Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Transcript

1 Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 )

2 Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2

3 Οξηζκόο Σήκαηνο Ψο ζήμα νξίδνπκε ην ζύλνιν ηηκώλ πνπ ιακβάλεη κηα πνζόηεηα. Μαζεκαηηθά απηό εθθξάδεηαη σο κηα ζπλάξηεζε ή αθνινπζία ηηκώλ κηαο ή πεξηζζόηεξσλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ. Σπκβνιηζκόο: x(t), t: αλεμάξηεηε κεηαβιεηή. Τα ζήκαηα πεξηέρνπλ πιεξνθνξίεο ζρεηηθά κε ηελ ζπκπεξηθνξά ή ηε θύζε ελόο θαηλνκέλνπ. 3

4 Ταμηλόκεζε ησλ ζεκάησλ Σήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ θαη ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ x(t) είλαη ζπλερνύο ρξόλνπ αλ ε t είλαη ζπλερήο κεηαβιεηή x(t) είλαη δηαθξηηνύ ρξόλνπ αλ ε t νξίδεηαη ζε δηαθξηηέο ρξνληθέο ζηηγκέο ( Σπκβνιηζκόο: x[n], όπνπ n αθέξαηνο ) Αλαινγηθά θαη ςεθηαθά ζήκαηα Αλαινγηθό ζήκα: ην ζήκα (x(t) ή x[n]) κπνξεί λα πάξεη άπεηξεο ηηκέο Χεθηαθό ζήκα: ην ζήκα x[n] κπνξεί λα πάξεη ηηκέο από έλα πεπεξαζκέλν πιήζνο Πνηά είλαη ε δηαθνξά ςεθηαθνύ θαη ελόο ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ; 4

5 Ταμηλόκεζε ησλ ζεκάησλ Πξαγκαηηθά θαη κηγαδηθά ζήκαηα Νηεηεξκηληζηηθά θαη ηπραία ζήκαηα 5 Νηεηεξκηληζηηθά: νη ηηκέο ηνπ θαζνξίδνληαη πιήξσο γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή (πρ. εκίηνλν) Τπραία: νη ηηκέο ηνπ είλαη ηπραίεο θαη θαζνξίδνληαη κε ζηαηηζηηθό ηξόπν (πρ. ζόξπβνο) Σήκαηα ελέξγεηαο θαη ηζρύνο Ελέξγεηα: Ιζρύο: Αλ Αλ 2 E x() t dt T 1 2 P lim x( t) dt T T T E ηόηε ην ζήκα θαιείηαη ζήκα ελέξγεηαο. (P=) P ηόηε ην ζήκα θαιείηαη ζήκα ηζρύνο.

6 Ταμηλόκεζε ησλ ζεκάησλ Πεξηνδηθά θαη κε πεξηνδηθά ζήκαηα 6 Έλα ζήκα x(t) θαιείηαη πεξηνδηθό αλ ππάξρεη ζεηηθόο αξηζκόο Τ ηέηνηνο ώζηε λα ηζρύεη: x( t T ) x( t) Τ : πεξίνδνο, f =1/ Τ : ζεκειηώδεο ζπρλόηεηα Κάζε ζήκα πνπ δελ ηθαλνπνηεί ηελ παξαπάλσ ζρέζε θαιείηαη μη περιοδικό ζήκα. Αηηηνθξαηηθά θαη κε αηηηνθξαηηθά ζήκαηα Έλα ζήκα ιέγεηαη αηηηνθξαηηθό αλ γηα θάζε t< ηζρύεη x(t)=. Με αηηηνθξαηηθό αλ δελ ηζρύεη ε παξαπάλσ ζπλζήθε.

7 Σεηξέο Fourier Έζησ ην ζήκα x(t) κε πεξίνδν Τ. Οξίδνπκε ηε ζεηξά Fourier ηνπ x(t) σο: 7 x() t c n 1 T n T T c e n j2 nf t x() t e j2 nf t

8 Σεηξέο Fourier Αλ ην πεξηνδηθό ζήκα x(t) είλαη πξαγκαηηθό ηόηε ηζρύεη: 8 c n όπνπ: c e i n n θαζκα θάζεο θαζκα πιάηνπο c n n : είλαη ην πιάηνο : είλαη ε γσλία θάζεο ηνπ πιάηνπο

9 Ιζρύο Πεξηνδηθνύ Σεκαηνο: T 1 2 P x() t dt T T Σεηξέο Fourier Δει. ε ηζρύο ελόο πεξηνδηθνύ ζήκαηνο είλαη ίζε κε ηελ κέζε ηεηξαγσληθή ηηκή ηνπ ζήκαηνο ζε κηα πεξίνδν. 1 T T 9 Θεώξεκα Parseval: T 2 n 2 n x( t) dt c

10 Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Ο Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier απνηειεί γελίθεπζε ησλ ζεηξώλ Fourier γηα κε πεξηνδηθά ζήκαηα. 1 Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier : j2 ft X ( f ) F{ x( t)} x( t) e dt Αληίζηξνθνο Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier : 1 1 j2 ft x( t) F { X ( f )} X ( f ) e df 2 Οη δύν παξαπάλσ εμηζώζεηο θαινύληαη δεύγνο κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier.

11 Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier - Ιδηόηεηεο 11 Σπκβνιηζκόο: x( t) X ( f ) 1. Γξακκηθόηεηα (Υπέξζεζε) : 2. Φξνληθή Καζπζηέξεζε: a x ( t) a x ( t) a X ( f ) a X ( f ) x( t t ) X ( f ) e 3. Μεηαηόπηζε Σπρλόηεηαο: 4. Αιιαγή Κιίκαθαο: j2 ft x t e X f f j2 ft ( ) ( ) 1 f x( at) X a a

12 Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier - Ιδηόηεηεο 5. Αληηζηξνθή Φξόλνπ: 12 x( t) X ( f ) 6. Δηαθόξηζε: 7. Οινθιήξσζε: 8. Δπαδηθόηεηα: d x( t)' x( t) j2 fx ( f ) dt t 1 x( r) dr X ( f ) X () ( f ) j2 f X ( t) 2 x( f )

13 Σπλέιημε x( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( t r) dr x ( t) x ( t) X ( f ) X ( f )

14 Σπζρέηηζε Η έλλνηα ηεο ζπζρέηηζεο δύν ζεκάησλ εθθξάδεη ηνλ βαζκό ομοιόηηηας απηώλ. Είλαη ηδηαίηεξα ρξήζηκε ζηηο ηειεπηθνηλσλίεο αθνύ ζε πνιιέο πεξηπηώζεηο είλαη αλαγθαία ε γλώζε κηαο παξακέηξνπ πνπ λα εθθξάδεη ηελ νκνηόηεηα κεηαμύ ηνπ εθπεκπόκελνπ θαη ηνπ ιακβαλόκελνπ ζήκαηνο. 14

15 Σπζρέηηζε Σήκαηα ελέξγεηαο: Εηεξνζπζρέηηζε: x ( t), x ( t) R ( r) x ( t) x ( t r) dt Απηνζπζρέηηζε: R ( r) x ( t) x ( t r) dt Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα Ελέξγεηαο θαιείηαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο ζπλάξηεζεο εηεξνζπζρέηηζεο ησλ ζεκάησλ ελέξγεηαο.

16 Σπζρέηηζε Σήκαηα ηζρύνο: Εηεξνζπζρέηηζε: 16 x1( t), x2( t) T 1 R ( r) lim x ( t) x ( t r) dt T T T Απηνζπζρέηηζε: T 1 R ( r) lim x ( t) x ( t r) dt T T T Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα Ιζρύνο θαιείηαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο ζπλάξηεζεο εηεξνζπζρέηηζεο ησλ ζεκάησλ ηζρύνο.

17 17 Τέινο