ΦΩΤΟΝΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Η/Υ ΦΩΤΟΝΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνδυαστικές Ασκήσεις Παθητικά στοιχεία-πόλωση Πόλωση-Φίλτρα Ηρακλής Αβραμόπουλος Photonis Communiations sarh Laboratory

Άσκηση (α) Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς του Fabry-Prot φίλτρου. Συγκεκριμένα υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς τόσο ως προς το διαδιδόμενο πεδίο, όσο και ως προς το ανακλώμενο πεδίο. Υποθέστε ότι οι καθρέφτες του φίλτρου έχουν ανακλαστικότητα, ενώ ανάμεσα στους καθρέπτες το υλικό μήκους έχει δείκτη διάθλασης n (β) Υπολογίστε την ελεύθερη φασματική περιοχή, το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος και την λεπτότητα του φίλτρου για μεγάλη τιμή της ανακλαστικότητας. Που οφείλεται η μεγάλη λεπτότητα του φίλτρου (σε σχέση με το MZI και το PM φίλτρο);

Άσκηση (γ) Θεωρείστε δύο διαδοχικά Fabry-Prot φίλτρα, το ένα με μήκος καιτοάλλομεμήκος. Ποιά είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης; Αν / /m ( και m πρώτοι μεταξύ τους) βρείτε την ελεύθερη φασματική περιοχή της διάταξης, σαν συνάρτηση της ελεύθερης φασματικής περιοχής καθενός από τα επιμέρους φίλτρα.

Άσκηση Λύση (α) Έστω ότι το προσπίπτον πεδίο στο πρώτο κάτοπτρο είναι: in in ωt Κάθε φορά που κάποιο πεδίο προσπίπτει σε έναν καθρέπτη, μέροςτουπεδίουαυτούανακλάταικαιμέρος του διέρχεται μέσα από τον καθρέπτη. Το ανακλώμενο πεδίο το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας το προσπίπτον πεδίο με. Το διερχόμενο μέσα από τον καθρέπτη πεδίο το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας το προσπίπτον πεδίο με. Κάθε φορά που ένα πεδίο διασχίζει το υλικό ανάμεσα στους καθρέπτες παίρνει μια διαφορά φάσης, όπου ο κυματαριθμός. ^ p

Άσκηση Με βάση τα παραπάνω, στην έξοδο θα παρουσιαστούν τα πεδία: Απευθείας πεδίο (μία διέλευση από πρώτο και δεύτερο καθρέπτη): T ( ) in ωt p ^ Πρώτο ανακλώμενο (δύο επιπλέον ανακλάσεις σε σχέση με το απευθείας πεδίο): T T

Άσκηση εύτερο ανακλώμενο (δύο επιπλέον ανακλάσεις σε σχέση με το πρώτο ανακλώμενο πεδίο): 3T ( ) T T κ.ο.κ

Άσκηση Γενικά μπορούμε να γράψουμε, και επειδή το συνολικό πεδίο στην έξοδο είναι: ( ) T NT N ( ) ( ) ( ) in T T T NT N N N N N 0

Άσκηση Η συνάρτηση μεταφοράς εύκολα προκύπτει ότι είναι: ή σε πιο συμπτυγμένη μορφή και αντικαθιστώντας όπου ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) T + + + sin 4 os os ) ( in f n n π λ π () f n sin f T π +

Άσκηση Η συνάρτηση μεταφοράς για το ανακλώμενο πεδίο είναι: Οι δύο συναρτήσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα για 0.8 (ορίστηκε ) ( ) f n sin f n sin f T (f ) π + π n f o

Άσκηση

Άσκηση Ηελεύθερηφασματικήπεριοχήείναιηαπόστασημεταξύ δύο διαδοχικών f max. Άρα (β) Ελεύθερη φασματική περιοχή: π π π f n f n f T max max max 0 sin max ) ( 0,,..., f max n n f S F max Δ

Άσκηση Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος: ( ) ( ) + sin sin / / max / f n f n f T f T π π f n sin / π

Άσκηση Άρα Αν τότε το δεύτερο μέλος είναι μικρό και το ημίτονο μπορεί να αντικατασταθεί με το όρισμά του Τελικά προκύπτει η λεπτότητα n f f n π π n f FWHM π FWHM FS π F

Άσκηση Η μεγάλη τιμή που εν γένει παρουσιάζει το F-P φίλτρο οφείλεται στην συμβολή άπειρων συνιστωσών του κύματος εισόδου. Αντίθετα, στα φίλτρα MZI και PM συμβάλλουν μόνο δύο συνιστώσες. (γ) Η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι το γινόμενο των δύο επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς. Άρα: () tot f n sin f n sin f T π + π +

Άσκηση Η παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς φαίνεται στο παρακάτω σχήμα για 0.8 και. Επιπλέον 3 ορίστηκε η συχνότητα f o n Αν ισχύει / /m, τότε Το πρώτο φίλτρο παρουσιάζει μέγιστο στα σημεία f i, i n 0,,...

Άσκηση Το δεύτερο φίλτρο παρουσιάζει μέγιστο στα σημεία 0,,..., n m n f Άρατακοινάμέγισταυπάρχουνγιαi, που ικανοποιούν τη σχέση: m i Γιαναείναιοi ακέραιος θα πρέπει ο να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του m. Έτσι προκύπτει ότι η συνολική συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης θα είναι μη μηδενική μόνο γύρω από τις συχνότητες: 0,,... q, n q f q

Άσκηση Επομένως FS FS m FS `. Ενδεικτικά σχεδιάζεται η συνάρτηση μεταφοράς για 3, m5 (0.8):

Άσκηση Εξηγείστε ποια είναι η διαφορά μεταξύ τους και πως λειτουργούν οι παρακάτω διατάξεις:

Άσκηση Λύση : ιάταξη Έστω ότι το πεδίο εισόδου είναι: in in ω t ^ p Όταν το πεδίο αυτό μπαίνει στο συζεύκτη από τη θύρα IN, μέρος αυτού εξέρχεται από τη θύρα ενώ το υπόλοιπο μπαίνει μέσα στον κλειστό βρόχο (με μήκος έστω ). Μετά την διέλευσή του από τον κλειστό βρόχο, το πεδίο αυτό μπαίνει ξανά μέσα στο συζεύκτη από τη θύρα IN. Μέρος του πεδίου αυτού εξέρχεται από τη θύρα και το άλλο μπαίνει μέσα στον κλειστό βρόχο. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται συνεχώς.

Άσκηση Απευθείας πεδίο από θύρα (πρώτη διέλευση πεδίου εισόδου Εin από συζεύκτη): T in in ωt ^ p

Άσκηση Πεδίο που μπαίνει μέσα στον κλειστό βρόχο (προερχόμενο από πεδίο εισόδου Εin ): T in L π π Πρώτο πεδίο που εξέρχεται από θύρα προερχόμενο από πρώτο διερχόμενο από τον κλειστό βρόχο L T T L T π π π

Άσκηση Πεδίο που μπαίνει μέσα στον κλειστό βρόχο για δεύτερη φορά : εύτερο πεδίο που εξέρχεται από θύρα προερχόμενο από δεύτερο διερχόμενο από τον κλειστό βρόχο L T L L π T T L 3T π π π κ.ο.κ.

Άσκηση Γενικά μπορούμε να γράψουμε καιεπειδήτοσυνολικόπεδίοστηνέξοδοείναι: T NT N T T NT 0 N N N N N in T

Άσκηση ή σε πιο συμπτυγμένη μορφή και αντικαθιστώντας όπου f n n π λ π () 4 f n sin T f π + Η συνάρτηση μεταφοράς αυτή, σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση αποτελεί συνάρτηση μεταφοράς ενός περιοδικού φίλτρου

Άσκηση Λύση : ιάταξη Έστω ότι το σήμα εισόδου είναι: in in ω t ^ p

Άσκηση Στις δύο εξόδους του συζεύκτη θα εμφανιστούν το ωρολογιακά: ^ t in p ω CW και ανθωρολογιακά περιστρεφόμενο σήμα: ^ t in p ω π CCW

Άσκηση Τα δύο σήματα που τελικά θα εμφανιστούν στις θύρες και T της διάταξης δίνονται από τις σχέσεις: και ^ t in p + ω π π CW CCW 0 + π CCW CW T Άρα όλη η ισχύς περνά στη θύρα, ενώ στη θύρα T δεν υπάρχει πεδίο (mirror oupr).

Άσκηση 3 Περιγράψτε σύντομα τη λειτουργία του φίλτρου Fabry- Prot, κάνοντας χρήση της συνάρτησης μεταφοράς του. Περιγράψτε τι θα συμβεί στην έξοδο δύο διαδοχικών φίλτρων Fabry-Prot τα οποία έχουν καθρέφτες με την ίδια ανακλαστικότητα και μήκη κοιλότητας και ώστε / /3. Τι θα συμβεί αν αντιστρέψουμε τη σειρά των φίλτρων έτσι ώστε / 3/;

Άσκηση 3 Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του Fabry-Prot είναι T ( f ) + sin πf FS όπου FS η H xρονική απόκριση του Fabry-Prot σε κρουστική διέγερση είναι μια φθίνουσα ακολουθία παλμών, με πλάτη που φθίνουν πολυωνυμικά με σταθερά και χρονική απόσταση μεταξύ τους ίση με /FS. Στο πεδίο της συχνότητας, το Fabry-Prot επιλέγει περιοδικά συχνότητες για τις οποίες ισχύει ffs, ενώ το εύρος ζώνης της κάθε επιλέγουσας κορυφής είναι:

Άσκηση 3 Δf FS π Περίπτωση / / 3 : Το Fabry-Prot με μήκος έχει FS η Το Fabry-Prot με μήκος έχει FS η η 3 FS 3 Άρατοπρώτοφίλτροθαέχειμίακορυφήγιακάθε τρεις του δεύτερου.

Άσκηση 3 Όσον αφορά, τη φασματική απόκριση είναι ( ) ( f ) T ( f ) f T Οι συναρτήσεις μεταφοράς κάθε φίλτρου και το αποτέλεσμα της διαδοχής των φίλτρων σχεδιάζονται παρακάτω. T Περίπτωση / 3: Ομοίως, το Fabry-Prot με μήκος έχει FS η και το Fabry-Prot με μήκος έχει FS 3 η η 3 FS Άρα το πρώτο φίλτρο θα έχει τρείς κορυφές για κάθε μία του δεύτερου. Όσον αφορά τη φασματική απόκριση είναι επίσης ( f ) T ( f ) T ( f ) T

Άσκηση 3 Οι συναρτήσεις μεταφοράς κάθε φίλτρου και το αποτέλεσμα της διαδοχής των φίλτρων σχεδιάζονται παρακάτω. Το αποτέλεσμα της διαδοχής είναι προφανώς όμοιο με αυτό της προηγούμενης περίπτωσης.

Άσκηση 3

Άσκηση 3

Άσκηση 4 Υποθέστε ότι έχετε διάταξη συμβολομέτρου ΜΖΙ. Με τη βοήθεια μπλοκ διαγράμματος δείξτε πως θα φτιάχνατε έναν αποπλυπλέκτη, xn, πολυκυματικού σήματος με n μήκη κύματος χρησιμοποιώντας τέτοιες διατάξεις ΜΖΙ. Ας υποθέσουμε ότι το σήμα αποτελείται από 6 μήκη κύματος, των 0 Gb/s το καθένα και απόσταση 00 GHz μεταξύ γειτονικών μηκών κύματος. Πόσα συμβολόμετρα χρειάζονται για τον αποπολυπλέκτη και ποια πρέπει να είναι η σχετική καθυστέρηση τ που θα πρέπει να εισάγουν τα σκέλη των συμβολομέτρων στο σήμα. Δτ in oupr 3 oupr T Τ 4

Άσκηση 4 Λύση Στην άσκηση Α. του βιβλίου είδαμε ότι ένα συμβολόμετρο ΜΖΙ λειτουργεί σαν περιοδικό φίλτρο με ελεύθερη φασματική περιοχή ίση με FS και Δτ εύροςζώνηςημίσειαςισχύοςίσομε FWHM. Δτ

Άσκηση 4 Το πολυκυματικό σήμα που θέλω να αποπολυπλέξω έχει την εξής μορφή στο πεδίο των συχνοτήτων : Δf. 3 i i+ i+ Συχνότητα Επιλέγοντας κατάλληλο FS για το φίλτρο (FS f ) μπορώ να χωρίσω τα κανάλια σε άρτια και περιττά και να τα διαχωρίσω. Αν χρησιμοποιήσω αυτή τη λογική σε διαδοχικά στάδια διασυνδέοντας σειριακά πολλά ΜΖΙ μπορώ να απομονώσω ένα ένα τα κανάλια και συνεπώς να τα αποπολυπλέξω..

Άσκηση 4 Επομένως το ζητούμενο μπλοκ διάγραμμα για έναν αποπλυπλέκτη xn είναι : Για n μήκη κύματος θα χρειαστώ n/ ΜΖΙ στην τελευταία έξοδο και ogn βαθμίδες. Συνεπώς συνολικά θα χρειαστώ συμβολόμετρα MZI og n 0 MZI MZI ΜΖΙ. MZI MZI MZ I MZI

Άσκηση 4 Για να διαχωρίσω 6 μήκη κύματος χρειάζομαι 5 συμβολόμετρα. Σε κάθε βαθμίδα το κάθε συμβολόμετρο χωρίζει τα κανάλια στην είσοδό του σε άρτια και περιττά και η ελεύθερη φασματική περιοχή του καθορίζεται από τον τύπο FS. Προφανώς τα συμβολόμετρα που Δτ ανήκουν στην ίδια βαθμίδα θα έχουν το ίδιο FS το οποίο συνδέεται με το FS της προηγούμενης βαθμίδας με τη σχέση FSi+ *FSi.

Άσκηση 4 Έτσι για τα κανάλια της άσκησης όπου απέχουν μεταξύ τους απόσταση 00 GHz θα ισχύει : Βαθμίδα η : FS 00 GHz Βαθμίδα η : FS 400 GHz Βαθμίδα 3η : FS3 800 GHz Βαθμίδα 4η : FS4 600 GHz Δτ Από τον τύπο FS υπολογίζουμε για την κάθε βαθμίδα τη σχετική καθυστέρηση τ που θα πρέπει να εισάγουν τα σκέλη των συμβολομέτρων. Έτσι : Βαθμίδα η : τ 5 ps Βαθμίδα η : τ.5 ps Βαθμίδα 3η : τ3.5 ps Βαθμίδα 4η : τ4 0.65 ps

Άσκηση 5 Ας υποθέσουμε ότι το αρχικό μας σήμα των 6 καναλιών με διαμόρφωση στα 0 Gb/s το κάθε ένα, πολυπλέκεται στο χρόνο (TDM) στα 60 Gb/s και σε ένα μήκος κύματος. Πως πρέπει να τροποποιήσετε τον παραπάνω αποπολυπλέκτη για να αποπολυπλέξει αυτό το σήμα; Με αφορμή το παράδειγμα του αποπολυπλέκτη, σχολιάστε ποια από τις δυο τεχνικές πολυπλεξίας TDM, WDM είναι προτιμητέα για υψίρυθμα σήματα και γιατί.

Άσκηση 5 Λύση Στην περίπτωση αυτή το αρχικό σήμα των 6x0 Gb/s είναι πολυπλεγμένο στο χρόνο οπότε αυτό έχει την εξής μορφή στο πεδίο του χρόνου : Δt 60Gb/ s.. 3 i i+ i+ Χρόνος

Άσκηση 5 Η περίοδος του πολυπλεγμένου σήματος είναι /60 Gb/s 6.5 ps, ενώ του κάθε καναλιού χωριστά είναι 0 Gb/s 00 ps. Για τη αποπολυπλεξία των 6 αυτών καναλιών θα εφαρμόσουμε την ίδια αρχή σχεδιασμού αλλά αυτή τη φορά στο πεδίο του χρόνου. Γιατολόγοαυτόθα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο μπλοκ διάγραμμα με τη διαφορά ότι ο διαχωρισμός των καναλιών ανάγεται αυτή τη φορά στο διαχωρισμό μεταξύ άρτιων και περιττών χρονοθυρίδων. Για να μπορέσω, όμως, να πετύχω το διαχωρισμό θα πρέπει να επιτύχω χρονικά μεταβαλλόμενη συμπεριφορά της απόκρισης του συμβολομέτρου (επιλογή χρονοθυρίδων στο χρόνο). Γιατολόγοαυτόθαχρειαστώ συμβολόμετρα MZI με ενεργητικά στοιχεία, αντί για σχετικές καθυστερήσεις, στα δύο σκέλη των συμβολομέτρων.

Άσκηση 5 Σε κάθε βαθμίδα θα χωρίσουμε τις πολυπλεγμένες χρονοθυρίδες σε άρτιες και περιττές. Αναλυτικά η περίοδο των συμβολομέτρων σε κάθε βαθμίδα θα είναι : Άρατελικάχρειάζομαι: Βαθμίδα η : T.5 ps Βαθμίδα η : T 5 ps Βαθμίδα 3η : T3 50 ps Βαθμίδα 4η : T4 00 ps MZI με ταχύτητα > 80 Gb/s MZI με ταχύτητα > 40 Gb/s 4 MZI με ταχύτητα > 0 Gb/s 8 MZI με ταχύτητα > 0 Gb/s

Άσκηση 5 Από τις δυο τεχνικές πολυπλεξίας TDM και WDM η πολυπλεξία WDM είναι προτιμητέα για υψίρυθμα σήματα γιατί απαιτεί λιγότερη πολυπλοκότητα στα συστήματα επεξεργασίας σήματος, μετάδοσης και λήψης, χρειάζεται λιγότερα οπτικά και βεβαίως λιγότερους συγχρονισμούς.

Άσκηση 6 Βρείτε τη γενική σχέση λόγου διαχωρισμού ισχύος (- α)/α για τους συζεύκτες στη παρακάτω διάταξη δικτύου, ώστε οι ισχύς στις τερματικές εξόδους Α, Β, Γ,...Ν και Μ να είναι οι ίδιες.

Άσκηση 6 Λύση Για να είναι οι ισχύς στις τερματικές εξόδους Α, Β, Γ,...Ν καιμ ίδιες, για δύο οποιεσδήποτε διαδοχικές τερματικές εξόδους και + θα πρέπει να ισχύει : (-α) (-α) (-α3) (-α-) α (-α) (-α) (-α3) (-α-) (-α) α+ α (-α) α+ α α+ - α α+ α α + + α +

Άσκηση 6 Επίσης για τις δύο τελευταίες τερματικές εξόδους Ν και Μθαπρέπειναισχύει: (-α)(-α)(-α3) (-α) (-αν-) αν (-α)(-α)(-α3) (-α) (-αν-)(-αν) αν -αν αν 0.5

Άσκηση 6 Επομένως α 0.5 + 0.5 N α N + α N 3 α α / 3 + / 3 N N + α N 4 α α / 4 + / 4 N N 3 + α N α. + N 5 κ.ο.κ.

Άσκηση 6 (συνέχεια) Ας υποθέσουμε ότι διαθέτουμε πομπό ισχύος -0 dbm, ότι οι δέκτες που διαθέτουμε έχουν ευαισθησία -0 dbm για ρυθμό σφαλμάτων 0 - στα.5 Gb/s και ότι οι απώλειες των συζευκτών και της μετάδοσης στην οπτική ίνα είναι αμελητέες. Πόσους τερματικούς σταθμούς μπορούμε να συνδέσουμε;

Άσκηση 6 (συνέχεια) Λύση Πομπός ισχύος -0 dbm σημαίνει ότι ο πομπός εκπέμπει σήμα ίσο με 0 - mw 00 μw ενώ ευαισθησία δέκτη ίση με -0 dbm σημαίνει ότι ο δέκτης μπορεί να δέχεται χωρίς σφάλματα ισχύ το λιγότερο ίση με 0 - mw 0 μw. Από την εκφώνηση της άσκησης βλέπουμε ότι οι απώλειες των συζευκτών και της μετάδοσης στην οπτική ίνα είναι αμελητέες και συνεπώς συμπεραίνουμε ότι όλη η οπτική ισχύς του πομπού μοιράζεται στις τερματικές εξόδους της διάταξής μας.

Άσκηση 6 (συνέχεια) Έστω ότι έχουμε Ν συζεύκτες στη διάταξή μας, τότε θα έχουμε Ν+ τερματικά (δέκτες) άρα η ισχύς του πομπού Pin 00 μw μοιράζεται σε Ν+ δέκτες. Οπότε θα πρέπει να ισχύει για την ισχύ που δέχεται κάθε δέκτης: P in N + 0μW 00μW N + 0 μ W N 9

Άσκηση 6 (συνέχεια) Πιθανοί τρόποι για να αυξήσουμε τον αριθμό τερματικών σταθμών είναι (α) να χρησιμοποιήσουμε πομπό μεγαλύτερης ισχύος, (β) να χρησιμοποιήσουμε δέκτες μεγαλύτερης ευαισθησίας, (γ) να χρησιμοποιήσουμε οπτική ενίσχυση. Υποθέτοντας ότι αντικατάσταση ή προσθήκη ενεργού στοιχείου συνεπάγεται ίδια αύξηση κόστους ανά μονάδα στοιχείου ανεξάρτητα του στοιχείου, αξιολογείστε τις τρεις μεθόδους και εξηγείστε ποιά θα προτιμούσατε.

Λύση (γ) Σύμφωνα με τη λύση αυτή μπορώ να βάλω μονάχα έναν ενισχυτή αμέσως μετά τον πομπό οπότε τότε η λύση μοιάζει με την (α). Μπορώ, επίσης, να κάνω περιοδική χρήση ενισχυτών ανάμεσα στους συζεύκτες οπότε με τον τρόπο αυτό να έχω περισσότερα τερματικά. Άσκηση 6 (συνέχεια) Λύση (α) Φαίνεται μια καλή λύση γιατί πρέπει να αντικαταστήσω μόνο ένα στοιχείο. Η λύση αυτή, όμως, επιβαρύνεται από το κόστος της αντικατάστασης και επιπλέον δεν μπορώ να επεκτείνω το σύστημά μου επ άπειρο. Λύση (β) Αυτό είναι μια κακή λύση γιατί συνεπάγεται αντικατάσταση όλων των τερματικών σταθμών με άλλους καλύτερους και άρα ακριβότερους.

Άσκηση 7 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο φίλτρα με περιοδικές συναρτήσεις μεταφοράς και περιόδους f και f (όπου f και f είναι ακέραιοι). (α) Αν τα φίλτρα χρησιμοποιηθούν σε ακολουθία, πως θα είναι η συνάρτηση μεταφοράς τους; (β) Πως θα είναι η συνάρτηση μεταφοράς της αλυσίδας αν f 500 GHz και f600 GHz; Πως θα είναι η συνάρτηση μεταφοράς της αλυσίδας, αν οι συχνότητες των δύο φίλτρων υποστούν μικρο-αλλαγές και γίνουν, (γ) f 55 GHz και f630 GHz, (δ) f 475 GHz και f630 GHz, (ε) f 475 GHz και f570 GHz και (στ) f 55 GHz και f570 GHz

Άσκηση 7 Λύση (α) Σύμφωνα με την άσκηση του βιβλίου Α.., όταν έχουμε περιοδικά φίλτρα που χρησιμοποιούμε σε ακολουθία, η συνάρτηση μεταφοράς τους θα είναι της μορφής (f)ž(f)*ф(f) όπου Ž(f) η συνάρτηση μεταφοράς του πρώτου φίλτρου και ф(f) η συνάρτηση μεταφοράς του δεύτερου φίλτρου. Επιπλέον, σύμφωνα με την άσκηση του βιβλίου Α.. τα μέγιστα της συνάρτησης μεταφοράς της αλυσίδας (f) θα βρίσκονται εκεί, όπου όλες οι επιμέρους συναρτήσεις μεταφοράς είναι μέγιστες. Άρα η ελεύθερη φασματική περιοχή της ακολουθίας των φίλτρων (περίοδος της συνάρτησης μεταφοράς) θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων των Ž(f) και ф(f).

Άσκηση 7 (β) Αν f 500 GHz και f600 GHz η συνάρτηση μεταφοράς της ακολουθίας θα έχει ελεύθερη φασματική περιοχή ίση με fα 3000 GHz. Ομοίως : (γ) Αν (δ) Αν (ε) Αν f 55 GHz και f630 GHz, fα 350 GHz f 475 GHz και f630 GHz, fα 59850 GHz f 475 GHz και f570 GHz, fα 850 GHz (στ) Αν f 55 GHz και f570 GHz, fα 9950 GHz