(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

Transcript

1 ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015

2 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως οι κάτωθι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: (i) y (x) + y (x) 2y(x) = x 3 (iii) y(x)y (x) + [y(x)] 4 = sin x (v) y (x) 2y (x) + 5y (x) + y(x) = e x (vii) [y (x)] 2 + y(x) = 0 (ix) x 2 y (x) + xy (x) + 2y(x) = 0 (ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x (iv) y (x) = x 2 sin y(x) (vi) y (x) = x 2 sin x (viii) y (x) = y(x) (x) y (x) 2y(x) = e y(x) 2. Να χαρακτηρισθούν τα κάτωθι προβλήματα, ως προβλήματα αρχικών ή συνοριακών τιμών: (i) y (x) + 2y(x) = 0, y(0) = 2 (ii) y (x) y (x) = 1 y(0) = 0, y (0) = 0 (iii) y (x) + 9y(x) = 0 (iv) y (x) 2y (x) = 0 y(0) = 0, y(π) = 1 y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 3 (v) y (x) 4y (x) = 0 (vi) x 2 y (x) + 42y(x) = 0 y(0) = 1, y (0) = 1, y (1) = 3 y(1) = 1, y (1) = 1 3. Να εξετασθεί αν η δοθείσα κάθε φορά συνάρτηση y p (x), είναι λύση της εκάστοτε διαφορικής εξίσωσης ή του εκάστοτε προβλήματος αρχικών ή συνοριακών τιμών: (i) y (x) + 2y(x) = 0 (ii) y (x) + 2y(x) = 0 y p (x) = e 2x y p (x) = 5e 2x (iii) y (x) + 2y(x) = 0 (iv) y (x) 2y (x) = 0 y p (x) = e 3x y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 3 y p (x) = 3e2x 2x 3 4 (v) y (x) + y(x) = 0 (vi) x 2 y (x) 42y(x) = 0 y(0) = 1, y (0) = 1, y (1) = 3 y(1) = 1, y (1) = 1 y p (x) = sin x y p (x) = 5x x 6

3 2 4. Για κάθε μία από τις παρακάτω οικογένειες συναρτήσεων (όπου c 1, c 2, c 3 παράμετροι), να σχηματισθεί η σχετική διαφορική εξίσωση με άγνωστη συνάρτηση την y(x): (i) y x3 = c 1 y = 6x2 7y 3 (ii) 3 cos x = 4 sin y + c 1 4y cos y 3 sin x = 0 (iii) y = c 1 e 4x + c 2 e x + 1 y + 5y + 4y = 4 (iv) y = c 1 x 6 + c 2 x 7 x 2 y 12xy + 42y = 0 (vi) y = x2 8 x3 + c e 2x + c 2 + c 3 x y 2y = x 5. Να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων με άμεση ολοκλήρωση: (i) y (x) = (x 2 1) (x 3 3x) 3 (ii) y (x) = x ln x, x > 0 (iii) y (x) = 1, x > 0 x ln x (iv) y (x) = x, x > 4 x 2 16 y(x) = 27x4 + 9x8 + x x 6 x 10 + c y(x) = x2 + x2 ln x + c 4 2 y(x) = ln ln x + c y(x) = x c Με χρήση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x): (i) y = 3y7, x 0 x 8 (ii) y 1 = x 2 (8+9y 2 ) y 6 = 18 7 x 7 + c = 1 + c x (iii) y = 3 cosh(3x), y 0 2 sinh(4y) cosh(4y) = 2 sinh(3x) + c (iv) y = e 2y+10x e 2y = e10x + c 5 (v) y = 1+2ey 2e y = 1 + c ln 2 x e y x ln x 2η ομάδα ασκήσεων 1. Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις είναι ομογενείς (όπου y = y(x)): (i) x + 2y 5xy = 0 (ii) y 2 x 2 + 3xyy = 0 (iii) y ( x 2 + ) xy 10xy = 0 (iv) 2 + (x ( + ) y)y = 0 x (v) sin + e 2y/x y x = 0 (vi) x ln + x2 x+y y x+y y = 0 (vii) 2 ln x y ln y 2 = 0 (viii) y y = 0 y x x 2 (ix) cos y + ln x sin x ln y y = 0 (x) x yy = 0

4 2. Χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία των ομογενών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι εξισώσεων, ή η λύση των αντίστοιχων προβλημάτων αρχικών τιμών (όπου y = y(x): (i) y = 4y2 x 2 2xy, y(1) = 1 2y 2 = x 2 + x 4 (ii) x 2yy ln y x = 0 x 1 2 ln y+2 ln x = c (iii) xy y x 2 + y 2 = 0, y(1) = 0 y+ x 2 +y 2 = c x 2 (iv) x 2 + y x 2 + y 2 (y xy ) = 0 (x 2 + y 2 ) 3/2 + +3x 2 + cx 3 = 0 (v) x 2 ye x/y ( x 3 e x/y + y 3) y = 0 e x/y ( x 2 y 2 2 x y + 2 ) = = ln y + c 3. Να λυθούν τα κάτωθι προβλήματα αρχικών τιμών (όπου y = y(x)), με τη μέθοδο της εκθετικής αντικατάστασης: (i) y 2y = 0, y(1) = 1 (ii) y + y = 0, y(0) = 1 (iii) y + 5y = 0, y(0) + y (0) = 4 y(x) = e 2x 2 y(x) = e x y(x) = e 5x 4. Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x)), με τη μέθοδο του ολοκληρωτικού παράγοντα: (i) y + y = sin x sin x x cos x+c y(x) = x x (ii) y 2x y = 2x y(x) = (x 2 + 1) [c + ln (x 2 + 1)] 1+x 2 (iii) y y tan x = e 2x y(x) = e 2x c ( 2 + tan x) + 5 cos x (iv) y y = 3x y = x 3x2 + cx (v) y 16x y = x y(x) = +25+c) (16x2 16x x Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων τύπου Bernoulli (όπου y = y(x)): (i) y + x 1 y = x 1 y 2 y 3 = 1 + cx 3 (ii) y x 1 y = y 3 sin x y 2 = 2x2 cos x 4 cos x 4x sin x+c x 2 (iii) y y = 2x y3 cos x y 2 2 cos x+2x sin x+c = x (iv) y + 3y = y cos x y = 3 cos x + 2 sin x + ce 3x/ (v) y 2y = cos x y y 3/2 = 9 cos x + 3 sin x + ce3x

5 4 3η ομάδα ασκήσεων 1. Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις είναι ακριβείς (όπου y = y(x)): (i) x x dx + y 2 +y x dy = 0 (ii) 2 2 +y exy dx + x 2 y e xy dy = 0 (iii) y cos(xy)dx + x cos(xy)dy = 0 (iv) y sin(2x)dx dy = 0 (v) (e 2x + y) dx (e y x) dy = 0 (vi) (y + x)dy ydx = 0 (vii) (x y sin x)dx + (y 6 + cos x) dy = 0 (viii) 3xy 2 dy + y 3 dx = 0 (ix) xdy xydx = 0 (x) (y + x)dy + ydx = 0 2. Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι ακριβών διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x)): (i) (2x + y 3 ) ( dx + (3xy ) 2 + 4) dy = 0 x 2 + xy 3 + 4y = c (ii) 1dx + x + 3y 2 dy = 0 x + y y 2 y y3 = c (iii) (sin y) 2 dx + x sin(2y)dy = 0 x sin 2 y = c (iv) (e y 2xy) dx + (xe y x 2 ) dy = 0 xe y x 2 y = c (v) ( 2x + y ) dx + (e y + x) dy = 0 e y + xy + ln (1 + x 2 ) = c 1+x 2 3. Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x)), αφού πρώτα επαληθευτεί ότι η εκάστοτε συνάρτηση µ, είναι ολοκληρωτικός παράγοντας για την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση: (i) y (2e x + 4x) dx + 3 (e x + x 2 ) dy = 0 µ(y) = y 1/2 (ii) y = 5xy+4y2 +1 x 2 +2xy 2 (e x + x 2 ) y 3/2 = c x 5 y + x 4 y 2 + x4 4 = c µ(x) = x 3 (iii) y = 5x2 +2xy+3y 3 (x + y) 3 (x 2 + y 3 ) = c 3(x 2 +xy 2 +2y 3 ) µ(x + y) = (x + y) 2 (iv) y = y2 +xy+1 e xy (x + y) = c x 2 +xy+1 µ(xy) = e xy (v) ydx (y 2 + x 2 + x) dy = 0 µ (x 2 + y 2 ) = 1 x 2 +y 2 arctan x arctan 1 y y y arctan y = c

6 4. Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των κάτωθι μονοπαραμετρικών οικογενειών καμπυλών (όπου y = y(x)): (i) y + 2x = c y = k + x/2 (ii) y 2 = x 2 + cx x 2 y + y3 3 = k (iii) y = e cx y 2 ln y y2 2 + x2 = k (iv) y = ce x y2 2 + x = k (v) y = c cos x y2 2 = ln sin x + k 4η ομάδα ασκήσεων 1. Να υπολογισθεί η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων: (i) y 1 (x) = x, y 2 (x) = 4x 1 1 (ii) y 1 (x) = 3x 2, y 2 (x) = x, y 3 (x) = 2x 2x 2 0 (iii) y 1 (x) = cos(2x), y 2 (x) = sin x, y 3 (x) = 1 8x (iv) y 1 (x) = x, y 2 (x) = e x e x (x 1) (v) y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e 2x, y 3 (x) = e 4x 30e 5x 2. (α) Να δειχθεί ότι το εκάστοτε σύνολο συναρτήσεων S, αποτελείται από γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις της αντίστοιχης διαφορικής εξίσωσης (i) S = {e 6x, e 4x }, y (x) + 10y (x) + 24y(x) = 0 (ii) S = {cos(2x), sin(2x)}, y (x) + 4y(x) = 0 (iii) S = {e x, e 3x, xe 3x }, y (x) 5y (x) + 3y (x) + 9y(x) = 0 (iv) S = {e x cos(2x), e x sin(2x), e 2x cos(5x), e 2x sin(5x)}, y (4) (x) 2y (x) + 26y (x) + 38y (x) + 145y(x) = 0 (β) Να βρεθούν οι τιμές των a, β και γ, έτσι ώστε οι συναρτήσεις e x, e x, e 2x να είναι γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης y (x) + ay (x) + βy (x) + γy(x) = 0 ( a = 2, β = 1, γ = 2) 3. Με χρήση της μεθόδου εκθετικής αντικατάστασης, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: (i) 2y (x) 5y (x) + 3y(x) = 0 y(x) = c 1 e 3x/2 + c 2 e x (ii) y (x) + 2y (x) + 5y(x) = 0 y(x) = c 1 e x cos(2x)+ +c 2 e x sin(2x) (iii) y (x) 8y (x) + 16y(x) = 0 y(x) = e 4x (c 1 + c 2 x) 5

7 6 (iv) y (x) + y (x) 16y (x) y(x) = c 1 e 5x + c 2 e 2x + +20y(x) = 0 +c 3 xe 2x (v) y (4) (x) 9y (x) = 0 y(x) = c 1 e 3x + c 2 + +c 3 x + c 4 e 3x (vi) y (4) (x) 16y(x) = 0 y(x) = c 1 e 2x + c 2 e 2x + +c 3 cos(2x) + c 4 sin(2x) (vii) y (4) (x) + 32y (x) + 256y(x) = 0 y(x) = (c 1 + c 2 x) cos(4x) +(c 3 + c 4 x) sin(4x) (viii) y (5) (x) + 25y (x) = 0 y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + +c 4 cos(5x) + c 5 sin(5x) 4. Με χρήση της μεθόδου των προσδιοριστέων συντελεστών, να βρεθεί μια μερική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: (i) y (x) 2y (x) 3y(x) = x 2 3x 9 (ii) 9y (x) 12y (x) + 4y(x) = e 3x e 3x /121 (iii) 2y (x) + 4y 56 sin(2x) 105 cos(2x) (x) 7y(x) = 7 cos(2x) 289 (iv) y (x) + 4y (x) 5y(x) = 3e x xe x /2 (v) y (x) 4y (x) 5y(x) = 648x 2 e 5x 6 (x 3x 2 + 6x 3 ) e 5x (vi) y (x) + 10y (x) + 34y (x)+ xe 3x (sin x cos x) 2 +40y(x) = 2e 3x cosx (vii) y (4) (x) 8y (x) + 25y (x) x 2 e2x sin x 36y (x) + 20y(x) = e 2x cosx (viii) y (4) (x) 18y (x) + 81y(x) = e 3x x2 72 e3x 5. Με χρήση της μεθόδου μεταβολής των παραμέτρων, να βρεθεί μια μερική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: (i) y (x) 2y (x) + y(x) = e x ln x, x > 0 x2 e x (2 ln x 3) 4 (ii) y (x) 9y(x) = 1 1+e 3x e 3x ) (iii) y (x) 2y (x) + y(x) = ex, x > 0 x e 3x 18 e3x ) (ln x 1) (iv) y (x) 4y (x) + 4y(x) = e2x, x > 0 x 2 e 2x (ln x + 1) (v) y (x) + 3y (x) + 2y(x) = cos e x e 2x cos e x (vi) y (x) 2y (x) = 1+2x, x > 0 x 2 x ln x x 1 2 (vii) y (x) 3y (x) + 3y (x) x2 4 ex (2 ln x 3) y(x) = ex, x > 0 x

8 7 5η ομάδα ασκήσεων 1. Με χρήση της χαρακτηριστικής εξίσωσης, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι ομογενών διαφορικών εξισώσεων τύπου Euler: (i) x 2 y (x) 3xy (x) + 3y(x) = 0 y(x) = c 1 x + c 2 x 3 (ii) (x + 3) 2 y (x) + 3(x + 3)y (x)+ y(x) = c 1+c 2 ln(x+3) x+3 +y(x) = 0, x > 3 (iii) x 2 y (x) 2xy (x) 4y(x) = 0, y(x) = c 1 x 4 + c 2 x 1 x 0 (iv) x 3 y (x) + 4x 2 y (x) 8xy (x)+ y(x) = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 4 +8y(x) = 0, x 0 2. Με χρήση της αλλαγής ανεξάρτητης μεταβλητής x = e t ή x + 3 = e t ή x 1 = e t, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων τύπου Euler: (i) x 2 y (x) + xy (x) y(x) = x 4, x > 0 y(x) = c 1 x 1 + c 2 x + x4 15 (ii) (x 1) 2 y (x) 4(x 1)y (x) y(x) = c 1 (x 1) 7 + c 2 14y(x) = 1 x x 72(x 1) 2 (iii) (x + 3) 2 y (x) (x + 3)y (x)+ y(x) = (x + 3) [c 1 + ] +y(x) = x + 3, x > 3 +c 2 ln(x + 3) + ln2 (x+3) 2 (iv) x 2 y (x) 2xy (x) 4y(x) = x 4 y(x) = c 1 x 4 + c 2 x 1 + x > 0 + x4 x4 ln x Να λυθούν τα κάτωθι προβλήματα συνοριακών τιμών: (x 1) 2 + (i) y (x) + 2y (x) 3y(x) = 0, y(x) = 0 y(0) = 0, y (1) = 0 (ii) y (x) + 2y (x) 3y(x) = 9x, y(x) = (3e 5)e 3x +(5+9e 3 ) e x e+3e 3 y(0) = 0, y (1) = 2 3x 2 (iii) y (x) + 4y(x) = 0, y(x) = 7 sin(2x) y(0) = 0, y(π/4) = 7 (iv) y (x) + 4y(x) = 0, y(x) = 4 cos(2x) + c sin(2x) y(0) = 4, y(π) = 4 (v) y (x) 4y (x) + 4y(x) = 0, y(x) = 0 y(0) = 0, y(1) + y (1) = 0

9 8 4. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις των κάτωθι προβλημάτων συνοριακών τιμών: (i) y (x) 4λy (x) + 4λ 2 y(x) = 0, Ιδιοτιμή 1, y(0) = 0, y(1) + y (1) = 0 ιδιοσυνάρτηση xe 2x (ii) y (x) + λy (x) = 0, Δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και y(0) + y (0) = 0, y (1) = 0 αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις (iii) y (x) + 2y (x)+ Ιδιοτιμές n 2 π 2, +(1 λ)y(x) = 0, ιδιοσυναρτήσεις e x sin(nπx) y(0) = 0, y(1) = 0 n = 1, 2, 3,... (iv) x 2 y (x) + xy (x) + λy(x) = 0 Ιδιοτιμές n 2 π 2, x > 0, y(1) = 0, y(e) = 0, ιδιοσυναρτήσεις sin(nπ ln x) n = 1, 2, 3,... (v) y (4) (x) λy(x) = 0 Ιδιοτιμές n 4, y(0) = y (0) = 0, ιδιοσυναρτήσεις sin(nx) y(π) = y (π) = 0 n = 1, 2, 3,... 6η ομάδα ασκήσεων 1. Με χρήση της μεθόδου της απαλοιφής, να λυθούν τα κάτωθι συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων (όπου x = x(t), y = y(t), z = z(t)): (i) x = 2x 2y + 4 y = 5x + y } x(t) = c 1e 3t + c 2 e 4t y(t) = 5 3 5c 1 2 e3t + c 2 e 4t (ii) (iii) x = 2y y = 2x } x = 3x + 2y + 2z y = 2x + 3y + 2z z = x + y x(t) = e t (c 1 sin t + c 2 cos t)+ +e t (c 3 sin t + c 4 cos t) y(t) = e t (c 1 cos t c 2 sin t)+ +e t (c 4 sin t c 3 cos t) y(t) = c 1 + c 2 e 3t + c 3 e 3t z(t) = 5c 1 2 2e 3t + c 3 e 3t x(t) = c 1 + c 2 e3t 2c 3 e 3t

10 (iv) x = x + 2y 2z + cos t y = x y + 2z z = x y x(t) = 3 cos t 1 sin t c 1 e 2t 2c 3 te t + +(3c 3 2c 2 )e t y(t) = 1 sin t + 3c 2 3te t + +(3c 2 4c 3 )e t z(t) = 2 cos t + 3 sin t c 1 e 2t + c 2 e t + c 3 te t 2. Με χρήση της μεθόδου της διαγωνοποίησης, να λυθούν τα κάτωθι συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων (όπου x = x(t), y = y(t), z = z(t)): } x (i) = x 10y x(t) = c y 1 e 15t + 2c 2 e 4t = 7x + 10y y(t) = 7c 1 5 e15t + c 2 e 4t (ii) (iii) (iv) x = 6x y y = 5x x = 4x + z y = 2y z = z } x = 2x 2y 2z y = 2y + z z = 2y 5z x(t) = c 1 e t + c 2 e 5t y(t) = 5c 1 e t + c 2 e 5t x(t) = c 1 e 4t + c 2 e t y(t) = c 3 e 2t z(t) = 5c 2 e t x(t) = c 2 e 4t + c 3 e 2t y(t) = c 2 e 4t c 1 e 3t z(t) = 2c 2 e 4t + c 1 e 3t 3. Να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι μη ομογενών συστημάτων α) με χρήση της μεθόδου προσδιοριστέων συντελεστών, β) με χρήση της μεθόδου μεταβολής των παραμέτρων (όπου x = x(t), y = y(t), z = z(t)): (i) x = 2y + e t y = x + 3y e t } x(t) = 2c 1 e t + c 2 e 2t + 3e t + 4te t y(t) = c 1 e t + c 2 e 2t + 3e t + 2te t 9 (ii) x = x y + e t cos t y = x + y + e t sin t } x(t) = c 1 e t cos t + c 2 e t sin t+ +te t cos t y(t) = c 1 e t sin t c 2 e t cos t+ +te t sin t (iii) x = y + z + 3e t y = x + z e t z = x + y e t x(t) = c 1 e 2t c 2 e t c 3 e t + e t y(t) = c 1 e 2t + c 3 e t e t z(t) = c 1 e 2t + c 2 e t e t

11 10 7η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως οι εξισώσεις (θεωρείστε u = u(x, y)) (i) u x + u y u = 0 (vi) 2u xx + (x 1)u yy + yu x xu y = 0, x 1 (ii) u x u y u 2 = 0 (vii) e y u xx + sin y = u yy (iii) u xx + u xy + u yy = 0 (viii) u xy + (sin x)u y + (cos y)u x = 0 (iv) u xx + 2u xy + u yy = 0 (ix) u xx + 3u xy + u yy = sin x (v) u xx + 5u xy 2u yy = 0 (x) u xx = uu yyyy + e x 2. Να δειχθεί ότι (i) η u(x, y) = x 2 + y 2 είναι λύση της 2xu x + yu y = 2u (ii) η u(x, y) = f ( y x), x 0 είναι λύση της xux +yu y = 0, όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. 3. Να προσδιορισθεί το λ ώστε η συνάρτηση u(x 1, x 2,..., x n ) = ( x x x 2 n) λ, όπου n 3, να είναι μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης 2 u + 2 u u x 2 1 x 2 2 x 2 n = Να βρεθεί η λύση του d Alembert για το πρόβλημα αρχικών τιμών όπου u = u(x, t). u tt u xx = 0, u(x, 0) = sin x, u t (x, 0) = 1, 5. Να βρεθεί η γενική λύση των εξισώσεων (θεωρείστε u = u(x, y)): ( λ = 1 n 2 ) (i) u yy + 3u xy 10u xx = 0 u(x, y) = f 1 (x + 2y) + f 2 (x 5y) (ii) 4u xx + u yy u(x, y) = f 1 (x + 2iy) + f 2 (x 2iy) 6. Να γενικευθεί η μεθοδολογία της ;; για κατάλληλες γραμμικές ΜΔΕ τρίτης τάξης, δύο ανεξάρτητων μεταβλητών.

12 11 8η ομάδα ασκήσεων 1. Να βρεθεί η σειρά Fourier των κάτωθι (περιοδικών θεωρούμενων) συναρτήσεων: (i) f(x) = 4x, x [ 10, 10] f(x) 80 ( 1) n+1 sin nπx π n 10 { n=1 x, 0 < x 1 (ii) f(x) = f(x) 0, 1 x cos[(2n+1)πx] + 4 π 2 (2n+1) 2 (iii) f(x) = { 3, 0 < x 5 0, 5 x 0 (iv) f(x) = x 2, x [ π, π] 1 π n=1 n=0 ( 1) n+1 sin(nπx) n f(x) π n=0 f(x) π n=1 1 (2n+1)πx sin 2n+1 5 cos(nx) n 2 2. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, με χρήση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών: sin(3πx) sin(3πt) 3π (i) u tt = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(x, t) = u(0, t) = 0, u(1, t)=0 u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = sin(2πx) (ii) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(x, t) = e 9π2t sin(3πx) u(0, t) = 0, u(1, t)=0 u(x, 0) = sin(3πx) (iii) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(x, t) = e 4π2t sin(2πx)+ u(0, t) = 0, u(1, t)= e 16π2t sin(4πx)+ u(x, 0) = sin(2πx) + sin(4πx) t 3 5 e 36π2 + sin(6πx) 5 (iv) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(0, t) = 0, u(1, t)=0 u(x, t) = 8 π 3 u(x, 0) = x x 2 (v) u xx + u yy = 0, 0 < x, y < 1, u(0, y) = 0, u(1, y)=0 u(x, 0) = 0, u(x, 1) = x k=0 u(x, y) = 2 π n=1 e (2k+1)2 π 2t sin[(2k + 1)πx] (2k + 1) 3 cos(nπ) sin(nπx) sinh(nπy) n sinh(nπ) 3. Να βρεθεί φραγμένη και περιοδική ως προς θ λύση περιόδου 2π των κάτωθι προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, με χρήση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών:

13 12 (i) u rr + 1u r r + 1 u r 2 θθ = 0, 0 < r < 2 u(r, θ) = r3 sin(3θ) 8 u(2, θ) = sin(3θ), 0 θ 2π (ii) u rr + 1u r r + 1 u r 2 θθ = 0, r > 2 u(r, θ) = 1 cos(4θ) 16r 4 u(2, θ) = cos(4θ), 0 θ 2π (iii) u rr + 1u r r + 1 u r 2 θθ = 0, 1 < r < 2 u(r, θ) = ( r r) cos θ+ u(1, θ) = cos θ, 0 θ 2π + ( 2r 3 3 2r) sin θ u(2, θ) = sin θ, 0 θ 2π 4. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, με τροποποίηση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών: (i) u t = u xx, 0 < x < 2, t > 0, [ u(0, t) = 2, u(2, t) = 5, ] u(x, 0) = 1 x 2 16( 1) n (1 ( 1)n ) e n2 π 2t/4 sin nπx nπ n 3 π 3 2 u(x, t) = 3 2 x n=1 (ii) u t = u xx + cos x, 0 < x < π, t > 0, u x (0, t) = 0, u x (π, t) = 0, u(x, 0) = cos 2 x + 2 cos 4 x u(x, t) = cos x e t cos x + e 4t cos(2x) e 16t cos(4x) 9η ομάδα ασκήσεων 1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των κάτωθι συναρτήσεων με χρήση (α) μόνο του ορισμού, (β) της συνάρτησης Heaviside και του μετασχηματισμού Laplace αυτής: { 0, t < 4 (i) f(t) = { (t 4) 2, t 4 t (ii) f(t) = 2 + 2, 0 t 2 { 6, t > 2 cos t, 0 t π/2 (iii) f(t) = 0, t > π/2 F (s) = 2e 4s s 3 F (s) = 2+2s2 e 2s (2+4s+6s 2 ) s 3 s 3 F (s) = e sπ/2 +s s Μόνο με χρήση των ιδιοτήτων και του πίνακα των βασικών μετασχηματισμών Laplace, να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των κάτωθι συναρτήσεων: (i) f(t) = 2t 2 3t + 4 F (s) = s 3 s 2 s (ii) f(t) = 2 sin t + 3 cos(2t) F (s) = 2 + 3s s 2 +1 s 2 +4 (iii) f(t) = 2e 5t 2 sin t F (s) = (s 5) 2 +1 (iv) f(t) = cos 2 (kt) F (s) = s2 +2k 2 s(s 2 +4k 2 )

14 3. Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των κάτωθι συναρτήσεων: 1 (i) F (s) = f(t) = e 7t e 8t s 2 +15s+56 1 (ii) F (s) = f(t) = 1 s 2 +12s+61 5 e 6t sin(5t) (iii) F (s) = s 1 f(t) = e t cos(7t) s 2 2s+50 (iv) F (s) = s3 +3s f(t) = t2 (s 2 1) 3 4 (et + e t ) 10s (v) F (s) = f(t) = 2 cos t 2 cos(4t) s 4 +17s s (vi) F (s) = f(t) = 8 cos(t 3)H(t 3) e 3s (s 2 +1) 4. Με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Laplace, να λυθούν τα κάτωθι Π.Α.Τ. (όπου y = y(t), Y (s) = L[y(t)]): (i) y + 11y + 24y = 0 y(t) = 3 5 e 8t 8 5 e 3t y(0) = 1, y (0) = 0 (ii) 16y + 8y + 65y = 0 y(t) = e t/4 sin(2t) y(0) = 0, y (0) = 2 (iii) y 4y 9y + 36y = 0 y(t) = 10 7 e4t e3t e 3t y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1 (iv) y y 2y = e t y(t) = 8 9 e t e2t 1 3 te t y(0) = 2, y (0) = 1 (v) y + 5ty 10y = 2 y(t) = 6t y(0) = 1, y (0) = 0 lim Y (s) = 0 s + (vi) y + ty 2y = 4 y(t) = 2t 2 y(0) = 0, y (0) = 0 lim Y (s) = 0 s + (vii) y + 6y + 8y = f(t) y(t) = e 4t + 2e 2t + y(0) = 1, y (0) = e4 4t 2e 2 2t { H(t 1) 8 0, 0 t < 1 f(t) = 1, t 1 (viii) y + 9y = cos t + δ(t π) y(t) = cos t cos(3t) 8 8 y(0) = 0, y (0) = 0, 1 sin(3t)h(t π) 3 13

15 14 5. Με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Laplace, να λυθούν τα κάτωθι συστήματα ΣΔΕ (όπου y = y(t), x = x(t), z = z(t)): } x (i) 2x + 3y = 0 y + 9x + 4y = 0 x(0) = 0, y(0) = 4 } x (ii) x 3y = e 4t y 5x + y = 0 x(0) = 0, y(0) = 0 x 5x + 4y 2z = 0 (iii) y + 2x + 2y + 2z = 0 z z = 0 x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 15 x(t) = e 7t e 5t y(t) = 3e 7t + e 5t x(t) = 40te4t +3e 4t 3e 4t 64 y(t) = 40te4t 5e 4t +5e 4t 64 x(t) = 5e 3t +16e 6t 21e t 2 y(t) = 3e t + 5e 3t 2e 6t z(t) = 15e t 6. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων, με κατάλληλη χρήση του μετασχηματισμού Laplace (όπου u = u(x, t)): (i) u xt cos t = 0, x, t > 0 u(x, 0) = 0, u(0, t) = 0 (ii) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) = 1, u(1, t) = 1 u(x, 0) = 1 + sin(πx) (iii) u tt + 2u t + xu x + u = xt x, t > 0 u(0, t) = 0, u(x, 0) = 0 u t (x, 0) = 0 (iv) 1 u c 2 tt = u xx, x, t > 0 u(0, t) = u 0 =σταθερά L[u(x, t)] φραγμένη (v) 1 k u t = u xx, x, t > 0 u(0, t) = u 0 =σταθερά L[u(x, t)] φραγμένη (vi) 1 u c 2 tt u xx = k sin πx a 0 < x < a, t > 0 u(0, t) = 0, u(a, t) = 0 u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = 0 u(x, t) = x sin t u(x, t) = 1 + e π2t sin(πx) ( ) u(x, t) = x 2 + t + e t cos t 2 2 u(x, t) = u 0 H ( t x c ( u(x, t) = u 0 erfc u(x, t) = a2 k π 2 ) x 2 kt ) ( ) 1 cos πct a sin πx a

16 15 10η ομάδα ασκήσεων 1. Μόνο με χρήση του ορισμού να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier των κάτωθι συναρτήσεων: { 0, t > 2 (i) f 1 (t) = F 1, t 2 1 (ω) = 2 sin(2ω) ω { 1 t (ii) f(t) = 2, t 1 sin ω ω cos ω F 0, t > 1 2 (ω) = 4 ω { 3 e (iii) f(t) = t, t π F 0, t > π 3 (ω) = ie π(1+iω) ( 1+e 2π(1+iω) ) i ω 2. Με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier, να λυθούν οι κάτωθι ΣΔΕ: (i) y (t) + y (t) + y(t) = f 1 (t) (ii) y (t) + 2y (t) + y(t) = f 2 (t) (iii) y (t) + y (t) + 3y(t) = f 3 (t) όπου f 1 (t), f 2 (t) και f 3 (t) οι συναρτήσεις της προηγούμενης άσκησης. (Υπ. Μπορείτε να αφήσετε τη λύση σε ολοκληρωτική μορφή.) 3. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων, με κατάλληλη χρήση του μετασχηματισμού Fourier (όπου u = u(x, t)): (i) u t = 4u xx u(x, t) = 1 u(x, 0) = e x2 x R, t > 0 (ii) u tt + u xxxx = 0 u(x, t) = 1 2 πt u(x, 0) = f(x) u t (x, 0) = 0 x R, t > 0 (iii) u tt + u xx = t e x2 1+16t + + f(x ξ) cos ( f(ξ) (x ξ) 2 +t 2 dξ u(x, t) = t π u(x, 0) = f(x) x R, t > 0 υπό την προϋπόθεση ότι F [u(x, t)] είναι φραγμένος. ξ 2 π 4t 4 ) dξ