FUNKSIONAL ANALIZ (o quv qo llanma)

O zbekisto Respublikasi Oliy va o rta maxsus ta lim vazirligi Ayupov Sh.A., Berdiqulov M.A., Turg ubayev R.M. FUNKSIONAL ANALIZ (o quv qo llama) 54000 - Matematika va iformatika 54000 - Matematika Toshket-007 www.ziyouz.com kutubxoasi

Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgubayev R.M. Fuksioal aaliz. Toshket, 007. Pedagogika oliy ta lim muassasalariig bakalavrlari uchu o quv qo llama. Ushbu o quv qo llama pedagogika oliy ta lim muassasalarida tahsil olayotga bakalavriat talabalarii fuksioal aalizig asosiy tushuchalari (metrik fazo, chiziqli, ormallaga, Gilbert fazolari, ularda aiqlaga operator va fuksioallarig xossalari) va ularig variatsio hisobdagi tatbiqlari bila taishtirishga mo ljallaga. Аюпов Ш.А., Бердикулов М.А., Тургунбаев Р.М. Функциональный анализ. Ташкент, 007. Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров педагогических вузов, изучающих функциональный анализ. В нем даются основные понятия функционального анализа (метрические, линейные, нормированные, гильбертовы пространства и свойства операторов и функционалов, определенных в этих пространствах), а также приводятся их приложения в вариационном исчислении. Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgubaev R.M. Fuctioal Aalysis. Tashket. 007. Textbook for bachelors of pedagogical uiversities. The preset textbook is writte for bachelor studets of higher pedagogical istitutes studyig fuctioal aalysis. Basic cosepts of fuctioal aalysis (metric, liear, ormed, Hilbert spaces ad properties of operators ad fuctioals defied i these spaces) ad their applicatios i calculus of variatios are give. Taqrizchilar: O. Toshmetov, Nizomiy omidagi TDPU, professori B.Omirov, O zfa matematika va iformatsio texologiyalar istituti yetakchi ilmiy hodimi, fizika matematika falari doktori www.ziyouz.com kutubxoasi

KIRISH Biz matematik aaliz kursida bir o zgaruvchili fuksiyalari, R fazo va ularda aiqlaga fuksiyalari o rgadik, matematik aalizig asosiy tushuchasi bo lga fuksiya tushuchasii kegaytirdik. Hozirgi zamo muammolariga matematikaig tatbiqi fuksiya tushuchasii yaa ham kegaytirish zaruriyatii ko rsatmoqda. Matematikaig biz o rgamoqchi bo lga bo limi fuksioal aaliz deb omlaadi. Fuksioal aaliz chekli va cheksiz o lchamli fazolari o rgaadi. Bu fazolarig elemetlari fuksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma-ketliklar, umuma olgada boshqa matematik ob ektlarda iborat bo lishi mumki. Fuksioal aalizda matematik aaliz, fuksiyalar azariyasi va to plamlar azariyasi, algebra va geometriya metodlari, g oyalari birlashib, uyg ulashib o rgailadi. Buda fuksioal bog laishlar (fuksiyalar) haqida eg to liq, chuqur tasavvur beriladi. Faraz qilaylik, moddiy uqta tekislikda biror egri chiziq bo yicha A uqtada B uqtaga qadar harakatlaayotga bo lsi (-rasm). Ravshaki, moddiy uqtaig harakatlaish vaqti harakat sodir bo layotga egri chiziq ko riishiga bog liq bo ladi. Shuday qilib, bu misolda biz avval o rgailga fuksioal bog laishlarda farqli bo lga bog laishga duch kelamiz. Buda argumet sifatida egri chiziq, fuksiya qiymati esa harakatlaish vaqtii aiqlovchi soda iborat. -rasmda ko rsatilga miorai qurish uchu qacha material ketishi M va N asoslari tutashtiruvchi aylama sirtga bog liq bo ladi. Buda argumet sifatida aylama sirtlar, fuksiya qiymati esa kerak bo ladiga material miqdorii ifodalovchi soda iborat. Savol tug iladi. Umuma olgada, elemetlari ixtiyoriy bo lga A to plamda biror fuksiyai aiqlab bo ladimi? Boshqacha aytgada, A to plami biror soli to plamga akslatirish mumkimi? www.ziyouz.com kutubxoasi

-rasm -rasm Quyidagi savoli ham qo yish mumki: argumetig ma lum ma oda yetarlicha yaqi qiymatlariga fuksiyaig istalgacha yaqi qiymatlari mos kelishi uchu ima ishlar qilish zarur? Ravshaki, so gi xossa juda muhim. A to plamda uig elemetlariig yaqiligii aiqlaydiga qoida yoki limitga o tish amalii aiqlaydiga qoida berilgada A to plami fuksiyaig aiqlaish sohasi deb qarash maqsadga muvofiq bo ladi. Ushbu qo llamaig maqsadi, birichida elemetlari orasida masofa tushuchasi kiritilga to plamlari (metrik fazolar, chiziqli, ormalaga fazolar), ikkichida fazolari solar o qiga akslatirishlar (fuksioallar) ig va fazoi fazoga akslatirishlar (operatorlar) ig xossalarii o rgaishda iborat. Kelgusida uzluksiz fuksioal uzluksiz fuksiyalarga xos bo lga ko pgia xossalarga ega, operatorlar esa fuksiya tushuchasiig eg zamoaviy, eg umumiy umumlashmasi ekaligii ko ramiz. Fuksioal aaliz matematikaig alohida bo limi sifatida XVIII asrig oxiri va XIX asr boshlarida shakllaa boshladi. Fuksioal aalizga doir dastlabki ilmiy ishlar italya matematigi Volterra, frasuz matematigi Puakare va emis matematigi Gilbertga taalluqlidir. Metrik fazo tushuchasi faga frasuz matematigi Freshe tomoida XX asr boshlarida kiritilga, ormalaga fazo tushuchasi 9 yilda polyak matematigi Baax va uga bog liq bo lmaga holda amerikalik matematik Vier tomoida kiritilga. www.ziyouz.com kutubxoasi

Fuksioal aalizig eg muhim, dolzarb yo alishlarida biri operatorlar algebralari azariyasi va uig tatbiqlari, Baax algebralari sohasiig asosiy qismii tashkil qilib, Respublikamizda keg rivojlatirilmoqda. Toshket fuksioal maktabi vakillariig ko plab ilmiy tadqiqotlari, oxirgi 0-30 yil davomida ushbu yo alishga aloqador bo lib, aytish mumkiki ko plab, chuqur va muhim atijalar olidi. Baax algebralari azariyasi bakalavrlar tayyorlash dasturiga kiritilmaga mavzu bo lib, magistrlar uchu esa taishtiruv, umumiy tushuchalari berish sifatida ozgia berilga xolos. Shu sababli ushbu darslikda Baax algebralari bila yaxshiroq taishish va taishtirish, hamda udagi ba zi yechilmaga masalalarga e tibor berish azarda tutilga. Ma lumki, Baax algebralariig paydo bo lishida operatorlar algebrasi asosiy rol o yaga. Odatda, X chiziqli fazoi Y chiziqli fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli operatorlar to plamii L(X,Y) orqali belgilaadi va u chiziqli fazo bo ladi. Agar qaralayotga fazolar ormalaga fazolarda iborat bo lsa, u holda uzluksiz operatorlar fazosi haqida fikr yuritish mumki. Ikki uzluksiz operatorig yig idisi va uzluksiz operatorig soga ko paytmasi uzluksiz operator bo lishi chiziqli amallarig uzluksiz ekaligida bevosita kelib chiqadi. Agar X=Y bo lsa, L(X,Y) o riga L(X) yozamiz. L(X) chiziqli fazoda ko paytma sifatida operatorlarig kompozitsiyasi, T S oliadi va L(X) algebraga aylaadi. Bu algebrai chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi. Operator algebralariig eg muhimlari C*-algebralar, fo Neyma algebralaridir. Ularda yaada kegroq tushuchalar yordamida aiqlaadiga, o z o ziga qo shma operatorlar fazosi va Yorda Baax algebralari (JB-algebralar) hozirgi zamo kvat mexaikasi masalalariig matematik modelii yaratishda, ularga matematik talqi berishda asosiy vazifalari bajarishi asoslaga (Bu sohadagi batafsil ma lumotlari [6], [8], [0] adabiyotlarda olishigiz mumki). www.ziyouz.com kutubxoasi

Bu yo alishdagi rivojlaish yarim maydolar azariyasi [] yaratilgaida so g kuchayib ketdi. Kvat mexaikasida fizik sistemaig tasodifiy miqdorlarii biror N, Gilbert fazosida aiqlaga o z-o ziga qo shma operator yordamida tasvirlash mumkiligi operatorlar algebrasiga bo lga e tibori kuchaytirib yubordi []. Ma lum bir aksiomalar sistemasii qaoatlatiruvchi, haqiqiy algebra yorda algebralari yuqoridagi mulohazalar asosida paydo bo ldi. Bu algebralar asosa algebraistlar tomoida o rgailga bo lsa, keyichalik ularga boshqacha yodashuv, ya i algebralarda orma, tartib tushuchalarii kiritib Baax algebralari tadqiq qilia boshladi. O zbekistoda fuksioal aalizig rivojlaishi, uig g oyalarii keg targ ib qilga va fuksioal aaliz bo yicha o z maktabiga ega bo lga akademik T.A.Sarimsoqov omi bila bog liq. www.ziyouz.com kutubxoasi

.. Metrik fazoig ta rifi. I-BOB. METRIK FAZOLAR -. Metrik fazo ta rifi va misollar -ta rif. Agar biror X to plamig o zii o ziga to g ri (Dekart) ko paytmasi X X i R + =[0; + ) ga aks ettiruvchi ρ(x,y) fuksiya berilga bo lib, u ) ρ(x,y) 0; ρ(x,y)=0 muosabat faqat x=y bo lgada bajariladi; ) ρ(x,y)= ρ(y,x) (simmetriklik aksiomasi); 3) ρ(x,y) ρ(x,z)+ ρ(z,y) (uchburchak aksiomasi) shartlari qaoatlatirsa, u holda X to plam metrik fazo deyiladi. Kiritilga ρ(x,y) fuksiya metrika, yuqoridagi shartlar esa metrika aksiomalari deyiladi. Odatda metrik fazo (X,ρ) ko riishda belgilaadi... Metrik fazoga misollar. ) Haqiqiy solar to g ri chizig i: X= R. Bu to plamda x va y solar orasidagi masofa ρ(x,y)= y-x bo yicha hisoblaadi. ) o lchamli Evklid fazosi: X= R, va udagi x=(x,x,,x ), y=(y,y,,y ) uqtalar orasidagi masofa ρ(x,y)= hisoblaadi. Bu metrik fazo R orqali belgilaadi. i= ( y i x i ) formula yordamida Xususa = bo lgada bu metrik fazo Evklid tekisligi deyiladi. 3) o lchamli fazoig x=(x,x,,x ) va y=(y,y,,y ) uqtalari orasidagi masofa ρ(x,y)= y k x k deb aiqlasa, u metrik fazo bo ladi va R orqali belgilaadi. k = 4) o lchamli fazoig x=(x,x,,x ) va y=(y,y,,y ) uqtalari orasidagi masofa ρ(x,y)= max y k x k kabi aiqlasa, u metrik fazo bo ladi va k R orqali belgilaadi. 5) X=l ={x=(x, x,..., x,... ), x i R va i= x i < + }, ρ(x,y)= ( yi xi) ; i= www.ziyouz.com kutubxoasi

6) X=C[a;b] [a;b] kesmada aiqlaga uzluksiz fuksiyalar to plamida metrikai quyidagicha kiritamiz: ρ(x,y)= max yt ( ) xt ( ). Bu fuksiyaig metrika bo lishii tekshirish qiyi emas. Metrika aksiomalarida birichi va ikkichisiig o rililigi ravsha. Uchburchak aksiomasii tekshiramiz. Ixtiyoriy t [a;b] uqta va x(t), y(t), z(t) fuksiyalar uchu ushbu muosabat bajariladi: x(t)- y(t) = ( x(t)- z(t)) + ( z(t)- y(t)) x(t)- z(t) + z(t)- y(t). Bu tegsizlikda max x(t)- y(t) max x(t)- z(t) + max z(t)- y(t) bo lishi kelib chiqadi. a t b a t b a t b Oxirgi tegsizlik ρ(x,y) ρ(x,z)+ρ(z,y) ekaligii bildiradi. 7) C[a;b] da metrikai quyidagicha ham kiritish mumki: b [ ab ; ] ρ(x,y)= y x dt. Bu metrik fazo C[a;b] orqali belgilaadi. a 8) [a;b] kesmada kvadrati bila itegrallauvchi uzluksiz fuksiyalar b to plamida ρ(x,y)= ( ( y x) dt) fuksiya metrika aksiomalarii qaoatlatiradi a []. Bu metrik fazo C [a;b] orqali belgilaadi. Bo sh bo lmaga ixtiyoriy to plamda metrika kiritish mumkimi dega savolga quyidagi misol ijobiy javob beradi. 9) X- bo sh bo lmaga ixtiyoriy to plam bo lsi. x, y X uchu, agar х у bo'lsa, ρ(x,y)= 0,agar х= у bo'lsa shart bila fuksiya aiqlaymiz. Bu fuksiya metrika aksiomalarii qaoatlatiradi. Buday aiqlaga metrik fazo trivial metrik fazo, metrika esa, trivial metrika deyiladi. www.ziyouz.com kutubxoasi

Tekshirish savollari. Metrika aksiomalarii aytig.. Metrik fazo ima? 3. Metrik fazolarga misollar keltirig. Mashqlar. Tekislikdagi A(x,y ) va B(x,y ) uqtalar uchu ρ(a,b)= x -x + y -y kabi aiqlaga fuksiya metrika bo ladimi?. To g ri chiziqda quyidagi a) ρ(x,y)=x 3 y 3 ; b) ρ(x,y)= x 3 y 3 ; c) ρ(x,y)= arctgx arctgy fuksiyalarig qaysi biri metrika bo ladi? 3. Agar M={a,b,c} to plamda ρ(a,c)=ρ(c,a)=ρ(a,b)=ρ(c,b)=, ρ(b,c)= ρ(b,a)= kabi aiqlaga ρ fuksiya metrika bo ladimi? ρ uchburchak aksiomasii qaoatlatiradimi? 4. Agar M={a,b,c} to plamda ρ(a,b)=ρ(b,c)= sharti qaoatlatiruvchi ρ metrika berilga bo lsa, u holda ρ(a,c) qaday qiymatlari qabul qilishi mumki? 5. Metrika aksiomalari quyidagi ) ρ(x,y)=0 muosabat faqat x=y bo lgada bajariladi; ) ρ(x,y) ρ(x,z)+ ρ(y,z) ikkita aksiomaga ekvivalet ekaligii isbotlag. 6. Aylaada r(a,b) - vatar bo yicha va ρ(a,b)- yoy bo yicha metrika kiritish mumkiligii tekshirig. Bu metrikalarig birii ikkichisi orqali qaday ifodalash mumki? 7. Uch o lchamli fazoda, koordiatalar boshida chiquvchi urlar to plami ikki ur orasidagi masofa sifatida, ular tashkil qilga burchaklarda kichigiig radia o lchovi olisa metrik fazo bo lishii ko rsatig. 8. Ko phadlar fazosida ρ(p,p )= P (0) P (0) fuksiya metrika aksiomalarii qaoatlatiradimi? 9. Aytaylik, (X,ρ)-metrik fazo, biror A to plam va f:a X akslatirish berilga bo lsi. Ixtiyoriy x,y A uchu quyidagicha aiqlaga ρ (x,y)=ρ(f(x),f(y)) www.ziyouz.com kutubxoasi

fuksiyai qaraymiz. Buday aiqlaga fuksiya A to plamda metrika bo lishi uchu f akslatirishig i ektiv bo lishi zarur va yetarli ekaligii isbotlag. 0, agar a= bbo'lsa, 0. Butu solar to plamida quyidagicha ρ(a,b)=, agar a b bo'lsa 3 k kabi aiqlaga fuksiya metrika bo lishii isbotlag, bu yerda k soi a b ayirma qoldiqsiz bo liadiga 3 ig eg katta darajasi. ρ(5,7), ρ(7, ), ρ(7,5) lari hisoblag.. Natural solar to plamida a) ρ(x,y)= x y xy bo ladimi? 0, agar x= ybo'lsa, ; b) ρ(a,b)= +, agar x ybo' lsa x+ y fuksiyalar metrika ρ( x, y). Agar X to plamda ρ metrika bo lsa, u holda ρ (x,y)= + ρ( x, y) ham X to plamda metrika bo lishii isbotlag. fuksiya 3. Aytaylik f fuksiya [0; ) da aiqlaga va ) f(0)=0; ) [0; ) da o suvchi; 3) ixtiyoriy x,y [0; ) uchu f(x+y) f(x)+f(y) shartlari qaoatlatirsi. Agar ρ metrika bo lsa, u holda ρ (x,y)=f(ρ(x,y)) ham metrika bo lishii isbotlag. 4. Aytaylik f fuksiya [0; ) da aiqlaga va uzluksiz bo lib, ) f(0)=0; ) [0; ) da o suvchi; 3) (0; ) oraliqda ikkichi tartibli hosilasi mavjud va f (x)<0 shartlari qaoatlatirsi. Agar ρ metrika bo lsa, u holda ham metrika bo lishii isbotlag. ρ (x,y)=f(ρ(x,y)) 5. Agar ρ va ρ biror X to plamda aiqlaga metrikalar bo lsa, u holda ixtiyoriy α va α musbat solar uchu ρ(x,y)=α ρ (x,y)+α ρ (x,y) fuksiya ham X to plamda metrika bo lishii isbotlag. www.ziyouz.com kutubxoasi

-. Metrik fazoda ba zi bir geometrik tushuchalar.. Ochiq va yopiq sharlar, uqtaig ε atrofi Aytaylik (X,ρ) metrik fazo bo lsi. Kelgusida, metrik fazo elemeti va metrik fazo uqtasi tushuchalari bir xil ma oda ishlatiladi. -ta rif. Biror x 0 X uqta va r>0 so uchu ushbu S(x 0,r)={ x X: ρ(x,x 0 )<r } to plam X fazoda ochiq shar; _ S ( х 0, r) ={x X: ρ(x,x 0 ) r} to plam yopiq shar deyiladi. x 0 uqta sharig markazi; r so sharig radiusi deyiladi. Zaruriyat tug ilgada {x X: ρ(x,x 0 )= r} to plami ham ishlatamiz, u x 0 markazli, r radiusli cfera deyiladi. -ta rif. S(x 0,ε) ochiq shar x 0 uqtaig ε-atrofi deyiladi va O ε (x 0 ) kabi belgilaadi. Nuqta atrofiig ba zi xossalarii o rgaamiz. o. Har bir uqta o ziig ixtiyoriy atrofiga tegishli bo ladi. Haqiqata, agar ε > 0 bo lsa, u holda ρ(a,a)=0 < ε bo lishi ravsha. Demak, a O ε (a). o. Huqtaig ixtiyoriy ikki atrofi kesishmasi ham atrof bo ladi. Oε Oε O ε Haqiqata, agar ε <ε bo lsa, u holda (a) (a)= (a) bo ladi. 3 o. Agar x O ε (a) bo lsa, u holda x uqtaig O ε (a) da yotuvchi atrofi mavjud. Haqiqata, aytaylik ρ(a,x)=d bo lsi. x O ε (a) bo lgaligida δ=ε d>0 bo ladi. Edi, y O δ (x) olamiz. Metrikaig uchburchak aksiomasiga ko ra ρ(a,y) ρ(a,x)+ρ(x,y)<d+δ=d+(ε d)=ε bo ladi. Demak, y O ε (a). Buda O δ (x) O ε (a) kelib chiqadi. 4 0. Bir-birida farqli ikki uqtaig kesishmaydiga atroflari mavjud. www.ziyouz.com kutubxoasi

Haqiqata aytaylik, a,b X, a b va ρ(a,b)=r bo lsi. Agar ε=r/3 bo lsa, O ε (a) va O ε (b) atroflarig kesishmasligii ko rsatamiz. Faraz qilaylik, bu atroflar umumiy x uqtaga ega bo lsi. U holda ρ(a,x)<ε, ρ(b,x)<ε va ρ(a,b) ρ(a,x)+ ρ(b,x)<ε= r / 3 <r. Bu esa shartga zid... Chegaralaga to plam. 3-ta rif. Agar (X,ρ) metrik fazodagi M to plam biror shar ichida joylashga bo lsa, bu to plam chegaralaga deyiladi. Bu ta rifig quyidagi ta rifga ekvivalet ekaligii tekshirish murakkab emas: Agar (X,ρ) metrik fazodagi M to plamga tegishli barcha x va y uqtalar uchu, ρ(x,y)<k tegsizliki qaoatlatiruvchi K musbat so mavjud bo lsa, u holda M to plam chegaralaga deyiladi. Agar bir to plamda ikki xil metrika berilga bo lsa, u holda qaralayotga M to plam bir metrikaga isbata chegaralaga, ikkichi bir metrikaga isbata chegaralamaga bo lishi mumki. Masala, atural solar to plami ρ(,m)= m metrikaga isbata chegaralamaga, leki 0, agar m=, ρ (,m)= +, agar m m+ metrikaga isbata chegaralagadir. Ravshaki, da farqli barcha larda ρ (,)< bo ladi, ya i bu metrikaga isbata barcha atural solar to plami, markazi uqtada radiusi ga teg ochiq sharga tegishli bo ladi..3. To plamig uriish, limit uqtalari 4-ta rif. Agar x 0 X uqtaig ixtiyoriy atrofida M to plamig x 0 da farqli elemeti mavjud bo lsa, u holda x 0 uqta M ig limit uqtasi deyiladi. www.ziyouz.com kutubxoasi

Misollar. ) ( R,ρ) metrik fazodagi S(x,r) ochiq sharig limit uqtalari 0 to plami _ S ( х 0, r) yopiq sharda iborat bo ladi. ) Edi (R,ρ) metrik fazodagi, ya i solar o qidagi ba zi to plamlari qaraymiz: a) E =N atural solar to plami bo lsi. Bu to plamig birorta ham limit uqtasi mavjud emas. b) E ={/ : =,, } bo lsi. Bu to plamig birgia limit uqtasi 0 bor va 0 E. c) E 3 =(0;). Bu to plamig limit uqtalari [0;] kesmaig barcha uqtalarida iborat. d) E 4 =(0;) Q bo lsi. Bu to plamig limit uqtalari ham [0;] kesmaig barcha uqtalarida iborat. 5-ta rif. Agar x 0 X uqtaig ixtiyoriy atrofida M to plamig kamida bitta elemet mavjud bo lsa, x 0 uqta M ig uriish uqtasi deyiladi. Limit uqta uriish uqtasi bo ladi, leki aksichasi har doim ham o rili emas. Masala, chekli to plamig har bir uqtasi uriish uqta bo ladi, ammo u limit uqta bo la olmaydi. Yuqoridagi E va E to plamlarig barcha uqtalari uriish uqtalardir..4. To plamig yopilmasi 6-ta rif. M to plamig uriish uqtalari to plami М bila belgilaib, M ig yopilmasi deyiladi. Misol. ( R,ρ) metrik fazoda S(x,r) ochiq sharga tegishli ratsioal 0 koordiatali uqtalar to plamiig yopilmasi _ S ( х 0, r) yopiq sharda iborat bo ladi. o rilidir: Teorema. Ixtiyoriy M, M va M to plamlar uchu quyidagi muosabatlar ) М М ; ) М = М ; www.ziyouz.com kutubxoasi

3) Agar М М bo lsa, u holda M M bo ladi; 4) М М = М М. Isboti. Birichi xossa to plamig uriish uqtasi ta rifida kelib chiqadi. Ikkichi xossai isbotlaymiz. Birichi xossaga asosa М М. Shuig uchu M M muosabati isbotlash yetarli. x М bo lsi. U holda bu uqtaig ixtiyoriy ε atrofida М ga tegishli x uqta topiladi; so g x uqtaig radiusi ε =ε-ρ(x,x )>0 bo lga atrofii olamiz. Agar z O ε ( x ) bo lsa, u holda ρ(z,x) ρ(z,x )+ ρ(x,x)<ε, ya i z O ε (x) bo ladi. Shuday qilib, O ε ( x ) Oε(x). Ammo x М, demak, x ig ε -atrofida M ga tegishli x uqta mavjud. Shuig uchu x Leki O ε (x) shar x uqtaig ixtiyoriy atrofi bo lgai uchu x М. Uchichi xossa o z-o zida ravsha. O ε ( x ) Oε(x). To rtichi xossai isbotlaymiz. Aytaylik x М М bo lsi, u holda x uqtaig ixtiyoriy O ε (x) atrofida M M ga tegishli x elemet mavjud. Agar x М va x М bo lsa, u holda x ig shuday O ε ( ) va O ε ( x) atroflari mavjudki, bu atroflar mos ravishda M va M to plamlar bila kesishmaydi. Edi ε=mi(ε,ε ) deb olsak, u holda x uqtaig O ε (x) atrofi M M to plam bila kesishmaydi. Bu esa x ig talaishiga zid. Demak, x uqta М yoki М to plamlarda kamida bittasiga tegishli, ya i М М М М. Teskari muosabatig o riligi M M M va M M M muosabatlarda hamda uchichi xossada kelib chiqadi. Tekshirish savollari. Metrik fazoda ochiq (yopiq) sharlari ta riflag.. Nuqtaig atrofi qaday aiqlaadi? 3. Nuqta atrofiig qaday xossalari bor? 4. Limit uqtai ta riflag. x www.ziyouz.com kutubxoasi

5. Uriish uqtai ta riflag. 6. To plamig yopilmasi qaday aiqlaadi? 7. To plam yopilmasi xossalarii aytig. Mashqlar. Biror metrik fazoda ikkita har xil radiusli ochiq sharlar ustma-ust tushishi mumkimi?. Biror metrik fazoda radiusi 3 ga teg bo lga shar radiusi ga teg bo lga sharig xos qismi bo lishi mumkimi? 3. Biror metrik fazoda r>0 radiusli shar bo sh to plam bo lishi mumkimi? 4. Tekislikdagi kabi, agar c uqta a va b uqtalarda farqli va ρ(a,b)=ρ(a,c)+ρ(c,b) bo lsa, u holda c uqta a va b uqtalar orasida yotadi deb aytamiz. a) Agar c uqta a va b uqtalar orasida, d uqta esa a va c uqtalar orasida yotsa, u holda d uqta a va b uqtalar orasida yotishii isbotlag. b) Agar c uqta a va b uqtalar orasida yotsa, u holda a uqta c va b uqtalar orasida yotmasligii isbotlag. c) Agar c uqta a va b uqtalar orasida, d uqta esa a va c uqtalar orasida yotsa, u holda c uqta d va b uqtalar orasida yotishii isbotlag. d) Metrik fazoig uqtalari orasida, har doim shu fazoig kamida bitta uqtasi yotadimi? 5. X metrik fazoda [a,b] kesma deb shu fazoig a, b va bu uqtalar orasida yotadiga barcha uqtalarda tashkil topga to plamga aytiladi. dagi b), c); 7; 0; misollarda va trivial metrik fazoda kesmalar qaday bo ladi? Bu kesmalar chegaralagami? 6. Agar {a,b} {c,d} bo lsa, u holda [a,b] [c,d] ekaligii isbotlag. 7. Aytaylik c uqta a va b uqtalar orasida yotsi. Har doim [a,b]=[a,c] [c,d] muosabat o rilimi? R 8. tekislikda har qaday to g ri to rtburchakig chegaralaga to plam ekaligii ko rsatig. www.ziyouz.com kutubxoasi

9. Metrik fazoda yaqilashuvchi ketma-ketlikig chegaralaga to plam ekaligii isbotlag. 0. To g ri chiziqdagi x =( ) + / ( N ) uqtalar to plamiig uriish va limit uqtalarii topig. R. E to plam tekislikdagi ratsioal koordiatali uqtalar to plami bo lsa, uig yopilmasii topig. R. tekislikda faqat ikkita: A(,3), B(3,0) limit uqtaga ega bo lga E to plamgi misol keltirig. www.ziyouz.com kutubxoasi

3-. Metrik fazodagi ochiq va yopiq to plamlar 3.. Yopiq to plam va uig xossalari, misollar. (X,ρ) metrik fazo bo lsi. Buda M X to plam olamiz. -ta rif. Agar М = М bo lsa, u holda M yopiq to plam deyiladi. Ixtiyoriy (X,ρ) metrik fazoda S _ ( х0, r ) yopiq shar, X ig o zi, bo sh to plam va har bir chekli to plam yopiq to plamlarga misol bo ladi. to plamdir. Shuigdek ( R,ρ), ρ(a,b)= b-a to g ri chiziqda ixtiyoriy [c,d] kesma yopiq -teorema. a) Chekli sodagi yopiq to plamlarig birlashmasi yaa yopiq to plam bo ladi; b) Ixtiyoriy sodagi yopiq to plamlarig kesishmasi yopiq to plam bo ladi. Isboti. a) bu xossai ikki to plam uchu isbotlash yetarli. Aytaylik F F yopiq to plamlar bo lsi, ya i F _ = F va F _ = F o rili. U holda - dagi teoremaig 4) xossaga ko ra F = F F = F F F. Demak, ta rifga ko ra F F yopiq to plam. b) Aytaylik ixtiyoriy sodagi {F α } α A yopiq to plamlar sistemasi berilga va x ularig kesishmasi F= α F α to plamig uriish uqtasi bo lsi. U holda x ig ixtiyoriy atrofida F ig kamida bitta, masala, x elemeti mavjud va kesishmaig xossasiga ko ra α ig barcha qiymatlari uchu x F α bo ladi. Demak, ixtiyoriy α uchu x F α =Fα, ya i x F α =F bo ladi. Demak, F yopiq to plam. Teorema isbot bo ldi. 3.. Ochiq to plam va uig xossalari, misollar. (X,ρ) metrik fazo, M X biror to plam bo lsi. -ta rif. Agar x uqtaig M to plamda butulay joylashga biror atrofi mavjud bo lsa, u holda x uqta M to plamig ichki uqtasi deyiladi. deyiladi. Agar M to plamig hamma uqtalari ichki bo lsa, u ochiq to plam www.ziyouz.com kutubxoasi

Ixtiyoriy (X,ρ) metrik fazoda to plamga misol bo ladi. Sx ( 0, r) ochiq shar, R da (a;b) iterval ochiq R da Q ratsioal solar to plami ochiq to plam emas, chuki ratsioal so ichki uqta bo la olmaydi, ya i, ixtiyoriy ratsioal soig har bir atrofi faqat ratsioal solarda iborat emas. Shu kabi irratsioal solar to plami ham ochiq to plam emas. Bu to plamlarig R da yopiq to plam emasligii ham ko rish qiyi emas. -teorema. Biror G X to plamig ochiq bo lishi uchu uig to ldiruvchisi, F=X\G=CG yopiq bo lishi zarur va yetarli. Isboti. Zaruriyligi. Aytaylik G ochiq to plam bo lsi. U holda har bir x G uqta butulay G da joylashga atrofga ega. Demak, bu atrof F bila kesishmaydi. Buda ko riadiki, F ig birorta ham uriish uqtasi G ga kirmaydi. Demak F yopiq to plam. Yetarliligi. Aytaylik F=X\G yopiq to plam bo lsi. U holda G da oliga ixtiyoriy uqta F bila kesishmaydiga, demak G da butulay joylashga atrofga ega, ya i G ochiq to plam. Natija. Bo sh to plam va X fazo ham ochiq, ham yopiq to plamlardir. 3-teorema. Ixtiyoriy sodagi ochiq to plamlarig birlashmasi va chekli soidagi ochiq to plamlarig kesishmasi ochiq to plam bo ladi. Isboti. Ushbu (X\Gα)=X\( α ) va (X\Gi)=X\( G i ) tegliklarda va α α G i= yuqorida isbotlaga teoremalarda kelib chiqadi. Tekshirish savollari. Qaday to plam yopiq to plam deyiladi?. Yopiq to plamga misollar keltirig. 3. Qaday to plam ochiq to plam deyiladi? 4. Ochiq to plamga misollar keltirig. 5. Ochiq va yopiq to plamlar orasida qaday bog laish mavjud? 6. Ochiq ham, yopiq ham bo lmaga to plamlarga misollar keltirig. i= www.ziyouz.com kutubxoasi

Mashqlar. Metrik fazoda yopiq sharig yopiq to plam ekaligii isbotlag.. Metrik fazoda ochiq sharig ochiq to plam ekaligii isbotlag. 3. Tekislikda musbat koordiatali uqtalar to plami ochiq to plam bo ladimi? Javobigizi asoslag. ko rsatig. 4. C[a;b] E={f A<f(x)<B} to plamig ochiq to plam ekaligii x + y > 5; 5. Quyidagi tegsizliklar sistemasi bila aiqlaga A x + y < 00 to plamig R fazoda ochiq to plam ekaligii isbotlag. 6. Quyidagi x + 3y z 6; x + y + z 5 to plamig 3 R fazoda yopiq to plam ekaligii isbotlag. tegsizliklar sistemasi bila aiqlaga A y x + ; 7. Quyidagi tegsizliklar sistemasi bila aiqlaga A x + y < 64 to plamig isbotlag. R fazoda ochiq ham, yopiq ham emasligii isbotlag. 8. C[a,b] fazodagi ko phadlar to plami ochiq ham, yopiq ham emasligii www.ziyouz.com kutubxoasi

4-. Metrik fazoda yaqilashish tushuchasi 4.. Yaqilashuvchi ketma-ketliklar. -ta rif. (X,ρ) metrik fazoda biror {x } ketma-ketlik berilga bo lsi. Agar ixtiyoriy ε>0 so uchu shuday 0 (ε) omer topilib, barcha > 0 (ε) lar uchu ρ(x,x)<ε tegsizlik bajarilsa, {x } ketma-ketlik X fazoig x elemetiga yaqilashadi deyiladi va lim x = x yoki x x orqali belgilaadi. Bu x uqta {x } ketma-ketlikig limiti deyiladi. Agar {x } ketma-ketlik X fazoig hech bir uqtasiga yaqilashmasa, u uzoqlashuvchi ketma- ketlik deyiladi. Ravshaki, metrik fazodagi ketma-ketlik limiti ta rifii soli ketma-ketlik limiti ta rifiga keltirish mumki: Agar da ρ(x,x) 0, ya i lim ρ(x,x)=0 bo lsa, u holda bu ketmaketlik X fazoig x elemetiga yaqilashadi deyiladi. Metrik fazoig elemetlari solarda, soli kortejlarda, geometrik fazo uqtalarida, chiziqlarda, fuksiyalarda, umuma istalga tabiatli bo lishi mumki. Shu sababli ketma-ketlik limitiig yuqorida keltirilga ta rifi keg tatbiqqa ega. Misol. x (t)=t fuksiyalar ketma-ketligi C [0;] fazoda θ(t) 0 fuksiyaga yaqilashadi. Haqiqatda ham, bu fazoda ρ(x,θ)= t dt = +, demak da ρ(x,x) 0 bo lishi ravsha. Fuksiyalarig ushbu ketma-ketligi C[0;] fazoda θ(t) 0 fuksiyaga yaqilashmaydi, chuki bu holda ρ(x,θ = max t = bo ladi, ya i ρ(x,x) / 0. t 4.. Yaqilashuvchi ketma-ketlik xossalari. -teorema. Yaqilashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega. Isboti. Faraz qilaylik, {x } ketma-ketlikig limiti ikkita, ya i x x va x y, x y bo lsi. U holda metrikaig uchburchak aksiomasiga ko ra, 0 www.ziyouz.com kutubxoasi

0 ρ(x,y) ρ(x,x )+ρ(x,y) bo ladi. Ammo, bu tegsizlikig o g tomoi da 0 ga itiladi, demak, ρ(x,y)=0, buda x=y kelib chiqadi. -teorema. ρ(x,y) metrika x va y elemetlarig uzluksiz fuksiyasi, ya i x x va y y bo lsa, u holda ρ(x,y ) ρ(x,y) bo ladi. Isboti. Avval ixtiyoriy to rtta x, y, z, u X elemetlar uchu ρ(x,y)-ρ(z,u) ρ(x,z)+ρ(y,u) () tegsizlikig o rili ekaligii isbotlaymiz. Uchburchak aksiomasida foydalaib, ρ(x,y) ρ(x,z)+ρ(z,y) ρ(x,z)+ρ(z,u)+ρ(u,y) () tegsizliklari yozish mumki. Buda ρ(x,y) - ρ(z,u) ρ(x,z) +ρ(u,y) Bu tegsizlikda x, y lari mos ravishda z, u lar bila almashtirib, ρ(z,u) - ρ(x,y) ρ(x,z) +ρ(u,y) (3) tegsizlikka ega bo lamiz. () va (3) da () kelib chiqadi. () tegsizlikda z va u i mos ravishda x va y bila almashtirilsa, ρ(x,y) - ρ(x,y ) ρ(x,x ) +ρ(y,y ) tegsizlik hosil bo ladi. Bu tegsizlikig o g tomoi, teorema shartiga ko ra olga itiladi, buda esa ρ(x,y ) ρ (x,y) kelib chiqadi. Quyidagi teorema ravsha. 3-teorema. Agar {x } ketma-ketlik x ga yaqilashsa, u holda bu ketmaketlikig ixtiyoriy { x k } qism ketma-ketligi ham shu x ga yaqilashadi. 4-teorema. Agar {x } ketma- ketlik x ga yaqilashsa va x 0 X tayi bir elemet bo lsa, u holda {ρ(x,x 0 )} solar to plami chegaralaga bo ladi. Isboti. {ρ(x,x)} soli ketma-ketlik yaqilashuvchi bo lgaligi sababli, u chegaralaga bo ladi. Uig yuqori chegarasii K bila belgilaymiz. Metrikaig uchburchak aksiomasiga ko ra ρ(x,x 0 ) ρ(x,x)+ρ(x,x 0 ) K+ρ(x,x 0 )=K. www.ziyouz.com kutubxoasi

Teorema isbot bo ldi. 4.3. Ba zi metrik fazolarda yaqilashish tushuchasiig ma olari. ) Trivial metrik fazoda ketma-ketlik yaqilashuvchi bo lishi uchu bu ketma-ketlikig hamma elemetlari biror hadida boshlab bir-biriga teg bo lishi zarur va yetarli. ) o lchamli Evklid fazosida {x k } ketma-ketlikig x elemetga yaqilashishi uchu, x k vektor koordiatalari, mos ravishda x vektor koordiatalariga yaqilashishi zarur va yetarli. Haqiqata ham, agar R da ρ(x k,x)= i= ( k ) ( x i xi ) 0 (k ) bo lsa, u holda x ( k ) i x i,i=,,, (k ) bo ladi. ya i 3) {x (t)} ketma-ketlik C[a;b] fazoig elemetlari va x (t) x(t) C[a;b], ρ(x,x)= max x(t) x(t) a t b 0, bo lsi. Buda, ixtiyoriy ε>0 soi uchu shuday 0 = 0 (ε) atural so topiladiki, t [a;b] bo lgada max x(t) x(t) <ε a t b bo lishi kelib chiqadi. Demak, t [a;b] ig barcha qiymatlari uchu > 0 bo lgada x (t) x(t) <ε tegsizlik o rili bo ladi. Bu esa {x (t)} ketma-ketlikig x(t) fuksiyaga tekis yaqilashishii bildiradi. Va aksicha, {x (t)} ketma-ketlik [a;b] kesmada x(t) ga tekis yaqilashsa, u holda ρ(x,x) 0 bo ladi. Demak, C[a;b] fazoda metrika ma osida yaqilashish matematik aalizda ma lum bo lga tekis yaqilashish tushuchasi bila ustma-ust tushar eka. Tekshirish savollari. Yaqilashuvchi ketma-ketliki ta riflag.. Ketma-ketlik limitiig yagoaligi haqidagi teoremai isbotlag. www.ziyouz.com kutubxoasi

3. R, keltirig. 3 R va C[0;] fazolarda yaqilashuvchi ketma-ketliklarga misollar Mashqlar. Agar x a va ρ(x,y ) 0 bo lsa, u holda y a ekaligii isbotlag.. Quyidagi fuksiyalar ketma-ketligi ko rsatilga fazoda f(x) 0 fuksiyaga yaqilashadimi? x ) f (x)=, a) C[0;]; b) C [0;]; + x ) f (x)=xe x, a) C[0;0]; b) C [0;0]; 8 x 3) f (x)= xe, a) C[0;]; b) C [0;]; si x 4) f (x)=, a) C[ π;π]; b) C [-π;π]; 3., R, fazolarda metrikaga isbata yaqilashish bila birgalikda R R koordiatalari bo yicha yaqilashish tushuchasi ham qaraladi. Agar lim x (k) m=x m (m=,,) bo lsa, u holda (x (k) )=((x (k), x (k),, x (k) )) uqtalar ketma-ketligi x=(x, x,, x ) uqtaga koordiatalar bo yicha yaqilashadi deyiladi. M =, + uqtalar ketma-ketligi koordiatalar bo yicha qaday uqtaga yaqilashadi? Bu ketma-ketlik, R, fazolarda shu uqtaga yaqilashadimi? R R 4. R fazoda yaqilashuvchi ketma-ketlikig koordiatalar bo yicha ham yaqilashuvchi va aksicha, koordiatalar bo yicha yaqilashuvchi ketmaketlikig metrika bo yicha ham yaqilashuvchi ekaligii isbotlag. k www.ziyouz.com kutubxoasi

5-. Metrik fazolarda uzluksiz akslatirishlar 5.. Uzluksiz akslatirish, misollar. (X,ρ X ) va (Y,ρ Y ) metrik fazolar bo lib, T:X Y akslatirish berilga bo lsi. -ta rif. Agar M to plamdagi x 0 uqtaga X da yaqilashuvchi bo lga ixtiyoriy {x } M ketma-ketlik uchu ushbu Tx Tx 0 muosabat Y da bajarilsa, u holda T akslatirish x 0 uqtada uzluksiz deyiladi. -ta rif. Agar ixtiyoriy ε>0 soi uchu shuday δ>0 so topilib, ρ X (x 0,x)<δ sharti qaoatlatiruvchi barcha x X lar uchu ρ Y (T(x 0 ),T(x))<ε tegsizlik bajarilsa, u holda T akslatirish x 0 uqtada uzluksiz deyiladi. 3-ta rif. Agar b=t(x 0 ) uqtaig ixtiyoriy V atrofi uchu X fazoda x 0 uqtaig T(U) V sharti qaoatlatiruvchi U atrofi mavjud bo lsa, u holda T akslatirish x 0 uqtada uzluksiz deyiladi. Bu uchala ta rifig teg kuchliligi, yoki boshqacha aytgada ekvivaletligi matematik aaliz kursidagi fuksiya uzluksizligi kabi isbotlaadi. Misol. C[0;] fazoi R ga akslatiruvchi T:x x() akslatirish ixtiyoriy a «uqta»da uzluksiz bo ladi, bu yerda x va a «uqtalar» [0;] kesmada uzluksiz fuksiyalar. Haqiqata, ε>0 so berilga bo lsi. U holda δ=ε deb olamiz. Edi ρ C (a,x)= max x(t) a(t), ρr(ta,tx)= x() a() ρ C (a,x) bo lgaligi sababli, a t b ρ C (a,x)<δ shartda ρ R (Ta,Tx)<ε tegsizlikig kelib chiqishi ravsha. C [0;] fazoi R ga akslatiruvchi T:x x() akslatirish θ(t) 0 uqtada uzluksiz emas. Haqiqata, x (t)=t ketma-ketlik C [0;] fazoda θ(t) 0 fuksiyaga yaqilashadi, leki Tx = x ()=, Tθ=0, demak {Tx } ketma-ketlik Tθ ga yaqilashmaydi. 4-ta rif. Agar T o z aiqlaish sohasiig har bir uqtasida uzluksiz bo lsa, u holda T uzluksiz akslatirish deyiladi. Xususa Y= R bo lga holda, uzluksiz akslatirish uzluksiz fuksioal deyiladi. www.ziyouz.com kutubxoasi

C[0;] fazoi R ga akslatiruvchi T(x)=x() akslatirish uzluksiz fuksioalga misol bo ladi. 5.. Izometriya, uig uzluksizligi. (X,ρ X ) va (Y,ρ Y ) metrik fazolar va T:X Y akslatirish berilga bo lsi. 5-ta rif. Agar X fazoda oliga ixtiyoriy a va b uqtalar uchu ρ X (a,b )= ρ Y (T(a),T(b)) teglik bajarilsa, u holda T izometrik akslatirish yoki izometriya deyiladi. Ravshaki, har qaday izometriya uzluksiz akslatirish bo ladi. Tekislikdagi har qaday harakat izometriyaga misol bo ladi. 5.3. Uzluksiz akslatirishig xossalari. -teorema. Aytaylik T: X Y akslatirish X fazoig a uqtasida, f:y Z akslatirish Y fazoig b=t(a) uqtasida uzluksiz bo lsi. U holda X i Z ga akslatiruvchi x F(T(x)) murakkab akslatirish a uqtada uzluksiz bo ladi. Isboti. Z fazo c=f(t(a)) uqtasiig ixtiyoriy W atrofii olamiz. F akslatirish b=t(a) uqtada uzluksiz va c= F(b) bo lgaligi sababli, b uqtaig F(V) W sharti qaoatlatiruvchi V atrofi mavjud. Shuga o xshash, T akslatirish a uqtada uzluksiz bo lgaligi sababli, bu uqtaig T(U) V sharti qaoatlatiruvchi U atrofi mavjud. U holda F(T(U)) T(V) W ga ega bo lamiz. Bu esa, x F(T(x)) akslatirishig a uqtada uzluksiz ekaligii isbotlaydi. -teorema. Agar T akslatirish X metrik fazoi Y metrik fazoga aks ettiruvchi uzluksiz akslatirish bo lsa, u holda Y fazoda oliga ixtiyoriy ochiq to plamig X fazodagi proobrazi ochiq, yopiq to plamiki esa yopiq bo ladi. Isboti. Aytaylik G to plam Y da ochiq bo lsi. X fazodagi D=T - (G) to plamig barcha uqtalari ichki uqta ekaligii isbotlaymiz. Faraz qilaylik a D va T(a)=b bo lsi. U holda b G va G ochiq bo lgaligida b uqta G to plamig ichki uqtasi bo ladi. Shuig uchu bu uqtaig G ga to laligicha tegishli bo lga V atrofi mavjud. T akslatirishig a uqtada uzluksizligida a uqtaig shuday U atrofi mavjud bo lib, T(U) V bo ladi. U holda T(U) G, buda esa U D=T - (G) kelib chiqadi. Bu esa ixtiyoriy www.ziyouz.com kutubxoasi

a D uqtaig D ga tegishli atrofi mavjudligi, ya i a ichki uqta ekaligii isbotlaydi. Shuig uchu D ochiq to plam. Yopiq to plamig to ldiruvchisi ochiq ekaligida, Y fazoda biri ikkichisiga to ldiruvchi to plamlarig proobrazlari, X fazoda ham biri ikkichisiga to ldiruvchi bo lishida va teoremaig isbot qiliga qismida ikkichi qismig isboti kelib chiqadi. Teorema isbot bo ldi. Uzluksiz akslatirishda, ochiq to plamig obrazi har doim ham ochiq bo lmaydi. Masala, x six uzluksiz akslatirishda ( π;π) itervalig obrazi [ ;] kesmada iborat.. Uzluksiz akslatirishi ta riflag. Tekshirish savollari. Uzluksiz akslatirishga misollar keltirig. 3. Uzluksiz akslatirishga berilga ta riflarig ekvivaletligii isbotlag. 4. Izometriya ima? 5. Uzluksiz akslatirishig xossalarii aytig. R Mashqlar. fazoi o ziga o tkazuvchi (x,y) (x 3y+4, x+4y) akslatirish berilga. a) (,3) uqtaig obrazii; b) ( 4,4) uqtaig obrazii; c) y=x to g ri chiziq obrazii; d) abstsissalar o qiig proobrazii topig.. C[0,] fazoi R ga o tkazuvchi 0 3 F: y ( x y ( x)) dx akslatirish berilga. F(siπx) i topig. tegishli ikkita elemet ko rsatig. F ga 3 3. fazoi C[0,] ga o tkazuvchi F:(x,y) ϕ(t)=xt yt akslatirish R berilga. (,) uqtaig obrazii topig. Quyidagi a) f(t)=3t +4t; b) f(t)=5t ; c) f(t)=sit fuksiyalarig proobrazlarii topig. 4. Quyidagi C[a;b] R fuksioallari uzluksizlikka tekshirig: www.ziyouz.com kutubxoasi

a) F(y)= max y(x); b) F(y)= mi y(x); c) F(y)= y ( x) dx. a x b a x b b a www.ziyouz.com kutubxoasi

6-. To la metrik fazolar. To ldiruvchi fazo 6.. Fudametal ketma-ketliklar. Matematik aaliz kursida ma lumki, ketma-ketlik yaqilashuvchi bo lishi uchu u Koshi shartii qaoatlatirishi zarur va yetarli. Bu xossa matematikada katta ahamiyatga ega bo lib, haqiqiy solar to plamiig to laligii ko rsatadi. Haqiqiy solar to plamiig bu xossasi har qaday metrik fazo uchu o rilimi? - dega savol tug iladi. Bu savolga javob berish uchu quyidagi ta rifi kiritamiz. -ta rif. Agar (X,ρ) metrik fazoda oliga {x } ketma-ketlik Koshi shartii qaoatlatirsa, ya i ixtiyoriy ε>0 uchu shuday (ε) omer mavjud bo lib, ρ(x,x m )<ε tegsizlik barcha, m (ε) uchu bajarilsa, u holda {x } fudametal ketma-ketlik deyiladi. -teorema. Har qaday fudametal ketma-ketlik chegaralaga bo ladi. Isboti. Ta rifga ko ra ε= uchu (ε) omer mavjud bo lib, ρ(x,x m )< tegsizlik barcha, m (ε) qiymatlar uchu bajariladi. Xususa, k>(ε) va k uchu ham ρ(x,x k )< tegsizlik o rili bo ladi. Edi k i tayilab olamiz, u holda markazi x k uqtada radiusi r=max(ρ(x,x k ), ρ(x,x k ),, ρ(x k,x k ), ) bo lga shar {x } ketma-ketlikig barcha hadlarii o z ichiga oladi, ya i {x } ketma-ketlik chegaralaga bo ladi. Teorema isbot bo ldi. -teorema. Ixtiyoriy yaqilashuvchi ketma-ketlik fudametal bo ladi. Isboti. Aytaylik, {x } ketma-ketlik a uqtaga yaqilashsi. U holda ε>0 so uchu shuday (ε) omer topilib, barcha (ε) uchu ρ(x,a)<ε/ tegsizlik o rili bo ladi. Demak,, m (ε) lar uchu ρ(x,x m ) ρ(x,a)+ ρ(a,x m )<ε/+ε/=ε muosabat o rili. Bu esa {x } ketma-ketlikig fudametalligii isbotlaydi. Teorema isbot bo ldi. 6.. To la metrik fazoig ta rifi, misollar. -ta rif. Agar X metrik fazoda ixtiyoriy fudametal ketma-ketlik yaqilashuvchi bo lsa, u holda X to la metrik fazo deyiladi. www.ziyouz.com kutubxoasi

Misollar: ) X= R, ρ(x,y)= y-x ; (R,ρ)-to la metrik fazo bo lishi ravsha; ) X= R, ρ(x,y)= ( y i x i ) ; (R,ρ)-to la metrik fazo bo ladi, uig i= to laligii ko rsatishi o quvchiga qoldiramiz; 3) X = Q, ρ( r,r )= r r ; ( Q,ρ)- to la bo lmaga metrik fazoga misol bo ladi, chuki, masala r + ratsioal solar ketma-ketligi = fudametal bo lib, Q da yaqilashuvchi emas, ya i uig limiti e, ratsioal so emas; 4) C[a,b] to la metrik fazo bo ladi. Uig to laligii ko rsatish uchu udagi istalga {x (t)} fudametal ketma-ketlikig [a,b] kesmada uzluksiz bo lga fuksiyaga yaqilashishii ko rsatishimiz kerak. Aytaylik {x (t)} fudametal ketma-ketlik bo lsi. C[a,b] fazodagi yaqilashish fuksiyalarig tekis yaqilashishiga ekvivalet ekaligi ma lum. Har bir t [a,b] uqtada {x (t)} soli ketma-ketlik fudametal bo lgaligi sababli yaqilashuvchi bo ladi. Uig limitii x 0 (t) bila belgilaymiz. {x (t)} ketma-ketlik x 0 (t) fuksiyaga tekis yaqilashuvchi bo lgai uchu x 0 (t) fuksiya uzluksiz bo ladi, Demak, x 0 (t) C[a,b] bo ladi. 6.3. Ichma-ich joylashga yopiq sharlar ketma-ketligi Matematik aaliz kursida ichma-ich joylashga segmetlar ketma-ketligi, haqidagi teorema o rgailga edi. Bu teorema to la metrik fazolar uchu ham o rili bo ladi. S 3-teorema. (X,ρ) to la metrik fazoda ( = S (a,ε )) yopiq sharlar ketmaketligi berilga bo lib, ular uchu quyidagi shartlar bajarilsi: S + S www.ziyouz.com kutubxoasi

(=,, ) va da ε 0. U holda bu sharlarig umumiy qismi birgia uqtada iborat bo ladi. Isboti. Berilga S sharlarig markazlarida iborat bo lga quyidagi ketma-ketliki tuzamiz: a, a,, a, () Teorema shartiga ko ra a +p S (p=,, ). Shuig uchu ρ(a+p,a ) ε yoki da ρ(a +p,a ) 0 bo ladi. Demak, () ketma-ketlik fudametal. X to la metrik fazo bo lgaligi uchu bu ketma-ketlik biror a X elemetga yaqilashuvchi bo ladi. Edi, ixtiyoriy S m yopiq shari olamiz (m-tayi atural so); u holda a S, chuki (am, a m+, ) uqtalar ketma-ketligi () ketma-ketlikig qism ketma-ketligi bo lgaligi uchu a m uqtaga yaqilashadi. Bu ketma-ketlikig har bir hadi S m ga tegishli va S m yopiq bo lgaligi uchu a S, m =,,. Demak, a S m bo ladi. m m= Edi a uqtaig yagoaligii isbotlash uchu teskarisii faraz qilamiz: m= S m ga a uqtada farqli yaa biror b elemet ham tegishli bo lsi. U holda 0< ρ(a,b) ρ(a,a )+ρ(a,b) ε va da ε 0 bo lgaligi uchu ρ(a,b)=0, ya i a=b bo ladi. Teorema isbot bo ldi. 4-teorema. Agar (X,ρ) metrik fazoda, 3-teorema shartlarii qaoatlatiruvchi har qaday yopiq sharlar ketma-ketligi bo sh bo lmaga umumiy qismga ega bo lsa, u holda X to la metrik fazo bo ladi. 6.4. To ldiruvchi fazo haqidagi teorema Quyida fuksioal aalizig asosiy qoidalarida biri bo lga to ldiruvchi fazo haqidagi teorema isbotii keltiramiz. www.ziyouz.com kutubxoasi

3-ta rif. Agar (X,ρ) metrik fazo uchu shuday (X*,ρ*) to la metrik fazo mavjud bo lib, X fazo X* ig hamma yerida zich (ya i (X*,ρ*) metrik fazo (X,ρ) fazoig to ldiruvchisi deyiladi. Misol. Q Х X*) bo lsa, u holda ratsioal solar to plami ρ(r,q)= q-r metrikaga isbata to la emas. Ammo R haqiqiy solar to plami ρ(x,y)= y x metrikaga isbata to la metrik fazo. Shuigdek, bilamizki Q to plam R da zich, ya i Q = R, demak fazo Q fazoig to ldiruvchisi bo ladi. R 5-teorema. Ixtiyoriy (X,ρ) metrik fazo to ldiruvchiga ega bo lib, u X ig elemetlarii o z o rida qoldiruvchi izometriya aiqligida yagoa bo ladi, ya i har qaday ikki to ldiruvchi fazoig birii ikkichisiga aks ettiruvchi va X fazoig har bir uqtasii o z o rida qoldiruvchi izometriya doim mavjud. Isboti. Avval, agar to ldiruvchi fazo mavjud bo lsa, uig yagoaligii isbotlaymiz. Aytaylik (X*,ρ ) va (X**,ρ ) fazolar (X,ρ) fazoig to ldiruvchilari bo lsi. Bizig maqsadimiz uchu quyidagi: ) ϕ - izometriya; ) ixtiyoriy x X uchu ϕ(x)=x xossalarga ega bo lga ϕ: X* X** akslatirishig mavjudligii ko rsatish yetarli. Buday ϕ izometriyai quyidagicha aiqlaymiz. Aytaylik x* X* ixtiyoriy uqta bo lsi. To ldiruvchi fazoig ta rifiga asosa x* ga yaqilashuvchi va X ig elemetlarida tuzilga {x } ketma-ketlik mavjud. Bu ketma-ketlik X** fazoga ham tegishli. X** to la bo lgaligi uchu {x } ketma-ketlik biror x** X** uqtaga yaqilashuvchi bo ladi. O z-o zida ravshaki, x** uqta {x } ketmaketliki talashga bog liq emas. Akslatirishi ϕ(x*)=x** ko riishda aiqlaymiz. Ravshaki, ixtiyoriy x X uchu ϕ(x)=x. Edi faraz qilaylik, {x } va {y } lar X fazodagi fudametal ketma-ketliklar bo lib, ular X* fazoda mos ravishda x* va y* uqtalarga, X** fazoda mos ravishda www.ziyouz.com kutubxoasi

x** va y** uqtalarga yaqilashuvchi bo lsi. U holda metrikaig uzluksizligiga asosa ρ (x*,y*)= lim ρ (x,y )= lim ρ(x,y ), ρ (x**,y**)= lim ρ (x,y )= lim ρ(x,y ), muosabatlar, ya i ρ (x*,y*)=ρ (x**,y**) teglik o rili. Shuday qilib, ϕ biz izlaga izometriya bo ladi. Edi to ldiruvchi fazoig mavjudligii isbotlaymiz. X metrik fazoda {x } va {x } fudametal ketma-ketliklar uchu lim ρ(x,x )=0 bajarilsa, biz ulari ekvivalet deymiz va {x } {x } ko riishda belgilaymiz. Bu muosabat ekvivaletlik muosabat bo ladi. Demak, X fazodagi fudametal ketma-ketliklar to plami o zaro ekvivalet bo lga, ketma-ketliklar siflariga ajraladi. Edi biz (X*,ρ) fazoi quyidagicha aiqlaymiz. X* ig elemetlari deb, o zaro ekvivalet bo lga fudametal ketmaketliklar siflariga aytamiz. Agar x*, y* X* ikki sif bo lsa, biz ularig har birida {x } va {y } fudametal ketma-ketliklari olib, X* fazoda metrikai ρ(x*,y*)= lim ρ(x,y ) () ko riishda aiqlaymiz. (Buig metrika bo lishii mustaqil isbotlag). Edi X i X* ig qism fazosi deb hisoblash mumkiligii ko rsatamiz. Ixtiyoriy x X elemetga shu elemetga yaqilashuvchi bo lga fudametal ketma-ketliklar sifii mos qo yamiz. Bu sif bo sh emas, chuki bu sif statsioar bo lga (ya i hamma x elemetlari x ga teg bo lga) ketma-ketliki o z ichiga oladi. Agar x= lim x, y= lim y bo lsa, u holda ρ(x,y)= lim ρ(x,y ). Shu tarzda har bir x X ga yuqorida aytilga sifi mos qo ysak, X i X* ga izometrik akslatirish hosil bo ladi. Shuig uchu X i uig X* dagi tasviri bila aya teg deb hisoblaymiz. X i X* ig hamma erida zich ekaligii isbotlaymiz. Aytaylik x* X* ixtiyoriy elemet va ε>0 bo lsi. x* sifga tegishli bo lga biror {x } x* www.ziyouz.com kutubxoasi

fudametal ketma-ketliki olamiz. 0 atural so shuday bo lsiki, ushbu ρ(x,x m )<ε tegsizlik ixtiyoriy,m> 0 lar uchu bajarilsi. U holda m bo yicha limitga o tsak, ρ(x,x*)= lim ρ(x,x m ) ε tegsizlik ixtiyoriy > 0 uchu bajariladi. Demak, x* uqtaig ixtiyoriy atrofida X ig elemeti mavjud, ya i X ig yopilmasi X* ga teg. Nihoyat, X* ig to la ekaligii isbotlaymiz. Avval shui aytish kerakki, X* ig ta rifiga ko ra X ig elemetlarida hosil bo lga ixtiyoriy x, x,, x, fudametal ketma-ketlik X* ig biror x* elemetiga yaqilashadi, aiqrog i, shu elemeti o z ichiga oluvchi sif bila aiqlaga x* elemetga yaqilashadi. X fazo X* fazoda zich bo lgai tufayli X* ig elemetlarida tuzilga ixtiyoriy x*, x*,, x*, fudametal ketma-ketlik uchu uga ekvivalet bo lga va X ig elemetlarida tuzilga x, x,, x, ketma-ketlik mavjud. Bui ko rsatish uchu x sifatida X ig ushbu ρ(x,x* )< tegsizliki qaoatlatiruvchi ixtiyoriy elemetii olsa bo ladi. O osil bo lga {x } ketma-ketlik X da fudametal, va demak, biror x* elemetga yaqilashuvchi bo ladi. Shuigdek, bu holda {x* } ketma-ketlik ham x* ga yaqilashadi. Teorema isbot bo ldi. Tekshirish savollari. Qaday ketma-ketlik fudametal deyiladi?. Fudametal ketma-ketlikka misollar keltirig. 3. Fudametal bo lmaga ketma-ketlikka misollar keltirig. 4. To la metrik fazoga ta rif berig. 5. To la metrik fazoga misollar keltirig. 6. To ldiruvchi fazoga ta rif berig. 7. To ldiruvchi fazoga misollar keltirig. 8. Izometriya ima? 9. Qacho ikki metrik fazo izometrik deyiladi? 0. Qaday ketma-ketliklar ekvivalet deyiladi? Misollar keltirig. www.ziyouz.com kutubxoasi

. Teorema isbotii qismlarga ajratig (rejasii yozig). Mashqlar. Solar o qida x = + + + ketma-ketlikig fudametal ekaligii isbotlag.. y (x)=x fuksiyalar ketma-ketligi a) C[ 0,5;0,5]; b) C[0;] fazoda fudametal ketma-ketlik bo ladimi? 3. R fazoig to laligii isbotlag. 4. R fazoig to laligii isbotlag. 5. C[a;b] fazoig ko phadlarda iborat qism fazosi to la bo ladimi? www.ziyouz.com kutubxoasi

7-. Qisqartirib akslatirish prisipi 7.. Akslatirishig qo zg almas uqtasi. Aytaylik (X,ρ) metrik fazoi o z-o ziga aks ettiruvchi T akslatirish berilga bo lsi. -ta rif. Agar X fazoda shuday a uqta topilib, T(a)=a teglik o rili bo lsa, u holda a uqta T akslatirishig qo zg almas uqtasi deyiladi. Misollar. ) Solar o qii o ziga aks ettiruvchi T: x x akslatirishig qo zg almas uqtalari x=x teglama yechimlarida, ya i 0 va da iborat. u = x + 3y ) formulalar tekisliki o z-o ziga akslatiradi. Bu v = x + y + х = x + 3y akslatirishig qo zg almas uqtalari sistemaig yechimida, y = x + y + ya i (-;) uqtada iborat. 3) Agar y(x) fuksiya [0;] kesmada uzluksiz bo lsa, u holda y (x)-y(x)-x fuksiya ham [0;] kesmada uzluksiz fuksiya bo ladi. Shuig uchu T(y)= y - - y - x formula bila aiqlaga akslatirish C[0;] fazoi o z-o ziga akslatiradi. Bu akslatirishig qo zg almas uqtalari y (x)-y(x)-x =y(x) fuksioal teglama yechimlarida, ya i y=+ bo ladi. + x va y=- + x fuksiyalarda iborat 7.. Qisqartirib akslatirish. (X,ρ) metrik fazoi o z-o ziga aks ettiruvchi T akslatirish berilga bo lsi. -ta rif. Agar X fazoda oliga ixtiyoriy x va y uqtalar uchu ( Тх,Ty) αρ( x, y) ρ () tegsizliki va 0<α< sharti qaoatlatiradiga α so mavjud bo lsa, u holda T qisqartirib akslatirish deyiladi. Misol: X=[0;/3], ρ(x,y)= y x, T(x)=x bo lsi. Agar x va x kesmaig ixtiyoriy uqtalari bo lsa, u holda ρ(tx,tx )= x -x = x +x x x / 3 x x = / 3 ρ(x,x ) www.ziyouz.com kutubxoasi

bo ladi. Demak, T akslatirish qisqartirib akslatirish eka. -teorema. Agar T qisqartirib akslatirish bo lsa, u holda T uzluksiz bo ladi. Isboti. Aytaylik a uqta X fazoig ixtiyoriy uqtasi va ε>0 bo lsi. U holda ρ(x,a)<ε sharti qaoatlatiruvchi barcha x X lar uchu () tegsizlikka ko ra quyidagiga ega bo lamiz: ρ(tx,ta) αρ(x,a) < αε < ε Bu esa ixtiyoriy a uqtada T akslatirishig uzluksiz ekaligii isbotlaydi. Teorema isbot bo ldi. 7.3. Qisqartirib akslatirish prisipi. -teorema. (X,ρ) to la metrik fazoda aiqlaga har qaday T qisqartirib akslatirish, yagoa qo zg almas uqtaga ega, ya i Tx=x teglamaig yagoa yechimi mavjud. Isboti. Aytaylik a 0 uqta X fazoig ixtiyoriy uqtasi bo lsi. T akslatirish X fazoi o z-o ziga akslatirgai uchu a 0 uqtaig obrazi ham X fazoga tegishli bo ladi. Bu uqtai a bila belgilaymiz, ya i a =T(a 0 ). Edi a uqtaig obrazii topib, ui a bila belgilaymiz. Bu jarayoi cheksiz davom ettirib X fazoig elemetlarida tuzilga quyidagi ketma-ketlikka ega bo lamiz: a =T(a 0 ), a =T(a )=T (a 0 ),, a + =T(a )=T (a 0 ), () Bu ketma-ketlikig fudametal ekaligii ko rsatamiz. () va metrikaig uchburchak tegsizliklarida, ixtiyoriy va m atural solar (m>) uchu ρ(a,a m ) = ρ(t (a 0 ),T m (a 0 )) = ρ(t (a 0 ),T m (a m )) α ρ(a 0,a m ) α (ρ(a 0,a )+ ρ(a,a )+ +ρ(a m,a m )) α (ρ(a 0,a )+ +αρ(a 0,a )+ + +α m α ρ(a 0,a )) ρ(a 0,a ), α muosabat o rili bo ladi. Edi α< bo lgaligi sababli, yetarlicha katta bo lgada bu tegsizlikig o g tomoii istalgacha kichik qilish mumki. www.ziyouz.com kutubxoasi

Demak, {a } ketma-ketlik fudametal bo ladi. Buda {a } ketma-ketlik yaqilashuvchi: lim a =a va X fazoig to laligida a X kelib chiqadi. T uzluksiz akslatirish bo lgaligida T(a)=T( lim a )= lim T(a)= lim a + =a. Demak, a qo zg almas uqta eka. Edi qo zg almas uqtaig yagoaligii isbotlaymiz. Faraz qilaylik qo zg almas uqta ikkita T(a)=a va T(b)=b bo lsi. U holda ρ(a,b)=ρ(t(a),t(b)) α ρ(a,b) bo ladi. Buda ρ(a,b)=0 va demak, a=b kelib chiqadi. Teorema isbot bo ldi.. Qo zg almas uqtaga ta rif berig Tekshirish savollari. Qisqartirib akslatirishi ta riflag va misollar keltirig. 3. Qisqartirib akslatirishig uzluksizligii isbotlag. 4. Qisqartirib akslatirish haqidagi asosiy teoremaig isboti rejasii tuzig va shu asosda isbotlag. Mashqlar. Tekisliki o ziga akslatiruvchi akslatirishig qo zg almas uqtalarii topig. u = x( y ) y + 5y + x 3, v = x( y + ) + 5. To g ri chiziqi o ziga akslatiruvchi f(x)=5x +x+3 -six akslatirishig qo zg almas uqtasiig mavjudmasligii ko rsatig. tekisliki a) 3. f(x)=six fuksiya solar o qida qisqartib akslatirish bo ladimi? u = 0,7x + 0,8 y, 4. sistema bila aiqlaga f:(x,y) (u;v) akslatirish v = 0,x 0,05y R ; b) R fazo deb qaralsa, qisqartirib akslatirish bo ladimi? 5. f(x)= 3 000 x fuksiya [9;0] kesmai o ziga akslatirishii ko rsatig. Bu qisqartirib akslatirish bo ladimi? www.ziyouz.com kutubxoasi

8-. Qisqartirib akslatirishig tatbiqlari 8.. Differesial va itegral teglamalarga tatbiqi Uzluksiz y=y(x) fuksiyalarda tuzilga C[a,b] fazoda Ay=y 0 + x x0 f ( x,y )dx akslatirish berilga bo lsi. Bu yerda f(x,y) uzluksiz fuksiya bo lib, G={(x;y): a x b, M<y N, a, b, M va N berilga solar} sohada Lipshits shartii qaoatlatiradi, ya i G sohada oliga ixtiyoriy ikkita (x ;y ) va (x ;y ) uqta uchu quyidagi muosabat bajariladi: f(x,y ) f(x,y ) L y y, bu yerdagi L soi G soha bila aiqlauvchi va (x;y ), (x;y ) G uqtalarga bog liq bo lmaga musbat so. Yuqoridagi A akslatirishig x x 0 yetarlicha kichik bo lgada qisqartirib akslatirish ekaligii ko rsatamiz. U holda Haqiqata y va y fuksiyalar C[a,b] fazoig ixtiyoriy elemetlari bo lsi. ρ(ay,ay )= max Ay Ay max f(x,y) f(x,y) dx x [ a; b] x [ a; b] x x0 max x [ a; b] x x0 L y y dx = x x 0 max y y =θρ(y,y ), x [ a; b] muosabatga ega bo lamiz. Shuigdek x x 0 </L bo lgada, θ=l x x 0 < bo ladi. C[a,b] fazoig to laligida A akslatirishig yagoa qo zg almas uqtasi mavjudligi kelib chiqadi. Demak y=ay teglamaig yoki itegral teglamaig quyidagi x x0 y=y 0 + f ( x,y )dx () a) f(x,y) fuksiya L o zgarmas soga ko ra Lipshits shartii qaoatlatiradi; www.ziyouz.com kutubxoasi

b) x x 0 </L () shartlari qaoatlatirgada yagoa uzluksiz yechimi mavjud. () itegral teglama y 0 =y(x 0 ) boshlag ich shart bila berilga y =f(x,y) (3) differesial teglamaga teg kuchli bo lgaligi sababli, yuqoridagi mulohazalarda (3) differesial teglamaig () shartlar bajarilgada yechimiig mavjudligi va yagoaligi kelib chiqadi. 8.. Algebradagi tatbiqi. Quyidagi teglamalar sistemasii qaraymiz: x= a x + b, (i=,,, ) (4) k= ik k i Bu teglamalar sistemasii o lchamli vektor fazodagi x=(x,x, x ) vektor va T=(a ij ) matritsa orqali ifodalab, x=tx ko riishda yozish mumki. o lchamli vektor fazoda quyidagi metrikai qaraymiz: ρ(x,y)= max xi y i, i bu yerda x=(x,x, x ) va y=(y,y, y ). U holda ixtiyoriy ikkita x =(x,x,,x ) va x =(x,x,,x ) uqta uchu max i k ρ(tx,tx )=ρ(y,y )= max y i y i = max a ik x k x k max i i k a ik i k a ik (x k x k ) max x k x k =ρ(x k,x k ) max k i muosabatga ega bo lamiz. Buda T akslatirish qaralayotga metrikaga isbata qisqartirib akslatirish bo lishi uchu aik α<, i=,,, (5) k tegsizliklarig o rili bo lishi yetarli eka. Demak, (4) teglamalar sistemasi yagoa yechimga ega bo lishi uchu (5) tegsizliklarig o rili bo lishi yetarli. isbotlaymiz. 8.3. Matematik aalizdagi tatbiqi. Quyida, oshkormas fuksiyaig mavjudligi haqidagi teoremai 3-teorema. Aytaylik f(x,y) fuksiya G={(x,y): a x b, <y<+ )} sohada x bo yicha uzluksiz va y bo yicha musbat, chegaralaga hosilaga ega k a ik www.ziyouz.com kutubxoasi