ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 20/12/08 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ 1. Ο Γιώργος είναι 25% μεγαλύτερος του Γιάννη. Ο Γιάννης είναι χ% πιο μικρός από το Γιώργο. Να βρείτε το χ. 2. Σε κάποιο διψήφιο αριθμό τοποθετούμε το ψηφίο 3 στα δεξιά του, έτσι ώστε να δημιουργηθεί τριψήφιος αριθμός με το 3 να είναι στη θέση των μονάδων του. Αν ο τριψήφιος αριθμός που σχηματίστηκε είναι κατά 777 μεγαλύτερος από το διψήφιο, να βρείτε το διψήφιο αριθμό. 3. Ποια είναι η γωνία μεταξύ των δεικτών ενός ρολογιού, όταν η ώρα είναι ακριβώς 7 και 38 λεπτά ( 7:38); 4. Σ` ένα καφενείο υπάρχουν 54 άνθρωποι, όπου ο καθένας διαβάζει τουλάχιστον ένα από τα τρία είδη εφημερίδων Α, Β και Γ. Δεκαέξι άνθρωποι διαβάζουν μόνο την Α, 28 διαβάζουν τη Β και 5 διαβάζουν και τις τρεις εφημερίδες. Εκείνοι που διαβάζουν την Α και Β χωρίς να διαβάζουν τη Γ είναι διπλάσιοι από εκείνους που διαβάζουν την Α και Γ χωρίς να διαβάζουν τη Β. Εκείνοι που διαβάζουν τη Β και Γ, χωρίς να διαβάζουν την Α είναι τριπλάσιοι από εκείνους που διαβάζουν την Α και Γ χωρίς να διαβάζουν τη Β. Αν όσοι διαβάζουν τουλάχιστον δύο εφημερίδες είναι 23, να βρείτε πόσοι διαβάζουν : α) την εφημερίδα Α β) μόνο την εφημερίδα Β και γ) μόνο την εφημερίδα Γ.
ΘΕΜΑ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Όταν ο Γιωργος είναι 125 ο Γιάννης είναι 25 πιο μικρός. 125 25 100 χ Άρα 100.25 x 20% 125 ΘΕΜΑ 2 Αν ο 2ψήφιος είναι ο ΑΒ, τοποθετώντας το 3 στα δεξια του γίνεται ΑΒ3 και ισχύει ΑΒ3=777+ΑΒ. Έτσι η μόνη επιλογή μας για το Β είναι 6 ( Β=6). Οι δεκάδες τώρα είναι 7+Α+1=8+Α και πρέπει να είναι ίσο με Β=6.Δηλαδή 8+Α να λήγει σε 6 δίνει για το Α = 8. Άρα ο 2-ψήφιος ΑΒ=86. Πράγματι 863 = 777+86 ΘΕΜΑ 3 Όταν η ώρα είναι 7:38 σημαίνει ότι ο δείκτης των λεπτών βρίσκεται στο 38 ακριβώς δηλαδή 18 0 γωνία με την ευθεία που ενώνει το κέντρο του ρολογιού και τον αριθμό 35.Ο δείκτης των ωρών έχει 38 0 0 μετακινηθεί.30 19. Άρα η γωνία μεταξύ τους είναι 60 19 0-18 0 = 1 0 ΘΕΜΑ 4 Σύμφωνα με το ορθό Βένειο Διάγραμμα θα πρέπει: 2χ+3χ+χ+5=23 χ=3. Έτσι οι άνθρωποι που διαβάζουν την Α είναι: 16+3+5+6=30 Μόνο τη Β= 28-(6+5+9) = 8. Μόνο τη Γ= 54- ( 16+8++3+6+5+9) = 7
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 20/12/08 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ 1. Σε κάποιο διψήφιο αριθμό τοποθετούμε το ψηφίο 3 στα δεξιά του, έτσι ώστε να δημιουργηθεί τριψήφιος αριθμός με το 3 να είναι στη θέση των μονάδων του. Αν ο τριψήφιος αριθμός που σχηματίστηκε είναι κατά 777 μεγαλύτερος από το διψήφιο, να βρείτε το διψήφιο αριθμό. 2. Αν οι ευθείες Αχ και Εψ είναι παράλληλες, να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών: α + β + γ + δ + ε χ ψ Α α Β β γ ε δ Δ Ε Γ 3. Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από το σημείο Α και κατευθύνεται 19Km νότια. Στη συνέχεια αλλάζει πορεία και κινείται 28 Km δυτικά, 34 Km βόρεια και τέλος 20Km ανατολικά και σταματά στο σημείο Β. Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ.
4. Σ` ένα καφενείο υπάρχουν 54 άνθρωποι, όπου ο καθένας διαβάζει τουλάχιστον ένα από τα τρία είδη εφημερίδων Α, Β και Γ. Δεκαέξι άνθρωποι διαβάζουν μόνο την Α, 28 διαβάζουν τη Β και 5 διαβάζουν και τις τρεις εφημερίδες. Εκείνοι που διαβάζουν την Α και Β χωρίς να διαβάζουν τη Γ είναι διπλάσιοι από εκείνους που διαβάζουν την Α και Γ χωρίς να διαβάζουν τη Β. Εκείνοι που διαβάζουν τη Β και Γ, χωρίς να διαβάζουν την Α είναι τριπλάσιοι από εκείνους που διαβάζουν την Α και Γ χωρίς να διαβάζουν τη Β. Αν όσοι διαβάζουν τουλάχιστον δύο εφημερίδες είναι 23, να βρείτε πόσοι διαβάζουν : α) την εφημερίδα Α β) μόνο την εφημερίδα Β και γ) μόνο την εφημερίδα Γ.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Αν ο 2ψήφιος είναι ο ΑΒ, τοποθετώντας το 3 στα δεξια του γίνεται ΑΒ3 και ισχύει ΑΒ3=777+ΑΒ. Έτσι η μόνη επιλογή μας για το Β είναι 6 ( Β=6). Οι δεκάδες τώρα είναι 7+Α+1=8+Α και πρέπει να είναι ίσο με Β=6.Δηλαδή 8+Α να λήγει σε 6 δίνει για το Α = 8. Άρα ο 2-ψήφιος ΑΒ=86. Πράγματι 863 = 777+86 ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 3 Αν φέρουμε τρεις παράλληλες από τα Β, Γ και Δ προς τις 2 άλλες ευθείες Αχ και Εψ δημιουργούνται συνολικά 4 ζεύγη εντος και επι τα αυτά γωνίες δηλαδή: α+β+γ+δ= 4 χ 180 0 = 720 0 Τελικά το Β θα βρίσκεται Βορειοδυτικά του Α ( 8Κm Δυτικά του και 15Km βόρεια) Άρα: (ΑΒ) 2 = 8 2 +15 2 =17 2 δηλ. ΑΒ= 17Km ΘΕΜΑ 4 Σύμφωνα με το ορθό Βένειο Διάγραμμα θα πρέπει: 2χ+3χ+χ+5=23 χ=3. Έτσι οι άνθρωποι που διαβάζουν την Α είναι: 16+3+5+6=30 Μόνο τη Β= 28-(6+5+9) = 8. Μόνο τη Γ= 54- ( 16+8++3+6+5+9) = 7
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 20/12/08 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ 1. Να δείξετε ότι το τετράγωνο κάθε περιττού φυσικού αριθμού διαιρούμενο με το 8 αφήνει υπόλοιπο 1. 2. Αν οι ευθείες Αχ και Εψ είναι παράλληλες, να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών: α + β + γ + δ + ε x β α B δ A Δ γ Γ ψ ε Ε 3. α) Να δείξετε ότι: (α+β+γ) 3 = α 3 +β 3 +γ 3 +3(α+β)(α+γ)(β+γ), για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ. β) Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω ταυτότητα ή με οποιoδήποτε άλλο τρόπο να λύσετε την εξίσωση: (χ-2) 3 +(χ-5) 3 +(χ-8) 3 +(15-3χ) 3 = 0 4. Στο ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ=2R, βρίσκονται τα σημεία Γ, Δ, Ε και Ζ, έτσι ώστε να ορίζουν ίσα τόξα ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ και ΖΒ. Να δείξετε ότι: (ΓΖ) - (ΔΕ) = R.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2 Έστω ο περιττός (2ν +1). Τότε το τετράγωνο του θα είναι: (2ν +1) 2 = 4ν 2 +4ν+1 = 4ν(ν+1)+1=4.2κ+1 = 8κ+1, δηλαδή υπόλοιπο 1 διαιρούμενο δια 8. Το ν(ν+1) είναι οποσδήποτε άρτιος ( 2κ) ως γινόμενο 2 διαδοχικών ακέραιων //. Αν φέρουμε τρεις παράλληλες από τα Β, Γ και Δ προς τις 2 άλλες ευθείες Αχ και Εψ, δημιουργούνται συνολικά 4 ζεύγη εντός και επι τα αυτά γωνίες δηλαδή: α+β+γ+δ= 4 χ 180 0 = 720 0 ΘΕΜΑ 3 (ι) (α+β+γ) 3 = [(α+β)+γ] 3 =(α+β) 3 +3(α+β) 2 γ+3(α+β)γ 2 +γ 3 = α 3 +3α 2 β+3αβ 2 +β 3 +3(α+β) 2 γ+3(α+β)γ 2 +γ 3 = α 3 + β 3 +γ 3 +3α 2 β +3αβ 2 +3(α+β) 2 γ+3(α+β)γ 2 = α 3 + β 3 +γ 3 +3αβ(α+β)+3(α+β) 2 γ+3(α+β)γ 2 = α 3 + β 3 +γ 3 +3(α+β)[αβ+(α+β)γ+γ 2 ] = α 3 + β 3 +γ 3 +3(α+β)(γ+α)(γ+β) = (ιι) Θέτω α=χ-2,β =χ-5 και γ = χ 8 και άρα α 3 + β 3 +γ 3 = (α+β+γ) 3-3(α+β)(γ+α)(γ+β), έτσι: (χ-2) 3 +(χ-5) 3 +(χ-8) 3 =(3χ-15) 3-3(2χ-8)(2χ-10)(2χ-13) (χ-2) 3 +(χ-5) 3 +(χ-8) 3 -(3χ-15) 3 = -3(2χ-8)(2χ-10)(2χ-13) (χ-2) 3 +(χ-5) 3 +(χ-8) 3 +(15-3χ) 3 = -3(2χ-8)(2χ-10)(2χ-13) (χ-2) 3 +(χ-5) 3 +(χ-8) 3 +(15-3χ) 3 = 0-3(2χ-8)(2χ-10)(2χ- 13)=0 χ=4, χ =5 ή χ =13/2 ΘΕΜΑ 4 Τα 5 ίσα τόξα έχουν μέτρο 180/5 = 36 0 και άρα η επίκεντρη γωνία ΖΟΒ= 36 0. Οι γωνίες Β=Α=36 0 από τα αντίστοιχα ισοσκελή τρίγωνα ΖΟΒ και ΑΓΟ. Φέρω το ΖΘ //ΑΓ και αμέσως έχω ΖΘ=ΖΒ=ΘΟ και αφού ΑΘ=ΓΖ=ΑΟ+ΟΘ=R+ΔΕ ή ΓΖ-ΔΕ=R