|
|
|
- Ευμελια Αλεξάκης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 B G
11
12
13 [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20 f q p; p = q = 1; 2; 3; 4; sx)
14 t = 1; N j" N j ku N k; Nt = 1; t: Nt = 1; p Nt = 1; p Nt = 1; p ku N k; Nt = 1; t: Nt = 1; p
15 a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 0 2 R: y : [a; b]! R; y 0 t) = f t; yt) ; a t b; ya) = y 0 :
![R y 0 2 R: y : [a; b]!](/docs-images/55/6402064/images/page_15.jpg "R; y 0 t) = f t; yt) ;")
16 f t; y) 2 [a; b] R: f 2 C [a; b] R): y 2 C 1 [a; b]; ya) = y 0 ; f y ỹ ỹ 0 y 0 ; jy 0 ỹ 0 j ky ỹk [a; b]; f y; y 0 t) = pt)yt) + qt); a t b; ya) = y 0 : p; q 2 C [a; b]; Z yt) = R t t a hy ps) ds 0 + qs) R i s a p) d ds ; a t b; a Z yt) = R t t a ps) ds y 0 + qs) R t s p) d ds; a t b: a
![ya) = y 0 : p; q 2 C [a; b]; Z yt) = R t t a hy ps) ds 0 + qs) R i s a](/docs-images/55/6402064/images/page_16.jpg "p) d ds ; a t b; a Z yt) = R t t a ps) ds y 0 + qs) R t s p) d ds; a t")
17 p = 0; y 0 s) ps)ys) = qs) R s 0 a p) d ys) = R s a p) d qs): a t; f y 0 = y 2 ; 0 t 2; y0) = 1: yt) y 0 t) 2 = 1 d 1 yt) dt yt) = 1: 0 t; 1 yt) + 1 y0) = t yt) = 1 1 t : 0 t < 1 yt) = 1 1 t ; yt)! 1 t! 1 : [0; 2]: y 0 = p jyj; 0 t 1; y0) = 0;
18 y y 1 y = 1 [0; 1): 1t 1 t yt) := 0; 0 t 1; yt) := y 0 ; 0 t 1 2 ; t 1 2 )2 ; < t 1: t? y 1 t
19 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για Σ.Δ.Ε. f : [a; b] R! R y; t; 9L 0 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R ˇˇf t; y1 )f t; y 2 )ˇˇ Ljy1 y 2 j: y 0 2 R; T : C [a; b]! C [a; b]; T xt) := T x)t) := y 0 + Z t a f s; xs) ds; a t b: y [a; t] y y = Ty: y 2 C [a; b] ya) = y 0 : f [a; b] R; y [a; b]: y 0 t) = f t; yt) ; t 2 [a; b]; y y 2 C [a; b]; T C [a; b] k k; kxk := jxt)j 2Lt : atb kk C [a; b]: C [a; b]; kk 1 ) C [a; b]; kk) T C [a; b]; kk); T
![C [a; b]; T xt) := T x)t) := y 0 + Z t a f s; xs) ds; a t b: y [a; t] y y = Ty: y 2 C [a; b] ya) = y 0 : f](/docs-images/55/6402064/images/page_19.jpg "[a; b] R; y [a; b]: y 0 t) = f t; yt) ; t 2 [a; b]; y y 2 C [a; b]; T C [a; b] k k; kxk := jxt)j 2Lt : atb")
20 x; z 2 C [a; b] t 2 [a; b]; jt xt) T zt)j = ˇˇ Z t f s; xs) f s; zs) dsˇˇ Z t a a ˇ ˇf s; xs) f s; zs) ˇˇ ds L Z t a jxs) zs)j ds; jt xt) T zt)j L Z t a Lkx zk jxs) zs)j 2Ls 2Ls ds Z t a 2Ls ds 1 2 kx zk2lt ; kt x T zk 1 kx zk 8x; z 2 C [a; b] 2 Lb a) 1/2 k k Lb a) k k: T ı T ı ı T n n f t; y) := y 2 p; q 2 C [a; b] f t; y) := pt)y + qt) f t; y) := pt) y f 9M 2 R 8t 2 [a; b] 8y 2 R ˇˇfy t; y)ˇˇ M; f L := M
![zk2lt ; kt x T zk 1 kx zk 8x; z 2 C [a; b] 2 Lb a) 1/2 k k Lb a) k k: T ı T ı ı T n n f t; y) := y 2](/docs-images/55/6402064/images/page_20.jpg "p; q 2 C [a; b] f t; y) := pt)y + qt) f t; y) := pt) y f 9M 2 R 8t 2 [a; b] 8y 2 R ˇˇfy t; y)ˇˇ M; f L")
21 f f y) := p jyj; y 1 ; y 2 : [a; b]: [a; b] [a; b 0 ]; b 0 : Τοπική ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για Σ.Δ.Ε. c > 0 f 2 C [a; b] [y 0 c; y 0 + c] : f [a; b] [y 0 c; y 0 + c] y; t; 9L 0 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 [y 0 c; y 0 + c] ˇ ˇf t; y1 ) f t; y 2 )ˇˇ Ljy1 y 2 j; [a; b 0 ]; A := atb y 0 cyy 0 +c ˇ ˇf t; y)ˇˇ b 0 := b; a + c A : f 2 C [a; b] [y 0 c; y 0 + c] ; [y 0 c; y 0 + c]; f; f 2 C [a; b] R ; [a; c]; c > a: f y) := p jyj y
22 f f y 0 ; z 0 2 R; y 0 = f t; y); a t b; ya) = y 0 ; z 0 = f t; z); a t b; za) = z 0 : = f y; z 2 C 1 [a; b]; "t) := yt) zt); t 2 [a; b]; " 0 t) = f t; y) f t; z): ˇ ˇ"t)ˇˇ 2; "t) "t) "t)" 0 t) = f t; y) f t; z) "t); t 2 [a; b] "t)" 0 t) = 1 d 2 dt "2 t) ˇˇf t; y) f t; z)ˇˇ ˇˇ"t)ˇˇ L" 2 t): " 2 t) =: 't) ' 0 2L' 0; t 2 [a; b]: 2Lt ; 2Lt ' 0 t) 2L 2Lt 't) = d dt 2Lt 't) 0; t 2 [a; b]:
23 2Lt 't) [a; b]: 2Lt 't) 2La 'a); a t b; ˇ ˇ"t)ˇˇ Lta)ˇˇ"a)ˇˇ; a t b; atb ˇ ˇyt) zt)ˇˇ Lba) jy 0 z 0 j: y k k 1 ; ˇ kyk 1 := ˇyt)ˇˇ; y 0 2 R: atb L: = f 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R f t; y 1 ) f t; y 2 ) y 1 y 2 ) 0: f " 0 t) = f t; y) f t; z) "t) "t)" 0 t) = f t; y) f t; z) "t);
24 t 2 [a; b] "t)" 0 t) = 1 d 2 dt "2 t) 0: " 2 t: j"j; ˇ ˇyt) zt)ˇˇ jy0 z 0 j: atb f f [a; b]r: [a; b 0 ); f [a; b]; y; [a; b]: y 0 t) = f t; yt) f t; 0) + f t; 0); y 0 t)yt) = f t; yt) f t; 0) yt) + f t; 0)yt): yt) 2; 2xz x 2 + z 2 yt) 2 0 f t; 0) 2 + yt) 2; t yt) 2 0 t f t; 0) 2 : [a; t]; t yt) 2 a ya) Z t 2 s f s; 0) 2 ds; a
25 yt) 2 bh y 0 ) 2 a + Z b a s f s; 0) 2 ds i; a t b: y [a; b]: [a; b]; f [a; s) [a; s] s 1 1; t!s yt) = 1 t!s yt) = 1: y [a; b]; y f y; f t; y) = t)y + t); t) y 0 = t)y; a t b; ya) = y 0 : ˇ ˇyt)ˇˇ jy0 j; atb t)
26 y y 0 = 1; y 0 y: t) t: y 0 = y; t 0; y0) = 1; yt) = t ; ; y m 2 N; f : [a; b] R m! R m ; y 0 2 R m : y : [a; b]! R m y 0 t) = f t; yt) ; a t b; ya) = y 0 : kk R m : Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για συστήματα Σ.Δ.Ε. f : [a; b]r m! R m y; t; k k R m ; 9L0 8t 2[a; b] 8y 1 ; y 2 2R m f t; y1 )f t; y 2 ) Lky1 y 2 k:
27 y 0 2 R m ; k k = k k 1 ; f t; y) 2 [a; b] R m ; M := 1im t;y)2[a;b]r m mx ˇ j =1 j t; y)ˇˇ < 1; f L = M: y 0 t) = At)yt) + gt); a t b; ya) = y 0 ; t 2 [a; b]; gt) 2 R m At) 2 R m;m : g A t; t 2 [a; b]: y m) t) = f t; yt); y 0 t); : : : ; y m1) t) ; a t b; y i) a) = y i ; i = 0; : : : ; m 1: zt) := yt); y 0 t); : : : ; y m1) t) T ; z0 := y 0 ; y 1 ; : : : ; y m1 ) T ; 0 1 z 2 t) z 3 t) z 0 t) = : ; a t b; B z m t) f t; z 1 t); : : : ; z m t) A za) = z 0 :
28 f R m : f f : [a; b] R m! R m 8t 2 [a; b] 8x; x 2 R m f t; x) f t; x); x x 0; ; ) R m : f f t; y) = At)y+gt) At); t 2 [a; b]; 8t 2 [a; b] 8x 2 R m At)x; x 0; t) y 0 = y = + ˇ; ; ˇ 2 R; 0 y1 ˇ y1 = y 2 ˇ y 2
29 y 1 y 2 y; A; ˇ A := ; ˇ Ax; x) = kxk 2 8x 2 R 2 : p : [a; b]! R y 0 t) = pt)yt); t 2 [a; b]; R t yt) = C a ps) ds C: y u; ut) = R t a ps) ds yt); t 2 [a; b]; u 0 = 0; u Η μέθοδος της μεταβολής των σταθερών p; q : [a; b]! R y 0 t) = pt)yt) + qt); t 2 [a; b]; yt) = R t a ps) dsh C 0 + Z t a qs) R i s a p) d ds ; a t b;
30 C 0 ; yt) = C t)r t a ps) ds ; C C C y 0 = p jyj; 0 t 2; y0) = 1: c L: y [0; b 0 ]: f y [1 c; 1 + c]; b 0 c: y0 = p j1 y 2 j; t 0; y0) = 1: yt) = 1 yt) = t [0; b]; b > 0: [b; 0] yt) = t
31 t? 2 0; 1): c y : [0; 1]! R; 0; 0 t t? ; yt) := ct t? ) 2 ; t? < t 1; t? = 1/2? R m? f : [a; b] R m! R m k k R m : y z y 0 = f t; y); t 2 [a; b]; ya) = y 0 ; z 0 = f t; z); t 2 [a; b]; za) = z 0 ; t 2 [a; b]; kyt) zt)k Lta) ky 0 z 0 k: ; ) R m : x : [a; b]! R m d dt kxt)k2 = d x1 t) xm t) 2 = 2 x1 t)x1 0 dt t) + + x mt)xm 0 t) = 2 x 0 t); xt) :? f : [a; b] R! R 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R f t; y 1 ) f t; y 2 ) y 1 y 2 ) y 1 y 2 ) 2 ; : = 0 t 2 [a; b]; jyt) zt)j ta) jy 0 z 0 j:
32 ? f : [a; b] R m! R m 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R m f t; y 1 ) f t; y 2 ); y 1 y 2 0: y z y 0 = f t; y); t 2 [a; b]; ya) = y 0 ; z 0 = f t; z); t 2 [a; b]; za) = z 0 ; t 2 [a; b]; kyt) zt)k ky 0 z 0 k: ; ) kk R m :? y 0 = f t; y); t 2 [a; b]; ya) = y 0 ; f ut) := ta) yt) u 0 = F t; u); t 2 [a; b]; ua) = y 0 ; F t; v) := ta) f t; ta) v v F 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R F t; y 1 ) F t; y 2 ) y 1 y 2 ) 0:
33 ? Η ανισότητα του Gronwall σε ολοκληρωτική μορφή. ' [0; T ]; ; ˇ 2 R ˇ 0: Z t 't) + ˇ 's) ds 8t 2 [0; T ]; 0 't) ˇ t 8t 2 [0; T ]: " ; t) := + ")ˇ t ; t 2 [0; T ]; Z t t) = + " + ˇ 0 s) ds 8t 2 [0; T ]: '0) < 0): t 0 [0; T ] 't 0 ) = t 0 ): 't 0 ) < t 0 ):? Γενίκευση της Άσκησης 1.12 Z t 't) + hs)'s) ds 8t 2 [0; T ]; 0 h [0; T ]; 't) R t 0 hs) ds 8t 2 [0; T ]: " ; t) := + ") R t 0 hs) ds ; t 2 [0; T ]; Z t t) = + " + hs) s) ds 8t 2 [0; T ]: 0? Η ανισότητα του Gronwall σε διαφορική μορφή ' [0; T ] ' 0 t) ˇ't) 8t 2 [0; T ]: 't) '0)ˇ t 8t 2 [0; T ]:
34 't) '0) + ˇ Z t 0 's) ds 8t 2 [0; T ] ˇs 's) t:? Γενίκευση της Άσκησης 1.14 ' [0; T ] ' 0 t) ht)'t) 8t 2 [0; T ]; h [0; T ]; 't) '0)R t 0 hs) ds 8t 2 [0; T ]:? a 2 R f : [0; 1)! R y y 0 t) = ayt) + f t); t 0; y0) = y 0 yt) = at y 0 + Z t 0 ats) f s) ds; t 0; x 0 t) = axt); t 0; x0) = y 0 ats) f s) t x 0 t) = axt); t s; xs) = f s):
35 ? M 2 R m;m x x; M M := 1X `=0 k k 1 `! M `: 8" > 0 9n 2 N 8k 2 N n+k X 1 `! M ` "; M n+k X `=n 1 `! M ` n+k X `=n `=n 1 km k` `! P 1 `=0 1`! x` x 2 R: y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 : y tm 0 = 1 X `=0 yt) = tm y 0 ; t 0: 1 `! t `M `0 X 1 1 = ` 1)! t `1 M ` = M tm : `=1 Et) Et) = tm ; yt) = Et)y 0 : x+y = x y x y; A; B 2 R m;m A+B = A B ; A B AB = BA: Et) E + ) = E)E) 8; 0:
36 x 0 t) = M xt); 0 t ; x0) = y 0 x 0 t) = M xt); t + ; x) = E)y 0 [0; + ] y + ) = x + ): + [0; + ]; [0; ] [; + ]; E)y 0 :? = 1 ; : : : ; m ) M 2 R m;m M = UU 1 = 1 ; : : : ; m ): = 1 ; : : : ; m M = U U 1 ; tm = U t U 1 ; t 2 R:? f : [0; 1)! R m y 0 t) = Myt) + f t); t 0; y0) = y 0 : tm yt) 0 = tm f t) yt) = tm y 0 + Z t 0 ts)m f s) ds; t 0: yt) = tm y 0 ; yt) = tm vt);
37 v; Z t yt) = Et)y 0 + Et s)f s) ds; 0 Et) = tm ; t x 0 t) = M xt); t 0; x0) = y 0 ; Et s)f s) t x 0 t) = M xt); t s; xs) = f s):? M 2 C m;m 1 ; : : : ; m i 0; i = 1; : : : ; m: y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 y 0 0: k k C m : m = 1; kyt)k ky 0 k ; jyt)j jy 0 j; t 0: m = 2; M = ) ; 1 = 2 = 0; yt) y0 ) yt) = 1 + y 0 ) 2 t ; t 0; y 0 ) 2
38 y 0 ) 1 y 0 ) 2 0 y 0 ; kyt)k! 1; t! 1; ky 0 k m = 1? 2 R: M = ; 1 = 1 2 = 0: yt) y0 ) yt) = 1 t + y 0 ) 2 1 t ) ; t 0: y 0 ) 2 y 0 ) 1 = 0 k k p p 1) R 2 ; kyt)k p ky 0 k p 1 + jj p 1/p ; t 0: m = 1? 2 C < 0: M M = : :: : :: ; : :: C 1A 0 1 = = m = : yt) = y1 t); : : : ; y m t) T ym t) = y m 0) t ; Z t y i t) = y i 0) t + y i+1 s) ts) ds; i = m 1; : : : ; 1; 0 '; 't) := R t 0 jts) j ds; kyt)k 1 C ky 0 k 1 ; t 0;
39 C:? i 0; i = 1; : : : ; m; i < 0; i kyt)k C ky 0 k; t 0; C k k: m = 1 m > 1; T 2 C m;m T 1 M T = J M: xt) := T 1 yt) x 0 t) = J xt): m = 1: kxt)k 1 zc kx0)k 1 ; t 0; C m? M 2 R m;m i 0; 1 i m: ' : 1; 0]! R 'M ) 2 R m;m ; ) R m ; v i) ; i = 1; : : : ; m; M; M v i) = i v i) ; 1 i m: v 2 R m 'M ) M 'M )v = mx ' i )v; v i) )v i) : i=1 k'm )k 2 = 1im j' i)j; k k 2 R m :
40 yt) = tm y0); t 0; y kyt)k 2 t i i ) ky0)k 2 ; t 0: tm? Τετραγωνική ρίζα πίνακα 'M ) M 2 R m;m M x; x) 0; x 2 R m : i 0; 1 i m: ; ) R m ; v i) ; i = 1; : : : ; m; M; M v i) = i v i) ; 1 i m; 'M ) M 1/2 2 R m;m M M 1/2 v = mx p i v; v i) )v i) 8v 2 R m : i=1 M 1/2 M 1/2 v = mx i v; v i) )v i) 8v 2 R m ; i=1 M 1/2 M 1/2 = M; M 1/2 M:? M 2 R m;m M x; x) 0 x 2 R m : y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 : ky)k
41 ? x 0 t) = 2xt) + yt); t 0; y 0 t) = 2xt) 2yt); t 0; x0) = x 0 ; y0) = y 0 : [x)] 2 + [y)] )? M 2 R m;m M T = M; M ij = M j i ; i; j = 1; : : : ; m: y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 : ky)k kyt)k = ky0)k; t 0: M T = M; x; y 2 R m M x; y) = x; My): M x; x) = 0 x 2 R m : yt) M x; x) = 0 x 2 R m m m M x+y); x+y) = M x; x)+my; y)+m x; y)+x; My) x; y 2 R m :? M 2 R m;m y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 y : [0; 1)! C m ; ky)k kyt)k = ky0)k; t 0: yt) d dt kyt)k2 = d yt); yt) = y 0 t); yt) + yt); y 0 t) = 2 y 0 t); yt) ; dt d y 0 t); yt) = 1 2 dt kyt)k2 : M z; z) 2 R; z 2 C m :
42 ? X; k k T : X! X n T n := T ı T ı ı T n T T n x? : T n T x? ) = T T n x? ) = T x? ; T x? = x? : x T; T n x = T n1 x = = T x = x; x T n : Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.
1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο
Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία
0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW / MINI (Ισχύει από 15/01/2018) ΚΙΒΩΤΙΟ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΚΥΒΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΣ (HP)
Υ F21 LCI - Σειρά 1 3θυρη 1W11 120i ΧΚ 1.998 184 131 21.941,48 33.000 1W31 125i ΑΚ 1.998 224 130 26.407,03 42.040 1W91 M140i ΧΚ 2.998 340 179 31.878,02 52.790 1P91 M140i xdrive ΑΚ 2.998 340 169 35.428,74
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία
Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
LCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης
Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Καταστατικές Εξισώσεις Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων
1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή
iii) x + ye 2xy 2xy dy
ΕΚΠΑ - Τμήμα Μαθηματικών Διαφορικές Εξισώσεις Ι Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παραδόσεις Ε. Κόττα-Αθανασιάδου Ασκήσεις (Είναι οι ασκήσεις που αφήνονται για «λύση στο σπίτι» στις παραδόσεις της διδάσκουσας.
. Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της
X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
![X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F](/thumbs/70/62947708.jpg "X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F")
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
2. Η μέθοδος του Euler
2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια
). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0
3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763
x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης
KEΦAΛAIO 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 4, η δυναμική μελέτη ενός φυσικού/ χημικού συστήματος οδηγεί συχνά στη διερεύνηση της δυναμικής συμπεριφοράς μιας γραμμικής,
Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας
Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής
(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
![(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x](/thumbs/62/47493101.jpg "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x")
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
( ) = ( ) Μάθημα 2 ο ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ. Θεωρία : Γραμμική Άλγεβρα : εδάφιο 4, σελ. 63, Πρόταση 4.9, σελ. 90. Βασικές ιδιότητες
Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 1 από 6 Μάθημα 2 ο ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραμμική Άλγεβρα : εδάφιο 4, σελ. 63, Πρόταση 4.9, σελ. 90. Βασικές ιδιότητες Έστω A είναι μ ν πίνακας. Τότε 1. ranka= ranka
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,
ΜΜ803 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ
ΜΜ83 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εαρινό εξάµηνο 8 Λύσεις εργασίας # Λύση άσκησης : Για την πρώτη συνάρτηση ισχύει ότι sin( ωt+ θ) sinωtcosθ + cosωtsinθ άρα L[sin( ωt+ θ)] L[sin ωtcosθ + cosωtsin θ] cos θ L[sin ωt]
Γεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Γεώργιος Ακρίβης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 1 / 7 Προβλήματα δοκιμής Πρόκειται για απλές συνήθεις
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα
Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος,
Λύσεις ασκήσεων 6. Οι συντελεστές του αναπτύγματος υπολογίζονται ως εξής: = y( ( 1) = 2 L. L n. = 0 Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ
Λύσεις ασκήσεων 6. y + y, y() y( ) Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ λ k > y(x) As(kx) + Bsi(kx) y() A y() Bsi(k) B k,,,.. y (x) Bsi ( x ),,,.. ιδιοσυναρτήσεις Αν λ τετριμένη λύση. Οι ιδιοσυναρτήσεις
() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.
Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :
Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
HMY 799 1: Αναγνώριση. συστημάτων. Διαλέξεις 6 7. Συνάφεια (συνέχεια) Μη παραμετρική αναγνώριση γραμμικών
HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων Διαλέξεις 6 7 Συνάφεια (συνέχεια Συστήματα πολλαπλών εισόδων Μη παραμετρική αναγνώριση γραμμικών συστημάτων Εκτίμηση άσματος Ισχύος Περιοδόγραμμα, Bartlett/Welch, Παραμετρική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN
Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης
Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
DC BOOKS. a-pl½-z-v iao-w Da-c-n
a-pl½-z-v iao-w Da-c-n 1945 P-q-s-s-e 24þ\-v I-mkÀ-t-I-m-U-v aq-s-w-_-b-e-nâ P-\-n -p. {-K-Ù-I-À- -mh-v-, h-n-hà- I³-, d-n-«. A-²-y-m-]-I³. C-c-p-]- -n-\-m-e-p hàj-s- A-²-y-m-]-IP-o-h-n-X- -n-\-pt-i-j-w
Spare Parts. Cartridges. Chipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / Plugs / Nuts / Punches
1~20 Screws ins Shims artridges lamps lamp Sets hipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / lugs / Nuts / unches 2~6 7 8~11 12 13 14~15 16 17~18 19 1 Screws escription imension (mm) ngle ( ) H
Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα
Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία
( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και. (t 2) * x 2
Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 0: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 0-3 -- Εαρινό Εξάµηνο Σειρά Ασκήσεων αρ. 6 Παρασκευή 5 Απριλίου
Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor
eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process
HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 5 Εκτίμηση φάσματος ισχύος Συνάφεια Παραδείγματα Στοχαστικά Διανύσματα Autoregressive model with exogenous inputs (ARX y( t + a y( t +... + a y( t n = bu( t +...
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος
Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση
Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
EL 625 Lecture 2. State equations of finite dimensional linear systems
EL 625 Lecture 2 EL 625 Lecture 2 State equations of finite dimensional linear systems Continuous-time: ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) Discrete-time: x(t k+ ) = A(t k )x(t k ) +
Παράρτημα. Παράρτημα - Ανάλυση Έλεγχος και Προσομοίωση Δυναμικών Συστημάτων
Παράρτημα Σύνοψη Στο παράρτημα αυτό θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου απαραίτητες για την κατανόηση της λειτουργίας των υδραυλικών και πνευματικών συστημάτων. Οι έννοιες
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo
Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-
Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t
ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.
ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[
Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ HILBERT ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διπλωματική εργασία του Χασαπλαδάκη Μιλτιάδη Επιβλέπων:
x(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 sin(2π900t + π/4) + sin(2π1200t) (1) w(t) = y(t)z(t) = 2δ(t + 1) (2) (2 sin(2π900t + π/4) t= 1 + sin(2π1200t) )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/10.0
σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.
Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις
Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Spare Parts P2~P6. Screws. Cartridges Clamp Sets Clamps Chipbreakers Wrenches Wrenches / Springs / Nuts / Punches / Others P13~P14 P15 P17~P18
1~18 Screws ins Shims artridges lamp Sets lamps hipbreakers Wrenches Wrenches / Springs / Nuts / unches / Others 2~6 7 8~12 12 13~14 15 16 17~18 18 1 Screws imension (mm) ngle ( ) Torque escription (N
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
"!$#&%('*),+.- /,0 +/.1),032 #4)5/ /.0 )80/ 9,: A B C <ED<8;=F >.<,G H I JD<8KA C B <=L&F8>.< >.: M <8G H I
"!$#&%('*),+.- /,0 +/.1),032 #4)5/.-076 4/.0 )80/ 9,: ;=@?4: A B C
Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ
Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k
ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)