1 Το φυσικό πρόβλημα και εξισώσεις

Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων της ελαστοδυναμικής και μελέτη της κυματικής διάδοσης στα στερεά: επιμήκη κύματα(p-waves) και εγκάρσια κύματα(s-waves) Χρυσούλα Τσόγκα tsogka@tem.uoc.gr 1 Το φυσικό πρόβλημα και εξισώσεις Ενδιαφερόμαστε για το πρόβλημα μετάδοσης κυμάτων σε ένα στερεό, ετερογενές και ισότροπο σε δύο διαστάσεις. Το διάνυσμα παραμορφώσεων u ικανοποίει τις γραμμικές εξισώσεις της ελαστοδυναμικής: ρ(x) ũ t div σ(ũ) = f στην Ω R (1) με τις αρχικές συνθήκες: u(x, 0) = u 0 (x) στην Ω u t (x, 0) = u 1(x) στην Ω και τις συνοριακές συνθήκες : u = 0 στο Γ D (Dirichlet) σ( u) n = 0 σ( u) n = B u t στο Γ N (Neumann) στο Γ A (Absorbing) όπου Γ D Γ N Γ A = Γ, nείναιτοκάθετομοναδιαίοεξωτερικόδιάνυσμακαιοπίνακας B ορίζεται από: [ ] µρ 0 B = (4) 0 (λ + µ)ρ Παρατήρηση 1.1 Η απορροφητική(absorbing) συνοριακή συνθήκη θα χρησιμοποιηθεί μόνοσεσύνοροπαράλληλομετονάξονα x. 1 () ()

Στην(1), σ είναι ο τανυστής τασης που συνδέεται με τον τανυστή παραμορφώσεων ε( u) μετοννόμοτου Hooke: ε( u) ij = 1 ( u i x j + u j x i ) σ ij = λ(x)div(ũ)δ ij + µ(x)ε ij = λ(x)tr(ε)δ ij + µ(x)ε ij (5) όπου λ(x) και µ(x) είναι οι συντελεστές Lamé που χαρακτηρίζουν το στερεό υλικό. Ε1.1Στηνπερίπτωσηπουτουλικόείναιομογενές(δηλαδή λ(x) = λ, µ(x) = µ, ρ(x) = ρ) δείξτεότιτοσύστημα(1)μπορείναγραφτείως: ήαλλιώςθέτοντας u = (u, v): Ενέργεια ρ u t (λ + µ) (div u) µ u = f στην Ω R (6) ρ u t (λ + µ) u x µ u y (λ + µ) v x y = f 1 ρ v t (λ + µ) u x y µ v x (λ + µ) v y = f Ορίζουμε την ενέργεια του συστήματος ως το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας: ( 1 E(t) = ρ u t + 1 ) σ( u)ε( u) dx (8) Ω (7) Ε1.Δείξτεότιαν Ω = R και f 1 = f = 0τότεηενέργειαδιατηρείται d(e(t) dt = 0. Εστω H = (L (Ω)) και V = { v (H 1 (Ω)) ; v = 0 στο Γ D } Ε1.Δείξτεότιημεταβολικήμορφήτουπροβλήματος(1),()()γράφεται: Βρείτε u(x, t)τ.ω u(t) V, d ρ u. vdx + σ( u)ε( v)dx d B u. vdγ = f. vdx (9) dt Ω Ω dt Γ A Ω γιακάθε v V. Θαδεχτούμεότιψάχνουμετηνλύσηστοχώρο L (0, T; V ) C 0 (0, T; H).

Ανάλυση με επίπεδα κύματα Θεωρούμε εδώ ότι το υλικό είναι ομογενές. Ορίζουμε ως αρμονικά επίπεδα κύματα τις λύσεις τηςεξίσωσης(1),με f = 0,πουγράφονταιστηνμορφή: όπου u = d exp(i(ωt k x)) (10) kείναιτοδιάνυσμακύματος(αντιστοιχείστηνδιεύθυνσημετάδοσηςτουκύματος). ωείναιηκυκλικήσυχνότητα f = ω π είναιησυχνότητα dείναιηδιεύθυνσηταλάντωσης. Ε.1 Δείξτε ότι για να βρούμε τα αρμονικά επίπεδα κύματα που μεταδίδονται στην κατεύθυνση kαρκείναλύσουμετοπρόβλημα: Βρείτε d 0και ωτ.ω. (µ k ρω ) d + (λ + µ)( d. k) (11) k = 0 ήαλλιώς, Βρείτε d 0και ωτ.ω. ω d = ˆK d (1) Τοπρόβλημα(1)είναιέναπρόβλημαιδιοτιμών. Υπολογίστε ω (=τιςιδιοτιμέςτουπίνακα ˆK)καιτααντίστοιχαιδιοδιανύσματα d. Συμπερένετεότιυπάρχουνδύοείδηκυμάτων: τα επιμήκη κύματα(primary, P-waves) που αντιστοιχούν στην πιο μεγάλη ιδιοτιμή, και των οποίωνηκατεύθυνσηταλάντωσηςείναιπαράλληληστηνκατεύθυνσηδιάδοσης( d k)καιτα εγκάρσια κύματα(shear, S-waves) των οποίων η κατεύθυνση ταλάντωσης είναι κάθετη στην κατεύθυνσηδιάδοσης( d k). Γράψτετιςαντίστοιχεςσχέσειςδιασποράς(τιςσχέσειςπου συνδέουν k και ω).βρείτετιςταχύτητεςμετάδοσηςτωνκυμάτων(λέγονταικαιταχύτητες φάσης) που ορίζονται από: V = ω k Παρατηρήστε ότι και οι δύο ταχύτητες είναι ανεξάρτητες από τη συχνότητα(γι αυτό λέμε ότι οι ελαστοδυναμικές εξισώσεις δεν έχουν διασπορά) και την κατεύθυνση(για ισότροπα μέσα μεταφοράς).

Προσέγγιση.1 Ημί-διακριτοποίηση στο χώρο Στηνσυνέχεια,θέωρούμεότιηπεριοχή Ωείναιένατετράγωνο Ω = [0, a] [0, b].κατασκεύαζουμε ένα πλέγμα της Ω με ορθογώνια τρίγωνα όπως στο σχήμα 1. y b y j = (j 1)h (0,0) 00 11 01 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 01 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 01 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 01 01 01 00 11 M ij 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 01 x i = (i 1)h a x Σχήμα 1: Παράδειγμα πλέγματος Συμβολίζουμεμε H 1 h τουποσύνολοπεπερασμένηςδιάστασηςτου H1 (Ω), H 1 h = { v C 0 ( Ω), v /Qj P 1 (Q j ) j } (w j )μίαβάσητου H h,ορίζεταιαπό : w J (M I ) = δ IJ 1 I, J N και V h τουποσύνολοτου V,μεδιάσταση N h = N N D N,όπου N D είναιοαριθμόςτων σημείων που ανοίκουν στο σύνορο Dirichlet: V h = { v (H 1 h) ; v = 0 στο Γ D } Ορίζουμε τις διανυσματικές συναρτήσεις βάσης, ( ) ( w I 1 wi 0 = ; w I = 0 w I ) 4

Ε.1 Γράψτε την προσεγγιστική μεταβολική μορφή του προβλήματος. Η προσεγγιστική λύση u h = (u 1 h, u h )γράφεταισύμφωναμετηνμέθοδοτηςπαρεμβολής: ή N h u 1 h (x, t) = u 1 J (t)w J(x) J=1 N h u h (x, t) = u J(t)w J (x) u h (x, t) = Δείξτε ότι το πρόβλημα γράφεται στη μορφή, J=1 N h u α J (t) wα J (x) α=1 J=1 d U M h dt du BA h dt + K hu = F h (1) όπουπρέπειναβρείτετουςπίνακες M h (μάζας), K h (άκαμπτος)και B A h (οπίνακαςπουαντιστοιχεί στις απορροφητικές συνθήκες). Το διάνυσμα U ορίζεται από, U = (u 1 1...u1 N h u 1...u N h ) όπουυποθέσαμεότιτασημεία Dirichletαντιστοιχούνστουςαριθμούς N h + 1ως N. Υπολογισμός των πινάκων αναφοράς Θεωρούμετοπεπερασμένοστοιχείοαναφοράς ˆQ,συμβολίζουμεμε M i, i = 1,...,τα σημείατουστηντοπικήαρίθμηση(βλέπεσχήμα)καιμε τ i k τιςτοπικέςσυναρτήσειςβάσης ( ) ( ) τ i 1 τi 0 = ; τ i =. 0 τ i Q 1 Σχήμα : Η τοπική αρίθμηση 5

Ε. Υπολογίστε τους πίνακες αναφοράς. Θα κατασκεύασετε τους πίνακες διάστασης : M ij = τ i τ j ; i, j = 1,..., ; K 11ij = 1 τ i 1 τ j ; i, j = 1,..., ; K ij = τ i τ j ; i, j = 1,..., ; (14) K 1ij = 1 τ i τ j ; i, j = 1,..., ; K 1ij = τ i 1 τ j ; i, j = 1,..., ; Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων να χρησιμοποιήσετε τη σχέση fdxdy 1 (f 1 + f + f ) Q, (15) Q όπου f i είναιητιμήτηςσυνάρτησης fστοσημείο M i και Qείναιτοεμβαδόντουτριγώνου Q.Παρατηρήστεότιοπίνακας M h είναιτώραδιαγώνιος. Ε. Γράψτε έναν αλγόριθμο υπολογισμού του άκαμπτου πίνακα. Ορισμόςτουπίνακα B A h. Πρόκειταιγιαέναπίνακαπουαφοράμόνοτασημείαπουανοίκουνστοσύνορο Γ a.παρατηρήστεότιοισυναρτήσειςβάσης φ i πάνωστοσύνοροείναισυναρτήσεις P 1 μίαςμεταβλητής. M i Tm { Σχήμα:Παράδειγμαπλέγματοςστοσύνορο Γ a Θέωρουμε το πεπερασμένο στοιχείο αναφοράς σε μία διάσταση: 1 Σχήμα 4: Πεπερασμένο στοιχείο αναφοράς σε 1d Συμβολίζουμεμε M i, i = 1, τασημείατουστηντοπικήαρίθμηση(βλέπεσχήμα4)και με φ k i τιςτοπικέςσυναρτήσειςβάσης, ( ) ( ) φ 1 i = φi ; φ 0 0 i =. φ i 6

Υπολογίστε τους πίνακες χρησιμοποιώντας την σχέση: I I φ m l φ m k dγ f = I (f 1 + f ) (16) όπου f i=1, είναιητιμήτηςσυνάρτησης fστασημεία M i, i = 1, και I είναιτομήκοςτου ευθύγραμμου τμήματος I. Ε.4Γράψτεέναναλγόριθμουπολογισμούτουπίνακα B A h (είναιδιαγώνιος).. Ολική Διακριτοποίηση Ε.5 Χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές γράψτε την ολική διακριτοποίηση του προβλήματος στην μορφή, M h U n+1 U n + U n 1 t + Bh A U n+1 U n 1 t + K h U n = F n h (17) όπου tείναιτοβήμαδιακριτοποίησηςστοχρόνοκαι U k είναιηλύσηστοχρόνο k t.. Αριθμητική σχέση διασποράς και μελέτη ευστάθειας της μεθόδου Για να μελετήσουμε τις ιδιότητες της αριθμητικής μεθόδου, ενδιαφερόμαστε αρχικά για την περιπτωσηόπου Ω = R τουλικόείναιομογενέςκαι f = 0. Θεωρούμεεπίσηςότι x = y = h. Ε.6 Χρησιμοποιόντας τις εξισώσεις του διακριτού προβλήματος γράψτε την εξίσωση στο σημείο M ij,γιαευκολίαμπορούμεναχρησιμοποιήσουμετηναρίθμησητουσχήματος5 M i 1 j+1 M i j+1 1 M i 1 j Q Q Q 1 1 M ij 1 1 1 Q 4 Q 6 Q 5 1 M i j 1 M i+1 j M i+1 j 1 Σχήμα5:Τοσημείο M ij καιταγειτονικάτουσημεία 7

όπου (K h u h ) 1 = λ + µ h (u i,j u i+1,j u i 1,j ) (K h u h ) = ρ un+1 ij u n ij + un 1 ij + K t h u n h = 0 (18) + µ h (u i,j u i 1,j+1 u i+1,j 1 ) ( (λ + µ) + v h i,j + 1 ) (v i,j+1 + v i,j 1 v i 1,j v i+1,j v i 1,j+1 v i+1,j 1 ) (19) (λ + µ) 4h ( u i,j + 1 ) (u i,j+1 + u i,j 1 u i 1,j u i+1,j u i 1,j+1 u i+1,j 1 ) + λ + µ h (v i,j v i 1,j+1 v i+1,j 1 ) + µ h (v i,j v i 1,j v i+1,j ) Μεαυτόντοντρόπογράψαμετηνμέθοδοπεπερασμένωνστοιχείων Q 1 ωςμίαισοδύναμη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Για να βρούμε την αριθμητική σχέση διασποράς θεωρούμε λύσεις του προβλήματος της μορφής Ε.7Δείξτεότιησχέσηδιασποράςγράφεται: (υπολογίστετονπίνακα ˆK h ). (0) u h = d exp[i(ωn t ik x x jk z z)] (1) ρ t (cosω t 1) d + ˆK h ( k) d = 0 () Μπορούμε να δείξουμε ότι μία απαραίτητη συνθήκη για να είναι η μέθοδος ευσταθής είναι να είναι το ω πραγματικός αριθμός(αλλιώς υπάρχουν λύσεις οι οποίες αυξανονται εκθετικά στοχρόνο).βρείτεμίασυνθήκηέτσιώστεναέχουμε ω R. Ε.8Υπολογίστετιςιδιοτιμέςτουπίνακα ˆK h.συμβολίζουμεμε s P και s S αυτέςτιςιδιοτιμές,με s S s P. Ε.9Γράψτετηνσυνθήκη ω R(1 cosω t [0, ])στηνμορφή f(β 1, β ) [0, ], k 1, k με β 1 = cos(k 1 x)και β = cos(k x). Μελετώνταςτιςτιμέςαυτήςτηςσυνάρτησης f στοτετράγωνο [ 1, 1],καταλήξτεστο συμπέρασμα ότι έχουμε την συνθήκη CFL, VP t x 1 () 8

4 Προγραμματισμός. Αριθμητική μελέτη. 4.1 Αριθμητική μελέτη της διασποράς Είδαμεότιγιατοσυνεχέςπρόβλημαοιταχύτητεςμετάδοσηςείναι V P = µ διαμήκηκύματακαι V S = ρ υπολογίζονται από, λ + µ ρ γιατα num γιαταεγκάρσια. Οιαριθμητικέςταχύτητες Vj, j = P, S V num j = ωnum j k όπου ωj num ( k )είναιηλύσειςτηςαριθμητικήςσχέσηςδιαποράς ρ t(1 cosωnum j t) = s j ( k) (4) Για να συγκρίνουμε τις αριθμητικές με τις συνεχείς ταχύτητες, ορίζουμε το πηλίκο Ορίζουμε επίσης, τομήκοςκύματος: l = π ω. q j ( k) = ωnum j ( k) k V j με j = Pή S. τοναριθμόσημείωνανάμήκοςκύματος: G = l h = π k h καιτοαντίστροφοτου H = 1/G. Ε4.1Θεωρούμεμίακατεύθυνσημεταφοράς k = k (cosθ, sinθ).αντικαθιστούμεστο s j : k 1 = π H h cos(θ), k = π H h sin(θ), όπου k = π H h Μπορούμεναχρησιμοποιήσουμε h = 1.Παρατηρήστεότιτώρατα s j εξαρτώνταιαπότο θκαι το H. Γράψτε ένα πρόγραμμα που να υπολογίζει τις αριθμητικές ταχύτητες φάσης. Σχεδιάστε ταπηλίκα q j (για j = Pκαι j = S)ωςσυνάρτησητου H(για H [0., 0.5])γιαδιαφορετικές π τιμέςτου θ = 0, 1, π 6, π 4 καιτου t = αh = αμε α = [0, α max], α max = 1 VP. Επίσης σχεδιάστετα q j ωςσυνάρτησητου θγιαδιαφορετικεςτιμέςτων ακαι H. 9

4. Υπολογιστικές προσομοιώσεις Γιαναπροσομοιώσουμεμίαπηγήστοσημείο (x s, y s ),μπορούμεναθεωρίσουμε, F(x, y, t) = f(r)g(t) όπου f(r) = (1 r a ) 1 Ba e j=p,s r = (x x s ) + (y y s ), a = 5h με e P = ( x x s r, y y s r με h = min ( x, y) ), e S = ( y y s r, x x s ) r 1 Ba είναιηχαρακτηριστικήσυνάρτησητουδίσκουμεκέντρο (x s, y s )καιακτίνα a (πf 0 ) (t t 0 ) exp ( πf 0 (t t 0 )) t [0, t 1 ] g(t) = 0 t > t 1 t 0 = 1 f 0, t 1 = f 0 (5) καιμηδενικέςαρχικέςσυνθήκες, { u0 (x, y) = 0 u 1 (x, y) = 0 Γιατονυπολογισμότουπίνακα F h, (6) f h (x, t) = N h fj l τl j (x) l=1 j=1 όπου (f 1 j, f j )είναιητιμήτηςσυνάρτησης f(r)στοσημείο M j καιχρησιμοποιούμετηνσχέση (15)γιατονυπολογισμότου F h. Εχουμετότε F h = M h [ f ] [ ] με M h τονπίνακαμάζαςπουείναιδιαγώνιος,με f = (f1, 1 f, 1.., fn 1 h, f1, f,.., fn h )διάνυσμα πουέχειωςσυνιστώσεςτιςτιμέςτης f(r)στασημεία M i=1,..,nh. Άραέχουμε Ετερογενές μέσο μεταφοράς F n h = F h g(n t), t = αh Θεωρούμε τώρα ένα μέσο μεταφοράς που αποτελείται από δύο υλικά(βλέπε σχήμα 6). 10

y y = b Absorbing Condition y = b Condition Dirichlet Υλικό1: λ 1, µ 1, ρ 1 Υλικό: λ, µ, ρ Condition Dirichlet (0, 0) Absorbing Condition x = a x Σχήμα 6: Το ετερογενές μέσο μεταφοράς Ε4.Γιαναλάβετευπόψητηνετερογένειατουυλικούπρέπειναξέρετετασημείατηςδιεπιφάνειας.Δείξτεότισεαυτήτηνπερίπτωσηοιεξισώσειςστοσημείο M ij στηδι-επιφάνεια γράφονται(βλέπε σχήμα 7) M i 1 j+1 M i j+1 1 Q Q Q 1 M i 1 j 1 M ij 1 1 1 M i+1 j Q 4 Q 6 Q 5 υλικο 1 υλικο 1 M i j 1 M i+1 j 1 Σχήμα7:Τοσημείο M ij τηςδιεπιφάνειαςκαιταγειτονικάτουσημεία 11

ρ 1 + ρ u n+1 i,j u n i,j + un 1 i,j t = λ 1 + µ 1 + λ + µ h (u i,j u i+1,j u i 1,j ) + µ 1 h (u i,j u i,j+1 ) + µ h (u i,j u i,j 1 ) ρ 1 + ρ v n+1 i,j + λ 1 h (v i+1,j+1 v i+1,j + v i,j v i,j+1 ) + λ h (v i 1,j 1 v i 1,j + v i,j v i,j 1 ) + µ 1 h (v i,j v i 1,j + v i+1,j+1 v i,j+1 ) + µ h (v i,j v i+1,j + v i 1,j 1 v i,j 1 ) v n i,j + v n 1 i,j t = µ 1 + µ h (v i,j v i+1,j v i 1,j ) (7) + λ 1 + µ 1 h (v i,j v i,j+1 ) + λ + µ h (v i,j v i,j 1 ) + λ 1 h (u i,j u i 1,j + u i+1,j+1 u i,j+1 ) + λ h (u i,j u i+1,j + u i 1,j 1 u i,j 1 ) + µ 1 h (u i+1,j+1 u i+1,j + u i,j u i,j+1 ) + µ h (u i 1,j 1 u i 1,j + u i,j u i,j 1 ) Παρατήρηση 1 Προσοχή, για το ετερογενές υλικό πρέπει να ξεκινήσετε από τις εξισώσεις (1),τασυστήματα(6)και(7)είναιισοδύναμαμετο(1)μόνογιαομογενήυλικά. Γράψτε ένα κώδικα που να λύνει το ετερογενές πρόβλημα με τις συνοριακές συνθήκες που απεικονίζονται στο σχήμα. Χρησιμοποιήστε τον κώδικα για τις παρακάτω προσομοιώσεις. Ε 4. Πρώτο παράδειγμα Επιλύστετοπρόβλημαμετιςσυνοριακέςσυνθήκεςτουσχήματος6αλλάγια λ 1 = λ, µ 1 = µ και ρ 1 = ρ. Θακάνετεδύοπροσομοιώσεις: μίαχρησιμοποιώνταςμιαπηγή διαμήκωνκυμάτων e j = e P καιμιαμεμίαπηγήεγκαρσίωνκυμάτων e j = e S. Μπορείτενα χρησιμοποιήσετε x = y = h. α/σχεδιάστετηλύσησεδιάφορεςχρονικέςστιγμές.σχεδιάστεεπίσηςτο div( u) = 1 u 1 + u και rot( u) = 1 u u 1,γιαναδιαχωρίσετετακύματα Pαπότα S.Παρατηρήστε ότιγιατηνπρώτηπροσομοίωσηέχουμε rot( u) 0ενώγιατηδεύτερη div( u) 0. 1 (8)

β/ Διαλέξτε μερικά σημεία στην περιοχή Ω και σχεδιάστε την λύση ως συνάρτηση του χρόνου σε αυτά τα σημεία. q t. Παρατηρείτε αστάθειες γ/ Τρέξτε τον κώδικα για διαφορετικές τιμές του γ = VP x από κάποια τιμή του γ και πάνω; Αντιστοιχεί αυτή η τιμή στη θεωρητική τιμή CFL; δ/ Παρατηρήστε την αριθμητική ανισοτροπία στα αποτελέσματα, όταν το h 0 πρέπει το κύμα να μεταδίδεται σε μορφή κύκλων. ε/ Τι συμβαίνει όταν τα κύματα φτάνουν σε ένα σύνορο Dirichlet; Τι συμβαίνει όταν τα κύματα φτάνουν σε ένα absorbing σύνορο; Ε 4.4 Θεωρείστε τώρα ένα μέσο μεταφοράς που αποτελείται από δύο υλικά θα κάνετε δύο προσομοιώσεις. Στην πρώτη μία πηγή κυμάτων P είναι στο υλικό 1 και στην δεύτερη στο υλικό (σχετικά κοντά στη δι-επιφάνεια). Παρατηρήστε ότι και στις δύο περιπτώσεις όταν το κύμα Pi (που ξεκίνησε από την πηγή στο υλικό i) φτάνει στη διεπιφάνεια τότε έχουμε : ανάκλαση στο υλικό i δύο κυμάτων ενος P και ενός S και μετάδωση στο υλικό j δύο κυμάτων ενός P και ενός S. Pt u div(u)-p waves rot(u)-s waves St Sr Pr Pi Σχήμα 8: Παράδειγμα αποτελεσμάτων Παρατήρηση 4.1 Για να βρούμε μια καλή προσέγγιση της λύσης πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πλέγμα με αρκέτα σημεία ανά μήκος κύματος S (που είναι το μικρότερο) G= VS f0 h Στην πράξη, να θεωρήσετε G = 5, 10, 15 και 0 και να μελετήστε την επιρροή του στην ποιότητα των αποτελεσμάτων. Αυτές τις τιμές να χρησιμοποιήσετε στο ερώτημα 4.δ/. Παρατήρηση 4. Μπορείτε να βρείτε τιμές για τα λ, µ και ρ στο internet. Για παράδειγμα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω τιμές για το υπέδαφος ρ = gr/cm, VP = km/s, 1

V S = 1.5km/sκαι f 0 = 1kHz. Ητιςπαρακάτωτιμέςγιατοατσάλι λ = 1.091 10 11 Pascal, µ = 0.81 10 11 Pascalκαι ρ = 7840Kgr/m καιμίαπηγήμεσυχνότητα f 0 = 1kHz. Στην πράξη για να μην χρησιμοποιήτε τόσο μέγαλους αριθμούς μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούςμε λ = λ 10 9, µ = µ 10 9,και ρ = ρ 10 καιμπορείτεναθεωρήσετε f 0 = 10 f 0.Σεαυτήντηνπερίπτωσηοχώροςμετριέταισε mκαιοχρόνοςσε msec. Παρατήρηση4.Χρησιμοποιήστεγιατιςπαραπάνωπροσομοιώσεις λ 1 = λ /4, µ 1 = µ /4, ρ 1 = ρ. Ε4.5Χρησιμοποιήστεεπίσης λ 1 = λ /, µ 1 = µ /, ρ 1 = ρ /.Τιπαρατηρείτε; 14