: α Πρόβημα 36 από Griffiths: Μια σφαίρα ακτίνας με κέντρο στην αρχή των αξόνων φέρει πυκνότητα φορτίου ρr θ k r sin θ όπου k είναι μία σταθερά και r r θ είναι οι γνωστές σφαιρικές συντεταγμένες Βρείτε το προσεγγιστικό δυναμικό για σημεία του άξονα μακριά από τη σφαίρα β Επαναάβατε για σημεία πάνω στον άξονα Δίνεται ο τετραποικός όρος του πουποικού αναπτύγματος V τετρ r P 4πε r 3 ˆr ˆr ρ r dτ με P ˆr ˆr 3 ˆr ˆr και το οοκήρωμα sin 4 θ dθ 3θ 8 sinθ + sin4θ + C 4 3 : Σε Καρτεσιανό σύστημα έχουμε τρία φορτία +q στις θέσεις και δύο φορτία q στις θέσεις α Ποιος ο προσεγγιστικός τύπος για το δυναμικό V V r σε αποστάσεις r από το ; β Κρατώντας και την επόμενη διόρθωση δείξτε ότι η έκφραση του δυναμικού σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι V V r r sin θ sin φ cos φ 3 : Σφαιρικός φοιός απειροστού πάχους και ακτίνας είναι φορτισμένος με φορτίο επιφανειακής πυκνότητας σθ όπου θ η σφαιρική συντεταγμένη συστήματος με αρχή το κέντρο του φοιού α Αν η ακτινική συνιστώσα του ηεκτρικού πεδίου πάνω στο επίπεδο του ισημερινού θ π/ είναι μηδέν δηαδή E r r θ π/ ποιο είναι το συνοικό φορτίο του φοιού; β Αν έξω από το φοιό η ακτινική συνιστώσα του ηεκτρικού πεδίου πάνω στον ημιάξονα συμμετρίας θ είναι E r r > θ E 5 r ποια η διποική ροπή του φοιού; γ Ποια η επιφανειακή πυκνότητα σθ αν ξέρουμε ότι E r r < θ 3E r ; 4 Υπόδειξη: Η ύση της εξίσωσης Lplce V r θ r b lp l+ l cos θ έξω από κάποια αξισυμμετρική κατανομή φορτίου είναι ισοδύναμη με το πουποικό ανάπτυγμα V r θ r l P 4πɛ r l+ l ˆr ˆr dq Δίνονται τα πουώνυμα Legendre P P P 3 P 3 53 3 και η τιμή τους P l 4 : Δύο γειωμένα αγώγιμα ημιεπίπεδα βρίσκονται στις θέσεις φ και φ σε κυινδρικές συντεταγμένες ϖ φ δη σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους Στη θέση ϖ δη σε απόσταση από τον κοινό άξονα των επιπέδων τον άξονα βρίσκεται ηεκτρόδιο σε δυναμικό V Μονωτικά στρώματα εμποδίζουν το ηεκτρόδιο να έρθει σε επαφή με τα γειωμένα επίπεδα α V V α Δείξτε ότι το δυναμικό στην περιοχή που περικείεται από το ηεκτρόδιο και τα επίπεδα είναι V 4V ϖ nπ/ nπφ sin π n35 n Υπόδειξη: Χωρίστε τις μεταβητές στη συνάρτηση του δυναμικού V Πϖ Φφ δείτε τι δίνει η εξίσωση Lplce αά μην απαιτήσετε η συνάρτηση Φφ να έχει περίοδο π Αντ αυτού απαιτήσετε Φφ και Φφ β Δείξτε ότι το αποτέεσμα γράφεται σε κειστή μορφή V V π rctn ϖ/π/ sin πφ/ ϖ/ π/ Παρατήρηση: Το πρόβημα είναι όμοιο με το παράδειγμα 33 του Griffiths σχέση 336 με y φ και ln/ϖ Γενικότερα τα προβήματα επίυσης της εξίσωσης Lplce με κυινδρική συμμετρία σε χωρίο {φ < φ < φ ϖ < ϖ < ϖ } των κυινδρικών συντεταγμένων είναι όμοια με αυτά των διδιάστατων καρτεσιανών σε χωρίο {y < y < y < < } διότι η εξίσωση Lplce γράφεται όπως στις καρτεσιανές με ln ϖ y φ 5 : Θέμα o από εξέταση της //5: Ημικύινδρος απείρου μήκους έχει ως συντεταγμένες < ϖ < b < φ < π < < + και δυναμικά στην επιφάνειά του όπως στο σχήμα με V σταθ V O Να βρεθεί το δυναμικό στο εσωτερικό του Υπόδειξη: Δείξτε ότι η εξίσωση Lplce b V Νεκτάριος Βαχάκης //5
ϖ + V με τον μετασχηματισμό ϖ be ln b ϖ γίνεται V ϖ ϖ ϖ ϖ φ + V φ και άρα προκύπτει το γνωστό πρόβημα του επόμενου σχήματος στις συντεταγμένες και φ φ V π O πρόβημα αυτό είναι της μορφής V V µ Προσδιορίστε τη σταθερά οοκήρωσης στην έκφραση της dv dµ από την συνθήκη πού μακρυά από τον αγωγό το πεδίο να είναι E 4πε r ˆr Επιέγοντας κατάηα τις σταθερές b και c βρείτε: β τη συνοική και από τις δυο πευρές επιφανειακή πυκνότητα σϖ σε αγώγιμο κυκικό δίσκο ακτίνας γ τη συνοική γραμμική πυκνότητα φορτίου σε ένα ραβδόμορφο αγωγό 6 : Θέμα o από εξέταση της //: α Δείξτε ότι η συνάρτηση V θ A ln cot θ/]+ B σε σφαιρικές συντεταγμένες όπου A και B σταθερές είναι αρμονική δη ικανοποιεί την εξίσωση Lplce V θ VV β Βρείτε το ηεκτροστατικό δυναμικό στο χώρο μεταξύ της επιφάνειας κώνου και άπειρης γειωμένης πάκας Ο κώνος έχει τον άξονά του κάθετο στην πάκα την κορυφή του σε μονωμένη επαφή με την πάκα και έχει φορτιστεί σε σταθερό δυναμικό V Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε σαν γενική ύση την συνάρτηση του ερωτήματος α 7 : Αγωγός με εειψοειδές σχήμα + y + b c είναι φορτισμένος με φορτίο α Ποια η κατανομή φορτίου στην επιφάνειά του και ποιο το ηεκτρικό πεδίο που δημιουργεί; Υπόδειξη: Ανάογα με το αν b > c ή b < c μπορούν να χρησιμοποιηθούν γεωειδείς ή ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες δες παρακάτω Από τη μορφή που έχει η Lplcin φαίνεται ότι η ύση για το 8 : Σημειακό φορτίο q βρίσκεται σε θέση r από ένα ιδανικό δίποο ροπής p Το δίποο δημιουργεί πεδίο E d 3 p r r r p στη θέση του q οπότε ασκεί 4πε r 5 δύναμη F q qe d και ροπή N q r F q στο φορτίο α Δείξτε ότι η δύναμη και η ροπή που ασκεί το φορτίο στο δίποο είναι F d F q N d N q β Εστω το p είναι στερεωμένο στην αρχή συστήματος συντεταγμένων Oy του οποίου ο άξονας είναι ομόρροπος με την p Σε ποιες θέσεις του φορτίου η δύναμη F q είναι κάθετη στον άξονα και έχει φορά προς σημείο του άξονα αυτού; 9 : Ηεκτρικό δίποο p p ŷ είναι στερεωμένο στο κέντρο συστήματος συντεταγμένων Oy Ενα δεύτερο δίποο p p ˆ είναι εεύθερο να κινείται στην ευθεία y b με b σταθερό χωρίς να αάζει η διποική του ροπή α Ποια η δύναμη που ασκείται στο p στη διεύθυνση της ευθείας πάνω στην οποία κινείται; β Ποια η ενέργεια αηεπίδρασης των διπόων; γ Ποιο σημείο της ευθείας αποτεεί σημείο ευσταθούς ισορροπίας του p ; : Θέμα o από εξέταση της 6//: Ενα ηεκτρικό δίποο με διποική ροπή p p ẑ βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Ενα δεύτερο δίποο διποικής ροπής p p ẑ βρίσκεται πάνω στον άξονα και d σε απόσταση d από την αρχή Βρείτε την δύναμη μεταξύ τους Είναι εκτική ή απωστική; p p y Μια άη μέθοδος επίυσης μπορεί να βρεθεί στο βιβίο του Willim lph Smythe Sttic nd Dynmic Electricity 3rd edition McGrw-Hill Book Compny σε -4 Νεκτάριος Βαχάκης //5
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Καρτεσιανές y Κυινδρικές ϖ φ Σφαιρικές r θ φ ϖ cos φ r sin θ cos φ y ϖ sin φ y r sin θ sin φ r cos θ v v ˆ + v y ŷ + v ẑ v ϖ ˆϖ + v φ ˆφ + v ẑ v rˆr + v θ ˆθ + vφ ˆφ f f f ˆ + y ŷ + f ẑ f ϖ ˆϖ + f ϖ φ ˆφ + f ẑ f r ˆr + f r θ ˆθ + f r sin θ φ ˆφ v v + v y y + v ϖv ϖ ϖ ϖ + v φ ϖ φ + v r v r r + v θ sin θ + r r sin θ θ r sin θ v y v y v ˆ+ v v v ϖ φ v φ vφ sin θ ˆϖ+ v ] θ ˆr+ vϖ ŷ+ vy v v r sin θ θ φ v r ˆφ+ ϖ ϖvφ ẑ y ϖ ϖ v ] r sin θ φ rv ] φ ˆθ+ r ϖ rvθ ẑ v ] r ˆφ φ r r θ f f + f y + f ϖ f + f ϖ ϖ ϖ ϖ φ + f r r f + r r r sin θ f + sin θ θ θ d l dˆ + dyŷ + dẑ dϖ ˆϖ + ϖdφ ˆφ + dẑ drˆr + rdθˆθ + r sin θdφ ˆφ d dydˆ + ddŷ + ddyẑ ϖdφd ˆϖ + dϖd ˆφ + ϖdϖdφẑ r sin θdθdφˆr + r sin θdrdφˆθ + rdrdθ ˆφ dτ ddyd ϖdϖdφd r sin θdrdθdφ v φ φ f r sin θ φ Γεωειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες µ φ ν Είναι ορθογώνιες καμπυόγραμμες συντεταγμένες που ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις με θετική σταθερά και µ φ < π π/ ν π/ cosh µ cos ν cos φ y cosh µ cos ν sin φ sinh µ sin ν + y cosh µ + sinh µ εειψοειδές y cos φ sin φ επίπεδο + y cos ν sin μονόχωνο υπερβοοειδές ν µ rcsinh + y + + + + y + { } + y sin φ y + y φ κοινή ύση των cos φ ν rcsin + y + + + y + Τα στοιχεία μήκους και τα μοναδιαία γράφονται h µ sinh µ + sin ν ˆµ h φ cosh µ cos ν ˆφ sin φ ˆ + cos φ ŷ h ν sinh µ + sin ν ˆν ˆµ ˆφ sinh µ cos ν cos φ ˆ + sin φ ŷ + cosh µ sin νẑ sinh µ + sin ν το στοιχειώδες μήκος είναι d r h µ dµˆµ + h φ dφ ˆφ + h ν dνˆν ενώ η Lplcin hφ h ν V + hµ h ν h µ h φ h ν µ h µ µ φ h φ sinh µ + sin ν cosh µ + cosh µ µ µ cos ν και η κίση V h µ µ ˆµ + h φ φ ˆφ + h ν ν ˆν + φ ν cos ν ] + ν ν Νεκτάριος Βαχάκης //5 hµ h φ h ν ] ν V cosh µ cos ν φ
Ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες µ ν φ Είναι ορθογώνιες καμπυόγραμμες συντεταγμένες που ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις με θετική σταθερά και µ ν π φ < π + y sinh µ sin ν cos φ y sinh µ sin ν sin φ sinh µ + cosh µ εειψοειδές cosh µ cos ν cos ν + y sin δίχωνο υπερβοοειδές ν y cos φ sin φ επίπεδο µ rcsinh + y + + + y + + + y ν rccos + y + + + y + + + y { } φ κοινή ύση των cos φ + y sin φ y + y Τα στοιχεία μήκους και τα μοναδιαία γράφονται h µ sinh µ + sin ν h ν sinh µ + sin ν h φ sinh µ sin ν ˆµ ˆν cosh µ sin ν cos φ ˆ + sin φ ŷ + sinh µ cos νẑ sinh µ + sin ν sinh µ cos ν cos φ ˆ + sin φ ŷ cosh µ sin νẑ sinh µ + sin ν ˆφ sin φ ˆ + cos φ ŷ ˆµ ˆν το στοιχειώδες μήκος είναι d r h µ dµˆµ + h ν dνˆν + h φ dφ ˆφ ενώ η Lplcin hν h φ V + hµ h φ h µ h ν h φ µ h µ µ ν h ν sinh µ + sin ν sinh µ µ sinh µ µ και η κίση V h µ µ ˆµ + h ν ν ˆν + h φ φ ˆφ + sin ν + ] hµ h ν ν φ h φ φ sin ν ] + ν ν V sinh µ sin ν φ Νεκτάριος Βαχάκης //5
ΛΥΣΕΙΣ: : α β Για σημεία πάνω στον άξονα είναι r ˆ και ˆr ˆ ±ˆ Άρα ˆr ˆr ± sin θ cos φ διότι το μοναδιαίο προς τυχαίο σημείο της κατανομής με σφαιρικές συντεταγμένες r θ φ είναι ˆr sin θ cos φ ˆ + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ Μονοποικός όρος δεν υπάρχει αφού V μον P ˆr ˆr ρ r dτ και με τις αντικατα- 4πε r στάσεις P ˆr ˆr ρ r k r r sin θ kπ5 384ε 3 Θα μπορούσαμε να βρούμε τους όρους του πουποικού αναπτύγματος του δυναμικού αφού πρώτα βρούμε το φορτίο την διποική ροπή και την τετραποική ροπή της κατανομής Το φορτίο της κατανομής είναι q ρ r dτ π π k r dr sin θ dθ dφ άρα δεν υπάρχει μονοποικός όρος V μον q 4πε r Η διποική ροπή της κατανομής είναι p r dq όγω συμμετρίας αφού η πυκνότητα σε οποιαδήποτε ζεύγη θέσεων ± r είναι ίδια αν η θέση r αντιστοιχεί σε σφαιρικές συντεταγμένες r θ φ δη r r sin θ cos φ ˆ + r sin θ sin φ ŷ + r cos θ ẑ τότε το αντίθετο διάνυσμα θέσης r αντιστοιχεί σε σφαιρικές συντεταγμένες r π θ φ + π οπότε για κάθε r η συνεισφορά r ρ r dτ στην διποική ροπή αναιρείται από τη συνεισφορά από το αντίθετο διάνυσμα θέσης Το ίδιο προκύπτει από p r ρ r dτ αν αντικαταστήσουμε r r sin θ cos φ ˆ + r sin θ sin φ ŷ + r cos θ ẑ οπότε βρίσκουμε τις συνιστώσες p π π k r r dr sin 3 θ dθ cos φ dφ p y k k π π r r dr sin 3 θ dθ sin φ dφ p π π r r dr sin θ cos θ dθ dφ και όες προκύπτουν μηδέν Ο τετραποικός όρος του δυναμικού μπορεί να γραφεί μέσω της τετραποικής ροπής της κατανομής dτ r sin θ dr dθ dφ και οοκηρώνοντας στα διαστήματα r ] θ π] φ π] βρίσκουμε 3 V μον k π π ij i r dr sin θ dθ dφ j r δ ij ρ r dτ όπου 4πε r Διποικός όρος δεν υπάρχει γιατί V διπ y 3 σαν V τετρ 3 4πε r 5 ij ij i j r P 4πε r ˆr ˆr ρ r dτ και αντικαθιστώντας ή ισοδύναμα V τετρ ˆr ˆr με τον τανυστή P ˆr ˆr ˆr ˆr ± sin θ cos φ βρίσκουμε V διπ 4πε 3 r r 3 ± k π π δεύτερης τάξης r r I ρ rdτ r r dr sin 3 θ dθ cos φ dφ 4πε 3 Αντικαθιστώντας στην έκφραση του V τετρ το πουώνυμο P ˆr ˆr 3 sin θ cos φ i Αυτό γιατί 3 ˆr r r i 3 j 3 r i j r j βρίσκουμε 3 r j 3 3 4 /6 V τετρ k {}}{ j r i j r δ i j ij ij r r το r r 3 οποίο γράφεται και σαν γινόμενο πινάκων dr 8πε 3 ] 3 π π π y r 3y 3 r π 3 sin 4 θ dθ cos φ dφ sin θ dθ dφ 3y 3y r y 3y r r r 3 3y 3 r r }{{}}{{}}{{}}{{} 3π/8 π π/ π r οπότε V τετρ 3 ˆr r r ρ r dτ 4πε r 3 3 4πε r 3 i j ij r r Για τη δεδομένη κατανομή ij είναι με στοιχεία: 3 r 3y 3 3y 3y r 3y 3 3y 3 r dq 3 sin θ cos φ ρ rr 4 sin θdrdθdφ π k 5 48 3 sin 3 θ cos φ sin φρ rr 4 drdθdφ 3 3 sin θ cos φ cos θρ rr 4 drdθdφ 3 3 sin θ sin φ cos θρ rr 4 drdθdφ 3 33 cos θ ρ rr 4 sin θdrdθdφ π k 5 ενώ τα υπόοιπα στοιχεία προκύπτουν από 4 το γεγονός ότι ο είναι συμμετρικός και με μηδενικό ίχνος 33 π k 5 48 Νεκτάριος Βαχάκης //5
δη π k 5 48 Σε σημεία του άξονα είναι i δ i r οπότε V τετρ 4πε 5 kπ5 384ε 3 Ομοια για σημεία του άξονα ερώτημα α είναι i δ i3 r οπότε V τετρ 4πε 5 33 kπ 5 9ε 3 Σε οποιοδήποτε σημείο y έξω από τη σφαίρα r r ο τετραποικός όρος είναι V τετρ 8πε r 5 πk 5 ] y 384ε r 5 y πk 5 y πk 5 3 cos θ 384ε + y + 5/ 384ε r 3 Οπως αναμενόταν μιας και η κατανομή φορτίου είναι αξισυμμετρική το αποτέεσμα είναι ανάογο της αξισυμμετρικής ύσης της εξίσωσης Lplce r P lcos θ με l l+ : Εστω q q q 3 +q q 4 q 5 q και οι θέσεις r r ˆ + ŷ r 3 ˆ ŷ r 4 ˆ+ŷ r 5 ˆ ŷ με r 3 r r 5 r 4 α Το συνοικό φορτίο δεν είναι μηδέν επομένως σε μεγάες αποστάσεις κυριαρχεί ο μονοποικός όρος V V μον 5 q i q 4πε r i 4πε r 5 β Η διποική ροπή είναι p q i r i επομένως i ο διποικός όρος V διπ p ˆr μηδενίζεται 4πε r 5 Αιώς: V διπ 4πε r 5 4πε r ˆr q i r i i i q i r i P ˆr ˆr i }{{} } ˆr ˆr i {{ } ˆr r i Ο τετραποικός όρος V τετρ 4πε r 3 με ri P ˆr ˆr i ri 3 ˆr ˆr i ˆr sin θ cos φ ˆ + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ r r r 3 r 4 r 5 ˆr r ˆr r sin θ cos φ + sin θ sin φ ˆr r 3 ˆr r ˆr r 4 sin θ cos φ+ sin θ sin φ ˆr r 5 ˆr r 4 γράφεται V τετρ q 4πε r 3 sin θ sin φ cos φ q 4πε r r sin θ sin φ cos φ οπότε η προσεγγιστική έκφραση του δυναμικού είναι το άθροισμα του μονοποικού και του τετραποικού όρου δη V q 4πε r r sin θ sin φ cos φ Το ίδιο μπορεί να βρεθεί κατευθείαν από το ανάπτυγμα Tylor της έκφρασης του δυναμικού V 5 q i 5 q i i 4πε r r i i 4πε r r r i + ri 5 q i 4πε r i ˆr r ως προς i r + r r i r 3 : Απαιτώντας το δυναμικό να μην απειρίζεται στα r και r να μηδενίζεται για r και να είναι συνεχές στην ακτίνα r έχουμε b l V l+ rl P l cos θ αν r b l r P lcos θ αν r l+ Η άη οριακή συνθήκη στην ακτίνα r σχετίζεται με την ασυνέχεια της E r συνιστώσας του πεδίου lb l l+ rl P l cos θ αν r < l + b l P r l+ l cos θ αν r > Η ασυνέχεια της E r δίνει την ακόουθη έκφραση της E r r επιφανειακής πυκνότητας φορτίου του φοιού l + b l σθ ε P l+ l cos θ lb l α Πρέπει l+ rl P l για κάθε r < l + b l και P r l+ l για κάθε r > οπότε πρέπει να είναι b l P l για κάθε l Για l είναι αφού P Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ο μονοποικός όρος στο πουποικό που αντιστοιχεί 4πε r ανάπτυγμα του δυναμικού 5 q i ri ] P ˆr ˆr i bl i στον όρο 3 ˆr r i ri r P lcos θ της ύσης για r > l+ με b και άρα το συνοικό φορτίο της κατα- 4πε νομής του φοιού είναι μηδέν Αιώς: Το συνοικό φορτίο του φοιού είναι π π σd σθ sin θdθ dφ Γενικότερα η σχέση b l P l συνεπάγεται ότι όα τα b l με άρτια l πρέπει να μηδενίζονται Αυτό γιατί η τιμή των πουωνύμων Legendre P l είναι μηδέν για περιττό l τα P l είναι περιττά αν l περιττό και μη μηδενική για άρτιο l Νεκτάριος Βαχάκης //5
πε l + b l l π P l cos θ sin θdθ }{{} P lp d Από τη σχέση ορθογωνιότητας των πουωνύμων Legendre το τεευταίο οοκήρωμα είναι μη μηδενικό μόνο για l οπότε το συνοικό φορτίο προκύπτει 4πε b l + b l 5 β P r l+ l E r b l 5 E δ l3 4 ανάπτυγμα του δυναμικού p cos θ ] 4πε r bl Ο διποικός όρος στο πουποικό αντιστοιχεί στον όρο r P lcos θ της ύσης για r > με l+ l b p Αφού b η διποική ροπή του φοιού 4πε είναι μηδέν Αιώς: Η διποική ροπή του φοιού είναι p rσd Αντικαθιστώντας r sin θ cos φˆ+ sin θ sin φŷ+ cos θ βρίσκουμε p p ˆ 3 π σθ sin θdθ π cos φdφ p y p ŷ 3 π σθ sin θdθ π sin φdφ p p ẑ 3 π σθ sin θ cos θdθ π dφ l + b π l πε P l l cos θ sin θ cos θdθ }{{} P lp d Από τη σχέση ορθογωνιότητας των πουωνύμων Legendre το τεευταίο οοκήρωμα είναι μη μηδενικό μόνο για l οπότε η διποική ροπή προκύπτει p 4πε b ẑ lb l γ l+ rl P l cos θ 3 r 4 E b l 5 E δ l3 Άρα σ 7 4 4 ε E P 3 cos θ 7 8 ε E 5 cos 3 θ 3 cos θ 4 : α Η εξίσωση Lplce σε κυινδρικές συντεταγμένες και για κυινδρικά συμμετρικό δυναμικό V V ϖ φ γράφεται ϖ + V ϖ ϖ ϖ ϖ φ Με χωρισμό μεταβητών V Πϖ Φφ καταήγουμε στην ϖ d ϖ dπ + d Φ Η εξίσωση ως προς Φ είναι Π dϖ dϖ Φ dφ }{{}}{{} C C d Φ Φ dφ C d Φ dφ + CΦ Για C έχει ύσεις και φ για C < έχει ύσεις e Cφ και e Cφ και για C > έχει ύσεις sin Cφ και cos Cφ Η απαίτηση να μηδενίζεται η ύση για φ αά και για φ μας οδηγεί να επιέξουμε τη σταθερά C θετική και σαν ύση μόνο το ημίτονο Η ύση αυτή sin Cφ μηδενίζεται ταυτοτικά στο φ Απαιτούμε να μηδενίζεται και στη γωνία φ δη sin C C nπ με n N οπότε nπ nπφ C και η ύση είναι η sin Θα μπορούσαμε αμέσως να γράψουμε τη ύση σαν επαηία των sin nπφ αφού από τη θεωρία Fourier ξέρουμε ότι κάθε συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα φ μπορεί να επεκταθεί σαν περιττή στο φ και στη συνέχεια περιοδική με περίοδο οπότε αναπτύσσεται στα παραπάνω ημίτονα Για κάθε C η ύση της ϖ d ϖ dπ nπ Π dϖ dϖ είναι επαηία των δυνάμεων ϖ ±nπ/ Αυτό μπορεί να δειχθεί είτε δοκιμάζοντας ύσεις της μορφής ϖ ξ οπότε καταήγουμε στο ότι η σταθερά ξ ικανοποιεί το πουώνυμο ξ n π / ξ ±nπ/ είτε αφού κάνουμε πρώτα το μετασχηματισμό ln ϖ οπότε ϖ d dϖ ϖ d d dϖ d d και η διαφορική αποποιείται σε d Π nπ d d Π η οποία είναι γραμμική ομογενής και έχει ύσεις e ξ με ξ n π / Αφού e ξ ϖ ξ και οι δύο μέθοδοι δίνουν ύση Π A n ϖ nπ/ + B n ϖ nπ/ και για το δυναμικό V An ϖ nπ/ + B n ϖ nπ/ sin nπφ n Αιώς: Μπορούμε να θέσουμε ln ϖ και ϖ d dϖ στην εξίσωση Lplce ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ + V οπότε αυτή αποκτά ϖ φ μορφή V + V ίδια με την αντίστοιχη φ εξίσωση σε Καρτεσιανές και ύνεται με χωρισμό μεταβητών κατά τα γνωστά Οι συντεεστές A n και B n θα βρεθούν από τις υπόοιπες οριακές συνθήκες για το δυναμικό Για να μην απειρίζεται το δυναμικό στον άξονα ϖ πρέπει B n Η συνθήκη V ϖ V δίνει A n nπ/ sin nπφ n V η οποία με τέχνασμα Fourier δίνει A n nπ/ sin nπφ mπφ sin n dφ V sin mπφ }{{} dφ }{{} δnm mπ m ] A m mπ/ V mπ m ] οπότε μόνο οι συντεεστές με περιττό m επιζούν και έχουν τιμή A m 4V mπ mπ/ Νεκτάριος Βαχάκης //5 Αντικαθιστώντας στη γενική
n }{{} ύση βρίσκουμε τη ζητούμενη μορφή V 4V ϖ mπ/ mπφ sin π m35 m β Γράφοντας sin mπφ Im e imπφ/ και τους περιττούς φυσικούς αριθμούς m n + έχουμε V 4V π Im ϖ n+π/ e in+πφ/] n n + 4V π Im n+ ϖ π/ όπου e iπφ/ n n + n+ Το άθροισμα n d n n + n n d διότι προέκυψε άθορισμα όρων γεωμετρικής προόδου με όγο μέτρου < για ϖ < Άρα V 4V π Im d V π Im d + d V + π Im ln + + Γράφοντας τον μιγαδικό re iϑ το αποτέεσμα είναι V V Im ln r + iϑ π V π ϑ Αρκεί οιπόν να βρούμε τη φάση του ϖ π/ + Είναι + + e iπφ/ ϖ π/ e iπφ/ ϖ π/ + e iπφ/] ϖ π/ e iπφ/] ϖ π/ e iπφ/] ϖ π/ e iπφ/] ϖ π/ ϖ π/ πφ + i sin ϖ π/ ϖ π/ επομένως ϑ πφ + cos ϖ π/ πφ sin rctn ϖ π/ και η κειστή μορφή του ϖ π/ πφ δυναμικού είναι V V sin π rctn ϖ π/ 5 : Με ϖ d dϖ dϖ ϖ ϖ ϖ d dϖ d be be V βρίσκουμε την ζητούμενη V + V που είναι η φ εξίσωση Lplce στις «καρτεσιανές» συντεταγμένες και φ Ο ημικύινδρος μετασχηματίζεται στο χώρο < < + < φ < π < < + με δυναμικά στα όρια όπως στο δεύτερο σχήμα Ο χωρισμός μεταβητών οδηγεί σε ύση της μορ- φής V C n e n sinnφ η οποία ικανοποιεί τις n σωστές οριακές συνθήκες στις πευρές φ φ π και + Οι σταθερές C n προκύπτουν από την οριακή V V C n sinnφ V Με n τέχνασμα Fourier βρίσκουμε C n V πn n ] 4V ;ρα η ύση είναι V n35 πn e n lnb/ϖ sinnφ 4V ϖ n ή V sinnφ n35 πn b Το πρόβημα θα μπορούσε να υθεί όπως την άσκηση 4 είναι υποπερίπτωσή της για π Η ύση μπορεί να γραφεί σε κειστή μορφή V V bϖ sin φ rctn για r < b φ π π b ϖ Ενας άος τρόπος ύσης βασίζεται στο θεώρημα μοναδικότητας Εστω πρόβημα Ι είναι αυτό της παρούσας άσκησης και πρόβημα ΙΙ η εύρεση του δυναμικού στο εσωτερικό δύο ημικυίνδρων < φ < π και π < φ < π φορτισμένων σε δυναμικά ±V αντίστοιχα που φτιάχνουν ένα κενό κυινδρικό φοιό όπως στο θέμα της εξέτασης 8// Λόγω συμμετρίας το δυναμικό στο πρόβημα ΙΙ μηδενίζεται στο επίπεδο που χωρίζει τους ημικυίνδρους φ π Επομένως στα όρια του χώρου r < b φ π τα προβήματα Ι και ΙΙ έχουν ίδια δυναμικά και το θεώρημα μοναδικότητας μας εξασφαίζει ότι και στο εσωτερικό του χώρου αυτού η ύση θα είναι κοινή Το πρόβημα ΙΙ μπορεί να υθεί χρησιμοποιώντας την γενική ύση της εξίσωσης Lplce σε κυινδρικές συντεταγμένες Κρατώντας τους όρους που είναι περιττοί και πεπερασμένοι στον άξονα ϖ γράφουμε V n ϖ n sinnφ n Η οριακή V ϖb n b n sinnφ { n +V < φ < π με τέχνασμα Fourier δίνει V π < φ < π τους συντεεστές n V n ] οπότε πnb n 4V ϖ n V sinnφ πn b n35 Νεκτάριος Βαχάκης //5
6 : α Αντικαθιστώντας την δοσμένη V V θ στην d dv V sin θ βέπουμε ότι δίνει μηδέν είναι sin θ dv dθ A sin θ d cot θ/ r sin θ dθ dθ cot θ/ dθ sin θ A sinθ/ cosθ/ A Ισχύει και το αντίστροφο δη αν θέουμε d dv V με V V θ τότε sin θ r sin θ dθ dθ sin θ dv dθ A V A dθ sin θ A ln cot θ/] + B β Ψάχνουμε ύση της μορφής V θ A ln cot θ/] + B που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες V θπ/ και V θθ V Θέουμε ύση της Lplce στο χώρο θ θ π/ με σταθερά δυναμικά στα όρια θ θ και θ π/ οπότε είναι ογικό να περιμένουμε η ύση να είναι συνάρτηση μόνο του θ Η πρώτη οριακή δίνει A ln cot π/4] + B B ενώ η δεύτερη δίνει A ln cot θ /] V ln cot θ/] Άρα η ύση είναι V V ln cot θ /] 7 : α Εστω b > c οπότε ο αγωγός έχει σχήμα γεωειδούς εειψοειδούς Θέτοντας b c b cosh µ c sinh µ η εξίσωση του εειψοειδούς γράφεται + y cosh + µ sinh µ δη µ µ σε γεωειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες Στις συντεταγμένες αυτές η ύση της Lplcin η οποία πρέπει να ικανοποιεί οριακές συνθήκες V µ σταθερό το δυναμικό του αγωγού και V µ θεωρώντας το δυναμικό στο άπειρο μηδέν γενικότερα μπορεί να είναι μια σταθερά είναι της μορφής V V µ Από το τυποόγιο προκύπτει ότι V µ dv dµ C cosh µ όπου C σταθερά οοκήρωσης Το ηεκτρικό πεδίο είναι E V C ˆµ Πού μακρυά από τον h µ cosh µ αγωγό είναι ˆµ ˆr r cosh µ eµ h µ r οπότε μια άη έκφραση του πεδίου είναι E ˆµ 4πε 3 cosh + y µ sinh µ 4 cosh 4 µ + 4 sinh 4 µ Μια τρίτη έκφραση του πεδίου προκύπτει χρησιμοποιώντας τις ακόουθες εκφράσεις που προκύπτουν από αυτές του τυποόγιου ϖ + + + ϖ + cosh µ ϖ + + ϖ + cos ν h µ ϖ + ] /4 ϖ + + ] /4 όπου βέβαια ϖ + y Η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στον αγωγό είναι µµ + 4π cosh µ sinh µ + sin ν Θέτοντας cosh µ b/ sinh µ c/ b c και sin ν /c βρίσκουμε σ σ ε E ˆµ Μια ισοδύναμη έκφραση όπως άμεσα μπορεί να επαηθευτεί αφού 4πbc + b c /c4 + y + είναι η σ b c + y 4πb c + Αν b < c οπότε ο αγωγός έχει σχήμα ωοειδούς εειψοειδούς θέτουμε c b c cosh µ b sinh µ και χρησιμοποιούμε ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες Ακοουθώντας τα ίδια βήματα με πριν καταήγουμε στην έκφραση του πεδίου E 4πε h µ sinh µ ˆµ ˆµ 4πε sinh µ sinh µ + sin ν Οπως και πριν μπορούμε να δείξουμε ότι h µ + y sinh µ cosh µ 4 sinh 4 µ + 4 cosh 4 οπότε μια µ έκφραση του πεδίου είναι E ˆµ 4πε 3 cosh µ sinh + y µ οπότε E C 4 sinh 4 µ + 4 cosh 4 µ r ˆr Για να ισούται αυτό το πεδίο με Η επιφανειακή πυκνότητα του αγωγού προκύπτει σ το πεδίο φορτίου όπως «φαίνεται» ο αγωγός από μεγάες αποστάσεις πρέπει C 4πh µ sinh µ µµ 4πb + c b + y /b 4 4πε ή σ Σε κάθε σημείο έξω από τον αγωγό είναι E + y 4πε h µ cosh µ ˆµ 4πb c + ˆµ b 4 c 4 4πε cosh µ sinh µ + sin ν Μια δεύτερη ύση του προβήματος στην περίπτωση Μετά από πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι b < c βασίζεται στο ότι μια γραμμική κατανομή φορτίου σταθερής πυκνότητας και πεπερασμένου μή- h µ + y sinh µ cosh µ 4 cosh 4 µ + 4 sinh 4 µ κους δημιουργεί πεδίο του οποίου οι ισοδυναμικές Νεκτάριος Βαχάκης //5 b 4 c 4
επιφάνειες είναι ωοειδή εειψοειδή οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των ειδώων Για το πεδίο της γραμμικής κατανομής φορτίου την οποία τοποθετούμε στον άξονα στο τμήμα < < είναι V ϖ dq r 4πε }{{} r }{{} 4πε ϖ ˆϖ+ẑ ẑ Θέτοντας ϖ tn θ με π/ < θ < π/ υποογίζουμε το οοκήρωμα d ϖ + d ϖ + dθ d sin θ + sin θ cos θ sin ln θ sin θ ln + sin θ ln + tn θ + tn θ cos θ ln + + ϖ ϖ Επομένως το δυναμικό σε σημείο ϖ φ προκύπτει V ϖ ϖ + + ln 4πε ϖ + + Με l ϖ + + και l ϖ + τις αποστάσεις του σημείου ϖ φ από τα άκρα της γραμμικής κατανομής φορτίου το δυναμικό γράφεται V ϖ ln l + 4πε l Είναι l l l + l l + και 4 l l + l + l l + l l l + l 4 l + l l l l l l + l 4 l + l + l l 4 l + l l l 4 l + l + l + l Άρα το δυναμικό γράφεται V ϖ ln l + l + και οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πράγματι εειψοειδή l + l στα- 4πε l + l θερό coth πε V ή ισοδύναμα αφού αντικαταστήσουμε τα l ϖ + ± και ϖ μετά από κάποιες πράξεις sinh πε V + tnh πε V Αν θεωρήσουμε τώρα τον αγωγό με εειψοειδές σχήμα ϖ b + c αν αυτός αποτεεί μια ισοδυναμική επιφάνεια V V του προηγούμενου προβήματος το δυναμικό έξω από τον αγωγό είναι ίδιο στα δυο προβήματα σύμφωνα με το θεώρημα μοναδικότητας ϖ sinh πε V + ϖ b + c Αρκεί οιπόν οι επιφάνειες tnh πε V και να ταυτίζονται κάτι που συμβαίνει αν sinh πε b και V tnh πε c Πρέπει επίσης το φορτίο που περικείει η επιφάνεια του V εειψοειδούς να είναι ίδιο στις δύο κατανομές από νόμο Guss δη Οι τρεις τεευταίες σχέσεις δίνουν τα στοιχεία του φορτισμένου τμήματος ειδώου που τοποθετούμε στο εσωτερικό του αγωγού c b και το δυναμικό του αγωγού V 8πε ln c + c Η ύση οιπόν στο εξωτερικό του αγωγού είναι V 8πε ln ϖ + + ϖ + + + ˆϖ ϖẑ ˆϖ ϖẑ E 8πε ϖ + + ϖ + ϖ όπου c b στο εσωτερικό του αγωγού είναι V 8πε ln c + c και E Το αποτέεσμα αυτό είναι ίδιο με αυτό που προέκυψε χρησιμοποιώντας ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες δη το E ˆµ κάτι που φαίνεται 4πε h µ sinh µ χρησιμοποιώντας τις ακόουθες σχέσεις που προκύπτουν από το τυποόγιο + + ϖ + + ϖ cosh µ + + ϖ + ϖ cos ν h µ + ϖ ] /4 + + ϖ ] /4 cos ν h µ + ϖ + + ϖ ϖ sin ν h µ tnh µ + + + ϖ + ϖ β Είναι b και c b δη υποπερίπτωση του γεωειδούς εειψοειδούς για το οποίο βρήκαμε ότι η επιφανειακή πυκνότητα είναι σ Είναι c 4πbc + b c /c4 αά ο όγος /c είναι πεπερασμένος και προκύπτει από την εξίσωση του εειψοειδούς ϖ b + c c ϖ Επομένως η συνοική και από τις δύο πευρές επιφανειακή πυκνότητα του δίσκου είναι Νεκτάριος Βαχάκης //5
σϖ 4πb }{{} c + b c /c }{{}}{{} σϖ π ϖ ϖ γ Είναι b < c και c το μήκος του ραβδόμορφου αγωγού Ο αγωγός είναι ωοειδές εειψοειδές με επιφάνεια b sin ν cos φ y b sin ν sin φ c cos ν Το στοιχείο επιφάνειας πάνω στο εειψοειδές το οποίο έχει σταθερό µ είναι d h ν dνh φ dφ ή οοκηρώνοντας ως προς την γωνία φ αφού πρόκειται για αξισυμμετρική επιφάνεια η οοκήρωση π δίνει απά π d πh ν dνh φ Επομένως το φορτίο σε ένα τμήμα της επιφάνειας από c cos ν ως +d με d c sin ν dν > είναι dq σπh ν h φ dν Το φορτίο ανά μήκος είναι dq d σπh dν νh φ d και αφού d c sin ν dν και σ 4πh µ sinh µ προκύπτει σταθερή γραμμική πυκνότητα c 3 Αιώς: dq d σd και η στοιχειώδης επιφάνεια μπορεί να γραφτεί d πϖ ds όπου d ds dϖ + d d dϖ + d Η κίση της επιφάνειας μπορεί να βρεθεί από την εξίσωσή της ϖ b + c ϖ dϖ + d b c dϖ d b c ϖ ενώ σ Αντικαθι- ϖ 4πb c + στώντας βρίσκουμε πϖσ b 4 c 4 dϖ dφ + c d Παρατηρήστε ότι στη δεύτερη απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε κάπου ότι b < c Πράγματι το αποτέεσμα ισχύει και για αγωγό με σχήμα γεωειδές εειψοειδές με b > c κάτι που μπορεί εύκοα να αποδειχθεί και με τον πρώτο τρόπο χρησιμοποιώντας όμως γεωειδείς και όχι ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες 8 : α Η δύναμη που ασκεί το φορτίο στο δίποο είναι Fd p Eq όπου E q q r d r q 4πε r d r q 3 q το πεδίο που δημιουργεί το φορτίο στη θέση 4πε 3 του διπόου Παρότι το διάνυσμα από το φορτίο στο δίποο ισούται με r δεν είναι βοικό να κάνουμε την αντικατάσταση πριν την παραγώγιση γιατί ο διαφορικός τεεστής p δρα στο και όχι στο r Στο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το φορτίο έχουμε οιπόν F d q p με 4πε 3 p p 3 p 3 3 }{{} 4 }{{} p / 3 p 3 p Αντικαθιστώντας τώρα r 5 προκύπτει πράγματι Fd qe d όπως αναμενόταν από τον τρίτο νόμο Newton Οι παραγωγίσεις μπορούν να γίνουν και σε συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς αποφεύγοντας διανυσματική ανάυση Θεωρώντας σύστημα qxy Z με κέντρο το φορτίο και φορά του άξονα Z ίδια με τη φορά της διποικής ροπής του διπόου p pẑ είναι E q q X ˆX + Y Ŷ + Z Ẑ 4πε X + Y + Z και Fd p E 3/ Z q qp Ẑ 4πε X + Y + Z 3Z X ˆX + Y Ŷ + Z Ẑ ] 3/ X + Y + Z 5/ q r qe 4πε 5 d Ενας άος τρόπος να βρεθεί η δύναμη είναι μέσω της δυναμικής ενέργειας αηεπίδρασης μεταξύ διπόου και φορτίου Αυτή είναι U p E q q p r d r q Η U προκύπτει και από τη 4πε r d r q 3 σχέση U qv d με το δυναμικό του διπόου στη p ˆr θέση του φορτίου V d 4πε r p r q r d 4πε r q r d 3 p 3 3 p Είναι Fq q U q p r q r d q όπου ο 4πε r q r d 3 δείκτης q δείχνει ότι ο τεεστής δρα στο r q Ομοια F d d U q p r d r q d 4πε r d r q 3 Οι παραγωγίσεις δίνουν q p r q r d r q r d 3 3 p r q r d q r r q r d 4 q r d q p r q r q r d 3 r q r d 3 p r q r d r q r d 4 r q r d p r q r d 3 και όμοια αντι- 3 Ισοδύναμος τρόπος: Το φορτίο στο μήκος του αγωγού από σε ή στις ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγμένες από π/ π ν π/ σε ν είναι q σ d dν ν 4πh µ sinh µ h νh φ dφ π/ dν sin ν ν cos ν Άρα το c φορτίο ανά μήκος είναι dq d c Νεκτάριος Βαχάκης //5
μεταθέτοντας τα q και d p r d r q d r d r q 3 3 p r d r q r d r q r d r q 4 r d r q p r d r q 3 Άρα προκύπτει F q qe d και F d F q Το γεγονός ότι οι δυνάμεις είναι αντίθετες μπορεί να ειδωθεί σαν συνέπεια του ότι U U r d r q οπότε q U d U Η ροπή που ασκεί το φορτίο στο δίποο ως προς το κέντρο του διπόου είναι Nd p E q Αφού E q q r είναι Nd q r p Αυτή είναι αντίθετη της N q r F d αφού η τεευταία 4πε r 3 4πε r 3 είναι Nq r qe d q r 3 p r r r p 4πε r 5 q r p Οπως αναμενόταν οιπόν από τον 4πε r 3 τρίτο νόμο Newton οι ροπές ως προς το ίδιο σημείο είναι αντίθετες β Πρέπει Fq ẑ και Fq ˆϖ < Αφού F q q 3 p r r r p 4πε r 5 ppẑ qp 3 r r ẑ 4πε r 5 η πρώτη συνθήκη δίνει 3 r cos θ ± 3 όπου θ η σφαιρική συντεταγμένη Δη Fq ẑ στους δύο κώνους θ rccos 3 54 44 8 και θ π rccos 3 5 5 5 Σε κυινδρικές r ϖ + και άρα F q ẑ ϖ ± ϖ οι εξισώσεις των δύο κώνων Στους δύο αυτούς κώνους είναι F 3 r ˆϖ d ˆϖ qp 4πε r 5 3 cos θ sin θ qp Το πρόσημο καθορίζεται από το πρόσημο του φορτίου q και από τη γωνία θ Αν το 4πε r 3 φορτίο είναι θετικό είναι Fq ˆϖ < στον κώνο θ 5 5 5 ενώ αν το φορτίο είναι αρνητικό είναι F q ˆϖ < στον κώνο θ 54 44 8 Το σχήμα δείχνει τις δυναμικές γραμμές του διποικού πεδίου και τους κώνους όπου το πεδίο είναι κάθετο στον άξονα δη παράηο στο ˆϖ Στον πάνω κώνο το E d είναι ομόρροπο στο ˆϖ οπότε η δύναμη είναι αντίρροπη του ˆϖ αν q < ενώ στον κάτω κώνο το E d είναι αντίρροπο στο ˆϖ οπότε η δύναμη είναι αντίρροπη του ˆϖ αν q > Οι συνθήκες F q ẑ και Fq ˆϖ < σημαίνουν ότι η δύναμη από το δίποο μπορεί να παίξει το ρόο κεντρομόου δύναμης αν δώσουμε στο φορτίο κατάηη αρχική ταχύτητα οπότε αυτό θα εκτεεί ομαή κυκική κίνηση με κέντρο σημείο του άξονα Συγκεκριμένα η διεύθυνση της ταχύτητας πρέπει να είναι η ˆφ και από την απαίτηση mv ϖ F cos θ sin θ q ˆϖ qp3 4πε r 3 όπου m η μάζα του φορτίου με r ϖ/ sin θ cos θ / 3 και sin θ /3 προκύπτει ότι η στροφορμή του φορτίου πρέπει να είναι mϖv m q p 3 3 πε 9 : α F F ˆ p E ] ˆ ] yb E yb p Η παραγώγιση γίνεται ως προς οπότε μπορούμε να θέσουμε τις τεικές τιμές των y και πριν την κάνουμε Στη θέση r ˆ + bŷ που βρίσκεται το p το p δημιουργεί πεδίο 3 p r r r E ] p yb 4πε r 5 p 3bˆ + b ŷ 4πε ] p p 4πε d d yb Άρα F + b 5/ 3b 3bp p b 4 + b 5/ 4πε + b 7/ β U p E 3 p r p r r p p 4πε r 5 p p 3b 4πε + b Παρατηρούμε ότι F 5/ du d όπως περιμέναμε F U ϖ -b/ b/ Νεκτάριος Βαχάκης //5
γ Σημεία ισορροπίας το ±b/ στο οποίο F Ισοδύναμα σημεία ισορροπίας είναι τα ακρότατα της δυναμικής ενέργειας αφού F du d Για b/ + είναι F < και για b/ είναι F > δη η F προσπαθεί και στις δύο περιπτώσεις να επαναφέρει το δίποο στη θέση ισορροπίας δύναμη επαναφοράς Επομένως το b/ είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας Το ότι η F είναι δύναμη επαναφοράς δη df < είναι ισοδύναμο με το ότι η δυναμική ενέργεια είναι εάχιστη αφού df d b/ d U d d du και άρα στο σημείο b/ είναι και d b/ d U d > b/ Για b/ + είναι F > και για b/ είναι F < δη η F προσπαθεί και στις δύο περιπτώσεις να απομακρύνει το δίποο από τη θέση ισορροπίας δύναμη απωστική Επομένως το b/ είναι ασταθές σημείο ισορροπίας Το ότι η F είναι απωστική δύναμη δη df > είναι ισοδύναμο με το ότι η δυνα- d b/ μική ενέργεια είναι μέγιστη αφού df d U d d και du άρα στο σημείο b/ είναι και d b/ d U d < b/ : Η δύναμη που ασκεί το p p ẑ στο p p ẑ είναι F p ] E ] y d p E y όπου E y d 3 p r r r ] p p ẑ άρα προκύπτει 4πε r 5 4πε 3 rẑ εκτική δύναμη F 3p p πε d ẑ 4 Το p ασκεί στο p αντίθετη δύναμη F F Μπορούμε να βρούμε τη δύναμη και μέσω της δυναμικής ενέργειας αηεπίδρασης δη σαν F U όπου U p E Λόγω συμμετρίας η δύναμη έχει μόνο ẑ συνιστώσα οπότε αρκεί να βρούμε την U U σε θέσεις r ẑ του p γύρω από την d Είναι E y p 4πε ẑ U p ẑ E 3 p p 4πε και F 3 du ẑ 3p p d d πε d ẑ 4 Νεκτάριος Βαχάκης //5