ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες 2 Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι 3 Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού 4 Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ΘΕΜΑΤΑ 1 Η Α τάξη ενός Γυμνασίου της Πάφου πήγε εκδρομή στη Λευκωσία τα παιδιά επισκέφθηκαν διάφορα αξιοθέατα ως ακολούθως: 41 παιδιά πήγαν στα Φυλακισμένα Μνήματα 25 παιδιά πήγαν στον Τύμβο της Μακεδονίτισσας 40 παιδιά πήγαν στο Βυζαντινό Μουσείο 16 παιδιά πήγαν στον Τύμβο της Μακεδονίτισσας στα Φυλακισμένα Μνήματα 9 παιδιά πήγαν στον Τύμβο της Μακεδονίτισσας στο Βυζαντινό Μουσείο 20 παιδιά πήγαν στα Φυλακισμένα Μνήματα στο Βυζαντινό Μουσείο 5 παιδιά πήγαν στα τρία αξιοθέατα Αν στην εκδρομή είχαν πάει 80 παιδιά, να βρείτε πόσα από αυτά δεν πήγαν σε κανένα από τα αξιοθέατα { } { } { } { } Τότε, Α Β 41-15+5+11=10 15 11 5 25-11+5+4=5 4 Γ 40-15+5+4=16 Δ Ν

2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Στην πλευρά παίρνουμε σημείο ώστε Αν σημείο της τέτοιο ώστε, να υπολογίσετε τη γωνία { 3 Τα είναι ψηφία Ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το, ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το Επίσης, ο τριψήφιος έχει άρτιο αριθμό παραγόντων διάφορων του Να βρείτε τον αριθμό Ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 5 Συνεπώς, ή Το αποκλείεται, αφού ο είναι τριψήφιος Άρα, Αφού ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 4, έχουμε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του 4 Συνεπώς, ή Αν, έχουμε, ή Αν, έχουμε, ή Άρα, υπάρχουν 6 περιπτώσεις για τον τριψήφιο : 225, 255, 285, 615, 645, 675 Από τους πιο πάνω αριθμούς, μόνο ο έχει άρτιο αριθμό παραγόντων Ο αριθμός είναι ο 522 4 Δίνεται ο αριθμός Να βρείτε, αποδεικνύοντας τον ισχυρισμό σας, ποιος αριθμός της μορφής είναι ο πλησιέστερος του, όπου ένα από τα ψηφία Ο είναι ο πλησιέστερος στον από οποιοδήποτε άλλο

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες 2 Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι 3 Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού 4 Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ΘΕΜΑΤΑ 1 Ο αριθμός είναι το γινόμενο, όπου θετικός ακέραιος αριθμός Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο Ο αριθμός μπορεί να γραφεί στην μορφή τέλειο τετράγωνο, πρέπει ο να είναι αριθμός της μορφής ακέραιος Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή του είναι 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ώστε Αν σημείο της Για να είναι ο, όπου Στην πλευρά παίρνουμε σημείο τέτοιο ώστε, να υπολογίσετε τη γωνία {

3 Τα είναι ψηφία Ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 3, ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 4 ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 5 Επίσης, ο τριψήφιος έχει άρτιο αριθμό παραγόντων διάφορων του 1 Να βρείτε τον αριθμό Ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 5 Συνεπώς, ή Το αποκλείεται, αφού ο είναι τριψήφιος Άρα, Αφού ο τριψήφιος είναι διαιρετός με το 4, έχουμε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του 4 Συνεπώς, ή Αν, έχουμε, ή Αν, έχουμε, ή Άρα, υπάρχουν 6 περιπτώσεις για τον τριψήφιο : 225, 255, 285, 615, 645, 675 Από τους πιο πάνω αριθμούς, μόνο ο έχει άρτιο αριθμό παραγόντων Ο αριθμός είναι ο 522 4 Αν, να βρείτε το x Αν, τότε {

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες 2 Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι 3 Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού 4 Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ΘΕΜΑΤΑ 1 Ο αριθμός είναι το γινόμενο, όπου θετικός ακέραιος αριθμός Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο Ο αριθμός μπορεί να γραφεί στην μορφή Για να είναι ο τέλειο τετράγωνο, πρέπει ο να είναι αριθμός της μορφής, όπου ακέραιος Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή του είναι 2 Αν, να βρείτε το x Αν, τότε {

3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Υποθέτουμε ότι, όπου Παρατηρούμε ότι { Άρα, Συνεπώς,, αφού 4 Στο ορθογώνιο, οι είναι κάθετες στην διαγώνιο Αν, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ως συνάρτηση του Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα για να αποδείξω ότι είναι όμοια κοινή γωνιά συμπληρωματικές της Επομένως, Με ΠΘ στο τρίγωνο έχουμε ότι Άρα,

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Α Λυκείου Πρόβλημα 1 : Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού, ώστε το κλάσμα να απλοποιείται στη συνέχεια να απλοποιήσετε το για την τιμή του που βρήκατε Είναι Για,, οπότε απλοποιείται όταν Πρόβλημα 2 : α Να αποδείξετε ότι β Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς να είναι πρώτος, έτσι ώστε ο αριθμός α Με πράξεις από το 2ο μέλος β Ο αριθμός ότι πρέπει ο μικρότερος παράγοντας να είναι ο αριθμός 1, άρα τότε ή, που είναι πρώτος Για να είναι πρώτος σημαίνει

Πρόβλημα 3 : Δίνεται τρίγωνο Έστω τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα Αν το ύψος του τριγώνου να αποδείξετε ότι: α Τα τρίγωνα είναι ίσα β Η μεσοκάθετη του τμήματος περνά από το σημείο τομής των τμημάτων α Από το ορθογώνιο τρίγωνο, επειδή η είναι διάμεσός του έχουμε: Επίσης, αφού τα μέσα των πλευρών του έχουμε: Άρα 1 Από το ορθογώνιο τρίγωνο, επειδή η είναι διάμεσός του έχουμε: Επίσης, αφού τα μέσα των πλευρών του έχουμε: Άρα Ε 2 Από τις 1 2 παίρνουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα βέστω το σημείο τομής των τμημάτων Από την παραλληλία των των, παίρνουμε: 3 Από τα ίσα τρίγωνα, έχουμε από το παραλληλόγραμμο παίρνουμε Από τις τελευταίες ισότητες γωνιών τις 3 θα έχουμε : επομένως το είναι πάνω στην μεσοκάθετη του τμήματος Πρόβλημα 4 : Αν είναι πραγματικοί αριθμοί με, α να αποδείξετε ότι β να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α Όμοια β Με πολλαπλασιασμό παίρνουμε Aνάλογα Και πάλι με πολλαπλασιασμό παίρνουμε

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β Λυκείου Πρόβλημα 1 : α Να αποδείξετε ότι β Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς, έτσι ώστε ο αριθμός να είναι πρώτος α Με πράξεις από το 2ο μέλος β Ο αριθμός ότι πρέπει ο μικρότερος παράγοντας να είναι ο αριθμός 1, άρα τότε ή Για να είναι πρώτος σημαίνει, που είναι πρώτος Πρόβλημα 2 : Δίνεται τρίγωνο Έστω τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα Αν το ύψος του τριγώνου να αποδείξετε ότι: α Τα τρίγωνα είναι ίσα β Η μεσοκάθετη του τμήματος περνά από το σημείο τομής των τμημάτων α Από το ορθογώνιο τρίγωνο η, επειδή είναι διάμεσός του έχουμε: Επίσης, αφού τα μέσα των πλευρών του έχουμε: Άρα 1 Από το ορθογώνιο τρίγωνο, επειδή η είναι διάμεσός του έχουμε: Επίσης, αφού τα μέσα των πλευρών του Ε 2 Από τις 1 2 παίρνουμε ότι τα τρίγωνα έχουμε: είναι ίσα Άρα

βέστω το σημείο τομής των τμημάτων Από την παραλληλία των των, παίρνουμε: 3 Από τα ίσα τρίγωνα, έχουμε από το παραλληλόγραμμο παίρνουμε Από τις τελευταίες ισότητες γωνιών τις 3 θα έχουμε : επομένως το είναι πάνω στην μεσοκάθετη του τμήματος Πρόβλημα 3 : Αν η εξίσωση έχει ρίζες έχει ρίζες η εξίσωση, να βρείτε την τιμή της παράστασης συναρτήσει των Από τους τύπους του Vieta έχουμε:,, Πρόβλημα 4 : Αν οι πλευρές τριγώνου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α β είναι ανάλογες των αριθμών Είναι, α, άρα

β Ανάλογα έχουμε, οπότε

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Γ Λυκείου Πρόβλημα 1 : Να λύσετε την εξίσωση: Η εξίσωση γράφεται Θέτουμε ή η εξίσωση γράφεται, δηλαδή ή Πρόβλημα 2 : Η συνάρτηση, απ όπου ικανοποιεί Να βρείτε την τιμή του τις σχέσεις: Από τις δεδομένες ανισοτικές σχέσεις παίρνουμε διαδοχικά Άρα από τα προηγούμενα παίρνουμε Επαγωγικά για παίρνουμε: Προσθέτοντας τις τελευταίες σχέσεις θα έχουμε

Για στην τελευταία σχέση παίρνουμε Από την τελευταία σχέση θα έχουμε με ακτίνες Πρόβλημα 3 : Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Φέρουμε την κοινή εξωτερική εφαπτομένη των κύκλων η στα σημεία οποία εφάπτεται των κύκλων αντίστοιχα α Να αποδείξετε ότι: ι ιι β Αν η εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο τέμνει την στο σημείο, να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεικτογράμμου τριγώνου που περικλείεται από το τόξο ΑΒ τα τμήματα α ι Φέρουμε, τότε Από το ορθογώνιο τρίγωνο παίρνουμε: αφού ιι Φέρουμε τότε άρα από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε επειδή Ομοίως παίρνουμε, όπου Το τρίγωνο ορθογώνιο, αφού αν η η εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο τέμνει την σημείο, τότε θα έχουμε Επομένως από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: { Δεύτερη λύση για το ιι: Από το ορθογώνιο τρίγωνο θα έχουμε: είναι στο

η γωνία χορδής εφαπτομένης β Έχουμε από το σχήμα μας: [ ] Πρόβλημα 4 : Για τις σταθερές ισχύει η σχέση Να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση της εξίσωσης στο διάστημα Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση συνεχής παραγωγίσιμη με Από το ΘΜΤ για την, που είναι στο διάστημα [ ] έχουμε ότι υπάρχει, ώστε η απόδειξη ολοκληρώθηκε