Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία φόρτιση p() ανάγεται στην επίλυση της διαφορικής εξίσωσης mu + cu + ku = p() με αρχικές συνθήκες u = u(0) και u = u (0) Η τυχαία δύναμη p() μπορεί να θεωρηθεί ως ακολουθία ωστικών δυνάμεων (impulses) απειροστής διάρκειας. Τότε, η απόκρισητου συστήματος λόγω της διέγερσης p() μπορεί να ληφθεί ως άθροισμα των αποκρίσεων του συστήματος σε κάθε ωστική δύναμη, αρκεί βεβαίως το σύστημα να είναι γραμμικό για να ισχύειηαρχήτηςεπαλληλίας. (1)
Μοναδιαίο Πλήγμα Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε μοναδιαίο πλήγμα (ui impulse) Δ10-3 Στη δυναμική, φορτία κατανεμημένα σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα ή που επενεργούν σε μία χρονική στιγμή ονομάζονται ωστικά φορτία ή πλήγματα. Στο σχήμα φαίνεται η δύναμη p()=1/ε με χρονική διάρκεια ε που ξεκινά στο χρόνο =τ. Όσο το ε πλησιάζει στο μηδέν, ηδύναμη τείνει στο άπειρο. Το μέτρο του πλήγματος, που ισούται με το ολοκλήρωμα του p(), ισούται με ένα. Στην οριακή περίπτωση που το ε 0, ένα τέτοιο φορτίο ονομάζεται μοναδιαίο πλήγμα. Ησυνάρτησηδέλτα(Dirac dela fucio), δ(-τ), που ορίζεται ως 0, τ δ( τ) =, = τ παριστάνει ένα μοναδιαίο πλήγμα στο χρόνο =τ με δ( τ) d = 1
Μοναδιαίο Πλήγμα (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Δ10-4 Σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, όταν μία δύναμη p() ασκείται σε ένα σώμα μάζας m, ο ρυθμόςμεταβολήςτης ορμής του σώματος ισούται με τη δύναμη: d ( mu ) = p ( ) d Για σταθερή μάζα η εξίσωση (2) γίνεται mu = p() (2) (3) Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης (3) παίρνουμε Το ολοκλήρωμα I = 2 p() d ισούται με το μέτρο του πλήγματος 1 και ονομάζεται ώθηση της δύναμης. Το γινόμενο mδu είναι η μεταβολή της ορμής. Δηλαδή, η ώθησητηςδύναμηςισούται με τη μεταβολή της ορμής. 2 pd () = mu ( 2 u 1) = mδu 1 (4)
Μοναδιαίο Πλήγμα (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Δ10-5 Άρα αν η μάζα m βρισκόταν αρχικά σε ηρεμία, αμέσως μετά τη δράση του πλήγματος θα έχει ταχύτητα 1/m. Για ένα μονοβάθμιο σύστημα που βρίσκεται αρχικά σε ηρεμία, η δράσητουμοναδιαίουπλήγματοςστοχρόνο=τ, θα θέσει το σύστημα σε ταλάντωση. Ειδικότερα, το σύστημα θα εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση με αρχικές συνθήκες 1 u () τ = και u( τ) = 0 m Η λύση της ελεύθερης ταλάντωσης μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση δόθηκε στην εξίσωση (5-4b). Αντικαθιστώντας τις πιο πάνω αρχικές συνθήκες στην εξίσωση αυτή, παίρνουμε την απόκριση του μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση σε μοναδιαίο πλήγμα 1 h ( τ ) u ( ) = si ω ( τ) τ ω, m (5)
Μοναδιαίο Πλήγμα (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Δ10-6 Η λύση της ελεύθερης ταλάντωσης μονοβάθμιου συστήματος με απόσβεση δόθηκε στην εξίσωση (6-2b). Αντικαθιστώντας τιςπιοπάνωαρχικέςσυνθήκεςστηνεξίσωσηαυτήπαίρνουμε την απόκριση του μονοβάθμιου συστήματος με απόσβεση σε μοναδιαίο πλήγμα 1 ζω ( τ ) h ( τ ) u ( ) = e si ω ( τ) τ ω D, m D (6) Ησυνάρτησηh(-τ) φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα και παριστάνει την απόκριση σε μοναδιαίο πλήγμα. Είναι προφανές ότι το πλήγμα με χρόνο εμφάνισης =τ επιδρά στη διαμόρφωση της απόκρισης σε μεταγενέστερο χρόνο τ.
Ολοκλήρωμα Duhamel Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε τυχαία φόρτιση Η τυχαία δύναμη p() μπορεί να θεωρηθεί ως ακολουθία διαδοχικών μη-μηδενικών ωστικών δυνάμεων (impulses) απειροστής διάρκειας. Η απόκριση ενός μονοβάθμιου γραμμικού συστήματος σε μία τέτοια ωστική δύναμη (ή πλήγμα) δίνεται από τη σχέση Δ10-7 du () = p () τ dτ h ( τ ), > τ (7) Η απόκριση του συστήματος σε τυχαία δύναμη p() τη χρονική στιγμή, είναι το άθροισμα όλων των ωστικών δυνάμεων από τ=0 ως τ=. Το άθροισμα αυτό εκφράζεται με το ολοκλήρωμα u () = p()( τ h τ) dτ 0 (8) Το ολοκλήρωμα αυτό είναι γνωστό ως ολοκλήρωμα συνέλιξης (covoluio iegral) ή ως ολοκλήρωμα Duhamel.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Ολοκλήρωμα Duhamel (...) Δ10-8 Αντικαθιστώντας την έκφραση της απόκρισης σε μοναδιαίο πλήγμα h(-τ) για μονοβάθμιο σύστημα χωρίς απόσβεση από την εξίσωση (5), για u(0) = u (0) = 0, παίρνουμε 1 u () = p()si τ ω ( ) 0 τ dτ mω (9) και την έκφραση της h(-τ) για μονοβάθμιο σύστημα με απόσβεση από την εξίσωση (6), για u(0) = u (0) = 0, παίρνουμε 1 ζω ( τ ) u () = p() τ e si ω ( ) 0 D τ dτ mω D (10) Το ολοκλήρωμα Duhamel μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση γραμμικού συστήματος όπου ισχύει η μέθοδος της επαλληλίας.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Ολοκλήρωμα Duhamel (...) Δ10-9 Ο αναλυτικός υπολογισμός του ολοκληρώματος Duhamel παρουσιάζει σημαντικές δυσκολίες όταν η συνάρτηση φόρτισης p() είναι πολύπλοκη. Στην περίπτωση όμως απλών μορφών πλήγματος, όπως π.χ. ορθογωνικό, ημιτονοειδές, τριγωνικό κ.λπ., η μελέτη της απόκρισης μονοβάθμιων συστημάτων παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, τα πλήγματα είναι μία ιδιαίτερη κατηγορία διέγερσης πολύ μικρής χρονικής διάρκειας. Λόγω ακριβώς της μικρής διάρκειας του πλήγματος, δεν προλαβαίνουν να ενεργοποιηθούν οι μηχανισμοί απώλειας ενέργειας (dampig mechaisms) ώστε να επηρεάσουν σε σημαντικό βαθμό την απόκριση του συστήματος. Γι αυτό, είναι συνήθης πρακτική να αγνοείται η απόσβεση στη μελέτη της απόκρισης μονοβάθμιου ταλαντωτή σε διέγερση πλήγματος.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-10 Απόκριση σε Σταθερή Φόρτιση (Sep Force) Ζητείται η απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή που υπόκειται στη δράση της δύναμης που φαίνεται στο σχήμα Η σταθερή φόρτιση (sep force) επιβάλλεται αιφνιδιαστικά τη χρονική στιγμή =0, καιεξακολουθείναεπενεργείσεόλητη διάρκεια της κίνησης. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι mu + ku = p 0 (11) με αρχικές συνθήκες u(0) = u (0) = 0
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-11 Απόκριση σε Σταθερή Φόρτιση (...) Η απόκριση του συστήματος δίνεται από το ολοκλήρωμα Duhamel 1 p0 u ( ) = p0 si ω ( ) 2 ( 1 cos ) 0 τ dτ ω mω = mω ή u ( ) = ( us ) ( 1 cosω ) ( ) 1 cos 0 = us 0 2π T (12) Το πιο κάτω σχήμα απεικονίζει τη μετατόπιση προς το χρόνο /Τ Παρατηρούμε ότι το σύστημα ταλαντώνεται γύρω από μία νέα θέση ισορροπίας, το ( ). u s 0 ()/( ) 0 u u s ως
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-12 Απόκριση σε Σταθερή Φόρτιση (...) Ο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης R d ισούται με 2. Δηλαδή, η φόρτιση αυτή με μέτρο p 0 που επιβάλλεται ακαριαία, προκαλεί διπλάσια μέγιστη απόκριση από την αντίστοιχη στατική φόρτιση με μέτρο p 0 που επιβάλλεται αργά. Όταν ληφθεί υπόψη η απόσβεση, η απόκρισητουσυστήματος είναι ζω ( ) () ( ) 0 1 τ ζ u = u s e cosωd + siω 2 D 1 ζ (13)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-13 Απόκριση σε Γραμμικά Μεταβαλλόμενη Φόρτιση Ζητείται η απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή που υπόκειται στη δράση της δύναμης που φαίνεται στο σχήμα Η φόρτιση αυτή οφείλεται σε ένα φορτίο το μέγεθος του οποίου αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο (liearly icreasig force). Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι mu + ku = p0 r με αρχικές συνθήκες u(0) = u (0) = 0 (14)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-14 Απόκριση σε Γραμμικά Μεταβαλλόμενη Φόρτιση(...) Η απόκριση του συστήματος δίνεται από το ολοκλήρωμα Duhamel 1 p u = τ ω ( τ) dτ 0 () si mω 0 r = ( us ) 0 r siω ωr (15) Το πιο κάτω σχήμα απεικονίζει τη μετατόπιση u ()/( u s ) 0 για r /Τ =2.5, ως προς το χρόνο /Τ. Η στατική μετατόπιση u s () ισούται με u () s = p() k Παρατηρούμε ότι το σύστημα ταλαντώνεται γύρω από τη στατική λύση.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-15 Απόκριση σε «Ψευδοστατική» Φόρτιση Ζητείται η απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή που υπόκειται στη δράση της δύναμης που φαίνεται στο σχήμα Η «ψευδοστατική» φόρτιση είναι μία σταθερή φόρτιση που όμως δεν επιβάλλεται αιφνιδιαστικά, αλλα γραμμικά μέσα σ ένα χρονικό διάστημα r και παραμένει με σταθερή τιμή σ όλη τη διάρκεια της κίνησης. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι mu p0, + ku = r p0, r r (16) με αρχικές συνθήκες u(0) = u (0) = 0
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-16 Απόκριση σε «Ψευδοστατική» Φόρτιση (...) Ο υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος απαιτεί τη διάκριση δύο χρονικών φάσεων: Φάση Ι Η πρώτη φάση αφορά στο χρονικό διάστημα r, όπου έχουμε γραμμικά μεταβαλλόμενη δύναμη. H απόκριση δίνεται από τη σχέση (15): siω u ( ) = ( us ) 0, r ωr (17) Φάση ΙΙ Η δεύτερη φάση αφορά στο χρονικό διάστημα r, όπου έχουμε σταθερή φόρτιση με αρχικές συνθήκες ίσες με τη μετατόπιση και ταχύτητα του συστήματος κατά το τέλος της πρώτης φάσης r 1 u ( ) = ( u ) 1 siω si ω ( τ), ω s 0 r r (18)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-17 Απόκριση σε «Ψευδοστατική» Φόρτιση (...) Στο σχήμα φαίνεται η απόκριση u ()/( u s ) για διάφορες τιμές του λόγου / 0 r T. Φαίνεται επίσης η στατική απόκριση του συστήματος us()/( us ) 0. Παρατηρούμε ότι το σύστημα και στις δύο φάσεις ταλαντώνεται γύρω από τη στατική λύση. Για μεγάλο, ηδυναμική r / T απόκριση πλησιάζει τη στατική, επειδή η δύναμη μεταβάλλεται αργά σε σχέση με την ιδιοπερίοδο T του συστήματος (δηλαδή επηρεάζει το σύστημα όπως μία στατική δύναμη).
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-18 Απόκριση σε «Ψευδοστατική» Φόρτιση (...) Η μέγιστη απόκριση του συστήματος συμβαίνει κατά τη δεύτερη φάση και άρα ο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης θα προκύψει από την εξίσωση 26. Μετά από πράξεις, ο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης R d μπορεί να γραφτεί στη μορφή R d 0 = + ( π T ) u si r / 1 ( u ) π / T s 0 r (19) Ο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης R d εξαρτάται μόνο από το λόγο / T. r
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση:Δ10-19 Φάσμα Απόκρισης σε «Ψευδοστατική» Φόρτιση Η γραφική απεικόνιση της μέγιστης απόκρισης μονοβάθμιου συστήματος συναρτήσει της ιδιοπεριόδου του συστήματος για συγκεκριμένη φόρτιση λέγεται φάσμα απόκρισης για την εν λόγω φόρτιση. Η έννοια του φάσματος απόκρισης είναι πολύ σημαντική στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών. Μεγνωστότοφάσμα απόκρισης για δεδομένη φόρτιση, μπορεί άμεσα να προσδιοριστεί η δυσμενέστερη απόκριση της κατασκευής, χωρίς να χρειαστεί να επιλυθεί η εξίσωση κίνησης. Το φάσμα απόκρισης σε «Ψευδοστατική» Φόρτιση φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα