ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α. Για παράδειγμα: Προσοχή!!! 0 = 0, αφού 0 = 0 1 = 1, αφού 1 = 1 9 = 3, αφού 3 = 9 16 = 4, αφού 4 = 16 Η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται! Δηλαδή δεν μπορούμε να γράψουμε 5 Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας: (a β) = a β a β = a β a = a a + β a + β ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1
Πυθαγόρειο Θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Δηλαδή με βάση το παρακάτω τρίγωνο έχουμε: ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Εμβαδόν Τετραγώνου Το τετράγωνο είναι το γεωμετρικό σχήμα το οποίο έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες του τις γωνίες ορθές. Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α είναι ίσο με: Ε = α ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ
Εμβαδόν Παραλληλογράμμου Το παραλληλόγραμμο είναι το γεωμετρικό σχήμα,το οποίο έχει ανά δύο τις πλευρές του ίσες και παράλληλες. Το εμβαδόν παραλληλογράμμου με βάση ( β ) και ύψος ( υ ) είναι ίσο με: Ε = β υ Εμβαδόν Τριγώνου Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με Ε = ( ), όπου β είναι η βάση του τριγώνου και υ είναι το ύψος του τριγώνου Εμβαδόν τραπεζίου Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι ίσο με Ε = () ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 3
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί υπολογίζονται μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα και είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ( την οποία θα γνωρίσετε αργότερα ). Εφαπτομένη οξείας γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω. εφω = απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνιας ω Ημίτονο οξείας γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω. ημω = απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα Συνημίτονο οξείας γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω. συνω = προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα Γενικά, εφω = ημω συνω. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 4
Γωνία ω ημω συνω εφω 0 0 1 0 30 = π 1 3 1 6 3 = 3 3 45 = π 1 4 60 = π 3 1 3 3 90 = π 1 0 Δεν ορίζεται!!! Εγγεγραμμένη/Επίκεντρη γωνία Μια γωνία xay που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο(ο, ρ).στην περίπτωση όμως που η κορυφή της γωνίας είναι το κέντρο του κύκλου, τότε η γωνία αυτή καλείται επίκεντρη. Γενικά: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 5
Κανονικό πολύγωνο Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες. Τύποι κανονικών πολυγώνων Κεντρική γωνία ν-γώνου ω = Γωνία ν-γώνου φ = 180 ω ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν σταθερή απόσταση από ένα δοσμένο σημείο ( κέντρο του κύκλου ). Για να γνωρίζουμε πλήρως έναν κύκλο αρκεί να γνωρίζουμε πιο είναι το κέντρο του και ποια είναι η ακτίνα του. Μήκος κύκλου Το μήκος του κύκλου είναι το μήκος το οποίο προκύπτει εάν προσπαθήσουμε να τον «ξεδιπλώσουμε». Ο τύπος που μας δίνει το μήκος αυτό είναι: Όπου: π 3,14 L = πδ ή L = πρ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 6
Μήκος τόξου Επειδή πολλές φορές δεν θέλουμε να βρούμε το μήκος όλου του κύκλου, αλλά το μήκος ενός κομματιού του κύκλου, βρίσκουμε όπως λέμε το μήκος τόξου μ, όπου l = πρ (μοίρες) ή l = αρ (rad = ακτίνια) Εμβαδόν κυκλικού δίσκου Ε = πρ Εμβαδόν κυκλικού τομέα Ε = πρ (μοίρες) ή Ε = αρ (ακτίνια) Σχέση μοιρών και ακτινίων μ 180 = α π ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 7