Φξπζνζηόκνπ Μ., Φξηζηνθόξνπ Ε., & Λεκνλίδεο Φ., (2008). Σύγθξηζε δηαδηθαζηώλ κνληεινπνίεζεο καζεηώλ δεκνηηθνύ θαη γπκλαζίνπ. Ππακηικά 10 ος Παγκύππιος Σςνεδπίος Μαθημαηικήρ Παιδείαρ και Δπιζηήμηρ, Πάθορ 1-3 Φεβποςαπίος, ζελ. 435-448. ΤΓΚΡΗΖ ΓΗΑΓΗΚΑΗΧΝ ΜΟΝΣΔΛΟΠΟΗΖΖ ΜΑΘΖΣΧΝ ΓΖΜΟΣΗΚΟΤ ΚΑΗ ΓΤΜΝΑΗΟΤ Υρσζοζηόμοσ Μαριλένα*, Υριζηοθόροσ Δλένη* & Λεμονίδης Υαράλαμπος** * Σμήμα Δπιζηημών ηης Αγωγής Πανεπιζηημίοσ Κύπροσ **Παιδαγωγικό ημήμα Γημοηικής Δκπαίδεσζης Πανεπιζηημίοσ Γσηικής Μακεδονίας ΠΔΡΗΛΖΦΖ Η παπούζα μελέηη καηαπιάζηηκε με ηη διεπεύνηζη ηων διαδικαζιών μονηελοποίηζηρ και ηων μαθημαηικών εννοιών, πος σπηζιμοποίηζαν μαθηηέρ Ση δημοηικού και Γ γςμναζίος καηά ηην εναζσόληζή ηοςρ με ένα αςθενηικό ππόβλημα μονηελοποίηζηρ. Η διεπεύνηζη αςηή, αποζκοπούζε ζηον ενηοπιζμό ομοιοηήηων και διαθοπών μεηαξύ ηων δύο βαθμίδων, για ζςνειζθοπά ζηην καηάλληλη ειζαγωγή ηέηοιων δπαζηηπιοηήηων ζηην ππωηοβάθμια και δεςηεποβάθμια εκπαίδεςζη. Τα αποηελέζμαηα έδειξαν πωρ οι μαθηηέρ, ηόζο ηος δημοηικού όζο και ηος γςμναζίος, μποπούν να αζσοληθούν επιηςσώρ με πποβλήμαηα μονηελοποίηζηρ. Δνηούηοιρ, οι μαθηηέρ ηος γςμναζίος, παποςζίαζαν και επικοινώνηζαν ένα απιθμό πιο ζύνθεηων μαθημαηικών ιδεών ζε ζσέζη με αςηών ηος δημοηικού, ηιρ οποίερ και καηάθεπαν να σπηζιμοποιήζοςν αποηελεζμαηικά ζηιρ λύζειρ ηοςρ. Δπίζηρ, οι μαθηηέρ ηος γςμναζίος ππαγμαηοποίηζαν μεγαλύηεπο έλεγσο ηων μονηέλων ηοςρ και ήηαν πιο εςέλικηοι ζηην αναθεώπηζη και βεληίωζη ηοςρ. Ανηίθεηα οι μαθηηέρ ηος δημοηικού επικενηπώθηκαν ζε αποζπαζμαηικέρ πληποθοπίερ και μεμονωμένοςρ παπάγονηερ, γεγονόρ πος ηοςρ καηέζηηζε μη παπαγωγικούρ, όζον αθοπά ζηην βεληίωζη και οικοδόμηζη καλύηεπων και πιο ζύνθεηων μονηέλων. 1. ΔΗΑΓΧΓΖ Επηηαθηηθή αλάγθε ηεο ζύγρξνλεο θνηλσλίαο, απνηειεί ν επαλαπξνζδηνξηζκόο ηεο θύζεο ησλ καζεκαηηθώλ, κε απώηεξν ζηόρν ηε δεκηνπξγία πνιηηώλ πνπ ζα δηαζέηνπλ πιεζώξα δεμηνηήησλ όπσο γηα παξάδεηγκα επειημία, δεκηνπξγηθόηεηα θαη πξσηνηππία (English, 2003). Οη δεμηόηεηεο απηέο απαηηνύληαη από ηνπο επαγγεικαηηθνύο ρώξνπο θαη είλαη απαξαίηεηεο γηα ηελ επίιπζε ζύλζεησλ πξνβιεκάησλ θαηαζηάζεσλ από κέξνπο ησλ απνθνίησλ ησλ ζρνιείσλ. Τν NCTM (2000), ζπκπεξηιακβάλεη ζηνπο βαζηθνύο ζθνπνύο ηεο δηδαζθαιίαο ησλ καζεκαηηθώλ, δεκνηηθήο θαη κέζεο εθπαίδεπζεο, ηελ εθαξκνγή από ηνπο καζεηέο βαζηθώλ αξρώλ ηεο καζεκαηηθήο
κνληεινπνίεζεο, ηε ρξήζε πνιιαπιώλ αλαπαξαζηάζεσλ κηαο έλλνηαο, ηελ ηεθκεξίσζε θαη ηελ αηηηνιόγεζε ππνζέζεσλ θαη ηελ αμηνπνίεζε ησλ πιενλεθηεκάησλ ησλ λέσλ ηερλνινγηώλ ζηελ αλάιπζε, δηαρείξηζε θαη επίιπζε πξνβιεκάησλ (English, 2003). Τνλίδεηαη ε αλάγθε ελαζρόιεζεο ησλ καζεηώλ κε ζύλζεηα πξνβιήκαηα ηα νπνία πεξηέρνπλ καζεκαηηθέο δηαδηθαζίεο, όπσο ε δηαηύπσζε ππνζέζεσλ, ε κνληεινπνίεζε ελόο πξνβιήκαηνο, ε νξγάλσζε δεδνκέλσλ θαη ν αλαζηνραζκόο ζηελ πνξεία ιύζεο (NCTM, 2000). Μέζα από έξεπλεο πνπ έγηλαλ ζρεηηθά κε ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ κνληεινπνίεζεο από καζεηέο πξσηνβάζκηαο εθπαίδεπζεο (English, 2006; Doerr & English, 2003), θάλεθε πσο νη ζπγθεθξηκέλνη καζεηέο, κπνξνύλ λα εξγαζηνύλ απνηειεζκαηηθά κε ηέηνηνπ είδνπο δξαζηεξηόηεηεο. Οη εξεπλεηέο ινηπόλ, ηνλίδνπλ ηελ αλάγθε εηζαγσγήο πξνβιεκάησλ κνληεινπνίεζεο ζηα ζρνιηθά πξνγξάκκαηα ηεο πξσηνβάζκηαο εθπαίδεπζεο. Η παξνύζα κειέηε, εζηηάδεηαη ζηε δηεξεύλεζε ησλ δηαδηθαζηώλ κνληεινπνίεζεο θαη ησλ καζεκαηηθώλ ελλνηώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύλ παηδηά Ση δεκνηηθνύ θαη Γ γπκλαζίνπ, θαηά ηελ ελαζρόιεζή ηνπο κε έλα απζεληηθό πξόβιεκα κνληεινπνίεζεο. Η δηεξεύλεζε απηή, ζα νδεγήζεη ζε ζπκπεξάζκαηα γηα ηελ επίδνζε ησλ καζεηώλ Δεκνηηθνύ θαη Γπκλαζίνπ, ζε ηέηνηνπ είδνπο δξαζηεξηόηεηεο. Επηπξόζζεηα, ζα επηηξέςεη ηε ζύγθξηζε ησλ καζεηώλ απηώλ, γηα ηνλ εληνπηζκό νκνηνηήησλ θαη δηαθνξώλ κεηαμύ ησλ νκάδσλ ησλ δηαθνξεηηθώλ βαζκίδσλ, δεκνηηθνύ θαη γπκλαζίνπ, όζνλ αθνξά ζηηο δηαδηθαζίεο κνληεινπνίεζεο θαη ηηο καζεκαηηθέο έλλνηεο πνπ ρξεζηκνπνηνύλ. Ο εληνπηζκόο απηώλ ησλ νκνηνηήησλ θαη δηαθνξώλ, αλακέλεηαη λα ζπλεηζθέξεη ζηελ θαηάιιειε εηζαγσγή ησλ πξνβιεκάησλ κνληεινπνίεζεο ζηα καζεκαηηθά ηνπ δεκνηηθνύ θαη γπκλαζίνπ, κηαο θαη ε εηζαγσγή ησλ δξαζηεξηνηήησλ απηώλ θξίλεηαη κελ αλαγθαία, αιιά ζα πξέπεη λα επηηεπρζεί θαη κε ηνλ ζσζηό ηξόπν. 2. ΘΔΧΡΖΣΗΚΟ ΠΛΑΗΗΟ Αξθεηνί εξεπλεηέο (Lesh & Doerr, 2003: English, 2006), εηζεγνύληαη όηη νη εθπαηδεπηηθνί, ηόζν ηεο Πξσηνβάζκηαο όζν θαη ηεο Δεπηεξνβάζκηαο εθπαίδεπζεο, ζα πξέπεη λα δίλνπλ κεγαιύηεξε έκθαζε ζηε ρξήζε πξνβιεκάησλ, πνπ βαζίδνληαη ζε πξαγκαηηθέο θαηαζηάζεηο θαη ζηε δηαηύπσζε ππνζέζεσλ, κεηαηξέπνληαο ηηο ηάμεηο ηνπο ζε έλα κέξνο, όπνπ νη καζεηέο αλαπηύζζνπλ κνληέια γηα ηελ επίιπζε ελόο πξνβιήκαηνο, ηξνπνπνηνύλ ηηο πξνζεγγίζεηο ηνπο θαη ηειηθά παξνπζηάδνπλ ζηελ νινκέιεηα ηεο ηάμεο ηα πξνηεηλόκελα κνληέια ιύζεηο ηνπο. Πξνηείλνπλ ινηπόλ, κε απηό ηνλ ηξόπν, ηε κνληεινπνίεζε ζηα καζεκαηηθά, σο δηδαθηηθό κέζν ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ (Lesh & Doerr, 2003: Blum & Niss, 1991). Η κνληεινπνίεζε απνηειεί ηε δηαδηθαζία κεηάβαζεο από ηελ απζεληηθή πξνβιεκαηηθή θαηάζηαζε, ζε έλα καζεκαηηθό κνληέιν (Blum & Niss, 1991). Δηαθνξεηηθά, είλαη ε δηαδηθαζία πνπ αλαθέξεηαη ζηελ θαηαζθεπή κνληέισλ πνπ ζα βνεζήζνπλ ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο ζύλζεησλ, πξαγκαηηθώλ πξνβιεκάησλ. Σύκθσλα
κε ηνλ Greer (1997) ε κνληεινπνίεζε, κπνξεί λα εμππεξεηήζεη ηηο ζύγρξνλεο απαηηήζεηο ηεο θνηλσλίαο καο, αθνύ ζπλδέεη ηηο πξνβιεκαηηθέο θαηαζηάζεηο πνπ εκθαλίδνληαη ζην θπζηθό θαη θνηλσληθό θόζκν, κε ηηο αθεξεκέλεο καζεκαηηθέο δνκέο. Καηά ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ κνληεινπνίεζεο, νη καζεηέο αμηνπνηνύλ έλα ζύλνιν αλαιπηηθώλ θαη ζύλζεησλ δεμηνηήησλ κνληεινπνίεζεο (Mousoulides, 2007). Γεληθόηεξα, νη δεμηόηεηεο απηέο κπνξνύλ λα ζπζρεηηζηνύλ κε ηέζζεξα ζηάδηα ηεο δηαδηθαζίαο κνληεινπνίεζεο. Τα ζηάδηα ηεο δηαδηθαζίαο κνληεινπνίεζεο, όπσο αλαθέξνληαη ζηε βηβιηνγξαθία (Lesh & Doerr, 2003) είλαη ηα αθόινπζα: (α) Καηανόηζη και απλοποίηζη ηος πποβλήμαηορ. Η δηαδηθαζία απηή, πεξηιακβάλεη ηελ θαηαλόεζε ησλ θεηκέλσλ, δηαγξακκάησλ, ηύπσλ ή δεδνκέλσλ ζε πίλαθα, θαη ην ζρεδηαζκό ζπκπεξαζκάησλ από απηά, επηδεηθλύνληαο θαηαλόεζε ησλ ζρεηηθώλ ελλνηώλ θαη ρξεζηκνπνηώληαο πιεξνθνξίεο από ηηο πξνϋπάξρνπζεο γλώζεηο ησλ καζεηώλ κε ζθνπό ηελ θαηαλόεζε ησλ πιεξνθνξηώλ πνπ δίλνληαη. (β) Φειπιζμόρ (manipulation) ηος πποβλήμαηορ και ανάπηςξη ηος μαθημαηικού μονηέλος. Απηέο νη δηαδηθαζίεο πεξηιακβάλνπλ ηελ αλαγλώξηζε ησλ κεηαβιεηώλ θαη ησλ ζρέζεσλ ηνπο ζην πξόβιεκα, ηε ιήςε απνθάζεσλ γηα ηε ζρεηηθόηεηα ησλ κεηαβιεηώλ, ηελ θαηαζθεπή ππνζέζεσλ, ηελ αλάθηεζε, νξγάλσζε θαη θξηηηθή αμηνιόγεζε ησλ πιεξνθνξηώλ πνπ παξνπζηάδνληαη ζην πξόβιεκα θαη ηε ρξήζε ζηξαηεγηθώλ θαη επξεηηθώλ κεζόδσλ, ζηνηρεία ηα νπνία ζα βνεζήζνπλ ηειηθά ζηε καζεκαηηθή αλάπηπμε ηνπ κνληέινπ. (γ) Έλεγσορ και Δπμηνεία ηηρ επίλςζηρ ηος πποβλήμαηορ. Απηή ε δηαδηθαζία πεξηιακβάλεη ηνλ έιεγρν ηνπ κνληέινπ ζην πιαίζην ηνπ πξαγκαηηθνύ πξνβιήκαηνο θαη θαηά πόζν ην κνληέιν απηό κπνξεί λα απνηειέζεη κηα ηθαλνπνηεηηθή ιύζε θαη λα πξνβιέςεη ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ πξαγκαηηθνύ ζπζηήκαηνο πνπ πεξηγξάθεηαη ζην πξόβιεκα. (δ) Δπιβεβαίωζη, εγκςποποίηζη και αναζηοσαζμόρ ηηρ λύζηρ ηος πποβλήμαηορ. Απηό πεξηιακβάλεη ηελ θαηαζθεπή θαη ηε ρξήζε δηαθνξεηηθώλ ηύπσλ αλαπαξαζηάζεσλ, γηα ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο, ηε γελίθεπζε θαη ηελ επηθνηλσλία ησλ ιύζεσλ, ηελ αμηνιόγεζε ηνπο από δηαθνξεηηθέο πξννπηηθέο, κε ζθνπό ηελ επαλνηθνδόκεζε πην απνδεθηώλ, ηόζν θνηλσληθά όζν θαη ηερληθά, ιύζεσλ, ηνλ θξηηηθό έιεγρν, ηνλ πξνβιεκαηηζκό θαη ηε ζθέςε πάλσ ζηηο ιύζεηο θαη γεληθά ηνλ πξνβιεκαηηζκό γηα ην κνληέιν (Lesh & Doerr, 2003). Καηά ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ κνληεινπνίεζεο, νη καζεηέο δηέξρνληαη από έλα αξθεηά κεγάιν αξηζκό θύθισλ κνληεινπνίεζεο, όπσο απηόλ πνπ πεξηγξάθεηαη πην πάλσ. Σηνπο επαλαιακβαλόκελνπο απηνύο θύθινπο, νη καζεηέο θηλνύληαη από ηα δεδνκέλα ζηα δεηνύκελα, επηζηξέθνπλ θαη θηλνύληαη μαλά πξνο ηα δεηνύκελα, ώζηε λα ειέγμνπλ ηηο ππνζέζεηο ηνπο, λα αλαζεσξήζνπλ ηα απνηειέζκαηά ηνπο θαη λα βειηηώζνπλ ηα πξνηεηλόκελα κνληέια θαη ηηο ιύζεηο ηνπο (Sriraman & Lesh, 2006). Πξάγκαηη, κέζα από ζρεηηθέο έξεπλεο πνπ θαηαπηάζηεθαλ κε ηε κνληεινπνίεζε, θάλεθε πσο ε ρξήζε ηέηνησλ δξαζηεξηνηήησλ, ελζαξξύλεη ηνπο καζεηέο δεκνηηθνύ θαη κέζεο εθπαίδεπζεο, λα αλαπηύμνπλ ζεκαληηθέο καζεκαηηθέο ηδέεο θαη δηαδηθαζίεο, ηηο νπνίεο δελ ζα ζπλαληνύζαλ ζην αλαιπηηθό πξόγξακκα ηνπ παξαδνζηαθνύ ζρνιείνπ (English & Watters, 2004: English & Lesh, 2003). Οη καζεκαηηθέο ηδέεο, εκπεξηέρνληαη ζηα πξαγκαηηθά πιαίζηα κε λόεκα θαη αλαδύνληαη από ηνπο καζεηέο, θαζώο απηνί εξγάδνληαη ζε έλα πξόβιεκα κνληεινπνίεζεο. Επηπξόζζεηα, ε αλάγθε νηθνδόκεζεο κνληέισλ γηα ηελ επίιπζε πξαγκαηηθώλ
πξνβιεκάησλ, κπνξεί λα νδεγήζεη ζε ελλνηνινγηθή θαηαλόεζε θαη καζεκαηηθνπνίεζε από κέξνπο ησλ καζεηώλ (Lesh & Doerr, 2003). Οη Doerr θαη English (2003), αλαθέξνπλ πσο νη δξαζηεξηόηεηεο κνληεινπνίεζεο, παξέρνπλ ζηνπο καζεηέο επθαηξίεο δηεξεύλεζεο πνζνηηθώλ ζρέζεσλ, αλάιπζεο ηεο αιιαγήο θαη αλαγλώξηζεο, πεξηγξαθήο θαη ζύγθξηζεο δηαθπκάλζεσλ ηηκώλ, όπσο πξνηείλνληαη ζηα επίπεδα 3-5 ηεο άιγεβξαο ζύκθσλα κε ην Standard for School Mathematics (NCTM, 2000). Μηα άιιε ζεκαληηθή παξάκεηξνο ζηελ εξγαζία ησλ παηδηώλ ζε δξαζηεξηόηεηεο κνληεινπνίεζεο, απνηειεί ε ρξήζε ηεο αλεπίζεκεο γλώζεο από κέξνπο ησλ παηδηώλ. Οη εξεπλεηέο έρνπλ παξαηεξήζεη ηελ αιιειεπίδξαζε κεηαμύ ηεο ρξήζεο ησλ αλεπίζεκσλ πξνζσπηθώλ γλώζεσλ ησλ καζεηώλ θαη ηεο γλώζεο ηνπο γηα ηηο πιεξνθνξίεο-θιεηδηά ηνπ πξνβιήκαηνο (Zawojewski, Lesh & English, 2003). Σε έλα αξηζκό δξαζηεξηνηήησλ κνληεινπνίεζεο, ε αλεπίζεκε γλώζε ησλ καζεηώλ, ηνπο βνήζεζε λα ζπλδπάζνπλ θαη λα αλαγλσξίζνπλ ηε ζεκαληηθόηεηα ησλ πιεξνθνξηώλ ηνπ πξνβιήκαηνο (θαηαλόεζε θαη εξκελεία ησλ θαηαζηάζεσλ γηα ηελ επίιπζε ελόο πξνβιήκαηνο). Μηα νκάδα εξεπλεηώλ (Doerr & English, 2003), αλέθεξε όηη νη καζεηέο εκπινύηηζαλ ηηο γξαπηέο ηνπο αλαθνξέο, κε ηελ αλεπίζεκε γλώζε ηνπο θαη αθόκε πην ζεκαληηθά νη καζεηέο θαηάθεξαλ λα αλαγλσξίζνπλ, πόηε ε αλεπίζεκε γλώζε ηνπο δελ ηνπο νδεγνύζε θάπνπ, κε απνηέιεζκα λα επηθεληξώλνπλ ηελ πξνζνρή ηνπο ζηηο πιεξνθνξίεο ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ έξγνπ (Lesh & Doerr, 2003: Zawojewski, Lesh & English, 2003). Παξά ηε ζεκαληηθόηεηα ηεο εηζαγσγήο ηεο κνληεινπνίεζεο ζηα ζρνιηθά καζεκαηηθά όισλ ησλ βαζκίδσλ, νη Greer, Verschaffel θαη Mukhopadyay (2007), ζεκείσζαλ όηη ε καζεκαηηθή κνληεινπνίεζε, παξαδνζηαθά αθήλεηαη ζηε δεπηεξνβάζκηα θαη ηξηηνβάζκηα εθπαίδεπζε κε ηε δηθαηνινγία όηη ηα παηδηά ηνπ δεκνηηθνύ, είλαη αλίθαλα λα αλαπηύμνπλ ηα δηθά ηνπο κνληέια θαη ζπζηήκαηα ηα νπνία ζα λνεκαηνδνηνύλ πεξίπινθεο θαηαζηάζεηο (English, 2006). Ελ ζπλερεία, ν Greer θαη νη ζπλεξγάηεο ηνπ (2007), επεζήκαλαλ ηελ πεξηνξηζκέλε επηηπρία ηεο εηζαγσγήο ηεο καζεκαηηθήο κνληεινπνίεζεο, αθόκε θαη ζηηο πςειόηεξεο βαζκίδεο (δεπηεξνβάζκηα θαη ηξηηνβάζκηα εθπαίδεπζε) θαη εηζεγήζεθαλ ηελ εηζαγσγή ησλ καζεηώλ, ζηε καζεκαηηθή κνληεινπνίεζε από ην δεκνηηθό. Όπσο πξναλαθέξζεθε, πξόζθαηεο έξεπλεο (English & Watters, 2005: English, 2006: Lesh & Zawojewski, 2007), έδεημαλ όηη καζεηέο κπνξνύλ θαη πξέπεη λα έξρνληαη ζε επαθή κε θαηαζηάζεηο, νη νπνίεο πεξηιακβάλνπλ πην ζύλζεηα ζηνηρεία ησλ καζεκαηηθώλ κηαο θαη κπνξνύλ λα επσθειεζνύλ ηδηαίηεξα από ηελ ελαζρόιεζή ηνπο κε απζεληηθά πξνβιήκαηα κνληεινπνίεζεο. Είλαη ινηπόλ αλαγθαίν, λα παξέρνληαη επθαηξίεο ζηα παηδηά δηεξεύλεζεο ζύλζεησλ πξνβιεκάησλ, κέζα από ην αλαιπηηθό πξόγξακκα ηνπ δεκνηηθνύ ζρνιείνπ ζην κάζεκα ησλ Μαζεκαηηθώλ, εάλ πξαγκαηηθά ζέινπκε άηνκα ζηελ δεπηεξνβάζκηα θαη ηξηηνβάζκηα εθπαίδεπζε πνπ λα ιύλνπλ επηηπρώο ζύλζεηα πξνβιήκαηα εληόο θαη εθηόο ηνπ ζρνιείνπ. Οη Mousoulides, Sriraman, Pittalis θαη Christou (2007), ζηεξηδόκελνη ζηα πνξίζκαηα ησλ πην πάλσ εξεπλώλ, πξνρώξεζαλ ζηνλ εληνπηζκό νκνηνηήησλ θαη δηαθνξώλ αλάκεζα ζε δύν νκάδεο καζεηώλ Δεκνηηθνύ θαη Γπκλαζίνπ θαζώο απηέο εξγάδνληαλ ζε έλα πξόβιεκα κνληεινπνίεζεο, κε απώηεξν ζηόρν λα ζπλεηζθέξνπλ ζηελ θαηάιιειε εηζαγσγή ησλ δξαζηεξηνηήησλ κνληεινπνίεζεο ζηηο δηαθνξεηηθέο βαζκίδεο. Εθηόο από ηηο νκνηόηεηεο πνπ παξνπζίαζαλ νη καζεηέο ησλ δύν βαζκίδσλ,
αμηνζεκείσηεο ήηαλ θαη νη δηαθνξέο πνπ παξνπζίαζαλ. Μηα πξώηε δηαθνξά πνπ εληνπίζηεθε ήηαλ πσο, παξά ην γεγνλόο όηη ηα πξνβιήκαηα κνληεινπνίεζεο είλαη ζεκαληηθά, θαζώο πξνζθέξνπλ έλα πινύζην πιαίζην αλάπηπμεο θαη παξνπζίαζεο ησλ καζεκαηηθώλ δεμηνηήησλ ησλ παηδηώλ, κόλν νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ παξνπζίαζαλ θαη επηθνηλώλεζαλ έλα αξηζκό καζεκαηηθώλ ζελαξίσλ θαη δηαδηθαζηώλ θαη ηα εθάξκνζαλ απνηειεζκαηηθά ζηελ ιύζε πξνβιήκαηνο. Επίζεο, θάλεθε πσο νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ, ρξεζηκνπνίεζαλ ηθαλνπνηεηηθά ηελ νκαδνπνίεζε θαη ζηάζκηζε δεδνκέλσλ θαη ηε ζεηξνζέηεζε παξαγόλησλ θαη απέδσζαλ βαζκνινγίεο ζε ππννκάδεο παξαγόλησλ. Αληίζεηα, παξόιν πνπ νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ παξνπζίαζαλ έλα αξηζκό καζεκαηηθώλ δηαδηθαζηώλ, δελ θαηάθεξαλ λα ηηο εθαξκόζνπλ απνηειεζκαηηθά ζηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο, αιιά ηηο ρξεζηκνπνίεζαλ κεξηθώο ρσξίο ηδηαίηεξε επηηπρία. 3. ΔΡΔΤΝΑ Σκοπόρ Σθνπό ηεο παξνύζαο έξεπλαο, απνηειεί ε δηεξεύλεζε ησλ ηξόπσλ κε ηνπο νπνίνπο δύν ηξηκειείο νκάδεο Ση Δεκνηηθνύ θαη δύν ηξηκειείο νκάδεο Γ Γπκλαζίνπ, εξγάζηεθαλ ζε κηα δξαζηεξηόηεηα κνληεινπνίεζεο, ρξεζηκνπνηώληαο ηηο πξνϋπάξρνπζεο καζεκαηηθέο ηνπο γλώζεηο γηα λα αλαθαιύςνπλ λέεο καζεκαηηθέο ζρέζεηο θαη δηαδηθαζίεο, γηα ηελ επίιπζε ελόο απζεληηθνύ πξνβιήκαηνο. Η δηεξεύλεζε απηή, ζα επηρεηξήζεη λα δώζεη απαληήζεηο ζηα αθόινπζα εξεπλεηηθά εξσηήκαηα: (α) Μπνξνύλ νη καζεηέο Πξσηνβάζκηαο θαη Καηώηεξεο Δεπηεξνβάζκηαο εθπαίδεπζεο, λα αζρνιεζνύλ απνηειεζκαηηθά κε δξαζηεξηόηεηεο κνληεινπνίεζεο; (β) Πνηεο είλαη νη νκνηόηεηεο θαη δηαθνξέο, κεηαμύ ησλ νκάδσλ ησλ δύν δηαθνξεηηθώλ βαζκίδσλ σο πξνο ηηο ηέζζεξηο βαζηθέο δηαδηθαζίεο κνληεινπνίεζεο θαη καζεκαηηθέο έλλνηεο πνπ ρξεζηκνπνηνύλ; Υποκείμενα Υπνθείκελα ηεο παξνύζαο έξεπλαο, απνηέιεζαλ έμη παηδηά Ση Δεκνηηθνύ (ηξία θνξίηζηα θαη ηξία αγόξηα) θαη έμη παηδηά Γ Γπκλαζίνπ (ηέζζεξα θνξίηζηα θαη δύν αγόξηα). Γπαζηηπιόηηηα Οη καζεηέο ησλ ηεζζάξσλ ηξηκειώλ νκάδσλ, εξγάζηεθαλ νκαδηθά γηα 60 ιεπηά, γηα λα επηιύζνπλ ηε δξαζηεξηόηεηα πνπ νηθνδνκήζεθε από ηηο ίδηεο ηηο εξεπλήηξηεο, «Τν ηδαληθό κέξνο γηα θαινθαηξηλέο δηαθνπέο», ε νπνία απνηειεί κηα δξαζηεξηόηεηα θαηαζθεπήο κνληέισλ γηα ηελ επίιπζε ελόο πξαγκαηηθνύ πξνβιήκαηνο (model-eliciting activity). Σπγθεθξηκέλα, ε δξαζηεξηόηεηα θαινύζε ηα παηδηά λα εληνπίζνπλ ην ηδαληθόηεξν κέξνο γηα δηαζθέδαζε, αιιά ζπλάκα θαη ηνλ νηθνλνκηθόηεξν πξννξηζκό γηα ηνλ θύξην Άξε θαη ηε γπλαίθα ηνπ, γηα ηηο θαινθαηξηλέο ηνπο δηαθνπέο. Τα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο δίλνληαλ ζε πίλαθα (βι. Δηάγξακκα 1).
Ποξξοιζμόπ Παοαλίε π Ανιξθέαηα Καηαζηήμαηα Εζηιαηόοιακαθεηέοιεπ Κόζηξπ διαμξμήπ αμά μέοα ζε νεμξδξςείξ **** (δίκλιμξ) Κόζηξπ εμoικίαζηπ αρηξκιμήη ξρ αμά μέοα Ειζιηήοιξ μεη επιζηοξθήπ αμά άηξμξ Καηάζηαζη ξδικξύ δικηύξρ Απξλλώμεια 5 4 35 15 60 8 325 Μέηοια Αθήμια 8 0 28 24 90 15 425 Καλή Αθοξμηίμια 9 5 27 20 60 12 330 Καλή Αοηεμίζια 5 4 38 16 95 13 450 Κακή Έομια 3 10 24 18 78 18 400 Καλή Πξζειδώμια 6 5 32 17 92 19 500 Κακή Γιάγπαμμα 1. Πίλαθαο δεδνκέλσλ ηεο δξαζηεξηόηεηαο κνληεινπνίεζεο Η δξαζηεξηόηεηα πνπ εθαξκόζηεθε, θαηαζθεπάζηεθε κε βάζε ηηο αξρέο ζρεδηαζκνύ, όπσο πεξηγξάθνληαη από ηνπο Kelly θαη Lesh (2000): (α) Αξρή ηεο Καηαζθεπήο Μνληέισλ: Η ζπγθεθξηκέλε δξαζηεξηόηεηα νδεγνύζε ζηελ αλάγθε ζρεδηαζκνύ θαη ειέγρνπ κνληέισλ γηα ηελ θαηαλόεζε θαη επίιπζε ελόο πξνβιήκαηνο κε ζθνπό ηελ εύξεζε ηνπ ηδαληθόηεξνπ κέξνπο γηα ηηο θαινθαηξηλέο δηαθνπέο ηνπ θύξηνπ Άξε. (β) Αξρή ηεο Πξαγκαηηθόηεηαο: Η ζπγθεθξηκέλε δξαζηεξηόηεηα θξίλεηαη ελδηαθέξνπζα θαη άκεζα ζπλδεδεκέλε κε ηελ πξαγκαηηθή δσή. Τν ζελάξην γηα εύξεζε ηνπ ηδαληθόηεξνπ κέξνπο γηα ηηο θαινθαηξηλέο δηαθνπέο κηαο νηθνγέλεηαο είλαη έλα ζελάξην νηθείν θαη γλώξηκν ζηα παηδηά, γεγνλόο πνπ ηνπο επέηξεςε λα θάλνπλ ζπλδέζεηο κε πξαγκαηηθέο θαηαζηάζεηο θαη πξνεγνύκελεο εκπεηξίεο ηνπο. (γ) Αξρή ηεο Απηό-Αμηνιόγεζεο: ε ζπγθεθξηκέλε δξαζηεξηόηεηα παξείρε ηε δπλαηόηεηα ζηνπο εκπιεθόκελνπο λα αμηνινγνύλ ηηο ππνζέζεηο θαη ιύζεηο ηνπο θαη λα είλαη ζε ζέζε λα ηηο βειηηώζνπλ ή λα ηηο επεθηείλνπλ γηα λα αληαπνθξηζνύλ ζηηο αλάγθεο ηεο πξνβιεκαηηθήο θαηάζηαζεο πνπ ηνπο παξνπζηάδεηαη. (δ) Αξρή ηεο Τεθκεξίσζεο: Οη καζεηέο θαηά ηελ ελαζρόιεζε ηνπο κε ηε δξαζηεξηόηεηα απηή θαινύληαλ λα ηεθκεξηώλνπλ θαη λα αηηηνινγνύλ ηνλ ηξόπν ζθέςεο ηνπο ζηελ θαηαζθεπή ζπγθεθξηκέλσλ κνληέισλ ζηελ νκάδα γηα ηελ εύξεζε κηαο ζπιινγηθήο ηειηθά απόθαζεο. (ε) Αξρή ηεο Σπκκεηνρηθήο Φξήζεο θαη ηεο Επαλαρξεζηκνπνίεζεο: Τα κνληέια πνπ θαηαζθεύαζαλ νη καζεηέο ζα κπνξνύζαλ λα αμηνπνηεζνύλ θαη λα ηξνπνπνηεζνύλ ζρεηηθά εύθνια από άιινπο καζεηέο, (ζη) Αξρή ηνπ Απνηειεζκαηηθνύ Πξνηύπνπ: Τα κνληέια πνπ θαηαζθεπάζηεθαλ ήηαλ ζε ζέζε λα απνηειέζνπλ πξόηππα γηα ην ζρεδηαζκό πην ζύλζεησλ θαη αλαιπηηθώλ κνληέισλ. Σςλλογή Γεδομένων και Ανάλςζη Γηα ηελ αλάιπζε ησλ απνηειεζκάησλ, ρξεζηκνπνηήζεθαλ ηα θύιια εξγαζίαο ησλ καζεηώλ, νη ζεκεηώζεηο πνπ ιήθζεθαλ από ηνπο εξεπλεηέο θαηά ηε δηάξθεηα ηεο
δξαζηεξηόηεηαο θαη νη απνκαγλεηνθσλήζεηο ησλ ζπδεηήζεσλ θαη ησλ ηεζζάξσλ νκάδσλ. Η αλάιπζε ησλ δεδνκέλσλ ηεο έξεπλαο, έγηλε ζηε βάζε ησλ δηαδηθαζηώλ κνληεινπνίεζεο πνπ εθάξκνζαλ νη καζεηέο, κέζα από ηνπο επαλαιακβαλόκελνπο θύθινπο κνληεινπνίεζεο. 4. ΑΠΟΣΔΛΔΜΑΣΑ Τα απνηειέζκαηα ηεο έξεπλαο, παξνπζηάδνπλ ηα πην αληηπξνζσπεπηηθά ζηνηρεία ηεο εξγαζίαο ησλ ηεζζάξσλ νκάδσλ ησλ παηδηώλ (δεκνηηθνύ θαη γπκλαζίνπ), όζνλ αθνξά ζηηο ηέζζεξηο βαζηθέο δηαδηθαζίεο κνληεινπνίεζεο πνπ πξναλαθέξζεθαλ, κε έκθαζε ζηνλ εληνπηζκό ησλ νκνηνηήησλ θαη δηαθνξώλ κεηαμύ ησλ δύν δηαθνξεηηθώλ βαζκίδσλ. Καηανόηζη και απλοποίηζη ηος πποβλήμαηορ Τν πξώην ζηάδην θαηά ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο, ήηαλ ε θαηαλόεζε ησλ δεδνκέλσλ πνπ παξνπζηάδνληαλ ζηνπο καζεηέο θαη ν ζρνιηαζκόο ησλ δηαθόξσλ παξαγόλησλ γηα θάζε ηνπξηζηηθό πξννξηζκό. Τόζν ηα παηδηά ηνπ δεκνηηθνύ, όζν θαη ηα παηδηά ηνπ γπκλαζίνπ, έδεημαλ λα θαηαλννύλ ηελ δνκή ηνπ πίλαθα θαη ηηο πιεξνθνξίεο πνπ ππήξραλ ζε απηόλ θαη αθνξνύζαλ ηα έμη λεζηά. Τα παηδηά θαη ησλ δύν βαζκίδσλ μεθίλεζαλ κε κηα νξηδόληηα επεμεξγαζία ησλ δεδνκέλσλ θάπνησλ λεζηώλ, ώζηε λα ζρεκαηίζνπλ κηα γεληθή εηθόλα γηα ηνπο πξννξηζκνύο. Οη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ αζρνιήζεθαλ αξρηθά κε ηα δεδνκέλα πνπ αθνξνύζαλ ην λεζί Απνιιώληα: «Η Απνιιώληα είλαη ε πην θηελή ζηε δηακνλή, ζηελ ελνηθίαζε απηνθηλήηνπ θαη ζην εηζηηήξην κεη επηζηξνθήο, ελώ έρεη κόλν 4 αμηνζέαηα». Αληίζηνηρα, νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ μεθίλεζαλ κε ηνλ ζρνιηαζκό ησλ δεδνκέλσλ πνπ αθνξνύζαλ ην ίδην λεζί εζηηάδνληαο όκσο πεξηζζόηεξν ζε παξάγνληεο εθηόο ηνπ θόζηνπο: «ε Απνιιώληα έρεη ηα πην πνιιά θαηαζηήκαηα, ελώ νη παξαιίεο θαη ηα αμηνζέαηα ηεο, είλαη πεξίπνπ ζην κέζν». Πξνβιεκαηηζκόο θαη ζπδήηεζε παξνπζηάζηεθε ζε απηό ην ζεκείν ηόζν ζηηο νκάδεο ηνπ δεκνηηθνύ, όζν θαη ηνπ γπκλαζίνπ, ζρεηηθά κε ηε ζεκαζία ησλ παξαγόλησλ, ζηνηρείν ην νπνίν θαίλεηαη λα επεξεάδεηαη από ηηο απόςεηο θαη ηηο εκπεηξίεο ησλ καζεηώλ. Σηε ζπδήηεζε ησλ καζεηώλ ηνπ δεκνηηθνύ, θαίλεηαη ε ζεκαζία πνπ απνδίδνπλ ζηηο παξαιίεο θαη ζηα θαηαζηήκαηα: «Οη παξαιίεο είλαη πνιύ ζεκαληηθέο, από ηελ ζηηγκή πνπ ην ηαμίδη ζα είλαη ην θαινθαίξη... ηα θαηαζηήκαηα από ηε ζηηγκή πνπ καδί ηνπ ζα ηαμηδέςεη θαη ε γπλαίθα ηνπ». Σηε ζπδήηεζε ηνπ γπκλαζίνπ έλαο καζεηήο, επεζήκαλε πσο «ηα αμηνζέαηα δελ είλαη γηα κέλα δηαζθέδαζε...θαη δελ ηα ζεσξώ ζεκαληηθά», ελώ θάπνηνο άιινο πξόζζεζε ην εμήο: «Είλαη θαιύηεξα λα κελ ππάξρνπλ πνιιά θαηαζηήκαηα ζην λεζί, ώζηε λα κελ μνδέςεη πνιιά ιεθηά ε γπλαίθα ηνπ». Μηα δηαθνξά κεηαμύ ησλ νκάδσλ ησλ δύν βαζκίδσλ ζρεηίδεηαη κε ην όηη, νη νκάδεο ηνπ δεκνηηθνύ θαίλεηαη λα απνδίδνπλ ηδηαίηεξε ζεκαζία ζηνλ πνηνηηθό παξάγνληα νδηθό δίθηπν, αλαθέξνληαο ραξαθηεξηζηηθά ην εμήο: «δελ πξέπεη ν θύξηνο Άξεο λα δπζθνιεπηεί ζην νδήγεκα ή λα θηλδπλέςεη». Αληίζεηα, νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ δελ θαίλεηαη λα αζρνινύληαη ζην παξόλ ζηάδην κε ην ζπγθεθξηκέλν
παξάγνληα, γη απηό θαη ζε επόκελα ζηάδηα δελ «βηάδνληαη» λα απνθιείζνπλ λεζηά εμαηηίαο θαθνύ νδηθνύ δηθηύνπ, όπσο έπξαμαλ νη νκάδεο ηνπ δεκνηηθνύ. Μηα πξώηε κνξθή απινπνίεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, ε νπνία έγηλε θαη από ηηο δύν νκάδεο ησλ καζεηώλ, αλαθέξεηαη ζηνπο ιόγνπο/ παξάγνληεο, πνπ ζα ιάβεη ππόςε ηνπ ν θαληαζηηθόο πειάηεο (Άξεο), ζηελ επηινγή ηνπ πξννξηζκνύ γηα ηηο δηαθνπέο ηνπ. Όπσο θαίλεηαη ζην πην θάησ απόζπαζκα, νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ επηθεληξώζεθαλ ζην θόζηνο ηνπ θάζε πξννξηζκνύ θαη ζηε δηαζθέδαζε: «Ναη, αιιά γηα απηόλ ηα αμηνζέαηα κπνξεί λα είλαη θαη δηαζθέδαζε», «Μελ μερλάηε όηη ν θύξηνο Άξεο ζέιεη θαη έλα θηελό πξννξηζκό». Αληίζηνηρα, νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ αλέθεξαλ ην εμήο: «Ναη, όκσο εθηόο από απηά πνπ ζα έρεη λα πεγαίλεη θαη λα πεξλά θαιά, ηνλ λνηάδεη θαη ην πόζα ιεθηά ζα μνδέςεη». Επίζεο, νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ, θαηά ηελ απινπνίεζε, δηέγξαςαλ ηα λεζηά κε ην θαθό νδηθό δίθηπν, αιιά θαη ην λεζί κε ηα κεδέλ αμηνζέαηα, πεξηνξίδνληαο έηζη ηνπο πξννξηζκνύο ηνπο ζε ηξεηο, ζε αληίζεζε κε ηηο νκάδεο ηνπ γπκλαζίνπ πνπ εξγάδνληαλ θαη κε ηνπο έμη πξννξηζκνύο. Είλαη θαλεξό πσο νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ, έδεημαλ κηα πξνηίκεζε ζηνλ πνηνηηθό παξάγνληα (νδηθό δίθηπν), ζε ζρέζε κε ηνπο ππόινηπνπο πνζνηηθνύο παξάγνληεο. Απηό πηζαλό λα νθείιεηαη ζηελ πξνζπάζεηα ηνπο λα απνθύγνπλ ηα αξηζκεηηθά δεδνκέλα, ηα νπνία ζπλήζσο απαηηνύλ πξάμεηο. Αληίζεηα, όπσο ζα θαλεί ζηελ ζπλέρεηα, νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ νδεγνύληαη ζηελ πνζνηηθνπνίεζε ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ πνηνηηθνύ παξάγνληα, γεγνλόο πνπ ππνδεηθλύεη ηηο πην ζύλζεηεο καζεκαηηθέο ηδέεο πνπ εθθξάδνπλ. Φειπιζμόρ πποβλήμαηορ και ανάπηςξη μαθημαηικού μονηέλος Καηά ην δεύηεξν ζηάδην ηεο κνληεινπνίεζεο, νη καζεηέο εξγάδνληαη ζην καζεκαηηθό θόζκν, ρεηξίδνληαη ηα καζεκαηηθά δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο πξνζπαζώληαο λα θαηαιήμνπλ ζε έλα καζεκαηηθό κνληέιν, ην νπνίν ζα κπνξέζεη λα επηιύζεη ην ξεαιηζηηθό πξόβιεκα. Η δηαδηθαζία καζεκαηηθνπνίεζεο, μεθίλεζε ζηηο νκάδεο ησλ δύν βαζκίδσλ ηελ ίδηα πεξίπνπ ρξνληθή ζηηγκή, εζηηάδνληαο ζηε ζύγθξηζε κεηαμύ λεζηώλ σο πξνο έλα παξάγνληα πνπ ζρεηηδόηαλ κε ηνπο ηόπνπο δηαζθέδαζεο. Εληνύηνηο ελώ νη καζεηέο ηεο Ση ηάμεο αζρνιήζεθαλ γηα αξθεηή ώξα κε ηελ πξνζέγγηζε απηή αιιά θαη κε ηνλ εληνπηζκό ηνπ θαιύηεξνπ θαη ρεηξόηεξνπ λεζηνύ ζε θάζε παξάγνληα (θαηαζηήκαηα, εζηηαηόξηα, παξαιίεο, αμηνζέαηα), νη νκάδεο ηνπ γπκλαζίνπ εμέθξαζαλ πην ζύλζεηεο πξνζεγγίζεηο, όπσο: «Πάλησο θαη ηα ηέζζεξα είλαη ηόπνη πνπ κπνξεί λα επηζθεθηεί θαη λα δηαζθεδάζεη άξα ίζσο λα κπνξνύκε λα ηα πξνζζέζνπκε θαη λα βξνύκε αξρηθά πόζνπο ηόπνπο έρεη λα επηζθεθηεί ζε θάζε λεζί». Μεηά από πξνβιεκαηηζκό, πξνηίκεζαλ λα ππνινγίζνπλ ην κέζν όξν ησλ ηόπσλ δηαζθέδαζεο γηα θάζε λεζί (δεκηνπξγία ππέξ-παξάγνληα «ηόπνη δηαζθέδαζεο»). Εληνύηνηο, όζνλ αθνξά ηνπο παξάγνληεο πνπ ζρεηίδνληαλ κε ην θόζηνο (θόζηνο εηζηηεξίνπ, μελνδνρείνπ, απηνθηλήηνπ), νη καζεηέο θαη ησλ δύν βαζκίδσλ αλαγλώξηζαλ ηελ αλάγθε εθηέιεζεο ππνινγηζκώλ (πνιιαπιαζηαζκόο επί 7 ζην μελνδνρείν θαη απηνθίλεην θαη επί 2 ησλ εηζηηεξίσλ) θαη άζξνηζεο ηνπο (δεκηνπξγία ππέξ-παξάγνληα ζπλνιηθό θόζηνο). Οη καζεηέο αλέθεξαλ ραξαθηεξηζηηθά: «Αθξηβώο άξα γηα λα βξνύκε ην πόζν ζα ζηνηρίζεη ην ηαμίδη ζπλνιηθά πξέπεη λα ηα πξνζζέζνπκε θαη λα βξνύκε πόζα ζα πιεξώζεη ζπλνιηθά γηα θάζε λεζί».
Οη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ, ζπλέρηζαλ κε πην πεξίπινθεο ηδέεο, απνθαζίδνληαο λα ζεηξνζεηήζνπλ ηα λεζηά αλάινγα κε ηελ θαηάηαμή ηνπο ζηνπο δύν ππέξ-παξάγνληεο θαη λα απνδώζνπλ κνλάδεο (1-6): «Πξέπεη λα θηάζνπκε ζε απνηέιεζκα γηα θάζε λεζί θαη απηό πνπ θάλακε κνηάδεη κε αγώλεο απηόο πνπ έξρεηαη πξώηνο δεύηεξνο ηξίηνο θαη παίξλνπλ βξαβεία έηζη θαη εκείο λα δώζνπκε βαζκνύο ζηα λεζηά αλάινγα κε ηελ ζέζε ηνπο». Αθνύ πξόζζεζαλ ηηο δύν βαζκνινγίεο γηα θάζε λεζί, απνθάζηζαλ λα κεηαηξέςνπλ ηνλ παξάγνληα νδηθό δίθηπν από πνηνηηθό ζε πνζνηηθό. Ωο απνηέιεζκα, νη καζεηέο ζπλέρηζαλ πξνζζέηνληαο κηα κνλάδα ζην λεζί κε θαιό νδηθό δίθηπν, κεδέλ ζε εθείλν κε ηελ κέηξηα θαηάζηαζε θαη αθαηξώληαο έλα από ηα λεζηά κε ην θαθό νδηθό δίθηπν: «Να βάινπκε ζπλ 1 ζηνπο θαινύο δξόκνπο, 0 ζηνπο κέηξηνπο θαη πιελ 1 ζηνπο θαθνύο». Από ηελ άιιε, νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ αζρνιήζεθαλ κε ηνπο ηξεηο πξννξηζκνύο πνπ ηνπο είραλ απνκείλεη θαη απνθάζηζαλ λα δηαγξάςνπλ από απηά ηα πην αθξηβά λεζηά, ιακβάλνληαο ππόςε ηνλ ππέξ-παξάγνληα «ζπλνιηθό θόζηνο». Δελ θαίλεηαη όκσο λα ρξεζηκνπνηνύλ ζηελ πξάμε ηε ζπγθεθξηκέλε ηδέα. Εληόπηζαλ κελ πσο ε Απνιιώληα απνηεινύζε ηνλ πην θηελό πξννξηζκό, εληνύηνηο απνθάζηζαλ λα ηελ δηαγξάςνπλ ιόγσ ηεο κέηξηαο θαηάζηαζεο ηνπ νδηθνύ δηθηύνπ, απνδίδνληαο ινηπόλ κεγαιύηεξε βαξύηεηα ζηνλ παξάγνληα νδηθό δίθηπν. Από ηα δύν λεζηά πνπ έκεηλαλ επέιεμαλ ην θηελόηεξν πνπ ήηαλ ε Αθξνληίληα, ρσξίο λα ηα ζπγθξίλνπλ όκσο θαη σο πξνο ηνπο ηόπνπο δηαζθέδαζεο. Η απνζπαζκαηηθή πξνζέγγηζε πνπ δηαηήξεζαλ όζνλ αθνξά ζηνπο ηόπνπο δηαζθέδαζεο δελ ηνπο επέηξεςε λα ιάβνπλ ππόςε ηνπο ζπγθεθξηκέλνπο παξάγνληεο θαηά ηε ιήςε ηεο απόθαζεο. Ωο απνηέιεζκα, ζηελ πξνζπάζεηα ηνπο λα θαηαιήμνπλ θάπνπ, απέδηδαλ κεγαιύηεξε ζεκαζία ζε κεξηθνύο παξάγνληεο, παξαγλσξίδνληαο θάπνηνπο άιινπο. Η επηθέληξσζε ζε απνζπαζκαηηθέο πιεξνθνξίεο θαη κεκνλσκέλνπο παξάγνληεο, δελ ηνπο επέηξεςε λα αθνινπζήζνπλ κηα ζηαζεξή κέζνδν, αιιά αληίζεηα, ηνπο νδήγεζε ζε ζπλερή ελαιιαγή απόςεσλ θαη πηνζέηεζε ηδεώλ ρσξίο δεύηεξε ζθέςε. Έλεγσορ και Δπμηνεία ηηρ επίλςζηρ ηος πποβλήμαηορ Καηά ην ζηάδην απηό, νη καζεηέο επηζηξέθνπλ πίζσ ζηνλ πξαγκαηηθό θόζκν ηνπ ξεαιηζηηθνύ πξνβιήκαηνο θαη πξνζπαζνύλ λα ειέγμνπλ θαηά πόζν ην κνληέιν απηό, απνηειεί ηθαλνπνηεηηθή ιύζε γηα ην πξαγκαηηθό πξόβιεκα, ή θαηά πόζν απαηηείηαη ε βειηίσζε ηνπ. Μηα ζεκαληηθή δηαθνξά ζην ζπγθεθξηκέλν ζηάδην κεηαμύ ησλ νκάδσλ ησλ δύν βαζκίδσλ, απνηειεί ην γεγνλόο όηη νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ πξνβιεκαηίζηεθαλ πεξηζζόηεξν γηα ηηο ηδέεο πνπ εθθξάζηεθαλ ρσξίο λα ηηο πηνζεηνύλ άκεζα: «Δελ κνπ αξέζεη ε ηδέα λνκίδσ, εμάιινπ γίλεηαη λα πξνζζέηνπκε θηίξηα θαη ιεθηά;... Μα αθνύ ζέινπκε ηα πην πνιιά θηίξηα... αιιά ηα ιηγόηεξα ιεθηά». Αληίζεηα, ηα παηδηά ηνπ δεκνηηθνύ πξνέβαηλαλ ζε άκεζε πηνζέηεζε νπνηαζδήπνηε ηδέαο: «Ε λαη...ζπκθσλώ, λα θύγεη ε Αζήληα, ζα πάεη ηαμίδη θαη δελ ζα έρεη θαζόινπ αμηνζέαηα λα δεη; Δελ γίλεηαη, πξέπεη λα ην δηαγξάςνπκε». Επνκέλσο, θαίλεηαη πσο ν έιεγρνο ησλ καζεηώλ ηνπ γπκλαζίνπ βαζίζηεθε ζε πεξηζζόηεξα θξηηήξηα από απηά ηνπ δεκνηηθνύ θαη είρε σο απνηέιεζκα ηελ νηθνδόκεζε θαιύηεξνπ κνληέινπ.
Τόζν ηα παηδηά ηνπ δεκνηηθνύ, όζν θαη ηνπ γπκλαζίνπ, θαηά ηελ αξρηθή ζπδήηεζε ηνπο, αλαγλώξηζαλ ηελ αδπλακία ηεο πξνζέγγηζεο πνπ αθνινπζνύζαλ (ζύγθξηζε λεζηώλ σο πξνο έλα παξάγνληα). Εληνύηνηο, θαίλεηαη πσο κόλν ηα παηδηά ηνπ γπκλαζίνπ πεηπραίλνπλ λα αλαζεσξήζνπλ ηελ πξνζέγγηζε ηνπο θαη λα αθνινπζήζνπλ κηα λέα πξνζέγγηζε. Άξα απηόο ν έιεγρνο, νδήγεζε ηνπο καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ ζε βειηησκέλε ιύζε θαη ζπγθεθξηκέλα ζε κηα πνζνηηθή πξνζέγγηζε. Τα παηδηά ηνπ δεκνηηθνύ ελώ αλαγλώξηζαλ ηελ αλάγθε απινπνίεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, δελ ήηαλ ζε ζέζε λα ρεηξηζηνύλ κε έλα ζπζηεκαηηθό ηξόπν ηνπο παξάγνληεο πνπ ζρεηίδνληαλ κε ηνπο ηόπνπο δηαζθέδαζεο. Η αδπλακία ησλ καζεηώλ ηνπ δεκνηηθνύ λα αθνινπζήζνπλ κηα άιιε πξνζέγγηζε, όζνλ αθνξά ζηνπο παξάγνληεο πνπ ζρεηίδνληαλ κε ηνπο ηόπνπο (π.ρ. άζξνηζε ησλ ηνπνζεζηώλ θάζε λεζηνύ), ηνπο νδήγεζε ζε δπζθνιίεο ειέγρνπ ησλ κνληέισλ ιύζεσλ πνπ θαηαζθεύαζαλ. Φαξαθηεξηζηηθά, νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ ζηελ πξνζπάζεηα ηνπο λα επηιέμνπλ ηνλ θαιύηεξν κεηαμύ ησλ δύν πξννξηζκώλ πνπ έκεηλαλ, απέδσζαλ κεγαιύηεξε ζεκαζία ζηνλ παξάγνληα θόζηνο θαη επέιεμαλ ην θηελόηεξν λεζί, παξαγλσξίδνληαο ηε ζύγθξηζε ησλ λεζηώλ θαη σο πξνο ηνπο παξάγνληεο πνπ ζρεηίδνληαλ κε ηηο ηόπνπο δηαζθέδαζεο. Παξόιν πνπ δελ ην έθαλαλ, ε επηινγή ηνπ λεζηνύ είλαη ε ζσζηή γηα ην ιόγν όηη ε Αθξνληίληα έρεη ζαλ ζύλνιν πεξηζζόηεξνπο ηόπνπο λα επηζθεθηεί θαλείο θαη θαίλεηαη θαζαξά όηη ηόζν ζηηο παξαιίεο, ζηα θαηαζηήκαηα όζν θαη ζηα εζηηαηόξηα πξνεγείηαη ηεο Έξκηαο, ε νπνία έρεη κόλν πεξηζζόηεξα αμηνζέαηα. Δπιβεβαίωζη, εγκςποποίηζη και αναζηοσαζμόρ ηηρ λύζηρ ηος πποβλήμαηορ Οη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ θάλεθε πσο πξνζπάζεζαλ λα επηβεβαηώζνπλ ηε ιύζε ηνπο, ειέγρνληαο αλ ην πην θηελό λεζί πνπ επέιεμαλ, είλαη επίζεο ζε πιενλεθηηθή ζέζε όζνλ αθνξά θαη ηνπο ππόινηπνπο παξάγνληεο. Οη καζεηέο αλαθέξνπλ ραξαθηεξηζηηθά: «Ναι έσειρ δίκαιο άπα κςκλώνοςμε ηην Αθπονηίνια. Βλέποςμε ξανά η Αθπονηίνια έσει 9 παπαλίερ, 5 αξιοθέαηα, 27 καηαζηήμαηα, 20 εζηιαηόπια/ καθεηέπιερ και έσει και καλό οδικό δίκηςο». Αληίζηνηρα ήηαλ θαη ηα απνηειέζκαηα ησλ καζεηώλ γπκλαζίνπ. Φαξαθηεξηζηηθά, αλέθεξαλ: «Πάνηωρ ζε αςηό ηο νηζί [Αθπονηίνια] θα πληπώζει και λιγόηεπα και θα έσει και παπαλίερ και αξιοθέαηα και καηαζηήμαηα και εζηιαηόπια να πάει και ούηε θα δςζκολεςηεί γιαηί ηο οδικό δίκηςο είναι καλό». Φπζηθά, πξέπεη λα ζεκεησζεί όηη θακηά από ηηο δύν νκάδεο δελ πξνέβεθε ζε ηθαλνπνηεηηθή επηβεβαίσζε ησλ πξνηεηλνκέλσλ ιύζεσλ. Φαξαθηεξηζηηθά, νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ δελ θαίλεηαη λα πξνβαίλνπλ ζε έιεγρν γηα ηε ζεκαζία ηνπ κέζνπ όξνπ ησλ «ηόπσλ δηαζθέδαζεο» θάζε λεζηνύ θαη πώο απηόο απνδίδεηαη ζην πιαίζην ηνπ πξνβιήκαηνο πνπ παξνπζηάζηεθε ζηε δξαζηεξηόηεηα. Πήξαλ γηα παξάδεηγκα ζαλ απνηέιεζκα ην 14,75 (ηόπνη δηαζθέδαζεο/ ςπραγσγίαο θαηά κέζν όξν ζε έλα λεζί), θαη δελ πξνβιεκαηίζηεθαλ θαζόινπ γηα ην ηη ζήκαηλε απηό ζηελ πξαγκαηηθόηεηα. Τν 14,75 αμηνζέαηα, 14,75 παξαιίεο, 14,75 θαηαζηήκαηα, 14,75 εζηηαηόξηα δελ έρεη λόεκα, εηδηθά ζηελ πεξίπησζε όπνπ έλα λεζί έρεη 0 αμηνζέαηα. Αθόκε δελ πξνβιεκαηίζηεθαλ θαζόινπ γηα ην όηη ελώ κηινύκε γηα ηόπνπο, ην απνηέιεζκα πνπ έπαηξλαλ ήηαλ δεθαδηθόο αξηζκόο, νύηε γηα ην γεγνλόο όηη είραλ πξνζζέζεη - νκαδνπνηήζεη αλόκνηα
πξάγκαηα (αμηνζέαηα, παξαιίεο, θαηαζηήκαηα). Δελ κπήθαλ ινηπόλ, ζηελ δηαδηθαζία λα ζθεθηνύλ πσο πηζαλό λα ήηαλ πην ζσζηόο ν ππνινγηζκόο ηνπ κέζνπ όξνπ ησλ παξαιίσλ όισλ ησλ λεζηώλ, ή ησλ θαηαζηεκάησλ όισλ ησλ λεζηώλ ώζηε ζηελ ζπλέρεηα λα ηνλ ζπγθξίλνπλ κε ηνλ αξηζκό ησλ παξαιίσλ ή θαηαζηεκάησλ θάζε λεζηνύ. Απηό ζα ηνπο βνεζνύζε λα ειέγμνπλ αλ ην λεζί βξίζθεηαη πάλσ ή θάησ από ηνλ κέζν όξν ζηνλ ζπγθεθξηκέλν παξάγνληα, πξάγκα πνπ ίζσο λα ππνδήισλε θαιό ή θαθό λεζί αληίζηνηρα. Σην ζπγθεθξηκέλν ζηάδην όπνπ ε επηθνηλσλία είλαη ζεκαληηθή, παξαηεξήζεθαλ δηαθνξέο κεηαμύ ησλ καζεηώλ δεκνηηθνύ θαη γπκλαζίνπ. Οη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ επηθνηλώλεζαλ πην απνηειεζκαηηθά, εθθξάδνληαο θαη ζπδεηώληαο ηηο ηδέεο ηνπο. Ωο απνηέιεζκα, ην όηη άθνπγαλ θαη ζθέθηνληαλ ηηο εηζεγήζεηο θαη ηα κνληέια ησλ ζπκκαζεηώλ νδήγεζε ζηε ζπκκεηνρή ηνπο ζε κηα επνηθνδνκεηηθή αμηνιόγεζε. Απηό, βνήζεζε ηνπο καζεηέο λα θαηαιήμνπλ ζε θαιύηεξεο θαη πην αλαζεσξεκέλεο ιύζεηο. Αληίζεηα, νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ επηθνηλσλνύζαλ κε έλα δηαθνξεηηθό ηξόπν, επηθεληξώλνληαο ηε ζπδήηεζε ηνπο ζε απνζπαζκαηηθέο πιεξνθνξίεο θαη απνκνλσκέλνπο παξάγνληεο, κε απνηέιεζκα, ελώ αλαγλώξηδαλ ηελ αδπλακία ησλ πξνζεγγίζεσλ ηνπο δελ πεηύραηλαλ ηελ βειηίσζε ηνπο. 5. ΤΕΖΣΖΖ Έλα ζεκαληηθό εύξεκα ηεο παξνύζαο κειέηεο, ην νπνίν ζπλάδεη θαη κε άιιεο έξεπλεο, είλαη ε επηηπρήο ελαζρόιεζε ησλ παηδηώλ ηεο δεκνηηθήο θαη θαηώηεξεο κέζεο εθπαίδεπζεο κε πξνβιήκαηα καζεκαηηθήο κνληεινπνίεζεο, ηα νπνία ζρεηίδνληαη κε θαηαζηάζεηο ηεο πξαγκαηηθήο δσήο (English, 2006: Mousoulides, 2007). Η δξαζηεξηόηεηα πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε ζηελ παξνύζα κειέηε δελ πεξηόξηζε ηελ ειεπζεξία ησλ καζεηώλ, αιιά αληίζεηα ηνπο πξόζθεξε ηελ απηνλνκία λα πξνζεγγίζνπλ θαη λα αλαιύζνπλ ην πξόβιεκα, ιακβάλνληαο ππόςε ηηο πξνϋπάξρνπζεο θαη άηππεο καζεηηθέο ηνπο γλώζεηο. Τα πξνβιήκαηα κνληεινπνίεζεο, όπσο ην ζπγθεθξηκέλν πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε ζηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε, κπνξνύλ λα επηδερζνύλ ιύζεηο δηαθόξσλ επηπέδσλ ζύλζεηεο ζθέςεο (πνιππινθόηεηαο) θαη επηηξέπνπλ κηα πνηθηιία πξνζεγγίζεσλ επίιπζεο, πξνζθέξνληαο ηε δπλαηόηεηα ζε όια ηα παηδηά, αλεμαξηήησο ηεο επίδνζήο ηνπο ζηα καζεκαηηθά, λα πξνζθέξνπλ θαη λα επσθειεζνύλ από απηέο ηηο καζεζηαθέο εκπεηξίεο. Φαξαθηεξηζηηθά, νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ πξνέβεθαλ ζε πνζνηηθνπνίεζε ηνπ πνηνηηθνύ παξάγνληα «νδηθό δίθηπν», ζε ππνινγηζκό ηνπ κέζνπ όξνπ ησλ «ηόπσλ δηαζθέδαζεο» θάζε λεζηνύ, ελώ νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ πεξηνξίζηεθαλ ζε πην απιέο καζεκαηηθέο ηδέεο (π.ρ. ζύγθξηζε λεζηώλ σο πξνο έλα παξάγνληα). Όζν αθνξά ην πξώην ζηάδην ηεο δηαδηθαζίαο κνληεινπνίεζεο, δειαδή, ηελ θαηαλόεζε ηνπ πξνβιήκαηνο, νη καζεηέο ησλ δύν βαζκίδσλ δελ παξνπζίαζαλ ζεκαληηθέο δηαθνξέο. Πηζαλό ιόγν, ίζσο λα απνηειεί ην γεγνλόο, όηη ην ζελάξην ηνπ πξνβιήκαηνο ήηαλ νηθείν ζηα παηδηά, άκεζα ζπλπθαζκέλν κε ηηο πξνζσπηθέο ηνπο εκπεηξίεο, θαη μεθάζαξα δηαηππσκέλν. Σρεδόλ θάζε ρξνληά νη νηθνγέλεηεο απνθαζίδνπλ πνύ ζα πεξάζνπλ ηηο δηαθνπέο ηνπο, ζπγθξίλνληαο δηάθνξνπο πξννξηζκνύο θαη ιακβάλνληαο ππόςε ην θόζηνο ησλ δηαθνπώλ ηνπο. Τν πην πάλσ ζηνηρείν, επέηξεςε
αθόκε θαη ζηνπο καζεηέο δεκνηηθνύ, αλ θαη κηθξόηεξνη ειηθηαθά θαη γλσζηηθά από ηνπο καζεηέο γπκλαζίνπ, λα θαηαλνήζνπλ ην πξόβιεκα πνπ είραλ λα αληηκεησπίζνπλ. Αμίδεη λα ζεκεησζεί πσο ηα παηδηά θαη ησλ δύν βαζκίδσλ, ρξεζηκνπνίεζαλ ηδέεο, εκπεηξίεο θαη πξνζσπηθέο απόςεηο ζηελ πξνζπάζεηα ηνπο λα θαηαλνήζνπλ, λα μεθαζαξίζνπλ θαη λα θαζνξίζνπλ ηελ ζεκαληηθόηεηα ησλ παξαγόλησλ. Αθνινύζσο, ζην δεύηεξν ζηάδην ηεο δηαδηθαζίαο κνληεινπνίεζεο, ην ρεηξηζκό ηνπ πξνβιήκαηνο, δειαδή ηελ εξγαζία ζηνλ «καζεκαηηθό θόζκν», παξαηεξήζεθαλ αξθεηέο δηαθνξέο αιιά θαη θάπνηεο νκνηόηεηεο κεηαμύ ησλ καζεηώλ δεκνηηθό θαη γπκλάζηνπ. Μόλν νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ παξνπζίαζαλ θαη επηθνηλώλεζαλ έλα αξηζκό καζεκαηηθώλ ηδεώλ θαη δηαδηθαζηώλ ηηο νπνίεο εθάξκνζαλ απνηειεζκαηηθά ζηελ ιύζε πξνβιήκαηνο (Mousoulides, Sriraman, Pittalis & Christou, 2007). Οη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ, ρξεζηκνπνίεζαλ ηθαλνπνηεηηθά ηελ νκαδνπνίεζε παξαγόλησλ, ηε ζεηξνζέηεζε παξαγόλησλ θαη ηελ απόδνζε βαζκνινγίώλ ζε ππννκάδεο παξαγόλησλ, αιιά επίζεο θαη ηελ έλλνηα ηνπ κέζνπ όξνπ. Φπζηθά, πξέπεη λα ζεκεησζεί όηη παξόιν πνπ νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ θαηαπηάζηεθαλ κε ηελ έλλνηα ηνπ κέζνπ όξνπ, εληνύηνηο πξνέβεθαλ κόλν ζε αιγνξηζκηθνύο ππνινγηζκνύο, ρσξίο λα αληηιακβάλνληαη ηελ πξαγκαηηθή, ελλνηνινγηθή ζεκαζία ηνπ. Αληηζέησο, παξόιν πνπ νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ παξνπζίαζαλ έλα αξηζκό καζεκαηηθώλ δηαδηθαζηώλ (ζύγθξηζε λεζηώλ ζε έλα παξάγνληα, εληνπηζκό θαιύηεξνπ λεζηνύ ζε θάζε παξάγνληα), δελ θαηάθεξαλ λα ηηο εθαξκόζνπλ απνηειεζκαηηθά ζηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο, αιιά ηηο ρξεζηκνπνίεζαλ κεξηθώο ρσξίο ηδηαίηεξε επηηπρία (Mousoulides, Sriraman, Pittalis & Christou, 2007). Μηα δηαθξηηή δηαθνξά ησλ ιύζεσλ ησλ καζεηώλ ηνπ δεκνηηθνύ από ηηο πξνηεηλόκελεο ιύζεηο ησλ καζεηώλ γπκλαζίνπ ήηαλ ε δπζθνιία δηαθπγήο από ηελ απνζπαζκαηηθή πξνζέγγηζε θαη επεμεξγαζία ησλ δεδνκέλσλ. Η αδπλακία ηνπο λα νκαδνπνηήζνπλ ηνπο παξάγνληεο («ηόπνη δηαζθέδαζεο»), ηνπο αλάγθαζε λα αληηκεησπίζνπλ θάζε παξάγνληα μερσξηζηά θαη λα ππεξεθηηκήζνπλ θάπνηνπο από απηνύο ζηελ πξνζπάζεηα ηνπο λα θαηαιήμνπλ ζε κηα ιύζε. Εθηόο από ηηο δηαθνξέο, κηα νκνηόηεηα πνπ εληνπίδεηαη κεηαμύ ησλ νκάδσλ ησλ δύν βαζκίδσλ, απνηειεί ε αλαγλώξηζε ηεο αλάγθεο γηα νκαδνπνίεζε θαη άζξνηζε ησλ παξαγόλησλ πνπ ζρεηίδνληαλ κε ην θόζηνο. Η επθνιία ησλ καζεηώλ ηνπ δεκνηηθνύ λα αλαγλσξίζνπλ ηελ νκαδνπνίεζε ζε απηή ηελ πεξίπησζε, πηζαλό λα νθεηιόηαλ ζηελ ίδηα θύζε ησλ ηξηώλ παξαγόλησλ ηνπ θόζηνπο (ρξήκαηα). Σρεηηθά κε ην ηξίην ζηάδην ηεο κνληεινπνίεζεο, ηνλ έιεγρν θαη εξκελεία ηεο επίιπζεο πξνβιήκαηνο, παξνπζηάζηεθαλ δηαθνξέο κεηαμύ ησλ δύν νκάδσλ ησλ καζεηώλ. Μηα ζεκαληηθή δηαθνξά έγθεηηαη ζην γεγνλόο όηη νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ έδεημαλ λα πξνβιεκαηίδνληαη θαη λα ζπδεηνύλ πεξηζζόηεξν γηα ηα κνληέια πνπ εθθξάζηεθαλ από ηελ νκάδα, ζε ζρέζε κε ηνπο καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ, νη νπνίνη πηνζεηνύζαλ ακέζσο ηηο δηάθνξεο ηδέεο πνπ εθθξάδνληαλ ζηελ νκάδα, ρσξίο λα πξνβαίλνπλ ζε έιεγρν ησλ κνληέισλ. Οη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ αθνύ αλαγλώξηζαλ ηελ αδπλακία ηεο αξρηθήο ηνπο πξνζέγγηζεο ηελ αλαζεώξεζαλ θαη ηελ βειηίσζαλ. Επνκέλσο ν έιεγρνο απηόο ηνπο νδήγεζε ζε θαιύηεξεο ιύζεηο, πξάγκα πνπ δελ έγηλε ζηηο νκάδεο ηνπ δεκνηηθνύ παξόιν πνπ αλαγλώξηδαλ ηελ αλάγθε απινπνίεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο.
Τέινο, θαηά ην ηέηαξην ζηάδην ηεο κνληεινπνίεζεο, αμίδεη λα ζεκεησζεί πσο νη νκάδεο ησλ δύν βαζκίδσλ, ελώ πξνζπάζεζαλ λα επηβεβαηώζνπλ ηηο ιύζεηο ηνπο, δελ πξνέβεθαλ ζε ηθαλνπνηεηηθή επηβεβαίσζε. Η δηαθνξά έγθεηηαη ζην γεγνλόο πσο νη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ ην πέηπραλ ζε κεγαιύηεξν βαζκό από όηη νη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ. Επηπξόζζεηα, ε επηθνηλσλία ησλ πξνηεηλνκέλσλ ιύζεσλ θαη ε αμηνιόγεζή ηνπο, ήηαλ αθόκα έλα ζηνηρείν πνπ δηαθνξνπνίεζε ηνπο καζεηέο Ση δεκνηηθνύ θαη Γ γπκλαζίνπ. Οη καζεηέο ηνπ γπκλαζίνπ ζπδήηεζαλ εθηελώο ηηο πξνηεηλόκελεο ιύζεηο ηνπο, αμηνιόγεζαλ, αλαζεώξεζαλ θαη βειηίσζαλ κε πνιύ επέιηθην ηξόπν ηα κνληέια ηνπο (Mousoulides, Sriraman, Pittalis & Christou, 2007). Οη καζεηέο ηνπ δεκνηηθνύ ιόγσ ηεο κε απνηειεζκαηηθήο επηθνηλσλίαο, ε νπνία εζηηαδόηαλ θπξίσο ζε απνζπαζκαηηθέο πιεξνθνξίεο, δελ ήηαλ παξαγσγηθνί, κε απνηέιεζκα λα κελ θαηαθέξνπλ λα βειηηώζνπλ ζε ζεκαληηθό βαζκό ηα κνληέια θαη ηηο ιύζεηο ηνπο. Παξόιν πνπ είλαη δύζθνινο ν εληνπηζκόο ησλ ιόγσλ δηαθνξνπνίεζεο κεηαμύ ησλ νκάδσλ δεκνηηθνύ θαη γπκλαζίνπ, είλαη ζεκαληηθή ε εμέηαζε πσο απηέο νη δηαθνξέο κπνξνύλ λα επεξεάζνπλ ηνλ ζρεδηαζκό θαη ηελ εηζαγσγή ησλ δξαζηεξηνηήησλ κνληεινπνίεζεο ζην δεκνηηθό θαη ζηελ θαηώηεξε κέζε εθπαίδεπζε. Απηέο νη δηαθνξέο πηζαλόλ λα παίδνπλ ξόιν ζηελ πνηθηιία δηαθνξεηηθόηεηαο θαη πνιππινθόηεηαο ησλ κνληέισλ πνπ θηηάρλνπλ νη καζεηέο. Ο ζρεδηαζκόο ησλ δξαζηεξηνηήησλ κνληεινπνίεζεο πξέπεη λα ιακβάλεη ππόςε ηηο καζεκαηηθέο έλλνηεο πνπ αλέπηπμαλ ήδε νη καζεηέο θαη επηπξόζζεηα λα κελ πεξηνξίδεη ηηο πξνζπάζεηεο ηνπο ζηελ επίιπζε ηέηνησλ πξνβιεκάησλ. ΒΗΒΛΗΟΓΡΑΦΗΑ Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modeling, applications, and links to other subjects state, trends, and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 37-68. Doerr, H., & English, L. D. (2003). A Modeling perspective on students mathematical reasoning about data. Journal of Research in Mathematics Education, 34(2), 110-136. English, L.D. (2003). Reconciling theory, research, and practice: A models and modeling perspective. Educational Studies in Mathematics, 54, 225 248. English, L.D. (2006). Mathematical Modeling in the primary school. Educational Studies in Mathematics, 63(3), 303-323. English, L., & Lesh, R. (2003). Ends-in-view problems. In R. Lesh and H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: A models & modeling perspective on mathematics problem solving, learning & teaching (pp. 297 316). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc. English, L., Watters, J. (2004). Mathematical Modeling in the Early School Years.
Mathematics Education Research Journal, 16, 59-80. Greer, B. (1997). Modelling reality in mathematics classrooms: The case of word problems. Learning & Instruction, 7, 293 307. Greer, B., Verschaffel, L., & Mukhopadhyay, S. (2007, in press). Modelling for life:mathematics and children's experience. In W. Blum, W. Henne, & M. Niss (Eds.), Applications and modelling in mathematics education (ICMI Study 14). Dordrecht: Kluwer. Kelly, A. E., & Lesh, R. A. (Eds.) (2000). Handbook of Research Design in Mathematics and Science Education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Lesh, R., & Doerr, H.M. (2003). Beyond Constructivism: A Models and Modeling Perspective on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Lesh, R., & Zawojewski, J. S. (2007). Problem solving and modeling. In F. Lester (Ed.), Second Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 763-804). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Mousoulides, N. (2007). The modeling perspective in the teaching and learning of mathematical problem solving. Unpublished doctoral dissertation. Nicosia: University of Cyprus. Mousoulides, N., Sriraman, B., Pittalis, M., & Christou, C. (2007). Tracing students modelling processes in elementary and secondary school. 5 th European Conference on mathematics education. Larnaca. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Sriraman, B., & Lesh, R. (2006). Beyond Traditional conceptions of modeling. Zentralblatt fuer Didaktik der Mathematik, 38(3), 247-254. Zawojewski, J. S., Lesh, R., & English, L. (2003). A models and modeling perspective on the role of small group learning activities. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching (pp. 337-358). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.