζες (λύσεις) της. Για παράδειγμα, 0x = 0, ή x + 8 = x + 8. Μια εξίσωση ονομάζεται αδύνατη, όταν δεν υπάρχει αριθμός που να την επαληθεύει. Για παράδειγμα, 0x = 5, ή x + 7 = 3 + x. 64

65 Παράδειγμα 5 Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση: 15 7 x 3 5 = 2x Λύση: 15 7 x 3 15 = 2x 5 7 x 2x = x 14 7 x = x = 3 5 x =

66 Ανισώσεις 1 ου βαθμού Ανίσωση 1 ου βαθμού ονομάζεται μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει κάποιο από τα ανισοτικά σύμβολα καθώς και μεταβλητές και αριθμούς μαζί με τις γνωστές πράξεις που εκτελούνται μεταξύ τους. Λύσεις της ανίσωσης καλούνται οι τιμές της μεταβλητής που επαληθεύουν την ανίσωση. 66

67 Ιδιότητες ανισοτήτων Αν α < β, τότε α + γ < β + γ και α γ < β γ Αν α > β, τότε α + γ > β + γ και α γ > β γ Αν α < β και γ > 0, τότε α γ < β γ και α γ < β γ Αν α > β και γ > 0, τότε α γ > β γ και α γ > β γ Αν α < β και γ < 0, τότε α γ > β γ και α γ > β γ Αν α > β και γ < 0, τότε α γ < β γ και α γ < β γ 67

68 Κλειστό διάστημα Κλειστό διάστημα από το α μέχρι το β, ονομάζεται το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με α x β και συμβολίζεται με [α, β]. Δηλαδή στο διάστημα αυτό υπάρχουν οι αριθμοί α και β και όλοι οι ενδιάμεσοί τους. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία x α, β α x β. 68

69 Ανοικτό διάστημα Ανοιχτό διάστημα από το α μέχρι το β, ονομάζεται το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με α < x < β και συμβολίζεται με α, β. Δηλαδή στο διάστημα αυτό δεν υπάρχουν οι αριθμοί α και β αλλά μόνο οι ενδιάμεσοί τους. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία x α, β α < x < β. 69

70 Διαστήματα (1) Οι αριθμοί α και β λέγονται άκρα των διαστημάτων και κάθε αριθμός x που είναι μεταξύ των α και β λέγεται εσωτερικό σημείο του διαστήματος. Το ανοιχτό δεξιά διάστημα [α, β), αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει α x < β. Δηλαδή, x [α, β) α x < β. Το ανοιχτό αριστερά διάστημα (α, β] αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει α < x β. Δηλαδή, x α, β α < x β. 70

71 Διαστήματα (2) Το σύνολο των αριθμών x με a x συμβολίζεται με α, +. Δηλαδή, x α, + a x Το σύνολο των αριθμών x με x a συμβολίζεται με (, a]. Δηλαδή, x (, a] x a. Το σύνολο των αριθμών x με a < x συμβολίζεται με (a, + ). Δηλαδ Το σύνολο των αριθμών x με x < a συμβολίζεται με (, a). Δηλαδή, x (, a) x < a. Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι το διάστημα, + ή, x (a, + ) a < x 71

72 Παράδειγμα 6 Να λυθεί κ ανίσωση: 1 x 4 2x 1 2 > 3x x 2 2x 1 > 3x 1 1 x 4x + 2 > 3x 1 x 4x 3x > x > 4 x < 4 8 x <

73 Παράδειγμα 7 (1) Να λυθεί η ανίσωση: x 3 x x

74 Παράδειγμα 7 (2) Λύση: x 3 x 4 5 x x 3 x 4 5 x + 6 2x 3x x 2x 3x + x x 1 που ισχύει για κάθε x R. 74

75 Παράδειγμα 8 (1) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παρακάτω ανισώσεις: 2 x α) 3 x + 1 > x 1 και 4 6 β) x x 5 4 x 20 75

76 Παράδειγμα 8 (2) α) 2 x 3 x + 1 > x 1 4 x x + 1 > 2 x x 3x > 2x 2 5 7x > 2x 2 7x 2x > 5 2 9x > 7 x < 7 9 β) x x 5 4 x 20 4 x x 5 x 4x x 25 x 9x 41 x 9x x 41 x 41 8 Οπότε εχουμε: x < 7 και x Άρα x < 7 δηλαδη x,

77 Μονώνυμα Η αλγεβρική παράσταση που περιέχει μία μόνο πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ μεταβλητών ονομάζεται μονώνυμο και έχει τη μορφή αx n, όπου α είναι ο συντελεστής του μονώνυμου, ο οποίος είναι πραγματικός αριθμός και n είναι θετικός ακέραιος και είναι ο βαθμός του ως προς τη μεταβλητή x. 77

78 Πολυώνυμα (1) Πολυώνυμο ονομάζεται μια παράσταση μεταξύ μονωνύμων τα οποία δεν είναι όλα όμοια μεταξύ τους. Εάν ένα πολυώνυμο ισούται με έναν αριθμό ονομάζεται σταθερό πολυώνυμο. Εάν ένα πολυώνυμο ισούται με το μηδέν ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο. 78

79 Πολυώνυμα (2) Ένα πολυώνυμο που έχει δύο όρους ονομάζεται διώνυμο, ενώ αν έχει τρεις όρους λέγεται τριώνυμο. Για παράδειγμα το 3xy + 5x 2 είναι διώνυμο, ενώ το 6x 2 + 7xy 2z 3 είναι τριώνυμο. Ένα πολυώνυμο που έχει μόνο μία μεταβλητή συμβολίζεται με P(x), ή Q(x) ή με P(y), ή Q(y) κλπ. αν οι μεταβλητές είναι x και y αντίστοιχα. 79

80 Βαθμός πολυωνύμου Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή (ή περισσότερες μεταβλητές του), ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του ως προς τη μεταβλητή αυτή (ή τις μεταβλητές αυτές). 80

81 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων (1) Να γίνουν οι πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις: α) α β 1 α + β β 81

82 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων (2) Λύση: Με απαλοιφή των παρενθέσεων και αναγωγή ομοίων όρων έχουμε: α) α β 1 α + β β = = α 2 + αβ + α αβ β 2 β α β 1 + 2β = α 2 β

83 Παράδειγμα 9 (1) 2x 2 3x 6 (x 2 x + 2) 83

84 Παράδειγμα 9 (2) 2x 2 3x 6 x 2 x + 2 = = 2x 4 2x 3 + 4x 2 3x 3 + 3x 2 6x 6x 2 + 6x 12 = = 2x 4 5x 3 + x

85 Παράδειγμα 10 (1) Δίνονται τα πολυώνυμα: P x = (x 2 2x + 3) 3x 5 και Q x = (x 1)( 3x 2 +8x 11) + 4 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P x + Q x είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 85

86 Παράδειγμα 10 (2) Λύση: Κάνουμε τις πράξεις σε κάθε πολυώνυμο P x = (x 2 2x + 3) 3x 5 = 3x 3 5x 2 6x x + 9x 15 = = 3x 3 11x x 15 Q x = (x 1)( 3x 2 +8x 11) + 4 = = 3x 3 + 8x 2 11x + 3x 2 8x = = 3x x 2 19x + 15 Επομένως, P x + Q x = 3x 3 11x x 15 3x x 2 19x + 15 = 0 86

87 Ταυτότητες (1) (α + β) 2 = a 2 + 2αβ + β 2. (α β) 2 = a 2 2αβ + β 2. a 2 β 2 = α + β α β. (α + β) 3 = a 3 + 3a 2 β + 3αβ 2 + β 3 (α β) 3 = a 3 3a 2 β + 3αβ 2 β 3 a 3 + β 3 = α + β a 2 αβ + β 2. 87

88 Ταυτότητες (2) a 3 β 3 = α β a 2 + αβ + β 2. (α + β + γ)³ = α² + β² + γ² + 2αβ + 2αγ + 2βγ. 88

89 Παράδειγμα 11 (1) Να βρεθούν τα παρακάτω αναπτύγματα των ταυτοτήτων: α) (9 + k) 2 β) 2x 3y 2 γ) 2z δ) k k 89

90 Παράδειγμα 11 (2) α) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α + β) 2 = a 2 + 2αβ + β 2 και θέτουμε όπου α = 9 και όπου β = k οπότε έχουμε: (9 + k) 2 = k + k 2 = k k + 81 β) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α β) 2 = a 2 2αβ + β 2 και θέτουμε όπου α = 2x και β = 3y οπότε έχουμε: 2x 3y 2 = 2x 2 2 2x 3y + 3y 2 = 4x 2 12xy + 9y 2 90

91 Παράδειγμα 11 (3) γ) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α + β) 3 = a 3 + 3a 2 β + 3αβ 2 + β 3 και θέτουμε όπου α = 2z και όπου β = 1 οπότε έχουμε: 2z = 2z z z = = 8z z 2 + 6z + 1 δ) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα a 2 β 2 = (α + β)(α β) και θέτουμε όπου α = 10 και β = k οπότε έχουμε: k k = 10 + k 10 k = 10 2 k 2 = 100 k 2 91

92 Παράδειγμα 12 (1) Να αποδειχτούν οι παρακάτω ισότητες: α) x x 2 x = 1 β) α + β α β 2 + αβ = α 3 + β 3 92

93 Παράδειγμα 12 (2) Λύση: α) x x 2 x = x 4 + 2x x 4 2x 2 = 1 β) α + β α β 2 + αβ = α + β α 2 2αβ + β 2 + αβ = = a 3 2α 2 β + αβ 2 + α 2 β + βα 2 2αβ 2 + β 3 + αβ 2 = α 3 + β 3 93

94 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με τη μορφή κλάσματος και με όρους πολυώνυμα, ονομάζεται ρητή αλγεβρική παράσταση. Σε μια ρητή αλγεβρική παράσταση πρέπει ο παρονομαστής να είναι πάντα διάφορος του μηδενός για κάθε τιμή των μεταβλητών. 94

95 Παράδειγμα 13 (1) Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις: α β α) 3(α + β) 95

96 Παράδειγμα 13 (2) Λύση: α β α) 3(α + β) = (α + β) 3(α + β) =

97 Παράδειγμα 14 (1) β) 15x 2 yz 3 5x 2 y + 10x 2 z γ) x x + 2 x

98 Παράδειγμα 14 (2) Λύση: 15x 2 yz 3 β) 5x 2 y + 10x 2 z = 15x2 yz 3 5x 2 (y + 2z) = 3yz3 (y + 2z) γ) x x + 2 x 2 2 = x x + 2 x 2 = x + 2 x 2 98

99 Τριώνυμο Τριώνυμο ονομάζεται κάθε παράσταση η οποία μπορεί να πάρει τη μορφή f x = ax 2 + βx + γ Με, α 0, με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς και x μια μεταβλητή η οποία παίρνει τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών ( R). Παραδείγματα τριωνύμων: 3x 2 2x + 4 (a = 3, β = 2, γ = 4) x 2 5 (a = 1, β = 0, γ = 5) 2x 2 + x (a = 2, β = 1, γ = 0) 99

100 Διακρίνουσα και ρίζες τριωνύμου (1) Διακρίνουσα του τριωνύμου f x = ax 2 + βx + γ ονομάζουμε τον αριθμό Δ = β 2 4αγ. Εξετάζοντας τη διακρίνουσα έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 100

101 Διακρίνουσα και ρίζες τριωνύμου (2) Αν Δ > 0 τότε υπάρχουν δύο τιμές της μεταβλητής x για τις οποίες η τιμή της παράστασης f x = ax 2 + βx + γ μηδενίζεται Οι τιμές αυτές είναι οι x 1 = β + Δ και x 2α 2 = β Δ 2α Οι τιμές x 1 και x 2 λέγονται ρίζες του τριωνύμου και είναι οι μοναδικές τιμές της μεταβλητής x που μηδενίζουν την παράσταση f x = ax 2 + βx + γ. Με άλλα λόγια, οι x 1 και x 2 αποτελούν λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ax 2 + βx + γ = 0. Για κάθε άλλη τιμή της μεταβλητής x έχουμε f x

102 Διακρίνουσα και ρίζες τριωνύμου (3) Αν Δ = 0 τότε υπάρχει μία μόνο τιμή της μεταβλητής x για την οποία η τιμή της παράστασηςf x = ax 2 + βx + γ μηδενίζεται και αυτή είναι η x = β 2α η οποία λέγεται διπλή ρίζα του τριωνύμου. Για κάθε άλλη τιμή της μεταβλητής x έχουμε f x 0. Αν Δ < 0 τότε δεν υπάρχει πραγματική τιμή της μεταβλητής x για την οποία να μηδενίζεται το τριώνυμο f x = ax 2 + βx + γ, οπότε για κάθε τιμή της μεταβλητής x έχουμε f x 0. Η εξίσωση χαρακτηρίζεται ως αδύνατη στο R. 102

103 Διακρίνουσα και ρίζες τριωνύμου (4) Ένας άλλος τρόπος για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο είναι με τη χρήση της διακρίνουσας. Έστω το τριώνυμο f x = ax 2 + βx + γ. Αν Δ > 0 αποδεικνύεται ότι το τριώνυμο γράφεται ως ax 2 + βx + γ == α x x 1 x x 2, όπου x 1 και x 2 είναι οι δύο λύσεις του τριωνύμου Αν Δ = 0 αποδεικνύεται ότι το τριώνυμο γράφεται ως ax 2 + βx + γ == α x x 0 2, όπου x 0 είναι η μοναδική λύση του τριωνύμου Αν Δ < 0 το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές λύσεις και δεν αναλύεται σε γινόμενο όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις. 103

104 Η συνάρτηση f (x) = x Η συνάρτηση f (x) = x 104

105 Η συνάρτηση f (x) = -x Η συνάρτηση f (x) = -x 105

106 Η εκθετική συνάρτηση 106

107 Η λογαριθμική συνάρτηση Έστω μια απλή δύναμη: 100 = Μπορούμε να γράψουμε ότι log = 2, το οποίο διαβάζεται: ο λογάριθμος του 100 με βάση το 10 είναι το 2. Δηλαδή, ο λογάριθμος ενός αριθμού (100) με βάση έναν άλλο αριθμό (10) είναι η δύναμη που πρέπει να υψώσουμε τη βάση για να πάρουμε τον αριθμό. Γενικά, εάν α = β γ, τότε log β α = γ. 107

108 Νόμοι των λογαρίθμων (1) Το άθροισμα δύο λογαρίθμων είναι ίσο με το λογάριθμο του γινομένου δύο αριθμών. lna + lnb = lnab Για παράδειγμα: ln5 + ln4 = ln5 4 = ln20 Η διαφορά δύο λογαρίθμων είναι ίση με το λογάριθμο του πηλίκου δύο αριθμών. lna lnb = ln a b Για παράδειγμα: ln15 + ln3 = ln 15 3 = ln5 108

109 Νόμοι των λογαρίθμων (2) Ο λογάριθμος της δύναμης ενός αριθμού είναι ίσος με τη δύναμη επί το λογάριθμο του αριθμού lna n = nlna Για παράδειγμα: ln5 3 = 3ln5 Ο λογάριθμος της μονάδας είναι ίσος με το 0 ln1 = 0 Ο λογάριθμος ενός αριθμού στην ίδιας βάση είναι ίσος με 1 ln m m = 1 109

110 Εξισώσεις με λογάριθμους Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση e x = 30. Παίρνουμε το λογάριθμο (προσοχή: αφού έχουμε το e παίρνουμε το φυσικό λογάριθμο) και των δύο πλευρών και έχουμε: lne x = ln30 xlne = ln30 x = ln30 x = 3,4 Αξιοποιήσαμε την ιδιότητα λογαρίθμου αριθμού υψωμένου σε δύναμη και την ιδιότητα ότι ο λογάριθμος της βάσης είναι η μονάδα. Έστω τώρα η εξίσωση logx = 2,35. Γράφουμε: x = 10 2,35 = 223,8721. Μπορούμε λοιπόν να λύσουμε με τη χρήση των κανόνων των λογαρίθμων εξισώσεις που περιέχουν λογαρίθμους και εκθέτες. 110

111 Η συνάρτηση y =lnx 111

112 Η συνάρτηση y= 1/x 112

113 Ρητές συναρτήσεις (1) Οι ρητές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού όλο το R εκτός από τις τιμές του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f x = 10x2 + x + 7 x 2 x 2 113

114 Ρητές συναρτήσεις (2) Το πεδίο ορισμού είναι όλο το R εκτός από τις τιμές του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Η συνάρτηση f x είναι ρητή και μπορεί να γραφεί ως εξής: f x = Q(x) h(x) στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση h x = 0 και το πεδίο ορισμού Α θα είναι Α = R {οι λύσεις της εξίσωσης h x = 0}. Συνεπώς, στην παραπάνω συνάρτηση f(x) αναζητούμε την επίλυση της εξίσωσης h x = x 2 x 2 = 0. Για την εύρεση των λύσεων βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου x 2 x 2, δηλαδή 114

115 Ρητές συναρτήσεις (3) Η διακρίνουσα της εξίσωση x 2 x 2 = 0 είναι: Δ = β 2 4αγ = ( 1) 2 4 (1) ( 2) = 9, συνεπώς οι ρίζες της εξίσωσης είναι x 1,2 = β± x 1 = 2 x 2 = 1 β2 4aγ 2a x 1,2 = ( 1)± x 1 = x 2 = O παρονομαστής της f x ή αλλιώς η εξίσωση h x μπορεί να γραφεί και ως x 2 (x + 1). Tο πεδίο ορισμού είναι το A = R { 1, 2}. 115

116 Άρρητες συναρτήσεις (1) Οι άρρητες συναρτήσεις (συναρτήσεις με ριζικά) ορίζονται για τιμές που καθιστούν τις υπόριζες ποσότητες θετικές 0. Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f x = 4x

117 Άρρητες συναρτήσεις (2) Η υπόριζη παράσταση 4x 8 θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Με άλλα λόγια, δεχόμαστε ως πεδίο ορισμού Α τις τιμές του x για τις οποίες η υπόριζη ποσότητα γίνεται 4x 8 0. Λύνουμε την ανίσωση και συνεπώς έχουμε 4x 8 0 4x 8 4x 8 x 8 4 x 2 Το πεδίο ορισμού είναι Α = (, 2). Στο παρακάτω γράφημα (Σχήμα 8.18) της συνάρτησης f x = 4x 8 = ( 4x 8) 0,5 είναι εμφανές ότι η f λαμβάνει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το δυο. 117

118 Η συνάρτηση f(x)=-(-4x-8)½ 118

119 Παράδειγμα 15 (1) Οι αριθμός ή η παράσταση που λογαριθμίζεται λαμβάνει μόνο θετικές τιμές, δηλαδή εάν έχουμε lnx, τότε πρέπει x > 0. Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f x = l n 4x

120 Παράδειγμα 15 (2) Λύνουμε την ανίσωση 4x 12 > 0 4x > 12 4x < 12 x < 12 4 x < 3 120

121 Παράδειγμα 15 (3) 121

122 Παράδειγμα 16 (1) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου c ώστε η συνάρτηση x f x = cx 2 4x + c να έχει πεδίο ορισμού όλο το R. 122

123 Παράδειγμα 16 (2) Λύση: Θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός για κάθε x R. Εάν η διακρίνουσα του παρονομαστή είναι αρνητική, τότε δεν θα υπάρχουν ρίζες που να μηδενίζουν τον παρονομαστή. Συνεπώς, το ζητούμενο της άσκησης είναι Δ < 0. Η διακρίνουσα της εξίσωση cx 2 4x + c = 0 είναι: Δ = β 2 4αγ = c c = 16 4c 2 Συνεπώς, θα πρέπει 16 4c 2 <

124 Παράδειγμα 16 (3) Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης 16 4c 2 = c 2 = (2c) 2 = 0 4 2c (4 + 2c) = 0 4 2c = 0 Ψ 4 + 2c = 0 c = 2 Ψ c = 2 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων με το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου όρου εκτός των ριζών 124

125 Παράδειγμα 16 (4) Για να ισχύει η ανισότητα 16 4c 2 < 0, η παράμετρος c θα πρέπει να λαμβάνει τιμές από το σύνολο (, 2) (2, + ). 125

126 Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN