1
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Μήκος κύματος Ταχύτητα διάδοσης Συχνότητα Εξίσωση αρμονικού κύματος Φάση αρμονικού κύματος Ταχύτητα ταλάντωσης, Επιτάχυνση Κινητική Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης χ λ υ=, υ=λ.f, υ= tτ t x y = A. hm2 p ( m ) T l t x f = 2 p ( m ) T l t x 2 u = wa. sun 2 p ( m ), α=-ω. y T l 1 1 1 K = m. u, U= m. w. y, K = U = m. w. A 2 2 2 2 2 2 2 2 max max Διαφορά φάσης 2π 2π D f = f f, ή Δφ= ( 2 1) και τελικά Δφ= λ c c λ c M - N - D Σημεία με συμφωνία φάσης D c = k. l, κ=1,2,3... Δφ=2κπ Σημεία με αντίθεση φάσης Αρχική φάση στα κύματα l D c = (2k + 1), κ=0,1,2,3... Δφ=(2κ+1)π 2 t x t x fo y = Ahm [2 p ( m ) + fo ], ή y=aημ2π( m + ) T l T l 2p 2
ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Εξίσωση (συμβολής) r1 - r2 t r1 + r2 ταλάντωσης υλικού σημείου y = 2 A. sun ( p ). hm2 p ( - ) l T 2l μετά την συμβολή Πλάτος ταλάντωσης υλικού σημείου μετά την συμβολή r - r A = 2A sunp l 1 2 Σημεία ενισχυτικής συμβολής Διαφορά φάσης σημείων με ενίσχυση- Διαφορά χρόνου r1 - r2 = N. l με Ν=0,1,2,3... Α. Διαφορά φάσης : 2π(r1 -r 2) 2π.Νλ Δφ = =, άρα Δφ=2π.Ν, Ν=0,1,2,.. λ λ Β. Με διαφορά χρόνου : D t=ν.τ Σημεία αποσβεστικής l συμβολής r1 - r2 = (2N + 1). με Ν=0,1,2,3... 2 Διαφορά φάσης σημείων με απόσβεση- Διαφορά χρόνου 2π(r - r ) 2π.(2Ν + 1)λ / 2 Α. Διαφορά φάσης : λ λ άρα Δφ=(2Ν+1)π., Ν=0,1,2,.. Β. Με διαφορά χρόνου : T D t = (2N+1) 2 1 2 Δφ = =, Πλάτος ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου ( t1 - t2) A = 2 Asunp T 3
ΚΥΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΦΑΣΗ - ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ 1. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση y=20 ημπ(4t - 0,5χ) ( cm, sec) διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα χ Οχ. α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ και την περίοδο Τ του κύματος. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος καθώς και τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου. γ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το υλικό σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση χ 1 = ± 0,5m ξεκινά να ταλαντώνεται και κατόπιν να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το υλικό σημείο Κ σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η μάζα του υλικού σημείου ισούται με m= 0,1 kg. ε) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή όπου η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του ισούται με y 2 =+10 3 cm. Δίνεται π 2 =10. (4 cm, 0.5 s, 8 cm/s, 0.8π m/s, 0.4 πm/s, 16 3 m/s 2 ) 2. *Αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y= 0,1ημ(ωt 2πx/λ ). Τη χρονική στιγμή t 1 =0,3 s το υλικό σημείο Ο, που βρίσκεται στην αρχή του άξονα Ο, έχει μάζα m=0,1 g, φτάνει για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t=0 σε ακραία θέση της ταλάντωσής του. Το υλικό αυτό σημείο έχει διανύσει κατά την διάρκεια της ταλάντωσής του από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 1,μήκος x που είναι ίσο με το μήκος που έχει διανύσει το κύμα την ίδια χρονική διάρκεια. Α. Να υπολογίσετε την περίοδο και την ταχύτητα διάδοσης υ του κύματος καθώς και το μήκος κύματος Β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου Ο. Γ. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Κ που βρίσκεται στη θέση χ κ =+0,8 m. Δ. Να βρείτε τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή t 2 =2 s. Ε. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας ισούται με y 1 =+0,05 m. Δίνεται π 2 =10 (0.4 s, 0.4 m, 1 m/s, 1.25.10-4 J, 3 ) 3. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α = 0,02 m και συχνότητας f= 10 Ηz διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση άξονα χ Oχ. Θεωρούμε ότι το σημείο Ο της χορδής στη θέση χ =0 τη χρονική στιγμή t =0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του και κινείται προς την θετική κατεύθυνση. Τη χρονική στιγμή t=0,3 s ένα υλικό σημείο Μ της χορδής μάζας m = 0,01 kg το οποίο απέχει το σημείο Ο απόσταση d M = 0,8 m, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του για τρίτη φορά από την έναρξη της ταλάντωσής του. Το υλικό σημείο Μ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά, ακριβώς τη στιγμή που φτάνει σ αυτό το κύμα α. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του υλικού σημείου Μ τη χρονική στιγμή t=0,3 s. γ. Να υπολογίσετε την απόσταση από το σημείο Ο ενός δεύτερου υλικού σημείου Ν της χορδής, του οποίου η φάση της ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη κατά Δφ = 3π/2 από τη φάση της ταλάντωσης του σημείου Μ. δ. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο υλικό σημείο Μ, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται: π 2 = 10.. (0,4m, 0.4π m/s, 0.5 m, -0.8 ημ2π(10t-2) 4
4. Eγκάρσιο αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ = 2 m διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο πάνω στον άξονα χ'οχ και προς την αρνητική κατεύθυνση. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος ισούται με υ = 1 m/s και είναι ίση κατά μέτρο με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου. Τη χρονική στιγμή t= 0 το μόριο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα αρχίζει να ταλαντώνεται κινούμενο προς τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του. α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία ξεκινά να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Κ ( χ 1 = -1 m ) του ελαστικού μέσου και κατόπιν να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου αυτού τη χρονική στιγμή t 1 = 19/6 s. γ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το υλικό σημείο Κ σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η μάζα του υλικού σημείου ισούται με m = 0,2 g. δ) Ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου έχει την παραπάνω χρονική στιγμή t 1 φάση φ Μ =7π/6 rad. Αφού βρείτε την φάση του σημείου Κ την ίδια χρονική στιγμή να βρείτε αν το κύμα διαδίδεται από το σημείο Μ προς το σημείο Κ. Θεωρήστε για τις πράξεις: π 2 = 10. (1/πημ2π(0,5t+0,5x), 1s, 3/2m/s, 2/1000π ημ(πt-π), t 1s) 5. *Πηγή εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στη θέση χ= 0 του άξονα χ Οχ και τη χρονική στιγμή t= 0 αρχίζει να παράγει κύματα που διαδίδονται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Το πλάτος τους είναι Α = 0,06 m και η συχνότητά τους f = 10 Ηz. Τη χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δύο σωματιδίων Μ και Ν του ελαστικού μέσου είναι: φ Μ =7π/3 rad και φ Ν =17π/6 rad αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων Μ και Ν είναι d= 10 cm. α) Να εξετάσετε ποιο από τα δύο σημεία Μ και Ν βρίσκεται σε μικρότερη απόσταση από την πηγή του κύματος και αν το κύμα διαδίδεται από το σημείο Ν στο Μ ή αντίθετα. β) Να βρεθεί η απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας, όταν το σωματίδιο Ν αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του. γ) Να βρεθεί το μήκος του κύματος και η ταχύτητα διάδοσής του. δ) 1) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και 2) την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου Α που απέχει χ = 1m από την πηγή. (N, 0m, 40 cm, 4 m/s, 0.06ημ2π(10t-2.5x), -1,2πσυν20πt ) 6. *Το άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου αρχίζει, τη στιγμή t = 0, να εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y =10ημ20πt (t σε s, y σε cm), οπότε διαδίδεται κατά μήκος του ημιάξονα Οχ, κύμα με ταχύτητα υ = 1 m/s. α. Πόσο είναι το μήκος κύματος; β. Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση χ Μ =2m; γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ και να υπολογίσετε τη τιμή της τη χρονική στιγμή t = 5,625 s. Ποια είναι η τιμή της φάσης του σημείου Μ την παραπάνω χρονική στιγμή; δ. Πόσο απέχει από το σημείο Μ, ένα σημείο Ν το οποίο την ίδια χρονική στιγμή (t = 5,625s) έχει φάση φ Ν =72π+2π/3 ; Κατά ποια φορά διαδίδεται το κύμα; ε. Ποια η διαφορά φάσης του σημείου Μ με τα σημεία χ Κ =1m, χ Λ =1,05 m ; Να βρείτε το πλησιέστερο σημείο με το σημείο Μ, προς το μέρος της πηγής, που είναι σε αντίθεση φάσης με το σημείο Μ. στ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους τη χρονική στιγμή t=1 ses. ζ. Να παραστήσετε γραφικά τη μεταβολή της φάσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο. ( 0,1 m, 2 s, 10 ημ2π(10t-20) (t σε s, y σε cm), 1/120 m) 5
7. Το άκρο Ο ομογενούς χορδής αρχίζει, τη χρονική στιγμή t o = 0, να εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση ταχύτητας ταλάντωσης υ= 4συν40πt, οπότε κατά μήκος του ημιάξονα Οχ διαδίδεται κύμα με ταχύτητα υ = 5 m/s. α) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση μεταξύ ενός όρους και της πλησιέστερης σε αυτό κοιλάδας. β) Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ της χορδής, το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση (ΟΜ) = χ = 10 m. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε την τιμή της τη χρονική στιγμή t 1 = 3,125 s. Ποια είναι η τιμή της φάσης του σημείου M κατά τη χρονική στιγμή t 1 ; δ) Πόσο απέχει από το σημείο Μ ένα άλλο σημείο Ν της χορδής, το οποίο τη χρονική στιγμή t 1 έχει φάση φ Ν = 42π +3π/4 ; Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος; ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου M σε συνάρτηση με το χρόνο. (0,1ημ2π(20t-40), 45π, 9/32 m ) 8. *Πηγή αρμονικών κυμάτων (Ο) βρίσκεται στην αρχή του άξονα χ χ (χ = 0) και για t = 0, y = 0. Το αρμονικό κύμα που παράγει διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα χ χ Αν το πλάτος του κύματος είναι Α=0,1 m και η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση χ από την πηγή τη χρονική στιγμή t = 2 s, είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, να βρεθούν: α) η περίοδος, η συχνότητα και το μήκος κύματος, β) η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, γ) να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο και του κύματος. δ) Ένα σημείο Μ απέχει απόσταση χ=+1,4 m από την πηγή Ο. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=4 sec: 1. την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του 2. την ταχύτητά του ε) Να παραστήσετε γραφικά τη φάση ταλάντωσης του σημείου Κ(χ Μ =+1 m) και του σημείου Β(χ Β = 0,4m) σε συνάρτηση με το χρόνο,σε κοινό σύστημα αξόνων,κατά τη διάρκεια μιας περιόδου Τ. (0,4 s, 2,5 Hz, 0.4 m,1 m/s, 0,1ημ5πt, 0,1ημ2π(2,5t-2,5x), 0, -0.5π m/s ) 9. *Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου, το οποίο ταυτίζεται με άξονα χ χ προς την αρνητική κατεύθυνση. Το σημείο Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα ταλαντώνεται με εξίσωση y = 0,1 ημωt. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με τη θέση τους χ, τη χρονική στιγμή t 1 = 2 s. α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης των διαφόρων υλικών σημείων του μέσου και την ταχύτητα διάδοσης τον κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και να υπολογίσετε την απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας του ενός σημείου Σ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση χ Σ =-1 m, την χρονική στιγμή t 2 =1,5 s. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης των σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους χ τις χρονικές στιγμές t 1 =1 s και t 2 = 4 s. (0.4 s, 1 m/s, 0,1ημ2π(2,5t+2,5x), 0.1 m ) 6
10. *Τη χρονική στιγμή t= 0 η αρχή Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου μεγάλου μήκους, που εκτείνεται κατά μήκος άξονα χ Οχ, τίθεται σε ταλάντωση, σε διεύθυνση κάθετη στον άξονα χ Οχ, με εξίσωση y = 0,1 ημωt (S.I) Το παραγόμενο κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά και προς τα αριστερά στο γραμμικό ελαστικό μέσο. Μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων της πηγής του κύματος από τη θέση ισορροπίας της μεσολαβεί χρονικό διάστημα ίσο με Δt=0,05 s. Δύο υλικά σημεία του μέσου Μ και Ν που βρίσκονται στις θέσεις χ Μ = 3 m και χ Ν =15 m αρχίζουν να ταλαντώνονται με χρονική διαφορά ίση με 0, 4 s. α) Να γράψετε την εξίσωση διάδοσης του κύματος στον θετικό ημιάξονα και στον αρνητικό ημιάξονα β) Να υπολογίσετε την απόσταση στην οποία έχει διαδοθεί το κύμα τη χρονική στιγμή t 1 = 0,35 s και να σχεδιάσετε τη φάση των διαφόρων υλικών σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη χ της θέσης τους πάνω στον άξονα χ Οχ. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = t 1 δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων O, Μ και Ν σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κοινό διάγραμμα και να προσδιορίσετε τη φάση της πηγής Ο τις χρονικές στιγμές t M και t N που τα σημεία Μ και Ν αρχίζουν να ταλαντώνονται. (0.1 ημ2π(10t ±x/3), 2.10,5=21 m ) 11. *Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο τη στιγμή t 1 = 0,35 s ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. α. Να βρείτε το πλάτος, τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Ποιες εξισώσεις δίνουν την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση των σημείων του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα σε συνάρτηση με το χρόνο t και την απόσταση χ από την αρχή Ο. γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων του ελαστικού μέσου τη στιγμή t 2 = 0,7 s, σε συνάρτηση με την απόσταση χ. δ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης ενός σημείου Μ που απέχει απόσταση χ = 0,25 m από την πηγή σε συνάρτηση με το χρόνο. ε. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους χ τη χρονική στιγμή t 1 =0.35 s. ( 0.04 m, 1 m/s, 5Hz, 0,04ημ2π(5t 5x) 12. *Δύο ομογενείς, τεντωμένες χορδές που αποτελούνται από διαφορετικά υλικά είναι ενωμένες στην αρχή τους, η οποία ταυτίζεται με την αρχή Ο του οριζόντιου άξονα χoχ. Η χορδή (1) εκτείνεται σε άπειρη απόσταση στο θετικό ημιάξονα Οχ, ενώ η χορδή (2) εκτείνεται σε άπειρη απόσταση στον αρνητικό ημιάξονα Οχ. Από τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά, το κοινό σημείο Ο των δύο χορδών εξαναγκάζεται σε αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,2ημ10πt (S.I) οπότε στη χορδή (1) διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ 1, ενώ στη χορδή (2) διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ 2 = 4 m/s. Μεταξύ των υλικών σημείων Κ(χ> 0) και Λ, για τις θέσεις των οποίων ισχύει χ K = - χ Λ, αφού έχουν ξεκινήσει και τα δύο σημεία να ταλαντώνονται, έχουν δημιουργηθεί 4 κύματα στη χορδή (1) και 6 κύματα στη χορδή (2). α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη χορδή (1). β) Να γράψετε τις εξισώσεις των αρμονικών κυμάτων που διαδίδονται στις δύο χορδές γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο των δύο κυμάτων σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τη χρονική στιγμή t 1 = 0,5 s. δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή που ξεκινά να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Ζ(χ Ζ = - 4,5 m). ( 6 m/s, 0.2 ημ2π(5t-5x/6), 0.2 ημ2π(5t+1.25x), -π 2 m/s) 7
13. *Γραμμικό ελαστικό μέσο ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Οχ. Τη χρονική στιγμή t = 0 το αριστερό άκρο Ο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση χ=0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ταχύτητα +υ max σε διεύθυνση κάθετη στον ημιάξονα Ox. Στο σχ. Ι φαίνεται η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης ενός σημείου Μ του μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο και στο σχ. ΙΙ η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης συναρτήσει της συντεταγμένης χ των διαφόρων υλικών σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t 1 = 1,4 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης ταλάντωσης των σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη της θέσης τους πάνω στον άξονα τη χρονική στιγμή t 1 = 1,4 s δ) Να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη χ Μ του σημείου Μ και να παραστήσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο ε) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σημείου Μ κάποια χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του είναι αρνητική και η ταχύτητά του έχει μέτρο υ=0,4π 3 m/s. Στις πράξεις σας θεωρήστε π 2 =10. (4 m/s, 0.16ημ2π(2,5t-5x/8), 2,4 m, 20 m/s 2 ) 14. *Η πηγή (Ο) αρμονικού κύματος αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 Ο να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Το αρμονικό κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο, κατά τη θετική φορά του άξονα Οχ. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 =0.5 s. α) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. β) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου που ταλαντώνονται εξαιτίας του κύματος, σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη χ της θέσης τους, τη χρονική στιγμή t 1 =0,5 s. γ) Να απεικονίσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 2 = 0,55 s και να σημειώσετε τη θέση των σημείων Κ, Λ, Μ, Ν, Ρ και Σ. Επίσης να σημειώσετε τη φορά κίνησης αυτών των σημείων. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης, συναρτήσει του χρόνου, του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση με συντεταγμένη χ= 5 m, από τη χρονική στιγμή t =0 έως τη χρονική στιγμή t 2 = 0,9 s ε) 1) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης με την οποία ταλαντώνονται δύο υλικά σημεία Γ και Δ που βρίσκονται στις θέσεις χ Γ =4m και x Δ =4,25 m.ποια από τα παραπάνω σημεία Κ, Λ, Μ, Ρ και Σ του στιγμιότυπου είναι σε αντίθεση φάσης με το σημείο Ν του ελαστικού ; 2) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του υλικού σημείου Γ κάποια χρονική στιγμή που το υλικό σημείο Δ έχει φάση φ Δ =2κπ+3π/2 rad. (0,1ημ2π(5t-x/2), 5π-πχ, π/4, -0,05 2 m) 8
15. *Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που βρίσκεται στη διεύθυνση του άξονα χ'οχ διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα και τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός υλικού σημείου Κ (χ 1 = +1 m) μάζας m = 0,02 kg σε συνάρτηση με το χρόνο. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s. δ) Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή t 2 = 4,25 s. ε) Να προσδιορίσετε τη θέση του πλησιέστερου x M προς τη πηγή Ο του κύματος σημείου Μ του θετικού άξονα Οχ, το οποίο κατά τη χρονική στιγμή t=3,5 s έχει απομάκρυνση y=0.2 m Θεωρήστε για τις πράξεις: π 2 = 10. (0.2 ημ2π(0,5t-x), 2,10-3 J, 0,5 m ) 16. *Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ελαστική χορδή, που εκτείνεται κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα Οχ, προς την αρνητική κατεύθυνση. Η πηγή του κύματος Ο βρίσκεται στην αρχή του άξονα που ταυτίζεται με το δεξιό άκρο της χορδής και ταλαντώνεται με εξίσωση y = Α ημωt κάθετα στη χορδή. Στο πρώτο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = t 1. Στο δεύτερο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου ενός σημείου Κ της χορδής. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β) Να προσδιορίσετε την χρονική στιγμή t 1 και τη συντεταγμένη χ Κ του σημείου Κ γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη τους χ τη χρονική στιγμή t 1 και τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 2 = 1,5 s. ε) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο (20 cm/s, 0.02 ημ2π(2t+10x), 1 s, -0.1 m ) 17. Η πηγή γραμμικού αρμονικού κύματος βρίσκεται στο αριστερό άκρο Ο οριζόντια τεντωμένης χορδής, η οποία ταυτίζεται με ημιάξονα Οχ. Το σημείο Ο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις οι οποίες εξελίσσονται κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα και οι απομακρύνσεις τους περιγράφονται από τις εξισώσεις : y 1 =0,25ημ4πt (S.I.) και y 2 = 0,05 ημ (4πt + π), (S.I.). Το παραγόμενο κύμα διαδίδεται στην ελαστική χορδή με ταχύτητα υ =4 m/s. α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος κύματος. γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και να υπολογίσετε την απομάκρυνση ενός σημείου Μ που βρίσκεται στη θέση χ = 40 m τις χρονικές στιγμές που η φάση της πηγής Ο είναι φ 1 = 37π r και φ 2 = 42π r αντίστοιχα. δ) Να παραστήσετε γραφικά τη φάση φ της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων της χορδής σε συνάρτηση με τη θέση τους χ τη χρονική στιγμή t= 10 s ε) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t =1.5 s. (0.2 ημ4πt, 0,5 s, 2 m, 0.2 ημ2π(2t-χ/2), 0 m, 0 m ) 9
18. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο τη χρονική στιγμή t 1 = 0,4 s. Η διεύθυνση διάδοσης του κύματος ταυτίζεται με τη διεύθυνση τον άξονα χ'οχ και η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο αυτού. Τη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή του κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. : α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β) Να διερευνήσετε προς τα που θα κινηθεί το σημείο Κ (χ = 0,75 m) αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t 1. γ) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ του σημείου Κ και του πιο μακρινού σημείου Ζ (από την πηγή Ο)του ελαστικού μέσου που έχει τεθεί σε ταλάντωση τη χρονική στιγμή t 2 =0,6 s. δ) Να βρείτε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου ανάμεσα στα σημεία Κ και Ζ βρίσκονται σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης τη χρονική στιγμή t 2. ε) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο (0,4ημ2π(10t-2x), 9π rad, 9 ) 19. *Αρμονικό κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο στη διεύθυνση τον άξονα χ'οχ και προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ = 1,2 m/s. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα και τη χρονική στιγμή t= 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Δυο σημεία Κ και Λ του υλικού μέσου που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δχ = 0,1 m έχουν την ίδια χρονική στιγμή φάση φ Κ = 3π rad και φ Λ = 8π / 3 rad αντίστοιχα. α) Να διερευνήσετε ποιο από τα δύο σημεία Κ και Λ βρίσκεται πιο κοντά στην πηγή. β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και τη γωνιακή συχνότητα του κύματος, καθώς και με ποια χρονική διαφορά ξεκινούν να ταλαντώνονται τα σημεία Κ και Λ. γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με τη θέση χ των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 1 = 4 s. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Ζ (χ 1 = + 6 m) σε συνάρτηση με το χρόνο. ε). Να υπολογίσετε πόσα υλικά σημεία έχουν την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με την πηγή τη χρονική στιγμή t 2 =2 sec ; Να σχεδιάσετε και τη φορά κίνησης των σημείων αυτών. στ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση χ τη χρονική στιγμή που η φάση της πηγής είναι: α) 4π rad και β) 4π+π/2 rad. (Κ, 0,6m, 4π r/s, 1/12 s) 10
ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ 20. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π 2 βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού στα σημεία Κ και Λ και ταλαντώνονται κατακόρυφα με εξίσωση y=5.10-2 ημ20πt (S.I.). Τα εγκάρσια επιφανειακά κύματα που παράγονται διαδίδονται με ταχύτητα υ=0,5 m/s. α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ που βρίσκεται στο μέσο του τμήματος ΚΛ ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. β) Ένα κομμάτι φελλού μάζας m=1 gr βρίσκεται στη θέση Β της επιφάνειας του υγρού και απέχει από τις πηγές Π 1 και Π 2 αποστάσεις r 1 =30 cm και r 2 =40 cm. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή στην οποία ξεκινά να ταλαντώνεται ο φελλός, καθώς και τη χρονική στιγμή στην οποία αρχίζει η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Β. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του φελλού σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή των κυμάτων στο σημείο Β. δ) Να βρείτε τη μέγιστη επιτάχυνση και τη μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού για τις χρονικές στιγμές μετά την συμβολή. Θεωρήστε στις πράξεις σας π 2 = 10. (0,6 s, 0,8 s, 0.1 m, 400 m/s 2, 0,02 J ) 21. *Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2, μηδενικής αρχικής φάσης, οι οποίες ταλαντώνονται κατακόρυφα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση d= 6 m. Το πλάτος των κυμάτων που δημιουργούν οι δύο πηγές ισούται με Α = 1 cm, ενώ η ταχύτητα διάδοσής τους ισούται με υ = 2 m/s. Κάποιο σημείο Ζ του υγρού το οποίο απέχει από την πηγή Π 1 απόσταση χ 1 = 3 m και από την πηγή Π 2 απόσταση χ 2 = 5 m, αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 που η πηγή Π 1 έχει εκτελέσει τρεις πλήρεις ταλαντώσεις. α) Να εξετάσετε αν τα δύο κύματα συμβάλουν ενισχυτικά στο σημείο Ζ. β) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Z γ) Να βρείτε σε ποιο σημείο Δ η υπερβολή που διέρχεται από το σημείο Ζ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π 2 δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π 1 Π 2 μεταξύ του σημείου Δ και της πηγής Π 1 στα οποία εμφανίζεται απόσβεση. (2.10-2 m, y=2.10-2 ημ(4πt 8π), 2 m, 4) 22. *Δύο πηγές παραγωγής κυμάτων εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση ημιτονοειδούς μορφής με το ίδιο πλάτος Α = 2 cm και την ίδια συχνότητα f = 2 Ηz, χωρίς αρχική φάση. Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται σε ελαστικό μέσο. Σε ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου το κύμα από τη μια πηγή (Π 1 ) φτάνει μετά από χρόνο t 1 = 0,5 sec από την έναρξη των ταλαντώσεών της και το κύμα από την άλλη πηγή (Π 2 ) φτάνει μετά από χρόνο t 2 =2/3 sec από την έναρξη των ταλαντώσεών της. α) Να υπολογιστεί το πλάτος των ταλαντώσεων του σημείου Μ, καθώς και η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσής του. β) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Ποια η επιτάχυνση του υλικού σημείου Μ τη χρονική στιγμή t 3 =1 s; (2 cm, 8π cm/s, 2ημ2π(2t-7/6)] 23. Δύο σημειακές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού στα σημεία Γ και Δ και ταλαντώνονται κατακόρυφα με εξίσωση ταλάντωσης της μορφής y= Α ημωt. Η απόσταση ΓΔ είναι ίση με d=12 m. Ένα σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού, που ανήκει στο τμήμα ΓΔ, βρίσκεται σε απόσταση (ΚΔ)= 4 m από την πηγή Π 2 και λόγω της συμβολής των κυμάτων ταλαντώνεται με εξίσωση: y K =- 0,4ημ(10πt- 3π) (S.I.). α) Να υπολογίσετε την περίοδο και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων που παράγονται από τις πηγές Π 1 και Π 2. β) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Κ τις χρονικές στιγμές: t 1 = 0,1s, t 2 = 0,25 s και t 3 = 0,45 s. γ) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου Κ μετά τη συμβολή των κυμάτων και να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία ταλαντώνεται το σημείο Κ τις στιγμές που η απομάκρυνσή του είναι ίση με y K = 0,2 m. δ) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Γ και Δ από τη χρονική στιγμή t = 0,6 s και μετά. ( 0,2 s, 20 m/s, 0.2 s, 0.4 s, 0 m, +0.2 m, +0.4 m, 4π.συν(10πt -2π), 2 3 π m/s,0,4 m) 11
24. *Δύο σύγχρονες πηγές εγκάρσιων αρμονικών επιφανειακών κυμάτων, Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Γ και Δ που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d και αρχίζουν να ταλαντώνονται κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t = 0 με εξίσωση ταλάντωσης της μορφής y=αημωt. Ένα σημείο Λ ανήκει στο τμήμα ΓΔ και βρίσκεται σε απόσταση χ 1 = 1,5 m από το μέσο Μ του τμήματος ΓΔ προς την πλευρά της πηγής Π 2 και ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. Μεταξύ των σημείων Μ και Λ δεν υπάρχουν άλλα σημεία που να ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Ένα άλλο σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού εκτελεί μετά τη συμβολή των κυμάτων ταλάντωση με εξίσωση : y= 0,2 ημ(4πt 7π/3) (S.I.). Το σημείο Κ αρχίζει την ταλάντωσή του τη χρονική στιγμή t α = 0,5 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού. β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r 1 = (ΓΚ) και r 2 = (ΚΔ) του σημείου Κ από τη θέση των πηγών Π 1 και Π 2. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος Α της ταλάντωσης των πηγών δ) Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΚ και ΚΔ είναι κάθετα μεταξύ τους να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ που παραμένουν διαρκώς ακίνητα. (6 m/s, 4 m, 3m, 0.2 m, (-2, -1, 0,1 ), 0.25 m, 1.75 m, 3.25 m, 4.75 m) 25. Δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 εκπέμπουν στο ίδιο υγρά όμοια αρμονικά κύματα με ταχύτητα υ=5 m/s. Η ταχύτητα ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο, περιγράφεται από τη γραφική παράσταση του σχήματος. α) Να βρεθεί το πλάτος και η περίοδος των κυμάτων που εκπέμπουν οι δύο πηγές. β) Να γραφούν οι εξισώσεις των απομακρύνσεων του υλικού σημείου για το κάθε κύμα ξεχωριστά σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο. (0,2 s, 0.002 m, 0,002 ημ2π(5t-1), 0,002 ημ2π(5t-2) 26. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2 που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 15 m έχουν μηδενική αρχική φάση και τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζουν να δημιουργούν στην επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου εγκάρσια κύματα πλάτους Α = 0,04 m και συχνότητας f=10 Ηz. Τα κύματα διαδίδονται στο μέσο με ταχύτητα υ =2 m/s. Σε σημείο Κ της επιφάνειας του ελαστικού μέσου φτάνουν από τις δύο πηγές κύματα που έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσης ίση με Δφ = 30π rad. α) Να υπολογίσετε το πλάτος και τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ από τη στιγμή που τα δύο κύματα έχουν συμβάλλει στο σημείο αυτό. β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις χ 1 και χ 2 του σημείου Κ από τις δύο πηγές Π 1 και Π 2 αντίστοιχα,αν δίνεται ότι σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90, όπως φαίνεται στο σχήμα. γ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Κ και ποια χρονική στιγμή ξεκινά η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό. δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές t 1 = 5 s και t 2 = 6,25 s ε) Να βρείτε την ελάχιστη συχνότητα ώστε το σημείο Κ να παραμένει διαρκώς ακίνητο. (0,08 m, 1.6π m/s, 12 m, 9 m, 4.5 s, 6 s, 0 m, -0.08 m) 12
27. Στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας του νερού μιας πισίνας βρίσκονται δύο πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2. Οι πηγές απέχουν απόσταση d= 0,6 m και αρχίζουν να ταλαντώνονται την t = 0 με εξίσωση y=0.1ημ(10πt). Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται με ταχύτητα υ =1 m/s. Α)1. Ποιο είναι το μήκος κύματος των κυμάτων; 2. Να βρείτε μετά τη συμβολή των κυμάτων πόσα και ποια σημεία μεταξύ των Π 1 και Π 2 ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης. Β) Ένα σημείο Μ της Π 1 Π 2 απέχει από το Π 2 απόσταση 0,10 m. 1. Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου αυτού τις χρονικές στιγμές: α) t 1 =13/60 s και β) t 2 =47/60 s 2. Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης του Μ με το χρόνο. 3. Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Μ με το χρόνο, Γ) Να δείξετε ότι όλα τα σημεία της χ χ που διέρχεται από τα Κ, Λ και βρίσκονται εκτός των Κ, Λ έχουν το ίδιο πλάτος, το οποίο και να υπολογίσετε. Δ) Μετακινούμε την πηγή Π 1 πάνω στην ΚΛ ώστε να πλησιάζει προς την πηγή Π 2. Να βρείτε την ελάχιστη μετατόπιση της Π 1, για την οποία στο σημείο Μ θα έχουμε αναιρετική συμβολή. (0,2 m, 5, -0.05 m, 0.1 m, 10πt-π, 10πt-3π, ενίσχυση, 0,1m) 28. Δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα με ταχύτητα υ=2 m/s, πλάτος Α=0,04 m και περίοδο Τ. Οι πηγές εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Ένα κομμάτι φελλού, μάζας m=2.10-3 kg βρίσκεται σε κάποιο σημείο της επιφάνειας του υγρού. Στο σχήμα φαίνονται oι φάσεις του φελλού σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν αυτός ταλαντώνεται εξαιτίας του κάθε κύματος ξεχωριστά. α) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η περίοδος των κυμάτων. β) Να αποδειχθεί ότι ο φελλός βρίσκεται επάνω σε υπερβολή ενίσχυσης. γ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του φελλού σε συνάρτηση με το χρόνο, λόγω συμβολής των δύο κυμάτων. δ) Να υπολογιστεί η δύναμη επαναφοράς που δέχεται ο φελλός τη χρονική στιγμή t=4,25 s. Δίνεται π 2 =10. (-0,08 ημ2π(t-2,5), -64.10-4 N) 29. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών ταλαντώσεων Ο 1 και Ο 2 παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρμονικά κύματα πλάτους Α = 0,2 m και περιόδου Τ = 0,2 s το καθένα. Τα κύματα διαδίδονται και παρατηρούμε ότι 6 διαδοχικά όρη απέχουν 40 cm. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t = 0 προς τη θετική κατεύθυνση. Ένα σημείο Μ της επιφάνειας (στο σημείο Μ να θεωρήσετε φελλό μάζας m = 4 gr) του υγρού απέχει από τις O 1 και O 2 αποστάσεις d 1 = 40 cm και d 2 = 56 cm αντίστοιχα. α) Να βρείτε το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β) Να μελετήσετε την κίνηση του φελλού και να γίνουν τα διαγράμματα πλάτους χρόνου και απομάκρυνσης χρόνου. γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του φελλού τις χρονικές στιγμές: i) t 1 = 0,5 sec, ii) t 2 = 1,25 sec, iii) t 3 = 2,225 sec και την ταχύτητα κίνησης (ταλάντωσης) του φελλού σε κάθε περίπτωση. δ) Ποια η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης του φελλού ε) Ποια χρονική στιγμή αρχίζει η συμβολή των κυμάτων σε ένα σημείο Ν της επιφάνειας του υγρού το οποίο απέχει από τις Ο 1 και Ο 2, d 1 = 24 cm και d 2 = 44 cm αντίστοιχα; Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Ν; στ) Αν η απόσταση μεταξύ των πηγών Ο 1 Ο 2 είναι d=60 cm, να βρεθούν και να σχεδιαστούν οι υπερβολές ενισχυτικής συμβολής που υπάρχουν μεταξύ των πηγών. Δίνεται: π 2 = 10. 13
30. Δύο σημεία Π 1 και Π 2 της επιφάνειας ήρεμου νερού αρχίζουν τη χρονική στιγμή t = 0 να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση: y = 0,02ημωt (S.Ι). Τα κύματα που δημιουργούνται θεωρούνται εγκάρσια και διαδίδονται στην επιφάνεια του νερού χωρίς μεταβολή του πλάτους τους. Ένα υλικό σημείο Σ της επιφάνειας του νερού απέχει από την πηγή Π 1 απόσταση r 1 =0,9 m και από την πηγή Π 2 απόσταση r 2 όπου r 2 >r 1. Στο διάγραμμα του σχήματος παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση του υλικού σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των δύο κυμάτων. β. Να δικαιολογήσετε ότι στο σημείο Σ έχουμε αποσβεστική συμβολή των δύο κυμάτων. γ. Να υπολογίσετε την απόσταση r 2 του υλικού σημείου Σ από την πηγή Π 2 δ. Η υπερβολή αποσβεστικής συμβολής πάνω στην οποία βρίσκεται το υλικό σημείο Σ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π 2 στο σημείο Μ. Αν τα σημεία Π 1 και Π 2 απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=1,5 m, πόσο απέχει το σημείο Μ από το σημείο Π 1 ; ( 0,6 m, 1.8 m, 0.3 m ) 31. *Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1, Π 2 που βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας ελαστικού μέσου αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0 με εξίσωση της μορφής y = Αημωt. Οι δύο πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=2,9m και τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται στην επιφάνεια του ελαστικού μέσου με ταχύτητα 2 m/s. Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας για ένα υλικό σημείο Ζ του ελαστικού μέσου που απέχει απόσταση r 1 από την πηγή Π 1 και απόσταση r 2 από την πηγή Π 2 με r 2 >r 1 α) Να βρείτε τις αποστάσεις r 1 και r 2 και να προσδιορίσετε σε ποια υπερβολή ενισχυτικής συμβολής ανήκει το σημείο Ζ. β) Η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής που διέρχεται από το σημείο Ζ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ σε σημείο Δ. Να υπολογίσετε πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΔΚ παραμένουν ακίνητα μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων. γ) Μεταβάλλουμε ταυτόχρονα τη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών έτσι ώστε να παραμένουν σύγχρονες. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της συχνότητας των δύο πηγών ώστε το σημείο Ζ να παραμένει σημείο ενισχυτικής συμβολής. ( 1.8 m, 3m, -3, 4, 5/3 Hz ) 32. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο 2 στην επιφάνεια υγρού, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Ο 1 Ο 2 =20 cm, υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=20 cm/s. Ένα κομμάτι φελλού βρίσκεται σε ένα σημείο Α της επιφάνειας του υγρού, απέχει από τις πηγές αποστάσεις (AΟ 1 )= r 1 και (ΑΟ 2 )=r 2 με r 1 > r 2, και η απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας λόγω συμβολής των κυμάτων περιγράφεται σε συνάρτηση με το χρόνο από την εξίσωση ψ=4 ημ2π (5t-10) (cm, sec). Το σημείο Α ανήκει στην 5 η, (πέμπτη) υπερβολή ενισχυτικής συμβολής, δεξιά της μεσοκαθέτου,με πρώτη αυτήν της μεσοκαθέτου. Να βρείτε : Α) την περίοδο, το μήκος κύματος και το πλάτος ταλάντωσης των δύο πηγών. Β) τις αποστάσεις r 1, r 2 του φελλού από τις πηγές και την απόσταση του σημείου Κ από την πηγή Ο 1 το οποίο είναι το σημείο που τέμνει η υπερβολή που περνά από το σημείο Α τη ευθεία Ο 1 Ο 2. Γ) τον αριθμό των σημείων που βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Ο 1 Ο 2 των δύο πηγών και ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με αυτό του φελλού στη θέση Α και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες υπερβολές ενισχυτικής συμβολής που σχηματίζονται μεταξύ των πηγών Ο 1 και Ο 2. Δ) την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού στη θέση Α σε συνάρτηση με το χρόνο. Ε) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης ταλάντωσης του σημείου Α σε σχέση με το χρόνο (0,2 s, 4 cm, 2 cm, 48 cm, 32 cm, 18 cm, 9, 10 ) 14
33. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο ηχητικές πηγές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=1 m και εκπέμπουν ηχητικά κύματα ίδιου πλάτους, ίδιας συχνότητας f= 850 Ηz και μηδενικής αρχικής φάσης. Ένας ανιχνευτής ήχου βρίσκεται αρχικά στο μέσον Μ της απόστασης των δύο ηχητικών πηγών, πάνω στην ευθεία χχ που διέρχεται από αυτές και μπορεί να μετρά μόνο το αποτέλεσμα της συμβολής των κυμάτων που προέρχονται από τις δύο πηγές. Ο ανιχνευτής αρχίζει να μετακινείται πάνω στην ευθεία χχ προς την ηχητική πηγή (1) και συναντά το 2ο ελάχιστο του ήχου έχοντας διανύσει διάστημα d 1 = 0,3 m από τη στιγμή που ξεκίνησε να μετακινείται. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα των ηχητικών κυμάτων. β) Όταν ο ανιχνευτής βρίσκεται στο μέσον Μ τότε μετρά πλάτος ηχητικού κύματος Α = 0,001 mm. Να υπολογίσετε το πλάτος που μετρά όταν βρίσκεται στη θέση Ν, η οποία απέχει από την πηγή (1) απόσταση χ = 0,35 m. γ) Να βρείτε πόσα μέγιστα και πόσα ελάχιστα ήχου θα συναντήσει ο ανιχνευτής αν διανύσει ολόκληρη την απόσταση μεταξύ των δύο πηγών. (340 m/s, 5 2.10-7 m, 5, 4 ) 34. Δύο πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα της επιφάνειας ενός υγρού, απέχουν μεταξύ τους απόσταση d =4 m και ταλαντώνονται με εξίσωση y = 0,15ημ10πt ( S.I). Οι δύο πηγές δημιουργούν κύματα με μήκος κύματος λ = 0,2 m, που διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού. Σημείο Δ της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π 1 απόσταση r 1 = 2,5 m και από την πηγή Π 2 απόσταση r 2. Τη χρονική στιγμή t 1 το κύμα που προέρχεται από την πηγή Π 1 φτάνει στο σημείο Δ και μετά από επιπλέον χρόνο Δt = 0,5 s φτάνει στο ίδιο σημείο και το δεύτερο κύμα που προέρχεται από την πηγή Π 2. α) Να βρείτε την απόσταση r 2 β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των ταλαντώσεων που έχει εκτελέσει το σημείο Δ από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή t 2 = 4 s και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου αυτού από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Σε σημείο Ζ του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ που απέχει απόσταση χ 2 = r 2 από την πηγή Π 2 υπάρχει ένα σημειακό κομμάτι φελλού μάζας m = 10-5 kg. Να γράψετε για μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σημειακό κομμάτι φελλού. δ) Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ της πηγής Π 1 και του σημείου Θ που είναι το πιο απομακρυσμένο από την πηγή Π 1 σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ το οποίο είναι ακίνητο μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων σε αυτό. Δίνεται π 2 = 10. (3 m, 2.5, -3.10-3.ημ(10πt-20π), 3,95 m) 35. Δύο σύγχρονες πηγές Π 1, Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια Λ υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Η εξίσωση της ταλάντωσης κάθε πηγής είναι y = 0,01 ημ(10πt) (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια 0,6m 1m του υγρού είναι ίση με υ=1,5 m/s. Ένα σημείο Λ της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π 1 απόσταση r 1 = Π 1 Π 2 0,6 m και από την πηγή Π 2 απόσταση r 2 = 1 m, όπως δείχνει το σχήμα. Οι πηγές Π 1, Π 2 αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0. α. Να υπολογισθεί το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν οι πηγές. β. Πόση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής; γ. Να υπολογισθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής. δ. Να προσδιορισθεί η απομάκρυνση του σημείου Λ από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή t = 4/3 s. Δίνεται συν(4π/3)= -1/2 (πανελλην) 15