ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2000-2010 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΥΝ ΕΣΜΟ http://users.sch.gr/apappas/askhseis.files/lyseis/masthm.pdf Pappas Ath...page 2
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσει f, g είναι παραγωγίσιµε, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Μονάδε 8 β) Να γράψετε στο τετράδιό σα τι παραγώγου των παρακάτω συναρτήσεων: f(x) cf(x), f(x)g(x), µε g(x) 0, g(x) όπου c πραγµατική σταθερά. Μονάδε 4,5 Β. α) Να γράψετε στο τετράδιό σα τα γράµµατα τη στήλη Α και δίπλα τον αριθµό τη στήλη Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β συνάρτηση πρώτη παράγωγο α. x 2 +3 1. 1-ηµx β. x+συνx 2. 3x 2-8x γ. xηµx 3. 2x+3 δ. x 3-4x 2 4. ηµx-xσυνx Pappas Ath...page 3
5. 2x 6. 3x 2-4x 7. ηµx+xσυνx Μονάδε 8 β) Να γράψετε στο τετράδιό σα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγο τη συνάρτηση x e f(x) =, x 0 είναι: x Α: e x x e x xe, B:, Γ: 2 x x e x x x e xe x e :, Ε: 2 x x e x x + 2 x e x Μονάδε 4,5 ΘΕΜΑ 2ο A. Να γράψετε στο τετράδιό σα τον πίνακα των τιµών τη µεταβλητή Χ σωστά συµπληρωµένο. Τιµέ Μεταβλητή Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f i % N i x i ν i x 2 2 x ν i i i 1 10 10 1 10 2 35 4 3 9 ΣΥΝΟΛΟ ν=50 1 100 Μονάδε 16, Pappas Ath...page 4
B. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. Μονάδε 4 Γ. Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι s 2 =0,49. 2 k x ν 1 k i i 2 2 i 1 ίνεται ότι: s xi ν = = i ν i= 1 ν Μονάδε 5 ΘΕΜΑ 3ο Από 120 µαθητέ ενό Λυκείου, 24 µαθητέ συµµετέχουν στο διαγωνισµό τη Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία, 20 µαθητέ συµµετέχουν στο διαγωνισµό τη Ενωση Ελλήνων Φυσικών και 12 µαθητέ συµµετέχουν και στου δύο διαγωνισµού. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητή : Α. να συµµετέχει σ έναν τουλάχιστον από του δύο διαγωνισµού ; Mονάδε 8 Β. να συµµετέχει µόνο σ έναν από του δύο διαγωνισµού ; Mονάδε 8 Γ. να µη συµµετέχει σε κανέναν από του δύο διαγωνισµού ; Mονάδε 9 Pappas Ath...page 5
ΘΕΜΑ 4ο Στα σχολεία ενό ήµου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικό χρόνο υπηρεσία των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσία Σχετική Συχνότητα [ - ) f i % 0-5 10 5-10 15 10-15 12 15-20 15 20-25 18 25-30 18 30-35 12 Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσία ; Μονάδε 5 Β. Με την προ πόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικό θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συµπληρώσει 35 χρόνια: α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα 12,5 χρόνια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σα. Μονάδε 10 β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθµό των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του ήµου να παραµένει ο ίδιο ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σα. Μονάδε 10 Pappas Ath...page 6
1 14 2001 : : (6) 1 1. µ µ : () = () (). 8,5 2. µ µ µ µ µ, (=,, ) : ()... 1() 2 ()... (). 1. 2 µµ 1 Pappas Ath...page 7
2 µ µ µ () + () < 1. () = () 2() = (). 4 2. µµ 3., () = µ: 1 4 5 12 1 5 () = () 4 12 3 2 6 1. 2,5 µµ µµ µ, µ µ () = 1, () = 3 1 4 () = 1. 5 2 Pappas Ath...page 8
3 () ( B A ) ( A B) 1. 2. 3. 4. 5. 1 20 2 15 4 5 1 12 19 20 6 2 f(x) = x+µx. A. f(x) + f (x) = 0. 8 µ f µ (0,1). 8 µ IR : f 2 f = 2. 2 2 9 3 Pappas Ath...page 9
4 3 µ 80 µ µ µ 4 [ ) F i 45-55 0,2 55-65 0,5 65-75 75-85, µ 8 µ µ µ 9 µ µ 80 µ µ µ 65 4 µ µ 55 µ 75 4 4 Pappas Ath...page 10
5 4 µ µ,, 50% µ 12, 16% 10 µ µ µ µ µ µ µ 6, µ µ 6 µ 4.000, µ µ 14 16 6 µ, µ, µ 5 µ µ (CV). 7 5 Pappas Ath...page 11
1 30 2001 : 1 1. 2. f µ µ, : c f(x) c f(x), c µ µ 6,5 µµ f(x) g(x) fg(x) fg(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g (x) g (x) f(x) g(x) g (x) f(x) 2 g(x) x =x -1,, x>0 µ x = x x = µx, (g(x) 0) 6 1 Pappas Ath...page 12
2 1. µµ µµ µ, f 2 x ln 2, x > 0 1. f 1 x 1 2 µx 2. 33x, x 0 x µ3x 3. 4. µx xx 1 x x 2 5. xx x 2 6. 33x µx 7,5 1 4 2. f(x)= (x 1) f() 27, µ 4 µ, µ 5 2 Pappas Ath...page 13
3 2 µ 20 µ µ ( C). µ µ µ µ 24,4 C, : µ µ 24 C 25 C µ µ x i µ v i 22 2 23 4 24 25 26 2 27 3 10 µ µ 5 µ µ 24,5 C, µ µ 24 C 25 C. 10 3 To 80 µ 11 µ 26 µ 8 µ µ 14, 30% µ µ 17, 48 µ µ 20 15% µ 23 µ 10 3 Pappas Ath...page 14
4 µ µ µ 20, µ 80 µ 7 µ µµ, µ µ 8 4 µ 400 µ µ µ µ µ 340 240 µ µ µ µ µ 5 : (-) 5 3 5 µ µ 8 µ µ µ 7 4 Pappas Ath...page 15
1 28 2002 : : (4) 1 A µ x 1,x 2,,x k µ µ µ, µ µ µ, k, µ µ µ µ k µ i, µ x i, i = 1,2,,k; 3 µ f i µ x i, i = 1,2,,k; : i) 0 f i 1 i = 1,2,,k 3 ii) f 1 + f 2 + + f k = 1. 4 1. µ µ µ, µ : ( ) = () + (). 8 1 Pappas Ath...page 16
2 2. µ µ µ 5 µ µ : i) P() ii) (). 2 2 f(x) = 2x x 1. µ f. 4 lim f(x) x3. 4 f. 7 µ µ f y = 2x + 5. 10 3 10 µ µ, : 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. 2 Pappas Ath...page 17
3 µ µ, µ µ 6, µ 6 µ µ 10%, µ µ 13 4, µ µ µ () + () 2( ). µ : f(x) = (x - P(AB)) 3 - (x - P(AB)) 3, x R. P(AB) P(AB). 5 f(x) µ P(A ) P(B) µ x. 2 13 µ, µ, f(p(a)) = f(p(b)). 7 3 Pappas Ath...page 18
1 4 2002 : 1 1. µ µ µ ; 4 A2. µ f µ µ ; 4 3. f(x)=x f(x)=1. 10 1. µ µ µ µ x 1, x 2,...,x k µ 1, 2,..., k µ µ x ; 4 1 Pappas Ath...page 19
2 2. µ µ µ x 1, x 2,...,x µ µ µ µ () w 1, w 2,...,w µ µ µµ...... µ... µ x =.... 3 2 f(x)=x(2-x), R. µ µ f µ (0, f(0)) µ µ xx 45 10 =1/2, : µ f µ (1, f(1)). 5 f. 10 2 Pappas Ath...page 20
3 3 µ, µ µ µ µ µµ µ µ 10 µ 20. 10 µ µ µ 12 µ 14. µ µ 50. 8 µ 5 µµ 7 µ µ 50 µ µ µ µ µ 16. 5 3 Pappas Ath...page 21
4 4 ={1, 2, 3, 6} µ µ µ k i) P(k)= k 1 ii) (k)= 2 1 k iii) P(k)= 1 2k 8 µ µ : 1, 1, 7, k, k, 3, 3, 3 k µ, µ P(k) = 1. 2k µ, µ, ={k : µ µ 0 =3} ={k : µ µ x = 2,5}. µ µ 8 P(A), P(B) P(). 9 4 Pappas Ath...page 22
1 27 2003 : : (4) 1 f(x) = x f(x) = 1. 8 µ f µ µ ; 6 µ µ () µ 6, µµ µ µ µ µ µ (f(g(x))) = f (g(x)). g (x) f, g µ µ µ µ, =. µµ µ µ µ 5 1 Pappas Ath...page 23
2 2 55%, 40% 30% µ : 5 5 7 8 3 x f(x) = x 2 1 µµ µ : R (-1,1) R- {-1,1} (1, + ) 5 µ lim x1 f(x)<0 x x 1 f(x) 7 6 µ µ f µ (0, f(0)) µ xx. 7 2 Pappas Ath...page 24
3 4 µ,, µ µ ( µ ) µ (µ ) µ µ µ 1 7 8 14 9 6 5 4 3 12 4 5 µ µ µ µ 6 µ µ µ 5 µ 20% µ 5 µ, µ µ µ µ; 8 µ µ µ µ µ 6 ( µ) 1. µ (µµ, µ µµ). µ µ 3 Pappas Ath...page 25
1 3 2003 : : (4) 1 µµ µ µ, : ( ) = 1 ( ) 9 µµ f µ µ x 0 µ, : lim f(x0 h0 h) f(h) h µ µ, h R, h 0 lim f(x0 h) f(x0) h0 h, h R, h 0 lim f(x0 h) f(x0) h0 h µ µ, h R, h 0 lim f(x0 h0 h) f(h) h, h R, h 0. 5 1 Pappas Ath...page 26
2 µµ µ : µ µ 5 µ 6 2 f(x) x 1. µ 5 µ µ f, x=3, µ 3 2 4 h(x) =. f(x) 3 x 2 10 x 2, lim h(x) x2. 10 3 µ 30 µ, µµ 1 30. µ µ µ µ µ µ 5. 2 Pappas Ath...page 27
3, µµ µ, : (), P (B) () () PA 6 6 6 7 4 µ µ µ 50% µ µ 65 Kg, 47,5% 65 Kg 75 Kg. µ µ, µ µ µ 6 µ µ 6 µ µ, 55 Kg 70 Kg. 6 µ µ µ 55 Kg 60 Kg, 27. µ µ 7 3 Pappas Ath...page 28
1 25 2004 : : (4) 1 f(x) = c µ 0. 8 µ µ f µ x 0 µ 5 µµ µ x i µ µ µ µ 95% µ ( x s, x + s), x µ µ s µ i µ µ µ µ µ, f i µ x i. 6 1 Pappas Ath...page 29
2 µ µ µ µ µ µµ µµ µ µ, µ 2 µ 1 3 () 4 µ 6 2 2 x 4x 3 f µ f(x). x 3 µ f. B. lim f(x). x 3 10 15 2 Pappas Ath...page 30
3 3 µ 200 µ, 5 45 µ µ µ µ : µ. x i i µ. f i % i µ. F i % [5, 15) 60 [15, 25) 68 [25, 35) 180 [35, 45) 200 µ µ µ µ 10 µµ (x i, f i %) 5 µ µ x. 5 µ 25 µ 5 4 3 5 2 f µ f(x) 2x x x 10. 2 P(A) P(B) µ µ µ µ x, f µ 3 Pappas Ath...page 31
4 P(A) 1 2 P() 1 3 9 µ P(A), P(B) P(AB) = 3 2, : i. P(AB) ii. P(A-B) iii. P[(AB)] iv. P[(A-B) (-)]. 16 ( µ) 1. µ (µµ, µ µµ). µ µ µ µ µ µ µ 2. µµ µ, µ µ µ µ µ µ, µ 3. µ 4. µ µµ 5. : (3) µ µ 6. : µ 10.30 K 4 Pappas Ath...page 32
1 7 2004 : : (3) 1 µ µ µ, () (). 1 7 µ µ µ ; µ µ µ 6, µµ lim f(x) 1 x x 0 lim (f(x) g(x)) 12 x x 0 0 lim g(x) 2, x x f µ µ µ x 1 A, f(x)f(x 1 ) x µ x 1. (f(x)g(x)) = f(x)g(x) + g(x)f(x), f g µ 1 x µ x. x µµ µ µ () = 1 + (). µ µ µ 12. 0 Pappas Ath...page 33
2 2 f µ x 2 f(x). µ f(x) 1 f(x). e x e x 9 8 µ f µ (0, f(0)). 8 3 µ µ µ 25 µ µ 14, µ µ µ 10 µ µ µ 11. µ µ µ 15 µ 12 µ µ 25 µ 5000, µ (CV). 13 4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} µ µ f : IR IR µ 1 f(x) x3 kx2 4x 2, k 3 P(1) = P(3) = P(5) = 2P(2) = 4P(4) = 2P(6), : µ 2 Pappas Ath...page 34
3 µ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6). 8 µ, : «µ» : «µ». 8 µ, : «f IR». 9 1. µ (µµ, µ µµ). µ µ µ µ µ µ µ 2. µµ µ, µ µ µ µ µ µ, µ 3. µ 4. µ µµ 5. : (3) µ µ 6. : 10:00. K 3 Pappas Ath...page 35
1 28 2005 : : (4) 1 : P(AB) = P(A) + P(B) P(AB). 10 ; 3 ; 4, f f(x)>0, f 2 f(x) f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g(x) 2, f, g 2 1 Pappas Ath...page 36
2 P(A) > P(B). 2 2 2 Bi B: i 25 20 15 10 5 0 4 8 12 16 20 : / [ ) [4, 8) [8,12) [12,16) [16,20) x B Bi Bi B f B Bi B Bi F B Bi 10; 11 8 6 2 Pappas Ath...page 37
3 3,, : (i), 8 7. (ii) P(B), P(AB) 1 5 k,,, 2 4 3x 15 k = lim. x5 x 2 6x 5 k. 5 P(B), P(AB) 8 : (1) 6 (2) 6 4 1 f f(x), x(0, ). x f (1,1). 7 (x, y) f xx yy, x, Oy 3 Pappas Ath...page 38
= 4, 10 () x = 5 sbx B 2. y sby B 8 U 1. (, ). U U 2., U U., 3. 4. 5. : (3) 6. : 10.30 K 4 Pappas Ath...page 39
1 8 2005 : : (4) 1 A.1. F(x), f(x) g(x) F(x) = f(x)+g(x). A.2. f, g, : F(x) = f(x) + g(x). 9 x, > 0, x < 0 ; 4 x,, x>0, (lnx)= x 1. 2 2 1 Pappas Ath...page 40
2, f i v i, F i, N i. 2 2, ()=(), ()=(). 2 2 2 f(x) = lnx - x 2, R. f. 3 f x, 5, (1,1) f y=3x-2. lim x2 (f(x) x 3 ). 10 7 2 Pappas Ath...page 41
3 3o 50% 20. 81,5% (16,22) x 3s, x 2s, x s, x. _ x 20 s 2. 10 *, _ ( x s, x s) 95% 5 R, f(x)= 4 R 2 2 x (x 4) x 9s. 10 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},, A B1,2,3,4,5,6, A B1,3,4, A - B2,6 x 1 x / 2 x -1 (), (), (). 9, 3 3 Pappas Ath...page 42
4, 3 s 2, 3, 5,, = { / s 2 > 24}. 10 1. (, ). 2. 3. 4. 5. : (3) 6. : 10.30 K 4 Pappas Ath...page 43
1o 1 25 2006 : : (4) A. f R. c (c f(x))=c f(x), x R. 10 B., ; 3 f ; 4, f, x 0 A, f(x) f(x 0 ) x x 0. 2 A,,, 2 1 Pappas Ath...page 44
2 1 1 x0 : 2 x x. 2 2 2 50, : x i i 0 +4 1 5+8 2 4 3-1 4 2 50 3 : 7 7 3 8 2 Pappas Ath...page 45
3 3o x (x+4) 2, x 7 19 1 100,, 8,, ; 10 4 f(x) = -2x 2 +kx + 4 x + 10, x0. A (1,f(1)) xx, k=2 5 x =f(1) 3 Pappas Ath...page 46
4 2f(4) s=., 13, 8. (i) (10,16). 10 (ii), >0,, 10 ( ) 1. (, ). 2., 3. 4. 5. : (3) 6. : 10.30 K 4 Pappas Ath...page 47
1 3 2006 : : (4) 1 A., : P() =1 (). 9 1 f x 0 A; 3 2 f ; 3,,, : (x) =x, x IR. 2 2 1 Pappas Ath...page 48
2 (CV) 2 2, : P() P(AB) P(). 2 2 f(x) = e x (x 2 +x+9),ir. f (2,e 2 ) y = e 2 x+3e 2, : =1 = 6. f. 12 13 3o 0,7 0,1. 15 2 Pappas Ath...page 49
3 0,6 : i.. ii.. 10 4 2006 : x i f i [...... )... 0,1 [... 7 )...... [...... )... 0,3 [...... ) 10... /////////////////////// 1 4 f 4 2 f 2, : c 2. 10, 5 3 Pappas Ath...page 50
4 i. x. ii. s. 4 6 : k 2 ( x k i i) 2 1 2 i1 s xii. i1 ( ) 1. (, ). 2., 3. 4. 5. : (3) 6. : 10.30 4 Pappas Ath...page 51
1o 1 22 2007 : : (4) A. ( ) = () (). 8 B. f x 0 ; 4 (), 3 1.,,,,, F i x i. 2 1 Pappas Ath...page 52
2 2. f, g, : fgx f (g(x)) g (x). 2 f f(x 0 )=0 x 0 (,), f(x)0 (,x 0 ) f(x)0 (x 0,), f (,) x=x 0 2 : f 1 (x)=x, f 2 (x)=lnx, x0 f 3 (x)= x, x0 f 4 (x)=x, x 4 2 f(x)=xe x +3, x f(x)=f(x)+e x 3 10 x f(x) e lim x0 x 2 x. 15 2 Pappas Ath...page 53
3o 3 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ( 1)=(0)=(1)=(2)=2(3)=2(4)=2(5). : A 2 2 1, 3, x x 3, B 2, x1, 2x x 2, 2x1 x, ( 1), (0), (1), (2), (3), (4), (5). 7 x AB={ 1,3}. x= 1 : 8 P(A) 5, 11 P(B) 7 11, P(A B) 3 11 ( ) (). 10 4 : : 12, 18, t 3, t 4,..., t 25 B: 16, 14, t 3, t 4,..., t 25. t 3 +t 4 +... +t 25 =345. x A x B x x 15. A B 7 3 Pappas Ath...page 54
2 s A 4, 2 2 16 sa sb. 25 8 1 CV A, CV B 15 2 s B 10 ( ) 1. (,, ). 2., 3. 4., 5. 6. : (3) 7. : 10:30 K 4 Pappas Ath...page 55
1 29 2007 : : (4) 1 A. f(x)=x f(x)=1. 8 4 : i) () ii) (). 3 1.,, f i, i=1,2,,, x i i, : i =360f i, i=1,2,, 2 1 Pappas Ath...page 56
2 f, g g(x)0, f(x) g(x) f (x) g(x) f(x) g g(x) 2 (x). 2 A f f(x)>0, f 2 2. : f 1 (x)=e x f 2 (x)= x 1 x x0. f 3 (x)=x f 4 (x)=c x x c 4 2 x f(x)=. 2 x x1 f(x). lim f(x) 1. x 5 8 f(x) 12 2 Pappas Ath...page 57
3 3o = {1, 2, 3, 4, 5}., : = {x/ 0 n(x1) < n3}, B = {x/ (x 2 5x)(x1)= 6(x1)}. () (). 8 () = 4 1, (). 7 () = 4 1 () = 8 1, (X), = 10 4 x 1, x 2,..., x 11 : 7, 5,, 2, 5,, 8, 6,, 5, 3,,,, x = 6, = 6 R = 8,,, 2 + 2 + 2 = 217. 8,,,, 58 s x = 11 8 3 Pappas Ath...page 58
4 y 1, y 2,,y 11 x 1,x 2,, x 11 c 1 c 2. A y=9 s y =2s x, c 1 c 2. 9 ( ) 1. (,, ). 2., 3. 4., 5. 6. : (3) 7. : 10:00 K 4 Pappas Ath...page 59
1o 1 22 2008 : : (5) A. f(x)=c ( x ) 0, (c)= 0. 8 B. _ X, x 0, _ x 0; 7,,, ()=()+() () 2 t 1, t 2,, t 2 1 5 Pappas Ath...page 60
2 x>0, 1 ( x). 2 x 2 x limxx. xx o o 2, 2 2 f(x)= x 1, x x e lim x1 e f(x). x 1 2 x 7 e x f(x)=2x. f(x). 9 9 2 5 Pappas Ath...page 61
3o 3 5 ( ) : 20 26 26 32 24 19 22 20 18 23 5 38 40, ; ( ). 5 S A S B 7 11 3, 3. 8 3 5 Pappas Ath...page 62
4 4 50%, 30%,, ; 7 : «,». 1 7 ( ). 5 10 9 f(x)=x 3 2 1 x 2 + P(B) x x f(x) 9 ( ) 1. (, ). 2., 4 5 Pappas Ath...page 63
1o 1 1 2008 : : (5) A. f, g (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). 9 B. t 1, t 2,, t X. 3 ; 3,, 10%. 2 2 1 5 Pappas Ath...page 64
2 f x 0 1, lim f(x) 1, lim xxo f(x) 1 xx o ( ). 2 f f(x) < 0, f 2 2 2 70., : [ ) 20 40 40 60 60 80 80 100 x i i f i 20 40 40 60,, 80 100 108. 2 5 Pappas Ath...page 65
3 f 1 = f 2 = 10 1, f3 = 10 5, f4 = 10 3. 10 50, : i. 5 ii. 60. 5 iii. 50 70. 5 3o p 0 < p < 1. (), () () {p 1, p, p +1, p 2, p 3 }. () = p 2, () = p () = p 3. () = p 3 p 2 + p. ( ) > ( ). 9 8 8 3 5 Pappas Ath...page 66
4 4 200 m ( 1). x. 1 f(x) = 100x 2 1 x 2. 6 200 m. 7 f(100), f(101), f(102), f(103) f(104). 5 CV f(100), f(101), f(102), f(103) f(104) CV c, c 2. o c, CV = 2CV. 7 4 5 Pappas Ath...page 67
1 ( ) 18 MA 2009 : : (4) 1o A. ()=()+() 10 B. x 1,x 2,,x X (), f i x i, i=1,2,, 5, f, g f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 2 A,, ABA B 2 1 4 Pappas Ath...page 68
2 f(x)=x ( x) x 2 2 2 2 x i, i=1,2,3,4 i, i=1,2,3,4. 2 x 2 =3 x =4. x i 2 =7. i 2 6 3 ; 5 3 8 4 9 4,9. 9 X 4,9 2, 2 7 2 4 Pappas Ath...page 69
3o 3 f(x)=x 3 6x 2 +x7,, 2f(x) f(x) 153x 2, x =9 7 f(x) lim x 1 2 x 1 8 f, y=3x 10 4 f(x)=lnx 2 x + 2 6+2, x>0 f f 6 f 6 f(2), f(4), f(8), f(3) f(5) R, R=3+ ln 4 1 = ln4+ 2 6 7 3 4 Pappas Ath...page 70
4 ={1,2,3,,100} A, ={ R+<2} 6 1. (, ). 2., 3. 4., 5. 6. : (3) 7. : 10.00 K 4 4 Pappas Ath...page 71
1o 1 7 2009 : : (5) A., ()=1() 9 B. f f x 1 A; 3 t 1, t 2,..., t X, x 3, f x 0, lim f(x) x 1 lim f(x) xx 0 1 x 0 2 1 5 Pappas Ath...page 72
2 f(x) = e x, x, f(x) = e x 2 50% 50% 2 s R, s6r 2 O 2 2 f(x) = x 3 8, limf(x) 7, x1 =1 5 i. lim x2 f(x) x2 10 ii. f x 0 = 2 10 2 5 Pappas Ath...page 73
3 3o x 1, x 2, x 3, x 4 =72 () 1, 2, 3, 4, 4 = 3 3. x 1 x 2 50 30. i, i=1,2,3,4 10 x 3 x 4 8 x 1 <7, x 2 =7, x 3 = 3, x 4 >3. 10 R+72 x=52 R, x,, 7 4 >2 f(x) 3 x x 4 2, x(0,1), A. f f 8 f f(x) 3 2 x(0,1) 5 3 5 Pappas Ath...page 74
4 B. = {1, 2,..., }, 3 P(A) 4 2 3 ()= 2 98 2 P(A) () () () = 5 1 7 () = 6 1, 5 1. (, ). 2., 3. 4., 4 5 Pappas Ath...page 75
1 ( ) 17 MA 2010 : : (5) 1. t 1,t 2,...,t, x t 1 x, t 2 x,..., t x 7 2. x 1,x 2,,x X w 1,w 2,...,w (), 4 3. 4 4.,,,, 1 5 Pappas Ath...page 76
2 ) f, g x 0, lim (f(x) g(x)) limf(x) limg(x) x x x x x x 0 0 0 ) x>0 1 x x B ) x=f(t), t 0 (t 0 )=f(t 0 ) ) f, x 1, x 2 x 1 <x 2 f(x 1 )<f(x 2 ) ), 2 f (x) 2 x x 1 1, x 10 1. f(x) 1 lim x 1 x 1 10 2. f x 0 =0 10 B3. xx 5 2 5 Pappas Ath...page 77
3,, 160,, 5, : x i [0 -...)... 20 [... -...) 6 40 [... -...)... 45 [... -...)... 30 [... -...)... 25 160 1. c 4 6 2., x s 8 i 3. 5 4., : «7 14». 6 s 2 1 k i1 x 2 i i k i1 2 x ii 3 5 Pappas Ath...page 78
4, (), () f(x) ln 1 2 2 x P(A) x P(A) P(B), x>p() 1. f 13 2. f 5 x o f(x o )=0, : 3 2 1 ()= ()= 3 2 2 2 : 5 P(A B), 6 3., 5 4., 5 4 5 Pappas Ath...page 79
1 5 2010 : : (4) 1. f cr, cf x = cf x, x 9 2. f ; 3 3. ; 3 4.,,,, ) f, g, f g ) lim (x) = x xx 0 0 ) ) 1 4 Pappas Ath...page 80
2 ) () = { 1, 2,..., }, () = ( 1 )+ ( 2 )+... + ( ) B 10 60 10 20 5 : [14, 16) 144 48 16 6 18, : 1. [ - ) x i i f i f i % 10 2. 6 B3. 10 14 4 x 2 4 Pappas Ath...page 81
3 4. 17 5 = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3 } = { 2, 4 } 1 ( ) = ( ) = 4 21, : 1. ( ) = () ( ) = () 6 2. =4 10 3. 4 4. B 5 t 1,t 2,...,t, s x f (t) 1 300s 2 t x 3, t R s 0 1. f 5 3 4 Pappas Ath...page 82
4 2. f t = x 6 3. f(0)=1, CV 8 4. f(t 1 ), f(t 2 ),..., f(t ) 1 100 6 1. (, ). 2., 3. 4., 5. 6. 7. : (3) 8. : 9:30 K 4 4 Pappas Ath...page 83
1 ( ) 14 MA 2011 : : (5) 1. : ( )=() (). 7 2., ; 4 3. f i x i 4 4.,,,,,, ) 2 ), R6x. 2 1 5 Pappas Ath...page 84
2 ) (f(g(x)))=f(g(x)) g(x) 2 ) 2 ), 10%. 2, 1 P(M)=, P(A)= 4 2 4 7 P(K)= 5, 4 () 64<()<72, 1. ()=68 2. 6 8 3., 6 4. 5 2 5 Pappas Ath...page 85
3,, f i % : (8, 0) (10, 10) (12, 20) (14, y ) E(16, y ) (18, 10) (20, 0) y, y 1. y y, 14200 7 2. f i %. 3 3. f i % 7 4. 15000 4 5. 80. 3 5 Pappas Ath...page 86
4 4 4 f (x) e 1 2 xx 3 11 2 x 10 5, x 1. f 8 2., (), () f (), ( ), (), ( ). 3. h (x) e 1 3x x 5 2 2 1 x 3, x ) f(x)=h(x). 8 3 ) A x 1 < x 2 < x 3 v i =2x i +1, i=1,2,3 x i 6 4 5 Pappas Ath...page 87
1 4 2011 : : (5) 1. : P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) 7 2. ={ 1, 2,..., } 4 3. f x 0 ; 4 4.,,,, 1 ) x>0, ( x) = x ) f f ( x) >0, f ) i x i. 1 5 Pappas Ath...page 89
2 ) 95% (x s, x + s), x s ) (),, 10 B ( o C) 24 (t)=t 4 t +, t(0,24] 1. t(0,4] t(4,24] 7 2., 24 o -1 C. 6 B3. =3 o 0 C. 5 4. (t) lim t 4 2 t 16 7 4, 2 5 Pappas Ath...page 90
3 () x i i f i % i F i % ixi [25, ) x [, ) x+20 [, ) 2x [, ) x 2 6x 50 1. f i % i=1,2,3,4 6 2. =50, c=10. 8 3. A, x 6 4.,,, 40 ; 5,,, : 1, 0 3 3 5 Pappas Ath...page 91
4 3 1, 0 1, 2 2 1. =4. 8 2. 600, 50 3 ),, ; 7 ) 300, 6 3.,,, 4 4 5 Pappas Ath...page 92