Méanique Analtique Travaux pratiques de méanique analtique Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double 1
Méanique Analtique Mise en situation... Positions: X l A m Point A: (l sin, -l os ) Point B: (l.(sin + sin ), -l.(os + os )) Y l Vitesses: Point A: (l d/dt os, l d/dt sin ) B m Point B: (l.(d/dt os + d/dt os ), l.( d/dt sin + d/dt sin )) m g l 1 m l 1
Méanique Analtique Lagrange (1) L T - V mv T T mv pour toute les masses du sstème v + v x v vitesse salaire de la masse ondidérée v A l v l + + os( ) B [ ] T m.l.(. + + os( )) 3
Méanique Analtique Lagrange () V mgh - mgl os q - m g l (os q + os f ) L T - V. m l.(. + + os( )) + mgl os + m g l (os + os ). + os( ) sin( ) os( ). + sin( ) ω ω sin sin 4
Méanique Analtique Sstème différentiel os ( ) + sin sin ( ) mgl 1 mgl sin ( ) os( ) ( ) sinos os ( ) sin + sin + mgl ( ) mgl 1 sin ( ) os( ) ( ) sin os 5
Méanique Analtique Fontion différentielle ODE45 ODE45 Fontion de dérivation dérivant le sstème différentiel Avant t Ordre des équations du sstème (, ) d dt d dt Après 1 6
Méanique Analtique 7 Définition des veteurs utilisés Définition des veteurs utilisés ODE45 Fontion de dérivation dérivant le sstème différentiel Ordre des équations du sstème (, ) Avant Après dt d t 1 dt d
Méanique Analtique 8 Définition des veteurs utilisés Définition des veteurs utilisés ODE45 Fontion de dérivation dérivant le sstème différentiel Ordre des équations du sstème (, ) Avant Après dt d t 1 dt d
Méanique Analtique 9 Fontion Fontion de de dérivation dérivation funtion [ d ] dp ( t, ) (4) (3) () (1) d d d d d (4) (3) () (1)
Méanique Analtique Variables temporaires funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( q - f ) os( q - f ) d d(1) d() d(3) d(4) (1) () (3) (4) 10
Méanique Analtique Mise en orrespondane funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( q - f ) os( q - f ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () (1) () (3) (4) 11
Méanique Analtique Mise en orrespondane funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( q - f ) os( q - f ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) (1) () (3) (4) 1
Méanique Analtique Mise en orrespondane funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( q - f ) os( q - f ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) d() os ( ) + sin sin ( ) mgl sin ( ) ( ) ( ) os sinos 1 mgl (1) () (3) (4) 13
Méanique Analtique Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( q - f ) os( q - f ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) d() os ( ) + sin sin ( ) mgl sin ( ) ( ) ( ) os sinos 1 mgl (1) () (3) (4) 14
Méanique Analtique 15 Searh and replae Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) (4) (3) () (1) d d d d d (4) (3) () (1) s sin( q - f ) os( q - f ) d(1) () d(3) (4) d() + mgl s mgl s sin sin 1
Méanique Analtique 16 Searh and replae Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) (4) (3) () (1) d d d d d (4) (3) () (1) s sin( q - f ) os( q - f ) d(1) () d(3) (4) d() + mgl s mgl s sin sin 1
Méanique Analtique 17 s sin( (1) - f ) os((1) - f ) Searh and replae Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) (4) (3) () (1) d d d d d (4) (3) () (1) d(1) () d(3) (4) d() + mgl s mgl s sin sin (1) 1
Méanique Analtique 18 + mgl s mgl s sin (3) sin (1) 1 s sin( (1) - (3) ) os((1) - (3) ) Searh and replae Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) (4) (3) () (1) d d d d d (4) (3) () (1) d(1) () d(3) (4) d()
Méanique Analtique Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( (1) - (3) ) os((1) - (3) ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) d() 1 + s mgl sin (1) s () () mgl sin (3) (1) () (3) (4) 19
Méanique Analtique Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( (1) - (3) ) os((1) - (3) ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) 1 d() + s (4) (4) mgl sin (1) s () () mgl sin (3) (1) () (3) (4) 0
Méanique Analtique Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( (1) - (3) ) os((1) - (3) ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) 1 d() + s (4) (4) sin (1) s () () sin (3) (1) () (3) (4) 1
Méanique Analtique s sin( (1) - (3) ) os((1) - (3) ) Searh and replae Searh and replae funtion [ d ] dp ( t, ) (4) (3) () (1) d d d d d (4) (3) () (1) d(1) () d(3) (4) + s s sin (3) () () sin (1) (4) (4) 1 d() d(4) + + s s (1) sin (4) (4) (3) sin () () 1
Méanique Analtique Fontion différentielle ODE45 funtion [ d ] dp ( t, ) s sin( (1) - (3) ) os((1) - (3) ) d d(1) d() d(3) d(4) d(1) () d(3) (4) d() d(4) 1 1 + s (4) (4) sin (1) s () () sin (3) s () () sin + s (4) (4) + sin (1) (3) (1) () (3) (4) 3
Méanique Analtique Résolution numérique options odeset('reltol',1e-8); [t,angle] ode45('dp',[0:0.1:100],[1 1 10 0],options); Sstème à résoudre Temps: de 0 à 100 seondes par pas de 0,1 se Conditions initiales: 1 1 10 0 4
Méanique Analtique 5 Variables Variables utilisées utilisées x x B A x 0 B A 0 plot ( x, ) ( 0, 0 ) ( Ax, A ) ( Bx, B ) tn tn tn tn t t t t t t t t angle L L L L 1 1 1 1
Méanique Analtique Premier affihage %Alloation mémoire xzeros(3,1); zeros(3,1); %Calul de oordonnées x()10*sin(angle(1,1)); ()-10*os(angle(1,1)); x(3)x()+10*sin(angle(1,3)); (3)()-10*os(angle(1,3)); %Préparation session graphique et premier affihage figure; axis([-30 30-30 30]) hold on; line(x,,'linewidth',); 6
Méanique Analtique Boule d affihage %Boule d'affihage for i1:1000 end x()10*sin(angle(i,1)); ()-10*os(angle(i,1)); x(3)x()+10*sin(angle(i,3)); (3)()-10*os(angle(i,3)); line(x,,'linewidth',); 7
Méanique Analtique Gestion dnamique %Boule d'affihage for i1:100 x()10*sin(angle(i,1)); ()-10*os(angle(i,1)); x(3)x()+10*sin(angle(i,3)); (3)()-10*os(angle(i,3)); lf; axis([-30 30-30 30]); line(x,,'linewidth',); drawnow; 8
Méanique Analtique Temps réel %Boule d'affihage for i1:100 end ti; x()10*sin(angle(i,1)); ()-10*os(angle(i,1)); x(3)x()+10*sin(angle(i,3)); (3)()-10*os(angle(i,3)); while to<0.1; end; lf; axis([-30 30-30 30]); line(x,,'linewidth',); drawnow; 9
Méanique Analtique Gestion aniennes positions %Alloation mémoire xoldzeros(3,1); oldzeros(3,1); %Boule d'affihage for i1:100 ti; xold()x(); old()(); xold(3)x(3); old(3)(3); x()10*sin(angle(i,1)); ()-10*os(angle(i,1)); x(3)x()+10*sin(angle(i,3)); (3)()-10*os(angle(i,3)); while to<0.1; end; plot(xold,old,'w','linewidth',); plot(x,,'linewidth',); drawnow; end 30
Méanique Analtique Approhe orienté-objet Objet graphique Adresse Propriété 1 Propriété Propriété... Propriété n Instrution 1 Instrution Instrution... Instrution n 31
Méanique Analtique Approhe orienté-objet Objet graphique Adresse XData YData ZData Color Stle plot axis 3
Méanique Analtique Réupération de l adresse graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData YData ZData Color Stle Instrution 33
Méanique Analtique Données en x graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData YData ZData Color Stle x Instrution 34
Méanique Analtique Données en graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Adresse 1.0568453 graph1 XData YData ZData Color Stle x Instrution 35
Méanique Analtique Pas de données en z graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData YData ZData Color Stle x Instrution 36
Méanique Analtique Couleur graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData YData ZData Color Stle x w Instrution 37
Méanique Analtique Stle graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData YData ZData Color Stle x w * Instrution 38
Méanique Analtique Variable privée graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData x YData ZData Color w Stle * EraseMode none Instrution 39
Méanique Analtique Instrution graphique graph1plot(x,,'w*','erasemode','none'); Objet graphique Adresse 1.0568453 graph1 XData x YData ZData Color w Stle * EraseMode none Instrution plot 40
Méanique Analtique Aès variables membres set(graph1,'xdata',xnew,'ydata',new,'linewidth',); graph1 XData YData 41
Méanique Analtique Modifiation données en x set(graph1,'xdata',xnew,'ydata',new,'linewidth',); graph1 XData xnew YData 4
Méanique Analtique Modifiation données en set(graph1,'xdata',xnew,'ydata',new,'linewidth',); graph1 XData xnew YData new 43
Méanique Analtique Modifiation paramètres divers set(graph1,'xdata',xnew,'ydata',new,'linewidth',); graph1 XData xnew YData new LineWidth 44
Méanique Analtique Pour notre problème %Préparation session graphique et premier affihage pplot(x,,'erasemode','none'); qplot(xold,old,'w','erasemode','none'); %Boule d'affihage set(q,'xdata',xold,'ydata',old,'linewidth',); set(p,'xdata',x,'ydata',,'linewidth',); 45
Méanique Analtique Approhe orienté-objet %Préparation session graphique et premier affihage pplot(x,,'erasemode','none'); qplot(xold,old,'w','erasemode','none'); %Boule d'affihage set(q,'xdata',xold,'ydata',old,'linewidth',); set(p,'xdata',x,'ydata',,'linewidth',); 46