ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ - ΤΡΙΒΟΛΟΓΙΑ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ - ΤΡΙΒΟΛΟΓΙΑ Ασκήσεις Δρ Γ. Παραδεισιάδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΗ Κύριο σύστημα συντεταγμένων, κύριες τάσεις Σε κάποιο σημείο ενός καταπονούμενου στερεού σώματος, σε ένα σύστημα συντεταγμένων xy, επικρατούν οι τάσεις σ x 8 Ν/, σ y - N/, τ xy N/ Να προσδιορισθούν το κύριο σύστημα συντεταγμένων (Κ.Σ.Σ.), οι κύριες τάσεις σ και σ και η μέγιστη διατμητική τάση τ max (σε γωνία 5 o ως προς το Κ.Σ.Σ.) Η σύμβαση προσήμων που ακολουθείται (σε όλες τις ασκήσεις) φαίνεται στο σχήμα: y x σ x τ xy δηλ. θετικές θεωρούνται οι ορθές τάσεις όταν είναι εφελκυστικές, και οι διατμητικές τάσεις τ xy όταν τείνουν να στρέψουν το υλικό κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Σε κάθε σημείο ενός καταπονούμενου σώματος μπορεί να προσδιορισθεί ένα μοναδικό σύστημα συντεταγμένων, το Κύριο Σύστημα Συντεταγμένων, στο οποίο οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν. Οι τάσεις στο θεωρούμενο σημείο παριστάνονται στο κατωτέρω σχήμα: τ yx τ xy σ y σ x 8 τ xy

α) Αναλυτικός προσδιορισμός του Κ.Σ.Σ. Η διεύθυνση του Κ.Σ.Σ., δηλ. προκειμένου για δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων η γωνία φ κατά την οποία πρέπει να στραφεί ο κάθε άξονας του αρχικού συστήματος συντεταγμένων x, y για να συμπέσει με τον αντίστοιχο του Κ.Σ.Σ.,, υπολογίζεται: τ xy tan ϕ ϕ 6,57 ϕ, 8 σ σ 8 + x y Οι κύριες τάσεις σ και σ υπολογίζονται: σ x + σ y σ, ± ( σ x σ y ) + τ 8 ± Δηλαδή: σ 87,8 Ν σ 7,8 Ν xy ( 8 + ) + ± 67,8 N Η διατμητική τάση στο Κ.Σ.Σ. είναι βέβαια μηδέν: τ Το Κ.Σ.Σ., σε γωνία φ,8 ως προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων xy, παριστάνεται στο ακόλουθο σχήμα. ο y σ σ φ 5 x Στο ίδιο σχήμα φαίνεται και το σύστημα συντεταγμένων, σε γωνία 5 ως προς το Κ.Σ.Σ., στο οποίο εμφανίζεται η μέγιστη διατμητική τάση τ max, που υπολογίζεται:

τ σ σ Ν max 67, 8 β) Γραφικός προσδιορισμός του Κ.Σ.Σ. Εναλλακτικά, αντί με αναλυτικό τρόπο, το Κ.Σ.Σ. και οι κύριες τάσεις μπορούν να προσδιορισθούν γραφικά με τη βοήθεια του κύκλου του Mor, όπως φαίνεται παρακάτω: Σε ένα σύστημα συντεταγμένων σ τ (ορθών τάσεων διατμητικών τάσεων) κατασκευάζεται από τις τιμές των τάσεων σ x 8 Ν/, σ y N/, τ xy N/ ο κύκλος του Mor για το θεωρούμενο σημείο. Οι τιμές των κυρίων τάσεων σ, σ προκύπτουν ως τα σημεία τομής του κύκλου του Mor με τον άξονα των σ και η γωνία φ (κατά την οποία πρέπει να στραφεί ο κάθε άξονας του Κ.Σ.Σ., για να συμπέσει με τον αντίστοιχο του αρχικού συστήματος συντεταγμένων x, y) ως το μισό της γωνίας της ακτίνας του κύκλου στο σημείο (σ x,τ xy ) με τον άξονα των σ. τ τ max τ xy σ σ y φ σ σ σ x 8 -τ xy

ΑΣΚΗΣΗ Ισοδύναμη τάση Δeξαμενή διαμέτρου D 5 και πάχους s είναι κατασκευασμένη από χάλυβα με όριο διαρροής σ s MPa. Να ελεγχθεί αν παρουσιάζεται διαρροή όταν η πίεση στο εσωτερικό της είναι bar ( 5 Pa MPa). Σε κάθε σημείο του πλευρικού τοιχώματος της δεξαμενής, η περιφερειακή, η αξονική και η ακτινική τάση σ, σ και σ αντίστοιχα, όπως παριστάνονται στο παρακάτω σχήμα, υπολογίζονται (για λεπτότοιχο κυλινδρικό δοχείο): D s σ σ σ pd MPa 5 σ s pd σ.7mpa s σ 8.MPa Επειδή στο σύστημα συντεταγμένων κάθε σημείου του πλευρικού τοιχώματος οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν, είναι προφανές ότι πρόκειται για το Κ.Σ.Σ. του σημείου. Συνεπώς οι σ, σ και σ είναι οι κύριες τάσεις στο σημείο αυτό. Προκειμένου να ελεγχθεί αν παρουσιάζεται διαρροή, συγκρίνεται η ισοδύναμη τάση με το όριο διαρροής. Κατά Tresca, η ισοδύναμη τάση υπολογίζεται: σ { σ σ, σ σ σ σ } v max,, ή

σ ν { 8..7,.7, 8.} 8.MPa max Σύμφωνα με τη θεωρία του Tresca επομένως, εφόσον σ v >, έχουμε πλαστική παραμόρφωση. Η ισοδύναμη τάση κατά von Mises υπολογίζεται: σ σ ν [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] v, ή [( 8..7) + (.7 ) + ( 8.) ] 8.MPa Δηλ. κατά τη θεωρία του von Mises, εφόσον σ v <, δεν έχουμε πλαστική παραμόρφωση. Εδώ πρόκειται για ένα ακραίο παράδειγμα της απόκλισης μεταξύ των αποτελεσμάτων των δύο θεωριών (περίπου 5% στην εκτιμώμενη ισοδύναμη τάση), που συνήθως είναι μικρότερη. Πάντως ευρύτερα χρησιμοποιείται η θεωρία του von Mises, επειδή λαμβάνει υπ όψιν της και τις τρείς τάσεις (στη θεωρία του Tresca η μεσαία σε μέγεθος τάση δεν λαμβάνεται υπ όψιν) και επειδή είναι πιο εύχρηστη από υπολογιστική άποψη. Αν υπήρχε αρνητική τρίτη κύρια τάση, πχ. σ MPa, η ισοδύναμη τάση - κατά Tresca: σ ν 8 MPa - κατά von Mises: [.7.7 8. ] 98,MPa σ ν + Ενώ αν υπήρχε θετική τρίτη κύρια τάση, π.χ. σ MPa η ισοδύναμη τάση - κατά Tresca: σ ν 88, MPa - κατά von Mises: σ ν 6. MPa + Δηλ. μία τρίτη κύρια τάση σ με το ίδιο πρόσημο με τις σ, σ μειώνει την ισοδύναμη τάση (επειδή προξενεί αντίθετη παραμόρφωση του υλικού με τις άλλες δύο), ενώ με αντίθετο πρόσημο την αυξάνει. 5

ΑΣΚΗΣΗ Θεωρία πλαστικότητας Πρίσμα από χάλυβα διαμόρφωσης Ck, αρχικών διαστάσεων x b x x x συμπιέζεται κατά τη διεύθυνση του ύψους του μέχρις ότου το ύψος του γίνει 5. Να υπολογισθεί η αρχική δύναμη συμπίεσης, η τελική δύναμη συμπίεσης και το έργο διαμόρφωσης. o b o o 5 b Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης για το υλικό Ck το όριο διαρροής του είναι: k f 6 N/ Συνεπώς η αρχική δύναμη συμπίεσης υπολογίζεται: k f A 6 N/.6. N (6 tn) Σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας (στην ολοκληρωτική του μορφή) ο τελικός όγκος του πρίσματος είναι ίσος προς τον αρχικό. Επίσης, λόγω συμμετρίας ισχύει b. Οι διαστάσεις του πρίσματος στο τέλος της παραμόρφωσης υπολογίζονται: b b 5, 7 5 Εναλλακτικά, ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με χρήση του νόμου της συνέχειας στη διαφορική του μορφή: 6

ϕ n n. 8768 ϕ ϕ b 5 (λόγω συμμετρίας) Νόμος της συνέχειας (στη διαφορική του μορφή): ϕ + ϕ b b b + ϕ e ϕ ϕ.8 b b ϕ e,8 n.8 b b n b 5,7.8 Το σύστημα συντεταγμένων b, κοινό για όλο τον όγκο του υλικού, είναι το Κ.Σ.Σ., αφού οι διατμητικές τάσεις είναι παντού μηδέν. Επειδή οι σχέσεις μεταξύ των τάσεων (σ /σ σ b /σ ) και των παραμορφώσεων (φ /φ φ b /φ /) παραμένουν σταθερές σε όλη τη διάρκεια της παραμόρφωσης, πρόκειται για ορθή παραμόρφωση. Συνεπώς ο ισοδύναμος βαθμός παραμόρφωσης φ v σε οποιοδήποτε σημείο του υλικού υπολογίζεται: ϕ ν ( ϕ + + ) ϕb ϕ ϕ ϕ ϕ ν + + ϕ ϕ ϕ,8768 Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης για φ v,8768 προκύπτει k f 565, N/ (ή από την αναλυτική έκφραση που δίνεται για την καμπύλη εργοσκλήρυνσης: k f 7.8768.6 565, N/ ). Συνεπώς η δύναμη στο τέλος της παραμόρφωσης είναι: N k f b 565, 5,7 7.58. 667N (75 tn) To έργο της παραμόρφωσης W υπολογίζεται γραφικά: W ϕv 58,9 N 58,9Nm( J ) [ k ] V k d ϕ f 6 ϕ ν fm,8768 v 6 5 N,8768 ή από την αναλυτική έκφραση που δίνεται για την καμπύλη εργοσκλήρυνσης: W ϕv 6 V k f dϕν ϕv 6 7 N,6 ϕ v,6,8768.8768 7 N ϕ 58,9 6,6 v dϕ ν N 58,9Nm( J ) 7

ΑΣΚΗΣΗ Θεωρία πλαστικότητας Κύβος από χάλυβα διαμόρφωσης Ck5, αρχικών διαστάσεων x b x x x συμπιέζεται κατά τις δύο διευθύνσεις και b με τρόπο ώστε σε όλη τη διάρκεια της παραμόρφωσης ο λόγος των τάσεων σ και σ b να παραμένει σταθερός, σ b,8 σ, μέχρις ότου το ύψος του γίνει. Να υπολογισθούν: α) οι αρχικές δυνάμεις συμπίεσης, b κατά την έναρξη της διαμόρφωσης, β) οι διαστάσεις του κύβου x b x στο τέλος της διαμόρφωσης, γ) οι τελικές δυνάμεις συμπίεσης, b, δ) το έργο της διαμόρφωσης. b b α) Για να αρχίσει η διαρροή, θα πρέπει η ισοδύναμη τάση (όπως προκύπτει από τις τάσεις σ και σ b ) να γίνει ίση προς το όριο διαρροής k f. Είναι προφανές ότι το σύστημα συντεταγμένων b είναι το Κ.Σ.Σ. και οι τάσεις σ, σ b, σ οι κύριες τάσεις σ, σ, σ. Η ισοδύναμη τάση κατά von Mises υπολογίζεται: σ ν [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) [ ] b b 8

[( σ,8σ ) + (,86σ ) + ( σ ) ] [(, σ ) + (,8 σ ) + σ ] σ (, +.8 + ), σ 965 Αφού οι σχέσεις μεταξύ των κυρίων τάσεων σ, σ b, σ παραμένουν σταθερές (ορθή παραμόρφωση), η παραπάνω σχέση ισχύει για όλη τη διάρκεια της παραμόρφωσης. Κατά την έναρξη της διαρροής η ισοδύναμη τάση είναι ίση προς το όριο διαρροής: Ν σ ν k f,965σ 8 σ 5, 5 Ν Οι δυνάμεις συμπίεσης, b κατά την έναρξη της διαμόρφωσης υπολογίζονται: σ b σ 5,5.55. Ν (5,5 tn) b σ,8 σ.. Ν (, tn) b β) Ο βαθμός παραμόρφωσης κατά τη διεύθυνση στο τέλος της διαμόρφωσης: ϕ n n,8 Για ορθή παραμόρφωση ο νόμος της πλαστικής ροής παίρνει τη μορφή: ϕ σ σ m σ b ϕ b σ m σ ϕ σ όπου η μέση τάση σ m προκύπτει: σ σ + σ + σ m σ +,8 σ + b m, 6 Συνεπώς ο νόμος της πλαστικής ροής γράφεται:, σ ϕ n ϕ σ,6 σ.55 ϕb,8 σ,6 σ e,8,55,55,8 ϕ ϕb,6 σ,, 88,555,8,6 και ϕ b,8, 677 b,677 n.677 b b e b b 9, 9

6 (Επαλήθευση : b 9, 88,555 b, ή ϕ ϕ + ϕ,8,55,677 ) + b γ) Ο ισοδύναμος βαθμός παραμόρφωσης στο τέλος της (ορθής) παραμόρφωσης υπολογίζεται: ( ϕ + ϕ + ϕ ) (,55 +,677 +,8 ), 8567 ϕ ν b Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης πλαστικοποίησης του υλικού στο τέλος της διαμόρφωσης: ϕ k f ν,8567 575, 6 N,65 ή αναλυτικά: k 76,8567 575, 6 N f k ϕ για το υλικό Ck5 προκύπτει η τάση f Από τη σχέση σ v,965 σ, που όπως εξηγήθηκε ισχύει για όλη τη διάρκεια της παραμόρφωσης, προκύπτει η τιμή της τάσης σ στο τέλος της παραμόρφωσης: σ ν k f 575,6,965σ k 68 N f σ,965,965 και σ b,8 σ,8 68 5, Ν Οι τελικές δυνάμεις συμπίεσης υπολογίζονται: b σ b σ b 68 9, 7.9.677N( 79tn) 5, 88,555 5.8.8N( 5tn) ν δ) Το έργο της παραμόρφωσης W : W V 6 v,8567,65 6 N,65 6 ϕ ν k f dϕν 76 ϕ d 76N ν ϕν φ,65 [,8567 ] 9.7.757N 9, kj 76 N 7,65 Προσεγγιστικά βεβαίως η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει γραφικά:,65,8567 W ϕv 9,98 [ k ] 6 V k d ϕ f 6 ϕ ν,8567 v N 9.98Nm( 9,98kJ ) fm 6 9 N,8567

ΑΣΚΗΣΗ 5 Διόγκωση Πρόκειται να κατασκευασθούν οι πείροι του σχήματος, από χάλυβα διαμόρφωσης Ck5, από ράβδους διαμέτρου Ø. Να υπολογισθούν : α) Οι διαστάσεις του αρχικού κομματιού β) Ο αριθμός των ενεργειών διαμόρφωσης γ) Η δύναμη διαμόρφωσης δ) Το έργο διαμόρφωσης (δίνεται μ,, n,8) Ø 6 Ø α) Ο όγκος της κεφαλής του πείρου υπολογίζεται: π d K π K K V.7 Το απαιτούμενο ύψος K ράβδου Ø για την κατασκευή της κεφαλής υπολογίζεται: π K.7 K 5 Άρα το συνολικό ύψος του αρχικού κομματιού θα είναι: 5 + 6 5 και οι διαστάσεις του αρχικού κομματιού Ø x 5.

β) Η σχέση διόγκωσης υπολογίζεται: 5 s,5 <,6, d Συνεπώς (εξ.5..) δεν υπάρχει κίνδυνος λυγισμού. Ο βαθμός διόγκωσης: 5 n K ϕ n n,5,8 <, K (, είναι ο μέγιστος επιτρεπόμενος βαθμός διόγκωσης για υλικό Ck5 σύμφωνα με τον Πίν.) Επομένως η διαμόρφωση θα γίνει με μία ενέργεια. γ) Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης για το υλικό Ck5 προκύπτει η τάση πλαστικοποίησης του υλικού στο τέλος της διαμόρφωσης: ϕ,8 k f 95 N Η δύναμη διόγκωσης (στο τέλος της διόγκωσης) υπολογίζεται: A k f 76,86 + 95 d π µ N 95, 7.55N( 7, t) N +,5 δ) Το έργο διαμόρφωσης W υπολογίζεται: V k fm ϕ.7 79N /.8 W.7.8N,kJ n.8 όπου k fm 79 N/ η μέση τάση πλαστικοποίησης κατά τη διαδικασία της διόγκωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 6 Διόγκωση Θα παραχθούν σφαίρες διαμέτρου Ø από ανοξείδωτο χάλυβα CrMo. Η διάμετρος του αρχικού κυλίνδρου να είναι τέτοια, ώστε η σχέση διόγκωσης να είναι κατά το δυνατόν κοντά στη μέγιστη επιτρεπόμενη,,6. Να υπολογισθούν: α) Οι διαστάσεις του αρχικού κυλίνδρου β) Η πραγματική (τελική) σχέση διόγκωσης γ) Η δύναμη παραμόρφωσης δ) Το έργο παραμόρφωσης (δίνεται μ,, n,8) d Ø o α) O όγκος της σφαίρας υπολογίζεται: π π 5 V r.7,6 Αν οι διαστάσεις του κυλίνδρου είναι d o x o, πρέπει: π d o o V π d.7,6, 6 V d 9, 6 o,6 π,6 d o Σαν διάμετρος του κυλίνδρου λαμβάνεται η αμέσως μεγαλύτερη τυποποιημένη διάμετρος ράβδου d o. Το αναγκαίο μήκος του κυλίνδρου υπολογίζεται:

π d Vo o V, 99, π d o δηλαδή οι διαστάσεις του αρχικού κυλίνδρου επιλέγονται τελικά Ø Χ 5. β) Η πραγματική (τελική) σχέση διόγκωσης προκύπτει: o 5 s. 5 d o (<,6) Ο βαθμός διόγκωσης υπολογίζεται: o 5 ϕ n n,5 (Ο βαθμός διόγκωσης που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο είναι προσεγγιστικός, αφού υπολογίζεται σαν το τελικά διαμορφωμένο κομμάτι να είναι ένας κύλινδρος με ύψος τη διάμετρο της σφαίρας. Στην πραγματικότητα η παραμόρφωση του αρχικού κυλίνδρου είναι λίγο μεγαλύτερη.) Ο επιτρεπόμενος μέγιστος βαθμός διόγκωσης για CrMo είναι,8 (Πίν.), συνεπώς η διαμόρφωση γίνεται με μία ενέργεια. γ) Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης για CrMo προκύπτει για φ,5: N k f 96 Η δύναμη διόγκωσης υπολογίζεται: d π N A k f + µ 96 7.8N( 7,tn) +, δ) Το έργο διαμόρφωσης W υπολογίζεται: W V k fm ϕ n.7 85N /.8,5 6.8.N 6,8kJ όπου k fm 85 N/ η μέση τάση πλαστικοποίησης κατά τη διαδικασία της διόγκωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 7 Εξώθηση Για την παραγωγή των δοχείων του σχήματος, από υλικό A 99,5, να υπολογισθούν: α) Οι διαστάσεις του αρχικού κομματιού β) Η δύναμη διαμόρφωσης γ) Το έργο διαμόρφωσης 6 Ø8 Ø s.5 α) Ο όγκος του κομματιού υπολογίζεται: π π ( 8 ) 6 686,7 V ' 8,5 + Για την παραγωγή του κομματιού ο όγκος προσαυξάνεται κατά % για αντιστάθμιση απωλειών κατά τη διαμόρφωση (καψίματα και συγκολλήσεις ή διαρροές): V.V '. 686.7 65 Το ύψος του αρχικού κυλινδρικού κομματιού, διαμέτρου Ø προκύπτει: 65 9, π και οι διαστάσεις του αρχικού κομματιού: ØΧ9,. Ο βαθμός εξώθησης υπολογίζεται: π A ϕ n n n 7,759,5 A π ( 8 ) (μικρότερος του μέγιστου επιτρεπόμενου για εξώθηση προς τα εμπρός A99,5, φ max,9, σύμφωνα με τον Πίν..) 5

Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης του υλικού, για βαθμό εξώθησης φ,5 προκύπτει: k f 7 N/, k fm 5 N/, όπου k fm η μέση τάση πλαστικοποίησης κατά τη διάρκεια της διαμόρφωσης του υλικού (δηλ. μεταξύ απαραμόρφωτου υλικού με βαθμό παραμόρφωσης μηδέν και τελικά διαμορφωμένου υλικού με βαθμό παραμόρφωσης φ ). β) Η δύναμη εξώθησης (σταθερή για περίπου όλη τη διάρκεια της διαμόρφωσης) υπολογίζεται: A k ϕ π 5,5 fm n,6 5.89N (5 tn), όπου ο βαθμός απόδοσης της διεργασίας n εκτιμάται από τον Πίν. για εξώθηση προς τα εμπρός, μορφή και φ >,6 n,6. γ) Κατά τη διαμόρφωση το έμβολο κινείται από το αρχικό ύψος του κομματιού μέχρι το τελικό πάχος του πυθμένα του διαμορφωμένου κομματιού s. Συνεπώς η διαδρομή του εμβόλου είναι: s W s 9,,5 7,7 Το έργο εξώθησης υπολογίζεται: W s W 5.89 7,7.696.58 N,7 kj. Κατά την εξώθηση ωστόσο λεπτότοιχων κομματιών (με πάχος τοιχώματος μικρότερο του / της αρχικής μέσης διαμέτρου), λόγω της πολύ μεγάλης και εξαιρετικά ανομοιογενούς παραμόρφωσης που υφίσταται το υλικό, οι παραπάνω γενικής χρήσης τύποι δεν δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα, επειδή υποεκτιμούν τον πραγματικό βαθμό εξώθησης. Ειδικά για λεπτότοιχα κομμάτια, ο βαθμός εξώθησης υπολογίζεται ακριβέστερα από τον τύπο: 6

ϕ D n D d,6 n,6 8,55 όπου D : η μέση διάμετρος του αρχικού κομματιού και d : η εσωτερική μέση διάμετρος του τελικού κοίλου κομματιού Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης για φ,55 προκύπτει k f 8 N/, k fm 5 N/ Για λεπτότοιχα κομμάτια η δύναμη εξώθησης υπολογίζεται από τον τύπο: k fm π 5 9, Ast +,5 8 +,5 567. 7N, n s,7 όπου Α st το εμβαδόν της εγκάρσιας τομής της εσωτερικής κοιλότητας του τελικού κομματιού. Το έργο εξώθησης: W s W 567.7 7,7.68.76 N,7 kj. 7

ΑΣΚΗΣΗ 8 Εξώθηση Διόγκωση Να παραχθούν οι πίροι του σχήματος από χάλυβα Ck5. Οι διαστάσεις του αρχικού κυλίνδρου να επιλεγούν έτσι ώστε για τη σφαιρική κεφαλή να προκύπτει σχέση διόγκωσης s K /d περίπου. Ø5 5 8 5 Ø Ø Ο όγκος της σφαιρικής κεφαλής υπολογίζεται: V Κ π r π r - π 5 5-5 (5 - ) 6.67,5, όπου r η ακτίνα της σφαίρας και το ύψος του αφαιρούμενου σφαιρικού τομέα. Ο συνολικός όγκος του κομματιού προκύπτει: V 6.67,5 + π 5 + π 5 96.,7. Αν ο αρχικός κυλινδρικός όγκος από τον οποίον θα δημιουργηθεί η κεφαλή έχει διαστάσεις d x Κ προκύπτει: V Κ K d π d K 6.67,5 π d 6.67,5 > d, 8

Επιλέγεται d 5, και το συνολικό ύψος του αρχικού κυλίνδρου υπολογίζεται: π d 96.,7 96.,7. π/ 5 Άρα οι διαστάσεις του αρχικού κυλίνδρου είναι Ø5 x. Το μήκος του αρχικού κυλίνδρου από το οποίο θα διαμορφωθεί το κεφάλι είναι : 6.67,5 Κ 66,. π/ 5 Η διαμόρφωση θα γίνει σε δύο φάσεις, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: η Φάση : Εξώθηση προς τα εμπρός η Φάση : Διόγκωση Αρχικό κομμάτι η Φάση η Φάση Ø5 66, Ø5 5 Α 5 5 Α 5 5 Α η Φάση Η συνολική διαδρομή του εμβόλου s W υποδιαιρείται σε δύο μέρη, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Βάσει του νόμου της συνέχειας, η ελάττωση του όγκου του κυλίνδρου Ø5 είναι ίση προς τον όγκο του κυλίνδρου Ø που δημιουργείται στο πέρας του ου μέρους της διαδρομής του εμβόλου s W. Το μήκος s W υπολογίζεται: π 5 π s W 5 > s W 5 5,7 5 9

Αρχικό κομμάτι Ø5 ο μέρος διαδρομής s w ο μέρος διαδρομής s w 66, 66, 5 5 5 Ο βαθμός εξώθησης κατά το ο μέρος της διαδρομής υπολογίζεται: π d A φ n n 5 n,8 (<, φεπ για Ck5, Πίν.) A π d Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης του υλικού Ck5 προκύπτει: k f 65 N/, k fm 5 N/ Η δύναμη του εμβόλου κατά το ο μέρος της διαδρομής υπολογίζεται: A k fm ϕ n και το σχετικό έργο: π 5 5,8,8 96.9, N (9,6 tn) W s W 96.9, 5,7 5.8.9 N 5,5 kj Κατά το δεύτερο μέρος της διαδρομής συμβαίνει συγχρόνως εξώθηση από Α σε Α και από Α σε Α. Η δύναμη που απαιτείται για την εξώθηση από Α σε Α είναι η. Η δύναμη που απαιτείται για την εξώθηση από Α σε Α υπολογίζεται παρακάτω. Ο βαθμός εξώθησης κατά την εξώθηση από Α σε Α είναι: π Α φ n n,8 Α π

Κατά τη δεύτερη αυτή εξώθηση το υλικό, που έχει ήδη υποστεί παραμόρφωση φ κατά την πρώτη εξώθηση, παραμορφώνεται περαιτέρω κατά φ. Συνεπώς ο βαθμός παραμόρφωσης του υλικού μετά τη δεύτερη εξώθηση είναι A A A A A n n n n ϕ,8 +,8,9 ϕ T + ϕ + A A A A A (<, φ επ για Ck5, Πίν.) Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης προκύπτει για φ T,9: k f 78 N/, k fm 75 N/, όπου k fm η μέση τάση πλαστικοποίησης κατά τη διάρκεια της διαμόρφωσης του υλικού από φ σε φ. Η δύναμη για τη δεύτερη εξώθηση υπολογίζεται: ' A k fm ϕ n π 75,8 5.5,N (5, tn).,8 Η διαδρομή του εμβόλου s W κατά το δεύτερο μέρος της διαδρομής υπολογίζεται με ανάλογο τρόπο όπως και η s W : π/ 5 s W π/ 5 > s W 8,6. (Επαλήθευση: 5,7 + 8,6,877 66,) Η δύναμη του εμβόλου κατά το δεύτερο μέρος της διαδρομής είναι: + ' 96.9, N + 5.5, N 78.67, N (7,9 tn) και το αντίστοιχο έργο : W s W 78.67, 8,6 5.78.89, N 5,78 kj. Το συνολικό έργο κατά την η Φάση: W W + W 5,5 + 5,78,8 kj η Φάση Ο βαθμός διόγκωσης κατά τη διαμόρφωση της σφαιρικής κεφαλής υπολογίζεται (προσεγγιστικά):

K 66, φ C n n,85 (<,5 φ επ για Ck5, Πίν.) 5 K Από την καμπύλη εργοσκλήρυνσης προκύπτει για φ C,85: k fc 66 N/, k fmc 575 N/ και η δύναμη διαμόρφωσης: d π 5 N C AC k fc + µ 66.67.9N( 7tn) Το έργο της διόγκωσης υπολογίζεται: W V k ϕ 6.67 575N /.8 5 +,5 5,85 7.6.7N 7, K fmc C C 6 n kj

ΑΣΚΗΣΗ 9 Βαθεία κοίλανση Σε μία πρέσα διπλής ενέργειας να παραχθούν τα κομμάτια του σχήματος από χάλυβα St (σ Β Ν/ ). d 8 s,5 9 8r Η διάμετρος D του αρχικού επίπεδου ελάσματος υπολογίζεται: πd + π d πd > D d + d > D 8 + 8 9 87,6 Επιλέγεται D 88. Προκύπτει λόγος κοίλανσης: D 88 β,5 και d 8 d 8 5, s,5 d 8 Από τον Πίν.7 για 5, ο επιτρεπόμενος μέγιστος λόγος κοίλανσης s,5 προκύπτει: β επ,5

(Από την εξ.5.6.5, για υλικά με καλή δυνατότητα κοίλανσης, όπως ο χάλυβας St, προκύπτει β επ,5 - Επειδή β,5 > β επ d s,).,5, η διαμόρφωση θα γίνει σε δύο φάσεις. Ο λόγος κοίλανσης της πρώτης ενδιάμεσης κοίλανσης λαμβάνεται β, οπότε ο λόγος κοίλανσης της δεύτερης ενδιάμεσης κοίλανσης β υπολογίζεται: β β β > β β β.5,75 Η ενδιάμεση διάμετρος d προκύπτει: d 88 9 9 (β,75) 8 η κοίλανση Το βάθος της πρώτης κοίλανσης υπολογίζεται: π D πd + π d > D - d d 88-9 9 7,5 Η δύναμη κοίλανσης: N Κ U sσ Β n π9,5,7 89.589 N (9 tn), όπου ο συντελεστής διόρθωσης n,7 προκύπτει από τον Πίν.8 για β, και d /s 9/,5 6,7. Επειδή η πρέσα είναι διπλής ενέργειας, το έργο που δαπανάται είναι ίσο προς το έργο διαμόρφωσης (αντίθετα σε μία πρέσα μονής ενέργειας δαπανάται έργο και από τη δύναμη συγκράτησης). Το έργο διαμόρφωσης κατά την πρώτη κοίλανση υπολογίζεται: W Κ x 89.589N,6,75m 8. Nm 8, kj όπου x m / K,6 o λόγος της μέσης δύναμης του εμβόλου κατά την διαδρομή του προς τη μέγιστη δύναμη K. Η χάρη κοίλανσης:

88 w s D/d,5, 9 Εναλλακτικά, από την εξ.5.6.5 και τον Πίν.9 η χάρη κοίλανσης υπολογίζεται: w s + k s.5 +,7,5,6 Λαμβάνεται w,9. Η ακτίνα στρογγύλευσης της ακμής της μήτρας : r M,5 [5 + (D d)] s,5 [5 + 9], 5 6,7 Λαμβάνεται r M 6. Η αναγκαία πίεση συγκράτησης εκτιμάται (εξ.5.6.8): p Ν [(β ) + d s σ ] Β [( ) + 9,5 ], N/ Η εσωτερική διάμετρος του δακτυλίου συγκράτησης υπολογίζεται (εξ.5.6.): d w d + w + r Μ 9 +,9 + 6 9,8 και το εμβαδόν της επιφάνειας συγκράτησης (εξ.5.6.): Α Ν π π (D - d w ) ( 88 ) 8.56. Η δύναμη συγκράτησης προκύπτει: Ν A Ν p Ν 8.56, N/.7 N (,7 tn) η κοίλανση Η δύναμη διαμόρφωσης κατά τη δεύτερη κοίλανση υπολογίζεται από την ίδια σχέση όπως και κατά την πρώτη, αλλά προσαυξάνεται κατά το μισό της δύναμης της προηγούμενης κοίλανσης, λόγω εργοσκλήρυνσης του υλικού: K K 89,6 N + U s σ Β n kn + π 8,5, 9,8 +,7 6,5 kn (,7 tn) όπου ο συντελεστής διόρθωσης n, προκύπτει από τον Πίν.8 για β,75 και d /s 8/,5 5,. Το σχετικό έργο υπολογίζεται: W Κ x 6.5N,6,9m 7.7 Nm 7,7 kj 5

ΑΣΚΗΣΗ Φθορά Δακτύλιος από μπρούντζο, εξωτερικής διαμέτρου D A και εσωτερικής D I ολισθαίνει περιστρεφόμενος γύρω από τον άξονά του πάνω σε πλάκα από ανθρακούχο χάλυβα, πιεζόμενος επάνω της με φορτίο Ν. Μετά από περιστροφή με ταχύτητα rpm η απώλεια μάζας του μπρούντζου είναι mg και του χάλυβα mg. Να υπολογισθούν τα αντίστοιχα βάθη φθοράς και οι αδιάστατοι συντελεστές φθοράς του μπρούντζου και του χάλυβα. Δίνονται η πυκνότητα και η σκληρότητα του μπρούντζου και του χάλυβα αντίστοιχα: ρ b 8.5 kg/m, H b 8 Mpa (κατά Vickers) ρ s 7.8 kg/m, H s.5 Mpa Οι όγκοι μπρούντζου και χάλυβα που έχουν απωλεσθεί υπολογίζονται: V V m kg 6 b 9 b,5 m ρb 8.5 kg m m kg 6 s 9 s,8 m ρ s 7.6 kg m,5,8. Η επιφάνεια επαφής Α μπρούντζινου δακτυλίου χαλύβδινης πλάκας είναι: DA DI A π π 5,6 Τα αντίστοιχα βάθη φθοράς προκύπτουν: d Vb,5 A 5,6, b Vs,8 d s, 5 A 5,6 Η μέση ακτίνα της επιφάνειας επαφής δακτυλίου πλάκας είναι: + r m 7, 5 Η μέση απόσταση που έχει διανυθεί από την περιστρεφόμενη επιφάνεια του δακτυλίου πάνω στην πλάκα υπολογίζεται: 6

xm vm t π n rm t π s 7,5 m.6s 8. 7m 6 Οι αδιάστατοι συντελεστές φθοράς k b και k s για το μπρούντζο και τον ανθρακούχο χάλυβα αντίστοιχα προκύπτουν βάσει της εξ..: Wxm V k > H k b Vb H W x b m m N 8.7m Pa 6,66 9 6,5 8 6 k s Vs H W x s m m N 8.7m Pa, 9 6,8.5 6 7

ΑΣΚΗΣΗ Ακτινικά έδρανα ολίσθησης Η ακτίνα της ατράκτου ενός ακτινικού εδράνου ολίσθησης είναι r 5, το πλάτος του b και η χάρη του ψ Δr/r, (%). To έδρανο λειτουργεί με λιπαντικό SAE με δυναμικό ιξώδες η cp (, Pas) στους ο C. Η άτρακτος περιστρέφεται με rpm χωρίς φορτίο. Να υπολογισθούν η ροπή και η ισχύς τριβής. w Δr r+δr w ωr r Με τις απλουστευτικές παραδοχές ότι το λιπαντικό έχει σταθερή συνεκτικότητα και πυκνότητα και ότι το πλάτος του εδράνου είναι πολύ μεγαλύτερο από τη διάμετρό του, η ροή του λιπαντικού περιγράφεται από την εξίσωση Reynods (εξ.5.): d dp d ( ) 6Uη dx dx dx Αφού η άτρακτος δεν φέρει φορτίο, η πίεση p μέσα σε όλο το λιπαντικό στρώμα είναι σταθερή (ίση προς την ατμοσφαιρική), και συνεπώς ισχύει dp dx Από την εξίσωση Reynods προκύπτει ότι d dx 8

Συνεπώς το ύψος του λιπαντικού στρώματος είναι σταθερό Δr ψ r, 5,5 (δηλ. η άτρακτος είναι συγκεντρική με το έδρανο). Η γωνιακή ταχύτητα της ατράκτου υπολογίζεται: ω π n π,s 6 και η γραμμική ταχύτητα του λιπαντικού στην επιφάνεια της ατράκτου: U ω r,s,5m,578m / s Η περιφερειακή ταχύτητα του λιπαντικού σε απόσταση y από την επιφάνεια της ατράκτου δίνεται από τη σχέση (εξ.5.8): dp w ( y y η dx dp και επειδή : dx y ) + U ( ) y w U ( ). Δηλ. η περιφερειακή ταχύτητα του λιπαντικού μεταβάλλεται γραμμικά μεταξύ των ταχυτήτων των επιφανειών της ατράκτου (U) και του εδράνου (), επί των οποίων το λιπαντικό προσφύεται. Προκύπτει dw U dy Η διατμητική τάση σε κάθε σημείο της επιφάνειας της ατράκτου είναι: dw U η ω r τ η η, δηλ. dy,pas,s,5m τ,5m και η ροπή τριβής:,pa M η ω r π η r b ω τ r da τ r A r π r b, δηλ. A π,pas,5 m,m,s M, 9Nm,5m Η ισχύς τριβής υπολογίζεται: P M ω,9 Nm, s - 5,5 W 9

ΑΣΚΗΣΗ Αξονικά έδρανα ολίσθησης Ένα αξονικό υδροστατικό έδρανο με εξωτερική ακτίνα r και ακτίνα θύλακα r i 5 φορτίζεται με φορτίο W. N. α) Να υπολογισθεί η πίεση p r του λιπαντικού λαδιού στο θύλακα. β) Εάν χρησιμοποιείται λάδι δυναμικού ιξώδους η cp (, Pas), να υπολογισθεί η αναγκαία ογκομετρική παροχή, ώστε το πάχος του λιπαντικού στρώματος να διατηρείται στα 5 μ. γ) Να υπολογισθεί ο συντελεστής ακαμψίας (σταθερά ελατηρίου) του εδράνου. δ) Να υπολογισθούν οι απώλειες τριβής και η ανύψωση της θερμοκρασίας του λιπαντικού κατά την εκροή του από το έδρανο, εάν η πυκνότητα του λιπαντικού λαδιού είναι ρ 88 kg/m και η ειδική του θερμότητα c p.88 J/kgK. α) Από την εξ.5. υπολογισμού του φορτίου ενός εδράνου: pr ( r r W π n( r / r ) προκύπτει: i i ) r,m W n.n n r,5m pr, 8Mpa π i ( r r ) π (,,5 ) i

β) Η αναγκαία ογκομετρική παροχή προκύπτει (εξ.5.): π pr Q 6 η n( r / r ) i 6 π,5 m,8 Pa,m 6,Pas n,5m,59 m / s,55m / γ) Ο συντελεστής ακαμψίας (ή σταθερά ελατηρίου) ενός εδράνου ορίζεται ως η πρώτη παράγωγος του φορτίου ως προς το πάχος του λιπαντικού στρώματος του εδράνου, δηλ. ως ο λόγος της (στοιχειώδους) μεταβολής του φορτίου προς την αντίστοιχη μεταβολή του πάχους του λιπαντικού στρώματος του εδράνου (όπως και σε ένα ελατήριο): dw k f d Με αντικατάσταση της πίεσης p r συναρτήσει της ογκομετρικής παροχής από την προηγούμενη σχέση στην εξίσωση του φορτίου (εξ.5.) προκύπτει: pr ( r ri ) W π π ( r ri ) Q 6 η n( r / ri ) r ri η Q n( r / r ) n( r / r ) π i Επειδή η παροχή Q διατηρείται σταθερή, προκύπτει: i ( r r ) ( ) η Q ( r r ) ( ) dw r ri η Q i i η Q d και ο συντελεστής ακαμψίας υπολογίζεται: dw W.N 9 k f N / m d,5m W δ) Η ισχύς των απωλειών τριβής του εδράνου υπολογίζεται: 6 H pr Q,8 Pa,59 m / s 89, W και η ανύψωση της θερμοκρασίας του λιπαντικού: H t Q ρ c 89, 7 m / s 88kg / m.88j / kgk p,59 C