ΑΤΜΗΤΟ ΕΙΚΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

ΑΤΜΗΤΟ ΕΙΚΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Μία αναλογική (εικαστική) προσέγγιση στο µη επιλύσιµο µε κανόνα και διαβήτη πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου (Μία θεωρητική λύση αναλογικής ακριβείας (C/R) µε περιορισµένους ρητούς και ελαχίστους κλασµατικούς όρους σε R/8) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο άνθρωπος στην προσπάθειά του να περιγράψει µε όσο πιο µεγάλη ακρίβεια µπορεί το φυσικό γίγνεσθαι, έχει ορίσει διάφορα µαθηµατικά µεγέθη. Ένα τέτοιο µέγεθος είναι και το γνωστό π, το οποίο όµως µέχρι σήµερα, δεν έχει καταστεί δυνατό να αποδοθεί πλήρως λόγω των άπειρων δεκαδικών του ψηφίων. Η χρήση του π µε τον τρόπο που θεωρείται µαθηµατικά εκφρασµένο, έρχεται σε αντίθεση µε το πεπερασµένο της ανθρώπινης δηµιουργίας και προκαλεί σύγχυση στον άνθρωπο δηµιουργό. Προυπόθεση όλων των υπαρκτών πραγµάτων, συστηµάτων ή καταστάσεων είναι ο αναλογικός τρόπος σύνθεσής τους, δηλαδή η αναλογική δοµή τους. Το π σαν βασική αναλογία στη φυσική ή τεχνητή δηµιουργία των υπαρκτών πραγµάτων, συστηµάτων ή καταστάσεων (και ως εκ τούτου και στην Eικαστική σύνθεση) προυποθέτει τη δοµή µιας ρητής και ακριβούς αναλογικότητας για κάθε εµπράγµατη ύπαρξη ξεχωριστά. Η προυπόθεση αυτής της ανάγκης, καταδεικνύει ότι το π σαν µαθηµατικό εργαλείο δύναται να υποστεί τον κατάλληλο αναλογισµό και να εκφραστεί µε µία ρητή και ακριβή κλασµατική αναλογία, η οποία έχει τετραγωνική ρίζα και συνέπεια τούτου να είναι δυνατή η www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 1 of 20

γεωµετρική κατασκευή του αναπτύγµατος της ηµιπεριφέρειας, χωρίς να µεταβάλλεται η έννοια του σταθερού λόγου που εκφράζει το ίδιο το π. Η συγκεκριµένη έρευνα αναζήτησε και κατέληξε στον ορισµό ενός Eικαστικού π. Στο εξής θα συµβολίζεται ως π Γ ώστε να ξεχωρίζει από το κλασσικό π, καταλήγοντας: Α. Σε µια νέα µαθηµατική τιµή, η οποία δίνει απόλυτο µαθηµατικό συσχετισµό στη µετατροπή του εµβαδού του κύκλου στο αντίστοιχο εµβαδόν του τετραγώνου και αντιστρόφως. Β. Σε µια γεωµετρική κατασκευή του αναπτύγµατος της ηµιπεριφέρειας, η οποία στηρίζεται σε δύο βασικές απαιτήσεις της Ευκλείδιας Γεωµετρίας: Η οποιαδήποτε γεωµετρική κατασκευή του αναφερόµενου σταθερού λόγου να είναι εφικτή µε διαβήτη και χάρακα και να γίνεται µε περιορισµένο αριθµό βηµάτων ο οποίος εκφράζει ένα τελικό αποτέλεσµα θεωρητικώς απολύτως ακριβές. Πολλές έρευνες µέχρι σήµερα έχουν ασχοληθεί µε τον µαθηµατικό αριθµό π, ο οποίος χρησιµοποιείται για να εκφράσει το λόγο του µήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς το µήκος της διαµέτρου του. Λόγος σταθερός και ίσος για όλους τους κύκλους δεδοµένης ακτίνας R. Σε αυτήν την έρευνα επικεντρωθήκαµε στην κατασκευή του Εικαστικού αναλογικού τετραγώνου, δηλαδή ψάχνουµε ένα τρόπο να εκφράσουµε το τετράγωνο µε ένα ρητό ακέραιο κλάσµα. Αυτό το αναλογικό τετράγωνο είναι ισοδύναµο µε δοθέντα κύκλο και αντίστροφα. Για την κατασκευή του έχουν γίνει οι εξής παραδοχές: Η οποιαδήποτε ελάχιστη δοµή της ύλης δεν µπορεί να διαιρεθεί ούτε να αφαιρεθεί από αυτήν κάτι Άτµητο. (Δηµόκριτος, 410-370 π.χ) Περί Γεωµετρίας και ύλης Το σύνολο της ύλης ή µέρους αυτής µπορεί να εκφραστεί γεωµετρικά ως γραµµική ποσότητα. (Αρχιµήδης, 287 212 π.χ) Κώδικας του Αρχιµήδη Ότι έχει όριο υπάρχει. (Παρµενίδης, 540 480 π.χ) Περι φύσεως www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 2 of 20

Σύµφωνα µε αυτές τις παραδοχές προσπαθούµε να εξηγήσουµε πώς δηµιουργείται ο ελάχιστος Εικαστικός κύκλος και πώς µπορούµε να υπολογίσουµε την περιφέρεια και το εµβαδό του µε τη µέθοδο της κατάτµησης της ηµιπεριφερείας έως ένα έσχατο ελάχιστο (Άτµητο) µήκος γραµµής. Προφανώς αυτό το αναλογικό έσχατο ελάχιστο δεν ταυτίζεται µε το µαθηµατικό ελάχιστο αλλά αποκτά την έννοια ενός γεωµετρικού στοιχειώδους µήκους το οποίο έχει την ελάχιστη γεωµετρική διάσταση και έτσι αποτελεί φυσικό (Εικαστικό) µέτρο της ακτίνας R του κύκλου, το οποίο δίνει πάντοτε ορισµένο (ακριβές µε τη µαθηµατική έννοια) αποτέλεσµα. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, για να είναι θεωρητικά κατασκευάσιµος ο Εικαστικός κύκλος, δηλαδή µε κανόνα και διαβήτη, πρέπει ο σταθερός λόγος της περιφερείας του προς τη διάµετρο του να έχει όριο. Δηλαδή το προκύπτον π Γ να εκφράζεται µε ένα ακέραιο κλάσµα δύο ρητών αριθµών, των οποίων το κλασµατικό πηλίκο έχει ακριβή τετραγωνική ρίζα. www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 3 of 20

ΝΟΗΤΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ (Σχήµα 1) Α. Ας υποθέσουµε ότι σε µια περιφέρεια κύκλου εγγράφουµε (ή περιγράφουµε) ένα κανονικό πολύγωνο του οποίου διπλασιάζουµε συνεχώς τις πλευρές (Σχήµα 1). Έτσι προκύπτει κανονικό 4-γωνο, 8-γωνο, 16-γωνο και ούτω καθεξής, ώστε ο λόγος των πλευρών του πολυγώνου προς τα δια του συνεχούς υποδηπλασιασµού τµήµατα της ακτίνας να παραµένει ανάλογος και σταθερός. Κάποια στιγµή, µετά από Ν- φορές, τα δύο σχήµατα θα ταυτιστούν ως προς το εµβαδό ενώ συγχρόνως κάθε πλευρά του εγγεγραµµένου (περιγεγραµµένου) κανονικού πολυγώνου θα www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 4 of 20

γίνει ίση και ταυτόσηµη µε το πολύ µικρό τόξο που της αντιστοιχεί. Αυτό πλέον το θεωρούµε αναλογικό µέτρο της περιφέρειας του κύκλου και της ακτίνας R. Β. Βασιζόµενοι στις υποθέσεις ότι το έσχατο ελάχιστο δεν τεµαχίζεται άλλο και ότι η φύση συνθέτει µε ακριβείς αναλογίες - ελάχιστες ποσοτικές οντότητες - καταλήγουµε στο ότι η κατασκευή της ελάχιστης περιφέρειας κύκλου αρχικά είναι αδύνατη. Κι αυτό διότι όταν κατασκευάζουµε κύκλο µε ακτίνα R ένα έσχατο ελάχιστο, το µικρό τόξο που αντιστοιχεί σε χορδή µήκους R θα ισούται µε R +µέρος του R οπότε και παραβιάζεται η αρχή αδιαιρέτου του έσχατου ελάχιστου. Κατά συνέπεια η κατασκευή της ελάχιστης περιφέρειας είναι δυνατή εφόσον η ακτίνα της είναι ίση ή µεγαλύτερη από ένα ακέραιο πολλαπλάσιο εσχάτων ελάχιστων ίσο µε [8! (16! 8)] =1024. Επιλέξαµε το 8 και κατ επέκταση το 16 διότι εκφράζεται ως 2 3, και το 2 3 εκφράζει τις τρείς διαστάσεις του τρισδιάστατου χώρου µας. Επιπλέον το 8 είναι πολλαπλάσιο του 2, και ικανοποιεί την ανάγκη µας για συνεχείς υποδιπλασιασµούς. Εποµένως όταν η ακτίνα έχει µήκος 1024 έσχατα ελάχιστα, ο λόγος αυτής προς την ηµιπεριφέρεια της, µήκους 3217 εσχάτων ελαχίστων, ισούται µε: 9R R 3217 3R + + = 8! 8 8!(16! 8) 1024 Αυτό συµβαίνει επειδή ο αρχικός αριθµός των 8 εσχάτων ελαχίστων διπλασιάζεται συνεχώς έως ότου τα αναλογικά κλασµατικά υπόλοιπα του αναπτύγµατος της ηµιπεριφερείας να γίνουν ένα ολόκληρο έσχατο ελάχιστο. Τότε ο κλασµατικός λόγος παίρνει τη µορφή 3217 1024 και η ηµιπεριφέρεια µας είναι γεωµετρικά κατασκευάσιµη. www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 5 of 20

2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΕΙΚΑΣΤΙΚΟΥ ΚΥΚΛΟΥ (θεωρητική κατασκευή) (Σχήµα 2) Παρατηρούµε ότι η πλευρά (ΑΒ=R) ενός εγγεγραµµένου κανονικού εξαγώνου, δια του συνεχούς υποδιπλασιασµού (Σχήµα 2), όταν κατατµηθεί σε 32 ίσα τµήµατα οδηγεί το ανάπτυγµα του αντιστοίχου τόξου της, στο κλασµατικό ρητό αριθµό των 32 1 1 57933225 + 1 + + + 2 96 96 10 16! αναλόγων τµηµάτων. Αν αυτός ο αριθµός πολλαπλασιαστεί επί τρία µας δίνει το πλήθος των τµηµάτων της ηµιπεριφέρειας το οποίο ισούται µε 100,531250000181041328125 της οποίας ο λόγος προς το πλήθος των 32 τµηµάτων της ακτίνας R του κύκλου παραµένει σταθερός και ίσος µε 3,14160156250565754150390625. www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 6 of 20

Αυτός ο λόγος συµβολίζεται µε το π Γ και έχει ακριβή τετραγωνική ρίζα η οποία ισούται µε 1,7724563640625 όταν η R=1. Εποµένως η Γεωµετρική κατασκευή του αναλογικού Eικαστικού κύκλου και του αντιστοίχου τετραγώνου του είναι µαθηµατικά και θεωρητικά κατασκευάσιµες αν προσαρµόσουµε τις παραπάνω τιµές στους γνωστούς τύπους της Ευκλείδιας Γεωµετρίας : E 2 =! " R και a =! " R Όπου E= Εµβαδόν κύκλου, α= H πλευρά του τετραγώνου και όπου π = π Γ. Κατά συνέπεια δεχόµαστε ότι Ένα έσχατο ελάχιστο (Άτµητο) ή ένα στοιχειώδες γραµµικό µήκος ισουται µε R 2 10!10 16 = 9,765625-20. Αυτό το Στοιχειώδες Γραµµικό Μήκος δύναται Εικαστικά να ονοµαστεί και Στοι.γ.µη www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 7 of 20

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 3. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΗΜΙΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ ΑΠΟ ΤΥΧΑΙΟ ΔΟΘΕΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ (Σχήµα 3) Σύµφωνα µε την Ευκλείδια Γεωµετρία, οποιοδήποτε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ (Σχήµα 3) µπορεί να χωριστεί και σε 25 + 1 8 + 1 128 + 57933225 128!10 16 αναλογικά τµήµατα. Eποµένως µπορεί να µετατραπεί σε ηµιπεριφέρεια κύκλου, µε ακτίνα R το µήκος των 8 συνεχόµενων ακεραίων τµηµάτων του. Συµπεραίνουµε ότι οποιοδήποτε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ ευθείας (ε) µπορεί να θεωρηθεί ανάπτυγµα ηµιπεριφερείας (δηλ. π Γ ) µε ακτίνα R τα 8 ίσα και συνεχόµενα ακέραια τµήµατα της συγκεκριµένης αναλογικής κατάτµησης ίσης µε 25 + 1 8 + 1 128 + 57933225 128!10 16 αναλογικά τµήµατα. Διαιρώντας την παραπάνω παράσταση µε το 8 λαµβάνουµε το π Γ = 3,14160156250565754150390625 www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 8 of 20

4. ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΜΕ ΔΙΑΒΗΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΑ (Σχήµα 6) A. ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Χωρίζουµε την ακτίνα σε 8 ίσα τµήµατα και από αυτά παίρνουµε το µήκος των 7,08982545625R τµηµάτων, (Σχήµα 6). Αυτό το µήκος είναι ο λόγος της τετραγωνικής ρίζας του δεκαδικού αριθµού κατάτµησης των τµηµάτων της ηµιπεριφέρειας προς το µήκος των 8 τµηµάτων της αρχικής κατάτµησης της ακτίνας. Έχουµε εποµένως: R = 3217,0000000057933225 8 = 7,08982545625 Αν διπλασιάσουµε αυτόν τον αριθµό λαµβάνουµε το µήκος της πλευράς (α) του αντίστοιχου τετραγώνου η οποία ισούται µε το µήκος 14,1796509125R των τµηµάτων της αρχικής κατάτµησης της ακτίνας R του αντίστοιχου κύκλου. a = 2! 7, 08982545625R = 14,1796509125. R www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 9 of 20

B. ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ Χωρίζουµε την πλευρά (α) του τετραγώνου σε 14 ίσα τµήµατα και 0,1796509125 δισεκατοµυριοστά, δηλαδή α=14,1796509125 τµήµατα αναλογικής κατάτµησης, (Σχήµα 6). Βασιζόµενοι στο γνωστό θεώρηµα της Ευκλείδιας Γεωµετρίας περί αναλόγων τµηµάτων, διαιρούµε τον αριθµό των τµηµάτων κατάτµησης µε την τετραγωνική ρίζα του π Γ 5671860365! " = = 8 1,7724563640625 32# 10 και λαµβάνουµε την ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου R = 14,1796509125 = 8 5671860365 32!10 8 Λαµβάνουµε δηλαδή σαν ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου το µήκος των 8 συνεχόµενων ακέραιων τµηµάτων της κατάτµησης (α = 14,1796509125) www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 10 of 20

4. Ο ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΕΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ H απαίτηση του προβλήµατος είναι: να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναµο µε δοσµένο κύκλο. Αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και (α) η ζητούµενη πλευρά του τετραγώνου, πρέπει να αληθεύει η σχέση a = # ή! = 1,7724563640625 ". Όπου 2 2! " R π Γ ο σταθερός λόγος του µήκους της περιφέρειας προς το µήκος της διαµέτρου του κύκλου. Προυπόθεση της παραπάνω σχέσης, είναι η γεωµετρική κατασκευή µε διαβήτη και χάρακα του αναπτύγµατος της ηµιπεριφέρειας µε µετρική µονάδα την ακτίνα R του κύκλου. Δοσµένης τυχαίας περιφέρειας O,R, µε R=1 (Σχήµα 5), ηµιπεριφέρεια π = π Γ ζητούνται: Α. Η γεωµετρική κατασκευή (Σχήµα 6), του αναπτύγµατος της δοθείσης ηµιπεριφέρειας (Ο,R) όπου ΟΒ = π Γ Β. Η κατασκευή (Σχήµα 7), της πλευράς (α) του ισοδύναµου τετραγώνου µε το δοσµένο κύκλο (O,R) όπου a = # R! " (Σχήµα 5) www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 11 of 20

Α. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΔΙΑΒΗΤΗ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑ (θεωρητική λύση) (Σχήµα 6) 1. Φέρνουµε την εφαπτοµένη ΟΧ στο άκρο της ακτίνας R, το O (Σχήµα 6) και λαµβάνουµε πάνω σε αυτή τµήµα ίσο µε 25R/8 προσθέτοντας διαδοχικά τα R/64 συν τα R/64x16 και επιπλέον ένα ακέραιο υποπολλαπλάσιο του ενός όγδοου ίσο µε τα 57933225R/2 10 x10 16 αυτής, το οποίο αποτελεί το έσχατο µη διαιρετέο και σταθερό µήκος γραµµής, οριοθετώντας έτσι το ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ. " OB = 24R 8 + R 8 + R 64 + R 64!16 + 57933225 % $ ' # (64!16)!10 16 & 2. Φέρνουµε την υποτείνουσα ΑΒ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΟΒ του οποίου το εµβαδόν είναι αντίστοιχο µε αυτό της ηµιπεριφέρειας (O,R), θεώρηµα 1 Eυκλείδιας γεωµετρίας. Σύµφωνα µε την παρακάτω ανάλυση: www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 12 of 20

!" # R 2 $ & = & & % 24R 8 + R 8 + R 64 + R 64 #16 + 57933225R (64 #16) #10 16 2 ' ) )# R = ) ( = 3217R 2 + 57933225R2 2 10 2 10!10 16 2 = 32170000000057933225R 2 2 10!10 16 2 Επειδή R=1 έχουµε: A) Εµβαδό ορθογωνίου τριγώνου = (ΑΟΒ) = 2 3,14160156250565754150390625! R = = 1, 570800781252828770751953125 2 Εποµένως Εµβαδό 2x(ΑΟΒ) = π Γ Και ΟΒ = 3,14160156250565754150390625 B) Εµβαδό κύκλου = π Γ xr2 = (3.14160156250565754150390625) x1 2 = π Γ = 3,14160156250565754150390625 Συµφωνα µε OB = 3,14160156250565754150390625 Συµπέρασµα: OB= π Γ, γιατί R=1 www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 13 of 20

Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΠΛΕΥΡΑΣ (α) ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ (Σχήµα 7) 1. Από το κέντρο Ο δοθέντος κύκλου και επί της προεκτάσεως ΟΧ της οριζοντίου διαµέτρου του (Σχήµα 7), λαµβάνουµε ευθύγραµµο τµήµα ίσο µε τα 25R/8 της ακτίνας του, προσθέτοντας διαδοχικά τα R/64 συν τα R/64x16 και επιπλέον ένα ακέραιο υποπολλαπλάσιο 57933225R του ενός ογδόου ίσο µε τα 10 16 2! 10 αυτής, το ποίο αποτελεί το έσχατο σταθερό µήκος, οριοθετούµε έτσι το ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ της Χ. 2. Εν συνεχεία επί της προεκτάσεως της ΟΒ λαµβάνουµε ΒΓ=R και µε διάµετρο το ευθύγραµµο τµήµα ΟΓ γράφουµε ηµιπεριφέρεια Ο 3. Επί της διαµέτρου της και από το σηµείο Β φέρνουµε κάθετο, η οποία τέµνει την ηµιπεριφέρεια Ο στο σηµείο Δ. Το κάθετο τµήµα ΒΔ είναι η πλευρά (α) του ζητούµενου τετραγώνου, µε βάση το γνωστό θεώρηµα του Αρχιµήδη α 2 = ΟΒ R = π, όπου π = π Γ www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 14 of 20

Oπότε αντικαθιστώντας τον παραπάνω τύπο έχουµε: R = 8! R 8 = 1 # 25R R R % 57933225R & 8R * ( ) $ 8 64 64 16 2 10 +. ', ' -/ 8 2 a = + + + ' =! 10 16 " a 2 = 3,14160156250565754150390625R 2 ή a = # R = 1, 7724563640625R! " www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 15 of 20

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η παραπάνω έρευνα αναζήτησε και κατέληξε στον ορισµό ενός Εικαστικού αναλογικού π Γ (πίγαµα), το οποίο ορίζεται ως ο σταθερός λόγος της ηµιπεριφέρειας κύκλου προς τη ακτίνα αυτού. Αυτός ο προκύπτων αριθµός π Γ είναι γεωµετρικά κατασκευάσιµος µε διαβήτη και χάρακα. Βασιζόµενοι στις παραδοχές (σελίδα 2), δείξαµε πώς δηµιουργείται ο ελάχιστος Εικαστικός κύκλος και πώς µπορούµε να υπολογίσουµε την περιφέρεια και το εµβαδό του µε τη µέθοδο της κατάτµησης της ηµιπεριφερείας έως ένα έσχατο ελάχιστο (Άτµητο) µήκος γραµµής. Αυτό το αναλογικό έσχατο ελάχιστο δεν ταυτίζεται µε το µαθηµατικό ελάχιστο, αλλά αποκτά την έννοια ενός γεωµετρικού στοιχειώδους µήκους, το οποίο έχει την ελάχιστη γεωµετρική διάσταση και αποτελεί φυσικό (Εικαστικό) µέτρο της ακτίνας R του κύκλου. Μέσα από µια σειρά νοητικών πειραµάτων δείξαµε ότι: 1. Ο υπολογισµός της ελάχιστης περιφέρειας είναι δυνατός µόνο εφόσον η ακτίνα της είναι ίση ή µεγαλύτερη από ένα ακέραιο πολλαπλάσιο εσχάτων ελάχιστων ίσο µε "# 8! ( 16! 8) $ % = 1024. Τότε η ηµιπεριφέρεια είναι ίση µε 3217 έσχατα ελάχιστα. Πιο συγκεκριµένα, σε ακτίνα µήκους 1024 εσχάτων ελαχίστων, η ηµιπεριφέρεια που της αντιστοιχεί ισούται µε τον λόγο του ακεραίου κλάσµατος 3R + 9R 8! 8 + R 8! (16! 8) = 3217 1024 ο οποίος λόγος είναι γεωµετρικά κατασκευασµένος µε κανόνα και διαβήτη. 2. Εφικτός είναι ο υπολογισµός και η θεωρητική γεωµετρική κατασκευή του ελάχιστου Έικαστικού κύκλου, καθώς και του αντιστοίχου του τετραγώνου, µε πλευρά α= 1,7724563640625R µετά από σειρά αντίστοιχων υπολογισµών. Μέσω αυτού καταλήξαµε ότι: ένα έσχατο ελάχιστο ή ένα στοιχειώδες γραµµικό µήκος ισούται µε R = 2 10 9,765625-20 16!10 Αυτό το Στοιχειώδες Γραµµικό Μήκος δύναται Εικαστικά να ονοµαστεί και Στοι.γ.µη www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 16 of 20

3. Πραγµατοποιήσαµε τις εξής γεωµετρικές κατασκευές: Α. Κατασκευή ηµιπεριφέρειας κύκλου από τυχαίο δοθέν ευθύγραµµο τµήµα. Β. Μετατροπή του εµβαδού του κύκλου σε τετράγωνο και αντιστρόφως, µε κανόνα και διαβήτη. Γ. Αναλογικός Εικαστικός τετραγωνισµός του κύκλου (Θεωρητική λύση). 4. Καταλήξαµε σε τρεις νέους γεωµετρικούς τύπους. Α. R = 25 1 2 + 1 3 2 + 57933225 7 2 7!10 16 3+ 9 2 + 1 = 8 57933225 + 6 10 2 2 10!10 16 Β.! =1,7724563640625 " R! 3217 57933225 " = + 2 2 # 10 Γ. 10 10 16 Όπου (R) η ακτίνα του κύκλου, (α) η πλευρά του τετραγώνου και π Γ ισοδύναµο του π. Διαπιστώνεται ότι οι εικαστικές τέχνες επιλύουν τα τεχνικά τους προβλήµατα µε κριτήριο την αρµονική διαχείριση των αναλογιών των συστηµάτων που εξελίσσουν. Γι αυτό η κάθε αναλογία στη τέχνη σαν βασική αρχή, επιβάλεται να είναι ακριβής µε την έννοια του µαθηµατικού όρου, γιατί αποτελεί στοιχειώδης δοµή σε κάθε εικαστικό ένστικτο δηµιουργίας. Η εικαστική πραγµατικότητα είναι απτή και αναµιγνύει ποιοτικές λογικές προσεγγίσεις για να δηµιουργήσει µια νέα ανάγνωση της ύλης. www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 17 of 20

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η παραπάνω έρευνα µπορεί να βρει εφαρµογή στην κατασκευή των αναλογικών τετραγωνόµετρων (Σχήµα 8). Όργανα τα οποία στηρίζονται στη Γεωµετρική κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η µικρή κάθετη πλευρά είναι η ακτίνα R ενός κύκλου και η µεγάλη κάθετη πλευρά του, η πλευρά (α) του αντίστοιχου (ισοδύναµου) τετραγώνου. Ο λόγος R! = 1,7724563640625 παραµένει πάντοτε σταθερός και αποτελεί φυσικό (Εικαστικό) µέτρο της πλευράς (α) παντός τετραγώνου µε οποιαδήποτε τιµή (R) του αντιστοίχου κύκλου (Ο) (Σχήµα 8) Ο µηχανισµός της µεθόδου είναι µια νέα αναλογική µετρητική µονάδα ανεξαρτήτη από οποιαδήποτε κλίµακα. Δύναται να στηριχτούν εφαρµογές για εικαστικές ή επιστηµονικές µετρήσεις αναλογικής, χωροµετρικής και ποσοτικής ακρίβειας ανεξαρτήτως κλίµακος. www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 18 of 20

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Atking R.W. Η Δηµιουργία, Πανεπιστήµιο Οξφόρδης, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 1993. Colin Bruce, Τα κουνέλια του Σρέντιγκερ, Εκδόσεις Τραυλός. O συγγραφέας αναφέρει στη σελίδα 354, τον κάτοχο του Νοµπελ φυσικής του 1999, Gerard t Hooft ο οποίος έχει περιγράψει µε έναν αξιοµνηµόνευτο τρόπο την οπτικοποίηση της ολογραφικής αρχής.» Blatner D. Η Χαρά του π, Εκδόσεις Ωκεανίδα, 2001. Εγκυκλοπαίδεια: Ήλιος, (15ος τόµος), Εκδόσεις της εγκυκλοπαιδικής επιθεωρήσεως Ήλιος. Εγκυκλοπαίδεια: Πάπυρος Larousse Britannica (47ος τόµος), Εκδοτικός οργανισµός: Πάπυρος. Μανουσάκης Γ. & Κασεκτσίδης Γ. Η Γοητεία της Επιστήµης Στην Αρχαία Ελλάδα, Εκδόσεις Πατάκη, 1998. Miller A. Α.νστα.ν, Πικάσο. Εκδόσεις Τραυλός, 1η έκδοση 2002. Μπάσιος Β. και Αδαµοπούλου Ι. Γνωριµία µε τον κόσµο των Fractals, Εκδόσεις Anubis, 1992. Rae A. Κβαντοµηχανική: Πλάνη ή Πραγµατικότητα; Πανεπιστήµιο Birmingham, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 1988. Rees M. Μόνο έξι αριθµοί, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2000. Sargent W. Το Χρώµα Στη φύση και Στην Τέχνη. Smolin L. Τρεις Δρόµοι Προς την Κβαντική Θεωρία, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2000. Τσιµπουράκης Δ. Η Γεωµετρία στην Αρχαία Ελλάδα, Εκδόσεις Ατραπός, 2004. «Η παραπάνω εµπεριστατωµένη εργασία και µελέτη αναφέρεται στους περισσότερους γνωστούς και µεγάλους άνδρες της Αρχαίας Ελλάδας στο χώρο της γεωµετρίας και γενικά της επιστήµης. Για µένα είναι η πιο συµπυκνωµένη έρευνα γνώσης των Αρχαίων Ελλήνων στο χώρο της µαθηµατικής και γεωµετρικής επιστηµονικής σκέψης. Αναφέρεται σε 28 απο τις σπουδαιότερες ελληνικές εκδόσεις και σε 37 ξένες και ευρωπαικές εκδόσεις. Μαζί µε την έκδοση του Η τριγωνοµετρία στην Αρχαία Ελλάδα Εκδόσεις Ατραπός 2004, είναι κατα την γνώµη µου ο σπουδαιότερος και ο απλούστερος οδηγός πολύτιµης γνώσης της γεωµετρίας και τον µαθηµατικών της Αρχαίας Ελλάδας, ειδικά για τους νέους.» Τσιµπουράκης Δ. Η Τριγωνοµετρία στην Αρχαία Ελλάδα, Εκδόσεις Ατραπός, 2004. Williams G. Σχέδιο και Σκοπός της Φύσης, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2004. Zebrowski E. Jr. Η Iστορία του Κύκλου, Εκδόσεις Κέδρος www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 19 of 20

ΕΡΕΥΝΗΤΗΣ: Γιάννης Γεωργακάκης Εικαστικός / Γλύπτης www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr ΒΟΗΘΟΙ ΕΡΕΥΝΑΣ: Παναγιώτης Λάμπρου Εικαστικός / Φωτογράφος www.panayiotislamprou.com Μαρία Ρεβύθη Ηλεκτρολόγος Μηχανικός elmary82@hotmail.com fotografia@panayiotislamprou.com www.squaringofthecircle.gr info@squaringofthecircle.gr Page 20 of 20