ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ. Διπλωματική εργασία.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Διπλωματική εργασία ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΛΑΙΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΟΙ ΔΙΕΘNΕΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ Φωτεινή Καλλιανού Επιβλέπων καθηγητής: Ρωμύλος Κορακίτης Μάρτιος 2006

Ευχαριστίες Αυτή η διπλωματική εργασία δεν θα είχε ολοκληρωθεί χωρίς την βοήθεια του καθηγητή μου Ρωμύλου Κορακίτη, ο οποίος σε όλα τα στάδια της μελέτης μου ήταν παρών με τις υποδείξεις και τις συμβουλές του παρότι τις περισσότερες φορές που τον αναζήτησα στο γραφείο του το έκανα απροειδοποίητα. Επίσης καθοριστική ήταν και η συμβολή του καθηγητή Δ. Παραδείση, ο οποίος έδωσε την ιδέα της εφαρμογής. Η ιδέα του μπορεί να μην ακολουθήθηκε κατά γράμμα όμως η ενασχόληση με τον προγραμματισμό της συγκεκριμένης εφαρμογής με έφερε αντιμέτωπη με πράγματα που λανθασμένα θεωρούσα ότι τα είχα καταλάβει. Ακόμη πρέπει να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Δ. Δεληκαράογλου για τις παρατηρήσεις του. i

ii

Περιεχόμενα Ευχαριστίες... i Περιεχόμενα...iii Ευρετήριο σχημάτων...vii Ευρετήριο πινάκων... viii Ευρετήριο διαγραμμάτων...viii Περίληψη....ix Summary xi Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή.1 1.1 Γενικά..1 1.2 Στόχος.1 1.3 Διάρθρωση της εργασίας.2 Κεφάλαιο 2 Συστήματα και Πλαίσια Αναφοράς 3 2.1 Βασικοί ορισμοί.3 2.2 Διαδικασία δημιουργίας συστήματος και πλαισίου αναφοράς. 4 2.3 Ιδεατά συστήματα. 4 2.3.1 Η έννοια της αδρανειακότητας.5 2.3.2 Ιδεατά αδρανειακά Νευτώνεια..5 2.3.2.1 Δυναμικά..6 2.3.2.2 Κινηματικά 6 2.3.3 Ιδεατά σχετικιστικά..7 2.3.3.1 Τοπικά.10 2.3.3.2 Δυναμικά αδρανειακά σχετικιστικά...12 2.3.3.3 Κινηματικά αδρανειακά σχετικιστικά.12 2.3.3.4 Συστήματα αναφοράς στο Ηλιακό Σύστημα.14 2.3.3.5 Διεθνείς συμβάσεις για σχετικιστικά συστήματα.14 2.3.3.6 Βαρυκεντρικό σχετικιστικό...15 2.3.3.7 Γεωκεντρικό σχετικιστικό...16 2.4 Συμβατικά συστήματα...17 2.4.1 Διεθνές Ουρανογραφικό σύστημα και πλαίσιο.17 2.4.2 Παράγοντες που επηρεάζουν την ακρίβεια του Ουρανογραφικού Πλαισίου 20 2.4.2.1 Δομή των πηγών (quasars)..20 2.4.2.2 Κατάλογος HIPPARCOS...22 2.4.2.3 Προοπτικές και βελτιώσεις...22 2.4.3 Γήινα συστήματα.. 23 2.4.3.1 Το Διεθνές Γήινο Σύστημα...24 2.4.3.2 Το Διεθνές Γήινο Πλαίσιο.. 25 2.4.4 Τεχνικές υλοποίησης των συστημάτων...28 2.4.4.1 Συμβολομετρία μεγάλων αποστάσεων VLBI.... 28 2.4.4.2 SLR LLR..29 2.5 Συστήματα χρόνου. 30 2.5.1 Ορισμός και υλοποίηση..30 2.5.1.1 Χρόνος και επαναληψιμότητα η γνώση της διάρκειας.30 2.5.1.2 Οι δύο τρόποι μέτρησης του χρόνου..31 2.5.1.3 Χρήση της επαναληψιμότητας...31 2.5.1.4 Χρήση δυναμικού μοντέλου...32 2.5.2 Κλίμακες χρόνου που βασίζονται στην περιστροφή της Γης.33 2.5.2.1 Αστρικός Χρόνος..33 iii

2.5.2.2 Παγκόσμιος Χρόνος...34 2.5.3 Κλίμακες που στηρίζονται στο σταθερό δευτερόλεπτο του SI...36 2.5.3.1 Ορισμός του δευτερολέπτου SI.36 2.5.3.2 Ατομικός Χρόνος..36 2.5.3.3 Συντονισμένος Παγκόσμιος Χρόνος...37 2.5.4 Σχετικιστικές κλίμακες χρόνου.37 2.5.4.1 Ιδεατά ορίσματα χρόνου. 38 2.5.4.2 Ιδιοχρόνος και Συντεταγμένος χρόνος. 39 2.5.4.3 Συντονισμένος και Συντεταγμένος Χρόνος...42 2.5.4.4 Επαναπροσδιορισμός του Ατομικού Χρόνου..42 2.5.4.5 Δυναμικός Χρόνος..42 2.5.4.6 Βαρυκεντρικός Δυναμικός Χρόνος..44 2.5.4.7 Βαρυκεντρικός & Γεωκεντρικός Συντεταγμένος Χρόνος.44 2.5.4.8 Γήινος Χρόνος 45 Κεφάλαιο 3 Οι κινήσεις της Γης 47 3.1 Εισαγωγή..47 3.2 Διαταραχές στην περιστροφή της Γης Ιστορική αναδρομή...48 3.3 Παράμετροι Προσανατολισμού της Γης Τεχνικές εκτίμησής τους 50 3.4 Μεταβολές στη γωνιακή ταχύτητα της Γης..52 3.4.1 Το μήκος της μέρας (LOD)...52 3.4.2 Ανάλυση των μεταβολών του LOD...52 3.4.3 Αιτίες των μεταβολών...54 3.4.3.1. Κλιματικά αίτια...54 3.4.3.2 Παλιρροιακά αίτια...55 3.4.3.3. Γεωφυσικά αίτια..56 3.5 Διαταραχές του επιπέδου της τροχιάς της Γης..58 3.6 Διαταραχές του άξονα περιστροφής της Γης..59 3.6.1 Μεταπτωτική κίνηση περιστρεφόμενου στερεού..59 3.6.2 Σεληνοηλιακή μετάπτωση και κλόνηση της Γης.....62 3.6.3 Οι γενικές μεταπτωτικές κινήσεις και εξισώσεις περιγραφής...62 3.6.4 Κλόνηση του άξονα περιστροφής. 65 3.6.4.1 Μοντέλα συμπαγούς Γης (Rigid Εarth)....66 3.6.4.2 Μοντέλα μη συμπαγούς Γης (non- Rigid Εarth)...68 3.6.4.3 Μετάπτωση Κλόνηση και γεωφυσικά φαινόμενα.69 3.6.4.4 Εξισώσεις περιγραφής της κλόνησης. 70 3.7 Κίνηση του πόλου.72 3.7.1 Άξονας περιστροφής και πόλος αναφοράς.. 73 3.7.2 Φασματική ανάλυση της κίνησης του πόλου.. 76 3.7.2.1 Ταλάντωση Chandler...76 3.7.2.2 Εποχιακές ταλαντώσεις..77 3.7.2.3 Άλλες συνιστώσες..77 3.7.2.4 Αιώνια κίνηση...78 3.7.3 Τεχνικές προσδιορισμού της κίνησης του Πόλου.79 3.7.4 Εξισώσεις περιγραφής της κίνησης του Πόλου.82 3.8 Συνοπτικός πίνακας διαταραχών της περιστροφής της Γης και του Πόλου83 Κεφάλαιο 4 Νέες θεωρίες σε ισχύ από το 2003.87 4.1 Ανασκόπηση των παλαιότερων συμβάσεων.87 4.1.1 Συμβάσεις 1950 87 4.1.2 Συμβάσεις 1980...89 4.2 Τα συστήματα αναφοράς στις συμβάσεις 2003.90 4.2.1 Διεθνές Ουρανογραφικό Σύστημα...91 4.2.2 Δυναμικό Ουρανογραφικό Σύστημα..91 iv

4.2.3 Ενδιάμεσο Ουρανογραφικό Σύστημα.....92 4.2.3.1 Ορισμός και υλοποίηση του πόλου εφημερίδων (CEP).93 4.2.3.2 Ορισμός και υλοποίηση του ενδιάμεσου πόλου (CIP) 94 4.2.3.3 Η αφετηρία στο ενδιάμεσο σύστημα (CEO TEO)..94 4.2.4 Ενδιάμεσο Γήινο Σύστημα Αναφοράς 96 4.2.5 Γωνία περιστροφής της Γης (ERA) και σχέση Παγκόσμιου Αστρικού Χρόνου.97 4.2.6 Σχέση μεταξύ των αφετηριών μέτρηση ορθής αναφοράς 98 4.3 Τα μοντέλα μετάπτωσης.100 4.3.1 Τα παλαιότερα μοντέλα 100 4.3.2 Τα μοντέλα IAU 2000A και IAU 2000B...100 4.4 Τα μοντέλα κλόνησης....102 4.4.1 Τα παλαιότερα μοντέλα.102 4.4.2 Το μοντέλο ΜΗΒ 2000..103 4.4.2.1 Γενικά χαρακτηριστικά.104 4.4.2.2 Τα θεμελιώδη γωνιακά ορίσματα..105 4.4.2.3 Υπολογισμός των σεληνοηλιακών & πλανητικών όρων 106 4.4.3 Διορθώσεις στο νέο μοντέλο.108 4.5 Μετασχηματισμοί μεταξύ των συστημάτων..109 4.5.1 Πίνακες μετατροπής μέθοδος..109 4.5.2.1 Από ICRS στο J2000 Μετάθεση πλαισίου...109 4.5.2.2 Από J2000 στο μέσο σύστημα της εποχής. 110 4.5.2.3 Από το μέσο στο αληθές σύστημα της εποχής...112 4.5.2.4. Συνδυασμένη μετατροπή...112 4.5.3 Πίνακες μετατροπής Μέθοδος Ενδιάμεσου Συστήματος..112 4.5.3.1 Αναγωγή από το ICRS στο Ουρανογραφικό Ενδιάμεσο Σύστημα.113 4.5.4 Υπολογισμός των φαινόμενων συντεταγμένων άστρου.113 4.5.5 Αναγωγή από το ουρανογραφικό ή ενδιάμεσο σύστημα εποχής στο γήινο σύστημα...116 Κεφάλαιο 5 Πειραματική αξιολόγηση των μοντέλων.117 5.1 Σκοπός..117 5.2 Περιγραφή της εφαρμογής (λογισμικού) που αναπτύχθηκε..117 5.2.1 Εισαγωγή.117 5.2.2 Μοντέλο 1950..118 5.2.3 Μοντέλο 1980.120 5.2.4 Μοντέλο 2000..121 5.3 Κατάλογοι άστρων..123 5.3.1 Κατάλογοι FK4 και SAO..124 5.3.2 Κατάλογοι FK5 και PPM 124 5.3.3 Κατάλογοι HIPPARCOS και Tycho 2.125 5.4 Επιλογή και δεδομένα άστρων...125 5.5 Αποτελέσματα...128 5.6 Σύγκριση και αξιολόγηση αποτελεσμάτων και μοντέλων.138 Κεφάλαιο 6 Συμπεράσματα..141 6.1 Συνοπτικά..141 6.2 Σημασία νέων συμβάσεων..141 6.3 Προοπτικές 142 Κατάλογος Αρκτικόλεκτων...143 Αναφορές..145 Βιβλιογραφία...149 v

vi

Ευρετήριο σχημάτων Σχήμα 2.1.. 9 Σχήμα 2.2.....11 Σχήμα 2.3......11 Σχήμα 2.4......18 Σχήμα 2.5......19 Σχήμα 2.6 21 Σχήμα 2.7 21 Σχήμα 2.8...26 Σχήμα 2.9...34 Σχήμα 3.1...53 Σχήμα 3.2... 53 Σχήμα 3.3.. 59 Σχήμα 3.4.. 61 Σχήμα 3.5 61 Σχήμα 3.6 63 Σχήμα 3.7...64 Σχήμα 3.8 70 Σχήμα 3.9...74 Σχήμα 3.10.76 Σχήμα 3.11.81 Σχήμα 3.12.82 Σχήμα 4.1 95 Σχήμα 4.2 97 Σχήμα 4.3...99 Σχήμα 5.1.118 Σχήμα 5.2.118 Σχήμα 5.3.120 Σχήμα 5.4.121 Σχήμα 5.5. 122 Σχήμα 5.6.126 vii

Ευρετήριο πινάκων Πίνακας 2.1. 27 Πίνακας 3.1...72 Πίνακας 3.2.... 80 Πίνακας 3.3...84 Πίνακας 3.4...85 Πίνακας 4.1..107 Πίνακας 4.2..107 Πίνακας 4.3..108 Πίνακας 4.4..108 Πίνακας 5.1..126 Πίνακας 5.2..127 Πίνακας 5.3.. 129 Πίνακας 5.4..130 Πίνακας 5.5..131 Πίνακας 5.6..132 Πίνακας 5.7..133 Πίνακας 5.8.. 138 Πίνακας 5.9..139 Ευρετήριο διαγραμμάτων Διάγραμμα 5.1. 134 Διάγραμμα 5.2. 134 Διάγραμμα 5.3. 135 Διάγραμμα 5.4. 135 Διάγραμμα 5.5. 136 Διάγραμμα 5.6. 136 Διάγραμμα 5.7. 137 Διάγραμμα 5.8. 137 viii

Περίληψη Η επιστήμη της γεωδαισίας ασχολείται με την μέτρηση του μεγέθους και του σχήματος των αντικειμένων. Για να μπορεί να αποδοθεί η πληροφορία των θέσεων, και κατ επέκταση των μεγεθών και σχημάτων, θα πρέπει να οριστούν συστήματα συντεταγμένων, ως προς τα οποία να υπολογίζονται οι θέσεις. Έτσι, ορίζεται ως σύστημα συντεταγμένων ένα σύνολο αξόνων, καθώς και μια συγκεκριμένη μαθηματική διαδικασία μέσω της οποίας υπολογίζονται οι θέσεις των σημείων. Το πλαίσιο συντεταγμένων υλοποιεί το σύστημα και περιλαμβάνει τις συντεταγμένες ενός συνόλου σημείων αναφοράς. Σήμερα χρησιμοποιούνται το Διεθνές Ουρανογραφικό Σύστημα Αναφοράς (ICRS) και το Διεθνές Γήινο Σύστημα Αναφοράς (IΤRS). Το μεν πρώτο χρησιμοποιείται για την περιγραφή της θέσης των ουράνιων σωμάτων ενώ το δεύτερο για την περιγραφή της θέσης σημείων που βρίσκονται στη Γη ή κοντά σε αυτή. Το ICRS έχει ως κέντρο του το κέντρο του ηλιακού συστήματος ενώ η αφετηρία του είναι το εαρινό Ισημερινό σημείο. Ορίζεται κινηματικά σταθεροποιώντας τους άξονες του με βάση παρατηρήσεις προς μακρινές εξωγαλαξιακές ραδιοπηγές. Υλοποιείται από τις συντεταγμένες περισσοτέρων των 650 τέτοιων πηγών. Το IΤRS έχει τον ίδιο προσανατολισμό με το ICRS. Το κέντρο του συστήματος είναι το κέντρο μάζας τη Γης ενώ ο άξονας Χ δείχνει προς τον μεσημβρινό του Greenwich. Το σύστημα αυτό υλοποιείται από ένα δίκτυο περισσότερων των 800 σταθμών, οι συντεταγμένες των οποίων προσδιορίζονται με μεθόδους δορυφορικής γεωδαισίας. Οι κλίμακες μέτρησης χρόνου παραδοσιακά βασίστηκαν στην περιστροφή της Γης. Στην συνέχεια, όταν αποδείχτηκε ότι η περιστροφή της Γης δεν είναι ομαλή, αναζητήθηκαν κλίμακες χρόνου με σταθερό μέτρο. Την ανάγκη αυτή εκπλήρωσε η καθιέρωση ως μονάδα μέτρησης του χρόνου του δευτερολέπτου του συστήματος SI. Οι σύγχρονες απαιτήσεις ακρίβειας επέβαλλαν την καθιέρωση κλιμάκων χρόνου στα πλαίσια της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, ο χρόνος είτε είναι ιδιοχρόνος είτε είναι συντεταγμένος χρόνος. Ο ιδιοχρόνος είναι ο χρόνος που μετράει το χρονόμετρο ενός παρατηρητή ενώ ο συντεταγμένος χρόνος είναι μια συντεταγμένη του μετρικού τανυστή που δίνει τις χωροχρονικές συντεταγμένες ενός σημείου. Παραδείγματα σχετικιστικών κλιμάκων χρόνου αποτελούν ο Βαρυκεντρικός Συντεταγμένος Χρόνος, ο Γεωκεντρικός Συντεταγμένος Χρόνος και ο Γήινος Χρόνος. ΟΙ κινήσεις που εκτελεί η Γη σαν σώμα επηρεάζουν τον ορισμό των συστημάτων αναφοράς λόγω του ότι μεταβάλλονται οι θέσεις των αξόνων τους. Οι κινήσεις της Γης που ενδιαφέρουν είναι οι εξής: η περιστροφή γύρω από τον Ήλιο, η κίνηση γύρω από τον άξονα περιστροφής της, η μετάπτωση, η κλόνηση και η κίνηση του πόλου. Η περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο γίνεται κατά μήκος μιας τροχιάς που λέγεται εκλειπτική. Λόγω βαρυτικών δυνάμεων που ασκούνται από τους άλλους πλανήτες, το επίπεδο της εκλειπτικής δεν παραμένει σταθερό στο χώρο. Η μετακίνησή του προκαλεί μετακίνηση της αφετηρίας των ορθών αναφορών. Η μεταβολές στην γωνιακή ταχύτητα της Γης, που οφείλονται σε βαρυτικές δυνάμεις των ουράνιων σωμάτων, σε ρεύματα και ix

στους ανέμους, προκαλούν μεταβολές στο μήκος της μέρας. Η μετάπτωση οφείλεται σε σεληνοηλιακές βαρυτικές δυνάμεις και προκαλεί μετατόπιση του ισημερινού. Η κλόνηση οφείλεται τόσο σε βαρυτικές επιδράσεις των άλλων ουράνιων σωμάτων όσο και στη σύσταση του εσωτερικού της Γης. Η κλόνηση προκαλεί επίσης μετατόπιση του ισημερινού. Η μετάπτωση και η κλόνηση περιγράφονται με την βοήθεια γωνιακών μεγεθών, οι τιμές των οποίων δίνονται από το εκάστοτε μοντέλο μετάπτωσης και κλόνησης. Η κίνηση του πόλου είναι η κίνηση του άξονα περιστροφής της Γης ως προς τον φλοιό της Γης. Οφείλεται σε βαρυτικές επιδράσεις και σε γεωφυσικά αίτια. Νέες συμβάσεις για τις μετατροπές μεταξύ των συστημάτων αναφοράς ισχύουν από το 2003 και επίσημα αρχίζουν να εφαρμόζονται από το 2006. Οι νέες αυτές συμβάσεις αφορούν ένα νέο σύστημα αναφοράς, με χρήση νέας αφετηρίας και πόλου, ένα νέο και πιο ακριβές μοντέλο μετάπτωσης και κλόνησης, καθώς και μια νέα μέθοδο μετασχηματισμού ανάμεσα στο ουράνιο και το γήινο σύστημα. Το νέο σύστημα αναφοράς ονομάζεται Ουράνιο Ενδιάμεσο Σύστημα Αναφοράς. Επίσης ορίζεται και το Γήινο Ενδιάμεσο Σύστημα Αναφοράς. Ο πόλος και των δύο συστημάτων είναι ο Ουράνιος Ενδιάμεσος πόλος. Η αφετηρία του ουράνιου συστήματος είναι η Ουράνια Ενδιάμεση αφετηρία ενώ η αφετηρία του γήινου είναι η Γήινη Ενδιάμεση αφετηρία. Οι δύο αυτές αφετηρίες είναι εφαρμογές της αρχής της μή στρεφόμενης αφετηρίας. Η γωνιακή διαφορά των δύο αφετηριών επάνω στον ισημερινό δίνει την Γωνία Περιστροφής της Γης. Το νέο μοντέλο μετάπτωσης και κλόνησης παρέχει ακρίβεια της τάξης των 0.2 mas. Παρέχονται οι νέες εκφράσεις για τις γωνίες μετάπτωσης και κλόνησης. Η καινοτομία του μοντέλου αυτού είναι ότι, για πρώτη φορά, λαμβάνεται υπόψη η συνεισφορά των πλανητών στον υπολογισμό της κλόνησης. Έτσι στο νέο μοντέλο οι γωνίες κλόνησης δίνονται από 678 σεληνοηλιακούς όρους και 687 πλανητικούς όρους. Ο μετασχηματισμός από το ουράνιο στο γήινο σύστημα μπορεί να γίνει πλέον με δύο μεθόδους, την κλασική μέθοδο που χρησιμοποιεί το εαρινό Ισημερινό σημείο και τον αστρικό χρόνο Greenwich ή την μέθοδο του ενδιάμεσου συστήματος που χρησιμοποιεί την Ουράνια Ενδιάμεση αφετηρία και την Γωνία Περιστροφής της Γης. Οι συνέπειες των νέων συμβάσεων εξετάστηκαν μέσω προγράμματος, που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της εργασίας, για τον μετασχηματισμό από το ουράνιο στο γήινο σύστημα χρησιμοποιώντας 3 διαφορετικά μοντέλα μετάπτωσης και κλόνησης. Επιλέχθηκαν 5 άστρα και 4 χρονικές στιγμές, ενώ τα στοιχεία για την κίνηση του πόλου ελήφθησαν από τις προβλέψεις της IERS. Οι συντεταγμένες των άστρων ελήφθησαν από τους καταλόγους SAO, PPM και Tycho2. Μετά από σύγκριση των αποτελεσμάτων έγινε φανερή η βελτίωση που παρέχει το νέο μοντέλο μετάπτωσης και κλόνησης, καθώς και η επίδραση των συντεταγμένων των καταλόγων στην ακρίβεια των αποτελεσμάτων. x

Summary Reference systems and reference frames are used to express positions and velocities of the objects. A reference system is a set of coordinate axes and a specific procedure by which the positions of the objects can be calculated. A reference frame is the realization of the corresponding system. A frame contains the coordinates of a number of points (fiducial points). A reference system can be defined dynamically or kinematically. A reference system which is defined dynamically is based on the form of the equations of motion, while a reference system which is defined kinematically is based on the kinematic behaviour of very distant objects. In classical Newtonian approach both methods are equivalent. In the framework of the General Relativity we can create an hierarchy of reference systems, the global reference systems and the local reference systems. Reference systems can be also defined dynamically or kinematically but the kinematic definition in the case of local reference systems should be very precise in order to avoid misunderstandings. The reference systems that are in use at the moment are the International Celestial Reference System and the International Terrestrial Reference System. The ICRS has its origin at the vernal Equinox and its center at the barycenter of the solar system. It is based on a kinematic definition, according to which the system shows no rotation with respect to a great number of extragalactic objects. In the latest definition the number of these objects is more than 650. The ITRS is a geocentric system which rotates with the Earth. It has the same orientation with the ICRS and its center is the center of mass of the Earth. The X axis points towards the Greenwich meridian. This system is materialized by 800 stations located on about 500 sites, the coordinates of which are determined by satellite geodesy techniques. Time measurement is essential for astrometry and geodesy. The construction of time scales in the past was based on the rotation of the Earth. From the middle of the 20 th century, when the angular velocity of the Earth proved to be unstable, time measurement was based on the duration of the SI second. In the framework of General Relativity, time and space are interelated and time is not anymore an absolute concept. In General Relativity, time is either the Proper time or the Coordinate time. Proper time is the time that is measured by an observer s clock. Coordinate time is one of the 4 coordinates of the metric tensor which gives the spacetime coordinates of a system. Relativistic time scales are based on proper times of the geocenter and the barycenter and on coordinate times. A great number of relativistic time scales is used today, such as the Barycentric Coordinate Time, the Geocentric Coordinate Time and the Terrestrial Time. Orientation of reference systems is influenced by the motions of the Earth in space. These motions are: a revolution around the Sun, a rotation around its xi

axis, precession, nutation and polar motion. The rotation of the Earth around the Sun follows a path which is called ecliptic. Due to gravitational forces from the celestial bodies, the plane of the ecliptic is slowly moving in space, changing the position of the vernal equinox. This motion is called planetary precession. The angular velocity of the Earth is also changing and causes a variation in the Length Of Day. Precession is a motion of the rotation axis in space with a period of about 25800 years, which is caused by the lunisolar gravitational forces. Nutation is caused by lunisolar gravitational forces and geophysical procedures which take place in the inner part of the Earth. Both precession and nutation cause a shift of the equinoxes. Several models have been developed to describe precession and nutation. Polar motion is a motion of the rotation axis of the Earth with respect to the Earth s crust. It is caused by gravitational forces and geophysical phenomena. New conventions for the transformation of coordinates between reference systems are in use from 1 January 2006. Among these is the definition of a new reference system, together with its origin and its pole, the development of a new precession nutation model, as well as the use of a new method for the reduction between the celestial and the terrestrial reference systems. The new reference system is the Intermediate Celestial Reference system and the Intermediate Terrestrial Reference system. The origins of these systems are the Celestial Intermediate Origin and the Terrestrial Intermediate Origin. Both of them are implementations of the non-rotating origin. The pole of these systems is the Celestial Intermediate Pole. These systems have the same orientation with the system of the true equinox, so the intermediate equator and the true equator are the same plane. The only difference between them is the origin of the right ascensions. The new precession and nutation model IAU2000 is the most precise model that has been developed so far. It involves new expressions for the precession angles and new series for the nutation angles. Its novelty is the presence of planetary components of nutation. The transformation from the celestial to the terrestrial system can be done following 2 different methods. The first is the classical equinox-based method and uses the Greenwich Sidereal Time, while the second is called CIO method and uses the Intermediate Celestial system and the Earth Rotation Angle. The Earth Rotation Angle is measured on the equator between the Celestial Intermediate Origin and the Terrestrial Intermediate Origin. The new conventions were implemented in a program developed for the purpose, which performs the reduction from the celestial to the terrestrial reference system using 3 different models for precession and nutation, the precession of Newcomb with nutation of Woolard (1950), the precession of Fricke with the nutation of Wahr (1980) and the latest model IAU2000. Five stars were chosen for the application and their catalog coordinates were xii

taken from the SAO, PPM and Tycho2 catalogs. Polar motion data were taken from IERS bulletins. The results clearly show the improvement in the calculation of the apparent coordinates. It is also evident that star coordinates from old catalogs are not that precise as those of Tycho2. The improvement in the calculation is due to the use of the non-rotating origin and to the new precession and nutation model. xiii

xiv

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Γενικά Η γεωδαισία είναι η επιστήμη που ασχολείται με την μέτρηση του μεγέθους και του σχήματος των αντικειμένων, καθώς και με την απόδοση συντεταγμένων στο χώρο, στα αντικείμενα. Η αστρονομία και η γεωδαισία είναι επιστήμες αλληλένδετες. Ειδικότερα ο κλάδος της γεωδαιτικής αστρονομίας (δηλαδή της αστρονομίας που έχει ως σκοπό τον προσδιορισμό της θέσης) αποτελεί αντικείμενο της γεωδαισίας. Για τις εφαρμογές και των δύο επιστημών είναι απαραίτητος ο ορισμός συστημάτων συντεταγμένων, στα οποία περιγράφονται οι θέσεις και οι κινήσεις των σωμάτων. Ειδικότερα χρησιμοποιούνται το ουράνιο και το γήινο σύστημα που, όπως προδίδει και ο τίτλος τους, αφορούν το μεν πρώτο τα ουράνια αντικείμενα, το δε δεύτερο τα αντικείμενα που βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης ή κοντά σε αυτή. Για τον ορισμό των συστημάτων αυτών χρησιμοποιούνται οι διευθύνσεις που σχετίζονται με τις βασικές κινήσεις της Γης, όπως ο άξονας περιστροφής της Γης. Τα συστήματα αυτά δεν παραμένουν σταθερά στο χρόνο διότι οι διευθύνσεις στις οποίες βασίζονται μεταβάλλονται λόγω πολλών και διαφορετικών αιτίων. Έτσι ένα θεμελιώδες πρόβλημα και της αστρονομίας και της γεωδαισίας, πέρα από την απόδοση συντεταγμένων στα διάφορα αντικείμενα, είναι και η γνώση της μεταβολής στο χρόνο των συστημάτων στα οποία εκφράζονται οι συντεταγμένες. Η γνώση αυτή είναι χρήσιμη αφενός για την έκφραση των συντεταγμένων σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, αφετέρου για την μετατροπή συντεταγμένων από το ένα σύστημα σε άλλο. Ο ορισμός, η διατήρηση των συστημάτων συντεταγμένων και ο προσδιορισμός της μεταβολής τους είναι αντικείμενο μελέτης διεθνών οργανισμών. Οι οργανισμοί αυτοί ανά ορισμένα χρονικά διαστήματα, προβαίνουν σε ανακοινώσεις νέων ορισμών, καθώς και νέων μεθόδων μετασχηματισμού από το ένα σύστημα στο άλλο. 1.2 Στόχος Το 2000 η Διεθνής Αστρονομική Ένωση (International Astronomical Union, IAU) υιοθέτησε νέες συμβάσεις που σχετίζονται με τα συστήματα αναφοράς και τις μετατροπές μεταξύ τους. Στις συμβάσεις αυτές περιλαμβάνονται νέοι ορισμοί συστημάτων αναφοράς, συστήνεται η χρήση νέου μοντέλου μετάπτωσης και κλόνησης του άξονα της Γης, ορίζονται νέα μεγέθη για την περιστροφή της Γης και προτείνεται νέα μέθοδος μετασχηματισμού από το ουράνιο σύστημα στο γήινο. Στόχος αυτής της εργασίας είναι η παρουσίαση των νέων αυτών συμβάσεων, οι οποίες εγκρίθηκαν το 2003 και ισχύουν από το 2006. Για να δειχθεί η βελτίωση που προκύπτει από την χρήση των νέων μοντέλων και μεθόδων, αναπτύχθηκε ένα πρόγραμμα το οποίο εκτελεί τον μετασχηματισμό από το ουράνιο στο γήινο σύστημα, ακολουθώντας διαφορετικές μεθόδους και στη συνέχεια έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων. 1

1.3 Διάρθρωση της Εργασίας Στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται αναλυτικά οι έννοιες των συστημάτων αναφοράς, η διαδικασία ορισμού και υλοποίησής τους και οι αντίστοιχες έννοιες για τις κλίμακες χρόνου. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται οι κινήσεις της Γης, αναλύονται τα αίτιά τους, καθώς και η σύνδεσή τους με γεωφυσικά φαινόμενα. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στα φαινόμενα της μετάπτωσης και κλόνησης, καθώς και της κίνησης του πόλου. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται οι νέες συμβάσεις που ισχύουν από το 2003, συμπεριλαμβανομένων του νέου μοντέλου μετάπτωσης κλόνησης, του νέου συστήματος αναφοράς και της νέας μεθόδου που χρησιμοποιείται για τον μετασχηματισμό από το ουράνιο στο γήινο σύστημα. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφονται λεπτομερώς οι μέθοδοι μετασχηματισμού από το ουράνιο στο γήινο σύστημα, όπως αυτές εφαρμόστηκαν στο πρόγραμμα που δημιουργήθηκε. Παρουσιάζονται οι μαθηματικοί τύποι και τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν. Τέλος παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν και γίνεται σύγκριση αυτών. 2

Κεφάλαιο2 Συστήματα και Πλαίσια Αναφοράς 2.1 Βασικοί ορισμοί Πλαίσιο συντεταγμένων (Coordinate frame) είναι ένα σύνολο (ορθογωνίων) αξόνων συντεταγμένων (ή άλλης γεωμετρικής κατασκευής) ως προς τους οποίους προσδιορίζεται η θέση ενός σημείου. Η γεωμετρική σχέση μεταξύ δυο πλαισίων συντεταγμένων μπορεί να εκφραστεί με το συνδυασμό ενός διανύσματος το οποίο καθορίζει τη θέση της αρχής του ενός πλαισίου ως προς την αρχή του άλλου, και ενός πίνακα στροφής, ο οποίος καθορίζει τον προσανατολισμό του ενός πλαισίου ως προς το άλλο εάν πρόκειται για προσδιορισμό διευθύνσεων, ενώ εάν το πλαίσιο προσδιορίζει απόλυτες θέσεις στο χώρο τότε υπεισέρχεται και η παράμετρος της διαφοράς κλίμακας μεταξύ των δύο πλαισίων. Σύστημα συντεταγμένων (Coordinate system) είναι μια μέθοδος έκφρασης της θέσης ενός σημείου ως προς ένα καθορισμένο πλαίσιο συντεταγμένων. Η θέση μπορεί να καθοριστεί με ορθογώνιες ή πολικές συντεταγμένες. Πλαίσιο αναφοράς (Reference frame) είναι ένα σύνολο ευπροσδιόριστων σημείων αναφοράς (fiducial points) και των συντεταγμένων τους που χρησιμεύει στην πρακτική υλοποίηση ενός συγκεκριμένου συστήματος αναφοράς. Οι συντεταγμένες άλλων σημείων μπορούν να προσδιοριστούν κάνοντας διαφορικές μετρήσεις των θέσεων τους ως προς τα σημεία αναφοράς. Ο όρος «πλαίσιο αναφοράς» συχνά χρησιμοποιείται ως συνώνυμος του πλαισίου συντεταγμένων που καθορίζει. Σύστημα αναφοράς (Reference system) είναι η πλήρης προδιαγραφή για το πώς ένα σύστημα συντεταγμένων πρόκεται να διαμορφωθεί. Καθορίζει την προέλευση και τα θεμελιώδη επίπεδα (ή τους άξονες) του συστήματος συντεταγμένων, καθώς επίσης περιλαμβάνει το σύνολο των διαδικασιών, αλγορίθμων και σταθερών που απαιτούνται για τον μετασχηματισμό μεταξύ των παρατηρήσεων και των μοντέλων που αφορούν το εν λόγω σύστημα. Το πλαίσιο δημιουργείται με τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων αναφοράς, ενώ διατηρείται με τη βελτίωση των τιμών αυτών όσο αυξάνεται η ακρίβεια των παρατηρήσεων. Εποχή αναφοράς (Epoch of reference) είναι μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή στην οποία αναφέρονται οι συντεταγμένες. Η χρήση της εποχής αναφοράς επιβάλλεται από την μεταβολή των συντεταγμένων με την πάροδο του χρόνου, λόγω διάφορων κινήσεων της Γης. Στην αστρονομία οι εποχές αναφοράς εκφράζονται με βάση την Ιουλιανή Ημερομηνία. Συμβατικό σύστημα αναφοράς (Conventional Reference system) : κατά τη διαδικασία της δημιουργίας ενός πλαισίου αναφοράς επιλέγονται τα δεδομένα τα οποία θεωρούνται κατάλληλα και ακριβή. Η επιλογή αυτή πάντα εμπεριέχει στοιχεία που καθορίζονται από σειρά παραδοχών και για αυτό το λόγο το μοντέλο που αντιπροσωπεύει το σύστημα αναφοράς καλείται συμβατικό. (Kovalevsky et al., 1988) 3

2.2 Διαδικασία δημιουργίας συστήματος και πλαισίου αναφοράς Τα συστήματα αναφοράς διακρίνονται σε ουράνια (celestial) και γήινα (terrestrial). Τα ουράνια έχουν ως σκοπό την περιγραφή της θέσης ουράνιων σωμάτων (άστρων, πλανητών) και δορυφόρων. Τα γήινα συστήματα περιγράφουν τη θέση σημείων στην επιφάνεια της Γης ή πολύ κοντά σε αυτήν. Για την υλοποίηση ενός πλαισίου αναφοράς απαιτείται να ακολουθηθεί μια συγκεκριμένη διαδικασία. Αρχικά πρέπει να επιλεγεί η βασική ιδέα την οποία πρέπει να επαληθεύει το σύστημα. Η ιδέα αυτή μπορεί π.χ. να είναι ότι οι άξονες του συστήματος παραμένουν ακίνητοι ως προς κάποια μακρινά ουράνια σώματα. Αυτή η θεωρητική ιδέα καλείται ιδεατό σύστημα αναφοράς. Στη συνέχεια πρέπει να καθοριστεί η φυσική δομή του συστήματος, η οποία περιλαμβάνει τα σώματα που συμμετέχουν στον ορισμό. Η επιλογή γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η δομή που δημιουργείται από τα σώματα αυτά να επαληθεύει τη βασική ιδέα. Αφού επιλεγεί η φυσική δομή του συστήματος πρέπει να αποδοθούν τιμές στις παραμέτρους που περιγράφουν το σύστημα. Η απόδοση τιμών είναι μια αυθαίρετη διαδικασία με την έννοια ότι κατάλληλες τιμές κάθε φορά θεωρούνται οι καλύτερες παρατηρήσεις - και για το λόγο αυτό το μοντέλο που αναπαριστά το σύστημα αναφοράς καλείται πλέον συμβατικό σύστημα αναφοράς. Μετά τη δημιουργία του συμβατικού συστήματος πρέπει να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες ενός ορισμένου αριθμού σημείων από παρατηρήσεις. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός αυτών των σημείων τόσο καλύτερα υλοποιείται το σύστημα αναφοράς. Τα σημεία αυτά πρέπει να είναι διαθέσιμα προς παρατήρηση ώστε να επιτρέπεται ο προσδιορισμός συντεταγμένων νέων σημείων με βάση αυτά. Ο κατάλογος των συντεταγμένων αυτών των σημείων στα οποία στηρίζεται το σύστημα αναφοράς καλείται συμβατικό πλαίσιο αναφοράς. Το τελευταίο στάδιο για τη δημιουργία ενός συστήματος αναφοράς είναι η επέκταση και η πύκνωση του συστήματος με την προσθήκη νέων σημείων (Kovalevsky et al., 1988). 2.3 Ιδεατά συστήματα Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι για τον ορισμό ενός συστήματος αναφοράς, οι οποίοι βασίζονται σε διαφορετικές προσεγγίσεις και στην Νευτώνεια μηχανική καταλήγουν στην ίδια ιδέα ενός αδρανειακού πλαισίου αναφοράς στο χώρο. Τα συστήματα αυτά ονομάζονται ιδεατά (ideal) και αποτελούν τη βάση για τη δημιουργία και την υλοποίηση των συμβατικών συστημάτων. 4

2.3.1 Η έννοια της αδρανειακότητας Τα συστήματα αναφοράς πρέπει να πληρούν ορισμένες προϋποθέσεις, η σημαντικότερη των οποίων είναι η αδρανειακότητα. Ένα σύστημα αναφοράς χαρακτηρίζεται ως αδρανειακό αν για αυτό ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Ο όρος θα αναλυθεί πληρέστερα στις επόμενες ενότητες. Παρόλα αυτά, κρίνεται σκόπιμο σε αυτό το σημείο να τονιστεί ότι το να είναι ένα σύστημα αδρανειακό αφενός απλοποιεί την περιγραφή του, καθότι δεν εμπλέκονται στους φυσικούς νόμους που το περιγράφουν μή αδρανειακές δυνάμεις όπως π.χ. φυγόκεντρες και δυνάμεις Cοriolis, αφετέρου η ύπαρξη τέτοιων δυνάμεων καθιστά εξαιρετικά δύσκολη την μετατροπή συντεταγμένων από ένα σύστημα σε ένα άλλο. 2.3.2 Ιδεατά αδρανειακά Νευτώνεια Στην Νευτώνεια φυσική ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις : 1) ο χώρος έχει 3 διαστάσεις και είναι Ευκλείδειος. Ο χώρος και ο χρόνος υπάρχουν ανεξάρτητα από την ύλη και τους παρατηρητές και έχουν καθορισμένες και σταθερές ιδιότητες, 2) υπάρχει μια ομάδα προτιμούμενων αδρανειακών συστημάτων αναφοράς στα οποία οι νόμοι της φυσικής είναι αμετάβλητοι με το χρόνο και είναι απλοί σε διατύπωση. Σε οποιοδήποτε από αυτά τα συστήματα ένα σώμα (στο οποίο δεν επιδρά καμία δύναμη) είτε ηρεμεί είτε κινείται ομοιόμορφα (με σταθερή ταχύτητα) κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Σύμφωνα με την αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου όλα τα συστήματα αναφοράς που κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά ως προς αδρανειακό σύστημα, είναι και αυτά με τη σειρά τους αδρανειακά. Όταν ένα σύστημα στρέφεται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα, τότε αυτό δεν είναι αδρανειακό. Οι εξισώσεις κίνησης ενός ελεύθερου σώματος ως προς αυτό το στρεφόμενο σύστημα αναφοράς είναι πιο περίπλοκες. Εμφανίζονται οι δυνάμεις Coriolis και οι φυγόκεντρες δυνάμεις. Επίσης ένα σύστημα που επιταχύνεται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα δεν είναι αδρανειακό. Σε αυτή την περίπτωση ένα ελεύθερο σώμα εμφανίζει επιτάχυνση ως προς το σύστημα αναφοράς. Τα συστήματα αναφοράς τα οποία αποτελούν μια μαθηματική ιδέα, πρέπει να υλοποιούνται για να είναι χρήσιμα στην πράξη. Αυτή η υλοποίηση συνίσταται στην αντιστοίχηση συντεταγμένων με υλικά σώματα τα οποία μπορούν να παρατηρηθούν. Ένα αδρανειακό σύστημα στη Νευτώνεια μηχανική είναι μια ιδέα η οποία μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με περιορισμένη ακρίβεια. Η απαιτούμενη ακρίβεια εξαρτάται από την εφαρμογή. Έτσι για πολλές εφαρμογές ένα σύστημα ακίνητο ως προς έναν παρατηρητή στη Γη, μπορεί να θεωρηθεί ως αδρανειακό με μια ικανοποιητική προσέγγιση. Παρόλα αυτά, για κάποιες άλλες εφαρμογές εμφανίζονται αποκλίσεις του συστήματος από την αδρανειακότητα. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να θεωρηθεί ένα γεωκεντρικό ή ένα βαρυκεντρικό σύστημα ως μια προσέγγιση αδρανειακού συστήματος. Και πάλι όμως αγνοείται η επιτάχυνση της αφετηρίας του συστήματος που οφείλεται 5

στην επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Το εάν μπορεί να γίνει αυτή η προσέγγιση εξαρτάται από την επιθυμητή ακρίβεια και από το είδος των παρατηρήσεων. Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι για τον καθορισμό του προσανατολισμού των συστημάτων αναφοράς, ο δυναμικός (dynamical) και ο κινηματικός (kinematic). 2.3.2.1 Δυναμικά Θεωρούμε ένα σύνολο ουράνιων σωμάτων, τα οποία αποτελούν ένα σύστημα, των οποίων η κίνηση αναπαριστάται στο πλαίσιο της κλασσικής μηχανικής, από τη λύση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Το σύστημα των σημείων θεωρείται είτε ακίνητο είτε κινούμενο με σταθερή ταχύτητα ως προς ένα αδρανειακό σύστημα. Από την επίλυση των εξισώσεων κίνησης καθορίζονται διάφορα σημεία και διευθύνσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία ενός συστήματος συντεταγμένων. Με αυτό τον τρόπο υλοποιείται το σύστημα και ιδρύεται το αντίστοιχο πλαίσιο αναφοράς, υπολογίζοντας συντεταγμένες και ταχύτητες για συγκεκριμένα σώματα. Στην πράξη ένα πλαίσιο αναφοράς που καθορίζεται από τις τροχιακές εφημερίδες (ή τον κατάλογο συντεταγμένων) ενός ή περισσότερων σωμάτων του ηλιακού συστήματος καλείται δυναμικό πλαίσιο αναφοράς (dynamical reference frame). Επειδή οι χρησιμοποιούμενες τροχιακές εφημερίδες ενσωματώνουν τις θεωρίες κίνησης της Γης και των άλλων πλανητών του ηλιακού συστήματος, τα δυναμικά πλαίσια αναφοράς ενσωματώνουν με έναν πολύ θεμελιώδη τρόπο τον κινούμενο γήινο Ισημερινό και την εκλειπτική. Το πλαίσιο αναφοράς αποτελεί υλοποίηση του συστήματος αναφοράς μόνο σε συγκεκριμένο επίπεδο ακρίβειας λόγω του ότι υπεισέρχονται πολλοί απρόβλεπτοι παράγοντες όπως π.χ. το ότι δεν μπορούν να εισαχθούν σε μοντέλο όλες οι δυνάμεις. Ένα παράδειγμα τέτοιου σημείου είναι το βαρύκεντρο των σημείων το οποίο θεωρείται χωρίς επιτάχυνση, και η διεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής που θεωρείται σταθερή στο χώρο. Με βάση αυτό τον ορισμό ορίστηκε το Βαρυκεντρικό Ουρανογραφικό Σύστημα Αναφοράς (Barycentric Celestial Rerefence System) όπου ο όρος «βαρυκεντρικό» στην προκειμένη περίπτωση υποδηλώνει ότι το κέντρο του συστήματος είναι το κέντρο μάζας των ουρανίων σωμάτων του ηλιακού συστήματος. 2.3.2.2 Κινηματικά Στην αστρονομία ο όρος «κινηματικά αδρανειακά» σημαίνει αδρανειακά ως προς μακρινά ουράνια αντικείμενα (άστρα, εξωγαλαξιακές ραδιοπηγές (quasars), pulsars κλπ.). Ένας κατάλογος των θέσεων τέτοιων αντικειμένων χρησιμοποιείται ως ένα κινηματικό αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Σε αυτή την περίπτωση θεωρείται ότι το ορατό σύμπαν δεν περιστρέφεται, έτσι ώστε τα πλέον μακρινά αντικείμενα του Σύμπαντος, όπως π.χ. τα quasars ή πολύ μακρινοί γαλαξίες, δεν παρουσιάζουν συνολική κίνηση. 6

Αφού παρατηρηθούν αυτά τα μακρινά ουράνια σώματα υπολογίζονται οι θέσεις τους ως προς το βαρύκεντρο του ηλιακού συστήματος. Σε αυτό τον υπολογισμό υπεισέρχονται φαινόμενα όπως η διάθλαση (refraction), η αποπλάνηση (aberration) και η παράλλαξη (parallax). Επιλέγοντας αντικείμενα τα οποία έχουν είτε τυχαίες είτε καθόλου ίδιες κινήσεις (proper motion), μπορεί να κατασκευαστεί ένα σταθερό σύστημα. Σε αυτό το σημείο πρέπει να γίνει η θεμελιώδης παραδοχή ότι αυτό το πλαίσιο αναφοράς δεν παρουσιάζει περιστροφή ως προς τον απόλυτο Νευτώνειο χώρο. Αυτή η παραδοχή πρέπει να είναι σε συμφωνία με όλες τις παρατηρήσεις. Για παράδειγμα, στη Νευτώνεια μηχανική δεν πρέπει να έρχεται σε αντίθεση με τα αποτελέσματα των τοπικών δυναμικών παρατηρήσεων. Οι ταχύτητες των σωμάτων ως προς το κινηματικά αδρανειακό σύστημα πρέπει να περιγράφονται από δυναμικές εξισώσεις κίνησης χωρίς φυγόκεντρες και δυνάμεις Coriolis. Στα πλαίσια της Νευτώνειας μηχανικής, η δυναμική και η κινηματική προσέγγιση οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα του προσανατολισμού ενός συστήματος αναφοράς ώστε να μην στρέφεται ως προς τον απόλυτο χώρο της Νευτώνειας μηχανικής. Αντιθέτως στη σχετικιστική προσέγγιση οι δύο τρόποι προσανατολισμού οδηγούν σε διαφορετικούς ορισμούς αδρανειακών συστημάτων αναφοράς (Kovalevsky et al., 1988). 2.3.3 Ιδεατά σχετικιστικά Η βασική υπόθεση στην Νευτώνεια προσέγγιση είναι ότι ο χώρος είναι ένας απόλυτος Ευκλείδειος χώρος και ο χρόνος είναι απόλυτος, με την έννοια ότι δεν εξαρτάται από τη φυσική ή τη δυναμική κατάσταση του χρονομέτρου ή τη θέση του στο χώρο. Έτσι, το σύστημα δεν αλλάζει κατά το μετασχηματισμό π.χ. από το γεώκεντρο στο βαρύκεντρο του ηλιακού συστήματος, και ο αυστηρός συγχρονισμός των χρονομέτρων είναι πάντα δυνατός. Για τον μετασχηματισμό από το γεωκεντρικό στο βαρυκεντρικό ουράνιο σύστημα είναι αρκετό να εφαρμοστούν οι σχέσεις για τις διορθώσεις της παράλλαξης (δηλαδή γεωμετρική διόρθωση) και της αποπλάνησης (δηλαδή κινηματική διόρθωση). Η Γενική Σχετικότητα εγκαταλείπει την ιδέα του απόλυτου χώρου και χρόνου. Ο χώρος και ο χρόνος αντιπροσωπεύουν τώρα δύο πλευρές μιας μοναδικής γεωμετρικής οντότητας, του τετραδιάστατου χωροχρόνου. Οι γεωμετρικές ιδιότητες του χωροχρόνου επηρεάζουν την κίνηση της ύλης και η ύλη με τη σειρά της καθορίζει τις γεωμετρικές ιδιότητες του χωροχρόνου (Kovalevsky et al., 1988). Για την ανάλυση οποιουδήποτε φυσικού φαινομένου που συμβαίνει στο χωροχρόνο, απαιτείται ένα σύστημα αναφοράς. Ένα σχετικιστικό σύστημα αναφοράς είναι μια μαθηματική διαδικασία η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε a σημείο του χωροχρόνου τέσσερις πραγματικούς αριθμούς ή συντεταγμένες x, a = 0,1, 2,3 του σημείου, ως προς το σύστημα αυτό. Η μια από τις τέσσερις 0 συντεταγμένες x σχετίζεται με το χρόνο ( t = x 0 / c), όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Ο χρόνος αυτός, ο οποίος αποτελεί την τέταρτη συντεταγμένη 7

των χωροχρονικών συντεταγμένων, καλείται συντεταγμένος (coordinated) χρόνος του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιείται. Οι 3 υπόλοιπες i συντεταγμένες x, i = 1,2,3 είναι συντεταγμένες χώρου. Κάθε σύστημα αναφοράς i ( tx, ) χαρακτηρίζεται από τον μετρικό του τανυστή (metric tensor) g (, t x i ), ο οποίος αναπαριστά την λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein της Γενικής Σχετικότητας. Ο τανυστής αυτός περιέχει όρους που σχετίζονται με την κατανομή μαζών. Οι ιδιότητες των συστημάτων αναφοράς μπορούν να γίνουν γνωστές μελετώντας τους μετρικούς τανυστές τους και τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων από το ένα σύστημα στο άλλο. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι ο τανυστής είναι ένα σύνολο συντελεστών οι οποίοι υπακούουν σε κάποιο νόμο μετασχηματισμού. Στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, ένα αδρανειακό σύστημα είναι ένα σύστημα που εξαρτάται από την κατανομή των μαζών στην περιοχή του χωροχρόνου όπου το σύστημα ορίζεται. Είναι δηλαδή ένα τοπικό σύστημα, το οποίο ισχύει σε μια περιορισμένη περιοχή. Σε αντίθεση με την κλασική μηχανική, όπου ένα σύστημα αναφοράς είναι παγκόσμιο, στη σχετικιστική προσέγγιση η μεταφορά από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο είναι ένας πολύπλοκος μετασχηματισμός και μπορεί να οριστεί μόνο αν η κατανομή μάζας είναι γνωστή οπουδήποτε στο χώρο όπου θα πραγματοποιηθεί ο μετασχηματισμός. Για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, παρόλα αυτά, είναι επιθυμητή η πρόσβαση μόνο σε τοπικό σύστημα αναφοράς, για το οποίο οι σχετικιστικές επιδράσεις μπορούν να θεωρηθούν ως διορθώσεις της Νευτώνειας προσέγγισης. Η επιλογή του κατάλληλου κάθε φορά συστήματος αναφοράς είναι βασικής σημασίας στην επίλυση προβλημάτων στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας. Σήμερα είναι γνωστό ότι για να περιγραφούν κατάλληλα οι αστρονομικές παρατηρήσεις, πρέπει να χρησιμοποιηθούν διάφορα σχετικιστικά συστήματα αναφοράς. Έτσι για την περιγραφή της διάδοσης του φωτός και της κίνησης των ουράνιων σωμάτων στο ηλιακό σύστημα χρησιμοποιείται το βαρυκεντρικό σύστημα αναφοράς. Για τις διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα κοντά στη Γη χρησιμοποιείται το γεωκεντρικό σύστημα (geocentric system). Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα τοπικό σύστημα (local system) στην περιοχή του παρατηρητή ώστε να περιγραφούν σε αυτό φαινόμενα που συμβαίνουν κοντά στην περιοχή αυτή. Η βασική ιδέα είναι να δημιουργηθούν ειδικά συστήματα αναφοράς για κάθε υποπεριοχή του χωροχρόνου, στα οποία οι σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης ενός σώματος μέσα στην υποπεριοχή να μοιάζουν όσο το δυνατόν με τις Νευτώνειες εξισώσεις. Κάθε σύστημα (βαρυκεντρικό, γεωκεντρικό, τοπικό κλπ.) είναι ένα τοπικό σύστημα αναφοράς, του οποίου η αφετηρία συμπίπτει με το βαρύκεντρο του αντίστοιχου συστήματος (το κέντρο του ηλιακού συστήματος, το γεώκεντρο, το σημείο παρατήρησης αντίστοιχα) και η επίδραση της εξωτερικής ύλης σε αυτό περιγράφεται με όρους δυναμικών (Klioner and Soffel, 1998). αβ 8

Για να δημιουργηθεί μια λογική ιεραρχία σχετικιστικών συστημάτων πρέπει κανείς να ξεκινήσει από ένα αρχικό σύστημα το οποίο κατασκευάζεται με την παραδοχή ότι είναι απομονωμένο από τα άλλα υλικά συστήματα. Έστω ότι το σύστημα αυτό έχει έναν τανυστή gtx (, ), ο οποίος, όπως ειπώθηκε προηγουμένως, περιλαμβάνει όρους που σχετίζονται με το βαρυτικό δυναμικό. Εάν θεωρηθούν δύο περιοχές του χώρου, μία εντός του συστήματος και μια εκτός του, τότε οι όροι των δυναμικών μπορούν να διαχωριστούν σε δυναμικό που οφείλεται στην εσωτερική ύλη, δυναμικό που οφείλεται στην εξωτερική ύλη και σε αδρανειακές επιδράσεις. Στην περίπτωση του αρχικού συστήματος, το οποίο θεωρείται απομονωμένο, δεν υπάρχει ο όρος του δυναμικού που οφείλεται σε εξωτερική ύλη. Συνήθως ως αρχικό σύστημα λαμβάνεται το βαρυκεντρικό σύστημα αναφοράς. Για το σύστημα αυτό η επίδραση του βαρυτικού πεδίου του Γαλαξία και του σύμπαντος θεωρούνται μηδέν. Έστω τώρα ότι θεωρείται ένα σύστημα Α με τον τανυστή του (, tx ), το οποίο μπορεί να είναι υποσύστημα ενός άλλου συστήματος Α, και ένα υποσύστημα του Α, το σύστημα Β με τον τανυστή του ( uw,, ) όπως στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα 2.1 Σύστημα και υποσύστημα (Klioner and Soffel, 1998) Ο μετασχηματισμός μεταξύ των δύο συστημάτων θα δίνεται από σχέσεις που προκύπτουν από γενίκευση του μετασχηματισμού Lorentz για την ειδική σχετικότητα. Για ένα σύνολο Ν σωμάτων μπορούν να θεωρηθούν Ν+1 συστήματα αναφοράς : ένα παγκόσμιο (global) σύστημα που καλύπτει ολόκληρο το χωροχρόνο και ένα a τοπικό σύστημα αναφοράς ( T, X ) για κάθε ένα από τα σώματα. Κάθε σύστημα αναφοράς καθορίζεται από τη δομή του μετρικού τανυστή του. Έτσι για το παγκόσμιο σύστημα αναφοράς (, tx i ) ο μετρικός τανυστής είναι 00 0i ij 2 4 5 1 2 ω(, ) 2 ω(, ) ( ), g = + c t x c t x + O c 3 i 5 4 ω (, ) ( ), g = c t x + O c 2 4 ij (1 2 ω(, )) ( ) g = δ + c t x + O c (2.1). 9

i Σε αυτές τις σχέσεις οι όροι ω και ω αντιπροσωπεύουν τα μετα-νευτώνεια 4 βαρυτικά δυναμικά ενώ οι όροι Oc ( ) είναι όροι μικρότερης τάξης. Ο μετρικός τανυστής κάθε τοπικού συστήματος αναφοράς έχει την ίδια μορφή αλλά στη i a θέση των ω και ω υπάρχουν τα W και W δηλαδή τα τοπικά μετα-νευτώνεια δυναμικά. Επίσης από τη θεωρία δίνονται οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων ανάμεσα σε κάθε ένα από τα τοπικά συστήματα και το παγκόσμιο (Klioner and Soffel, 1998). Στην Γενική Σχετικότητα όλα τα μεγέθη εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς στο οποίο αναφέρονται. Η μετατροπή των εξαρτώμενων από τα συστήματα αναφοράς ποσοτήτων σε παρατηρήσεις ανεξάρτητες των συστημάτων είναι πολύ σημαντική διαδικασία. Μια από τις πιο σημαντικές διαδικασίες μετατροπής είναι η μετατροπή μιας γωνίας μεταξύ δύο πηγών φ coord στην αντίστοιχη παρατηρούμενη γωνία φ obs, μέσω της σχέσης : φobs coord c S1 c S2 c S3 O( c ) 1 2 3 4 = φ + + + + (2.2) όπου Si ( φ coord, v0 ) είναι οι επιδράσεις της αποπλάνησης i-οστής τάξης και v 0 είναι η ταχύτητα του παρατηρητή. Ο όρος S 1 είναι η κλασσική Νευτώνεια αποπλάνηση. Μια εξίσου σημαντική περίπτωση είναι η μετατροπή διαστημάτων συντεταγμένου χρόνου t στα αντίστοιχα διαστήματα ιδιοχρόνου (proper time) τ ενός παρατηρητή. Η γενική σχέση της μετατροπής αυτής είναι : dτ dt = + c A N + c A N + O c (2.3) 2 4 5 / 1 p pp ( ) όπου οι όροι ApN και AppN είναι οι μετα-νευτώνειοι (post-newtonian) και μετα-μετα-νευτώνειοι όροι. (Klioner, 2000) 2.3.3.1 Τοπικά Όπως ειπώθηκε προηγουμένως, παρότι όλα τα συστήματα αναφοράς που καλύπτουν τον χωροχρόνο ενδιαφέροντος μπορούν να χρησιμοποιηθούν, υπάρχουν περιπτώσεις που προτιμάται κάποιο σύστημα επειδή η μαθηματική περιγραφή των φυσικών νόμων στο σύστημα αυτό είναι απλούστερη απ ότι σε άλλα. Αυτά τα συστήματα αναφοράς καλούνται τοπικά. Υπάρχουν δύο θεωρητικές προσεγγίσεις για την επίλυση του προβλήματος των τοπικών συστημάτων στη Γενική Σχετικότητα : η προσέγγιση των Brumberg Kopeikin και η προσέγγιση των Damour Soffel Xu (Klioner and Soffel, 1998). Οι προσεγγίσεις αυτές αποδεικνύουν ότι ένα τοπικό σύστημα αναφοράς ενός σώματος με εκτεταμένη μάζα στη Γενική Σχετικότητα έχει δύο ιδιότητες: (Α) το βαρυτικό πεδίο των εξωτερικών σωμάτων αναπαριστάται με τη μορφή παλιρροιακών δυναμικών 2 i OX ( ), όπου X είναι οι τοπικές συντεταγμένες, (Β) το εσωτερικό βαρυτικό πεδίο του σώματος συμπίπτει με το βαρυτικό πεδίο μιας αντίστοιχης απομονωμένης πηγής, εάν η επίδραση της εξωτερικής ύλης αμεληθεί. 10

Σχήμα 2. 2 Παγκόσμιο σύστημα (Klioner, 2000) Σχήμα 2.3 Τοπικό σύστημα (Klioner, 2000) Η βασική ιδέα των τοπικών συστημάτων αναφοράς μπορεί να εξηγηθεί με τη βοήθεια των δύο παραπάνω σχημάτων. Το πρώτο σχήμα είναι μια γραφική αναπαράσταση του καμπυλωμένου χωροχρόνου που παράγεται από ένα σύστημα ενός κεντρικού σώματος (π.χ. Ήλιος) και δύο μικρότερων σε μάζα σωμάτων (π.χ. δύο πλανήτες). Εάν πρέπει να περιγραφεί το σύστημα στο σύνολό του, πρέπει να περιγραφούν και οι τρεις πηγές του βαρυτικού πεδίου. Όμως εάν θεωρηθεί ως περιοχή ενδιαφέροντος μια μικρή περιοχή γύρω από κάποιο από τα σώματα, τότε μπορεί να εισαχθεί ένα απλούστερο σύστημα αναφοράς που καλείται τοπικό. Αφού η καμπυλότητα λόγω των άλλων δύο σωμάτων μεταβάλλεται με πολύ αργό ρυθμό μέσα σε αυτή την περιοχή, μπορεί να εισαχθεί ένα τοπικό σύστημα αναφοράς στο οποίο μόνο η καμπυλότητα λόγω του κοντινότερου σώματος θεωρείται σημαντική (Klioner, 2000). Ωστόσο και σε αυτή την περίπτωση, η καμπυλότητα λόγω των δύο άλλων σωμάτων μπορεί να ληφθεί υπόψην στο τοπικό σύστημα με τη μορφή «παλιρροιακής» επίδρασης. 11

2.3.3.2 Δυναμικά αδρανειακά σχετικιστικά (παγκόσμια και τοπικά) Τα δυναμικά αδρανειακά σχετικιστικά συστήματα (dynamical non-rotating relativistic systems) αποτελούν γενικεύσεις των αντίστοιχων Νευτώνειων συστημάτων (αυτών που ονομάζονται και σχεδόν αδρανειακά (quasi-inertial)) και είναι τα συστήματα αυτά τα οποία προκύπτουν από την επίλυση των εξισώσεων κίνησης που περιγράφουν ένα σύνολο σωμάτων. Μια σημαντική ιδιότητα των αδρανειακών συστημάτων είναι ότι οι εξισώσεις κίνησης των σωμάτων ως προς αυτά δεν περιλαμβάνουν δυνάμεις Coriolis και φυγόκεντρες. Στη σχετικιστική προσέγγιση ενώ ισχύει η ίδια ιδιότητα, μπορούν να εξαχθούν από τις εξισώσεις κίνησης κάποιες δυνάμεις που μοιάζουν με τις δυνάμεις Coriolis και τις φυγόκεντρες (Klioner and Soffel, 1998). Με την έννοια «παγκόσμια» υπονοείται ότι τα συστήματα αυτά λαμβάνονται ως αρχικά συστήματα και θεωρούνται απομονωμένα. Τα συστήματα αυτά ορίζονται έτσι ώστε οι άξονές τους σε αρκετά μεγάλη απόσταση από πηγές ύλης να θεωρείται ότι δεν περιστρέφονται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα. Έτσι οι εξισώσεις κίνησης μακριά από τις πηγές ύλης συμπίπτουν με εκείνες ενός αδρανειακού συστήματος (Klioner and Soffel, 1998). Η διαφορά των τοπικών συστημάτων από τα αρχικά είναι ότι σε αυτά τα συστήματα ο τανυστής περιλαμβάνει όρους δυναμικού που οφείλεται στην εξωτερική ύλη. Έτσι τα συστήματα αυτά δεν θεωρούνται απομονωμένα, κάτι που προκύπτει άλλωστε από το γεγονός ότι, όπως έχει ήδη ειπωθεί, τα τοπικά συστήματα αποτελούν υποσυστήματα των παγκόσμιων συστημάτων (Klioner and Soffel, 1998). 2.3.3.3 Κινηματικά αδρανειακά σχετικιστικά (παγκόσμια και τοπικά) Η βασική ιδέα των συστημάτων αυτών, όπως και στην Νευτώνεια μηχανική, είναι η κατασκευή ενός συστήματος αναφοράς το οποίο να μην στρέφεται ως προς μια ομάδα μακρινών ουράνιων αντικειμένων. Στην σχετικιστική προσέγγιση παρόλα αυτά αυτός ο ορισμός ενέχει προβλήματα διπλής φύσεως, αστρονομικής και φυσικής. Επίσης ο ορισμός αυτός της μή περιστροφής ως προς τα ουράνια αντικείμενα είναι εφαρμόσιμος σε συστήματα που καλύπτουν την περιοχή των άστρων, δηλαδή σε συστήματα παγκόσμια. Από την θεωρητική πλευρά ένα παγκόσμιο σύστημα καλείται κινηματικά αδρανειακό (kinematical non-rotating) όταν οι άξονές του πολύ μακριά από πηγές ύλης δεν στρέφονται ως προς τον επίπεδο χωροχρόνο. Κατ αυτό τον τρόπο δεν υπάρχει διαφορά ανάμεσα στον ορισμό των κινηματικών και των δυναμικών αδρανειακών συστημάτων αναφοράς στην περίπτωση των παγκόσμιων συστημάτων. Από την αστρονομική πλευρά η μή κίνηση ενός συστήματος ως προς μακρινά ουράνια σώματα είναι μια έννοια που εξαρτάται από την ακρίβεια με την οποία γίνονται οι παρατηρήσεις. Για χαμηλό επίπεδο ακρίβειας πολλά ουράνια σώματα φαίνονται ακίνητα, ενώ ο αριθμός των σωμάτων μικραίνει όσο βελτιώνεται η ακρίβεια των παρατηρήσεων. Για το σημερινό επίπεδο ακρίβειας 12

μπορούμε να πούμε ότι τα quasars θεωρούνται ακίνητα (Klioner and Soffel, 1998). Για τον ορισμό των κινηματικών τοπικών μη περιστρεφόμενων συστημάτων πρέπει να χρησιμοποιηθεί η σύνδεση με κάποιο παγκόσμιο σύστημα ώστε να συσχετιστεί το τοπικό σύστημα με τα μακρινά ουράνια αντικείμενα. Έτσι ένα κινηματικά τοπικό αδρανειακό σύστημα είναι αυτό το οποίο δεν περιστρέφεται ως προς ένα κινηματικά παγκόσμιο αδρανειακό σύστημα. Ο ορισμός αυτός έρχεται σε αντίθεση με τις ακόλουθες βασικές αρχές. Κατά την εφαρμογή δύο διαδοχικών μετασχηματισμών Lorentz, δηλαδή δύο μετασχηματισμών τεσσάρων διαστάσεων της μορφής (Audoin and Guinot, 2001) t t t c x x x' = β ( x υt), 2 2 2 x x' = x, 3 3 3 x x' = x 2 1 ' = β( υ ), 1 1 1 (2.4) 2 1/2 όπου β = [1 ( υ/ c) ], παρότι ο κάθε ένας δεν εισάγει στροφή, το αποτέλεσμα μπορεί και να περιέχει στροφή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ότι τρία σχετικιστικά συστήματα αναφοράς δεν μπορεί να είναι αδρανειακά μεταξύ τους. Παρόλα αυτά αποδεικνύεται ότι αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο όταν αναφερόμαστε σε τρία συστήματα διαφορετικής ιεραρχίας (π.χ. το βαρυκεντρικό, το γεωκεντρικό και το σύστημα του παρατηρητή) ενώ δεν ισχύει όταν τουλάχιστον τα δύο συστήματα ανήκουν στην ίδια ιεραρχία. Επίσης ο τρόπος με τον οποίο στρέφεται ένα σύστημα αναφοράς ως προς ένα άλλο δεν ισχύει αμφίδρομα. Για την ακρίβεια όταν είναι γνωστό το πώς ένα σύστημα στρέφεται ως προς ένα άλλο αυτό δεν σημαίνει πως είναι επίσης γνωστό το πώς το δεύτερο σύστημα στρέφεται ως προς το πρώτο. Για να γίνει κάτι τέτοιο θα έπρεπε να αντιστραφούν οι σχέσεις των μετασχηματισμών μεταξύ των δύο συστημάτων, κάτι που δεν είναι πάντα δυνατό. Έτσι αν θεωρήσουμε ένα βαρυκεντρικό και ένα γεωκεντρικό σύστημα, ορισμένα με τέτοιο τρόπο ώστε ο μετασχηματισμός από το βαρυκεντρικό στο γεωκεντρικό να μην περιλαμβάνει στροφή, ο αντίστροφος μετασχηματισμός θα περιλαμβάνει μια σχεδόν περιοδική περιστροφή. Συγκεκριμένα η κίνηση που προαναφέρθηκε καλείται γεωδαιτική μετάπτωση (geodetic precession). Αυτό σημαίνει πως για να είναι απόλυτα σαφής ο ορισμός ενός κινηματικά αδρανειακού γεωκεντρικού συστήματος θα πρέπει να περιλαμβάνει την κατεύθυνση του μετασχηματισμού προς το κινηματικά αδρανειακό παγκόσμιο σύστημα. Οι δύο παραπάνω ιδιότητες πρέπει να λαμβάνονται υπόψη ώστε οι ορισμοί των συστημάτων να είναι ακριβείς (Klioner and Soffel, 1998). 13