4Q m 2c Δθ 2m = 4= Q m c Δθ m. m =2m ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ

Transcript

1 ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ 1. Σε ένα οριζόντιο φύλλο αλουμινίου το οποίο είναι στερεωμένο σε μία βάση υπάρχει μια στρογγυλή οπή με διάμετρο m. Πάνω στην οπή ηρεμεί μία σφαίρα από σίδηρο με διάμετρο,4m. Αρχικά η θερμοκρασία του συστήματος είναι 5 C. Βρείτε σε ποια θερμοκρασία η σιδερένια σφαίρα θα πέσει μέσα από την οπή στο φύλλο του αλουμινίου. Ο συντελεστής γραμμικής διαστολής του αλουμινίου και του σιδήρου είναι 4 Χ 1-6 και 1 Χ 1-6 αντίστοιχα. Σε κάποια μεγαλύτερη θερμοκρασία θ όταν η διάμετρος της σφαίρας γίνει ίση με αυτήν της οπής, τότε αυτή θα πέσει. Οπότε στην θερμοκρασία θ θα έχουμε: d (οπ) = d (σφ) d 1(οπ) [1+α αλ (θ-5)] = d 1(σφ) [1+α σιδ (θ-5)] [1+4 Χ 1-6 (θ-5)] =,4[1+1 Χ 1-6 (θ-5)] +48 Χ 1-6 (θ-5) =,4+4,48 Χ 1-6 (θ-5) 3,95 Χ 1-6 (θ-5) =,4 θ =,4 Χ 1 6 /3,95 +5 θ =.. Δύο υλικά Α και Β έχουν ιδικές θερμότητες c A και c B έτσι ώστε c Β = c Α. Αν δώσουμε θερμότητα Q στο Α και θερμότητα 4Q στο Β η μεταβολή στην θερμοκρασία τους είναι ίδια. Αν το υλικό Α έχει μάζα m A βρείτε την μάζα του υλικού Β. Για το υλικό Α θα ισχύει ότι: Q = m A c A Δθ (1) Για το υλικό Β θα ισχύει ότι: 4Q = m Β c Β Δθ 4Q = m Β c Α Δθ () Διαιρώντας τις () και (1) κατά μέλη έχουμε: 4Q m c Δθ m = 4= Q m c Δθ m Β A Β Α A Α m =m Β Α 3. Τρείς κύλινδροι κατασκευασμένοι από το ίδιο υλικό είναι τοποθετημένοι πάνω σε μία πλατφόρμα και βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία. Όταν δοθεί το ίδιο ποσόν θερμότητας στους κυλίνδρους βρείτε την σχέση μεταξύ των μεταβολών των μηκών τους.

2 Έστω V X, V Y και V Z οι αντίστοιχοι όγκοι των κυλίνδρων. Από το σχήμα φαίνεται ότι: V X = V Y και V Z = V X /= V Y / Εφόσον οι κύλινδροι είναι κατασκευασμένοι από το ίδιο υλικό, θα υπάρχει μια γραμμική αναλογία ανάμεσα στους όγκους και τις αντίστοιχες μάζες των κυλίνδρων. Δηλαδή ισχύει ότι: m X = m Y και m Z = m X /= m Y / Για τον Χ κύλινδρο θα ισχύει ότι: Q = m x c Δθ x (1) Για τον Y κύλινδρο θα ισχύει ότι: Q = m Y c Δθ Y () Για τον Ζ κύλινδρο θα ισχύει ότι: Q = m Ζ c Δθ Ζ Q =( m x /) c Δθ Ζ (3) Από τη (1) και () φαίνεται : Δθ x = Δθ Υ Από τη (1) και (3) έχουμε ότι: m x c Δθ x =( m x /) c Δθ Ζ Δθ Ζ = Δθ Χ Στον Χ η μεταβολή στο μήκος X λόγω της Δθ Χ θα είναι: Δ X = αh Δθ Χ (4) Όπου α είναι ο συντελεστής γραμμικής διαστολής του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένοι οι κύλινδροι. Στον Υ η μεταβολή στο μήκος Υ λόγω της Δθ Υ θα είναι: Δ Υ = αh Δθ Υ Δ Υ = αhδθ Χ (5) Στον Ζ η μεταβολή στο μήκος Ζ λόγω της Δθ Ζ θα είναι: Δ Ζ = αh Δθ Ζ Δ Z = αh Δθ Χ Δ Z = αh Δθ Χ (6) Από τις σχέσεις (4), (5) και (6) βλέπουμε ότι: Δ Υ = Δ Z > Δ X 4. Αν κινητό μάζας m έχει ειδική θερμότητα c (cal / Kgr. C ) και βρίσκεται σε θερμοκρασία θ αρχ. σταματήσει την κίνηση του λόγω τριβής από κάποιο φρένο αμελητέας μάζας, τότε η κινητική του ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Ποια θα είναι η τελική του θερμοκρασία αν το κινητό απορροφά όλο το ποσό της θερμότητας της τριβής; Q=mcΔθ Q=mc(θ -θ ) Q=Ε κινητική (1) τελ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: αρχ Αν το κινητό κάνει μεταφορική κίνηση, τότε: E κινητική = ½ mu

3 Αν το κινητό κάνει περιστροφική κίνηση, τότε: E κινητική = ½ Ι ω (I = ροπή αδρανειας και u=ω) Αν το κινητό κάνει μεταφορική και περιστροφική κίνηση, τότε: E κινητική = ½ mu + ½ Ι ω Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) την E κινητική ανάλογα με το είδος της κίνησης, υπολογίζω την θ τελ. ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΓΩΓΗ 5. Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο της θερμοβαθμίδας σε μία ράβδο αλουμινίου ώστε να μεταφέρει 8 cal/cm διατομής κατά μήκος της. Η θερμική αγωγιμότητα k του αλουμινίου είναι,5 cal/s. cm. o C. Για τον ρυθμό ροής της θερμότητας (θερμικό ρεύμα) στη ράβδο ισχύει ka 8 cal/s = (,5 cal/s. cm. o C)(1cm ) Οπότε = 16 o C/cm Το πρόσημο της θερμοβαθμίδα εξαρτάται από το αν η ροή της θερμότητας είναι στην θετική ή την αρνητική διεύθυνση του χ. (+ για την θετική και για την αρνητική). 6. Μια πλάκα πάχους 4 cm και με πλευρικές επιφάνειες τετράγωνα με πλευρά 5 cm έχει διαφορά θερμοκρασίας 4 o C ανάμεσα στις πλευρικές της επιφάνειες. Πόση θερμότητα Q ρέει διαμέσου της ανά ώρα; Η θερμική της αγωγιμότητα k είναι,5 cal/s. cm. o C. k( ό )( Th Tc )( ό ).5(55)(4)(36) Q 56, 5kcal ά 4

4 7. Μια πόρτα ενός ψυγείου έχει ύψος 15 cm, πλάτος 8 cm και πάχος 6 cm. Αν η θερμική της αγωγιμότητα k είναι.,5 cal/s. cm. o C και οι θερμοκρασίες της εσωτερικής και της εξωτερικής της πλευράς είναι και 3 o C αντίστοιχα, ποια είναι η απώλεια θερμότητας ανα λεπτό διαμέσου της πόρτας σε θερμίδες (calores); o o k( ό )( Th Tc )( ό ).5(158)(3 )(6) Q 18cal ά 4 8. Ένα «διπλό» παράθυρο αποτελείται από δύο πλάκες γυαλιού, κάθε ένα με διαστάσεις 8 cm X 8 cm X,3 cm, τα οποία διαχωρίζονται με ένα σταθερό στρώμα αέρα. Η θερμοκρασία της εσωτερικής του επιφάνειας είναι θ 1 = o C ενώ η θερμοκρασία της εξωτερικής του επιφάνειας είναι θ 4 = o C. Πόση θερμότητα διαπερνά μέσω του παραθύρου κάθε δευτερόλεπτο; Η θερμική της αγωγιμότητα k Γ του γυαλιού είναι Χ1-3 cal/s. cm. o C και η θερμική της αγωγιμότητα k Α του αέρα είναι Χ1-4 cal/s. cm. o C. Για τον ρυθμό ροής της θερμότητας (θερμικό ρεύμα), αέρας γυαλί) ισχύει ka, σε κάθε περιοχή (γυαλί 3 (X1 )(64)( ) 1 4, 7( ),,3 4 (X1 )(64)( 1) 1,3 4, 7( ) 3 (X1 )(64)( 3 ) 3 3,3 4,7( ) Για μια σταθερή θερμική ροή θα πρέπει να ισχύει ότι 1 = = 3, οπότε έχουμε Οπότε Τελικά 4, 7( ) 4, 7( ) 4, 7( ) 1( ) ( ) 1( ) , 3 3 1,67 C και 3 (4, 7)(1, 67) 71,3 cal / s 18, 4 C

5 9. Ένας κύλινδρος του οποίου η εσωτερική διάμετρος είναι 4,cm περιέχει αέρα πιεσμένο από ένα έμβολο μάζας m = 13,Kg, το οποίο ολισθαίνει ελεύθερα στον κύλινδρο. Ολόκληρη η κατασκευή βυθίζεται σε λουτρό με νερό του οποίου η θερμοκρασία μπορεί να ρυθμίζεται. Το σύστημα είναι αρχικά σε ισορροπία σε θερμοκρασία θ α = ο C. Το αρχικό ύψος του μπιστονιού από τον πυθμένα του κυλίνδρου είναι h= 4, cm. Η θερμοκρασία του λουτρού αυξάνεται βαθμιαία σε μία τελική θερμοκρασία θ τ = 1 ο C. Υπολογίστε το ύψος h του μπιστονιού. Καθώς η πίεση και η μάζα του αέρα μέσα στον κύλινδρο παραμένει σταθερή εφαρμόζουμε V T V (1) T Αν το κυλινδρικό δοχείο έχει σταθερό εμβαδόν διατομής Α, τότε V h h V h h () Από τις (1) και () βρίσκουμε ότι V T h h h V T Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών (Τ α = 93,15 Κ και Τ α = 373,15 Κ) βρίσκουμε 373,15K h (4, cm) 5,9cm 93,15K ΘΕΡΜΙΚΗ ΡΟΗ ΣΕ ΕΝΑΝ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ (ΕΦΑΡΜΟΓΗ) Θεωρούμε θερμότητα που ρέει από το εσωτερικό προς το εξωτερικό ενός αγωγού με σταθερή ροή. Η θερμική ροή μέσα από στοιχειώδες τμήμα ακτίνας r, πάχους dr και μήκους θα είναι:

6 d d ka k( r) dx dr dr k d r Ολοκληρώνοντας έχουμε: dr k d r k k ln r ln ( ) k ( ) ln k Επομένως ( ) ln ΘΕΡΜΙΚΗ ΡΟΗ ΣΕ ΜΙΑ ΚΟΙΛΗ ΣΦΑΙΡΑ (ΕΦΑΡΜΟΓΗ) Αντίστοιχος είναι ο υπολογισμός του ρυθμού ροής σε κοίλη σφαίρα. Το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι: 4 r Οπότε ο ρυθμός ροής θα είναι: d ka k r dx dr 4k d r (4 ) d dr Ολοκληρώνοντας έχουμε: dr 4k 1 k 1 1 d r r 4k Επομένως ( 1 1 ) 4 4k ( )