Μέτρα martingale. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

Κεφάλαιο 4 Μέτρα martingale 4.1 Εισαγωγή Είδαε στο Κεφάλαιο 2 ότι σε αγορές ιας περιόδου, αν ένα παράγωγο πορεί να αναπαραχθεί, τότε πορούε να το τιολογήσουε σύφωνα ε την αρχή της η επιτηδειότητας και ότι η σηερινή του αξία είναι η προεξοφληένη αναενόενη τιή της απόδοσής του στην ωρίανση ως προς ένα αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας. Αφού ορίσουε τις έννοιες της δεσευένης έσης τιής και του martingale, θα δούε τα έτρα martingale για υποδείγατα αγοράς πολλών περιόδων. Θα γενικεύσουε συπεράσατα του εύτερου Κεφαλαίου στο διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων και θα αποδείξουε έναν κλειστό τύπο για τη σηερινή αξία ενός παραγώγου. Παρόοιο υλικό πορείτε να βρείτε στις [8] και [7]. 4.2 εσευένη έση τιή Στην παράγραφο αυτή θα ορίσουε τη δεσευένη έση τιή ως προς ια διακριτή τυχαία εταβλητή. Ας υποθέσουε λοιπόν ότι οι X, Y είναι τυχαίες εταβλητές, ορισένες στον ίδιο χώρο πιθανότητας, που παίρνουν τιές στα πεπερασένα σύνολα X, Yαντίστοιχα. Ας συβολίζουε ε p XY την από κοινού σ..π. των X και Y, δηλαδή p XY (x, y) P X x, Y y, x X, y Y. Οι περιθώριες σ..π. των X, Y πορούν εύκολα να υπολογιστούν από την από κοινού σ..π. ως εξής: p X (x) P X x P X x, Y y, x X y Y και p Y (y) P Y y x X P X x, Y y, y X. Υποθέτουε χωρίς βλάβη ότι p Y (y) > 0 για κάθε y Y, αφού, αν p Y (y 0 )0, πορούε να αφαιρέσουε το y 0 από το Y. Ηδεσευένηπιθανότητατουενδεχοένου{X x} δεδοένου του ενδεχοένου {Y y} είναι P X x Y y P X x, Y y P Y y. Ηδεσευένηπιθανότητατουενδεχοένου{X x} ως προς την τυχαία εταβλητή Y είναι ια τυχαία εταβλητή, ηοποίαείναισυνάρτησητηςy και η τιή της, όταν Y y, είναι P X x Y y. Εχει σηασία να έχουε κατά νου ότι η δεσευένη πιθανότητα ως προς ια τυχαία εταβλητή είναι εν γένει ια τυχαία εταβλητή και όχι ένας αριθός. ΗτιήτηςαλλάζειανάεσαστασηείατουδειγατικούχώρουΩ. Αν όως θεωρήσουε τη διαέριση του Ω, Ω {ω Ω : Y (ω) y} y}, y Y y Y{Y 41

τότε σε καθένα από τα ενδεχόενα {Y y}, ητιήτηςp X x Y παραένει σταθερή και ίση προς P X x Y y. Εχουε λοιπόν ότι P X x Y p(x Y ), όπου p(x y) P X x Y y P X x, Y y P,y Y. Y y Παρατηρήστε ότι για κάθε y Y, η p( y) είναι ια σ..π. στο X. Εποένως, πορούε να φανταζόαστε την P X Y, ως ια τυχαία σ..π. Ορισός 4 Εστω X ια πραγατική τυχαία εταβλητή ε τιές σ έναν πεπερασένο χώρο καταστάσεων X. Ορίζουε τη δεσευένη έση τιή (conditional expectation) της X ως προς τη διακριτή τυχαία εταβλητή Y, ως την αναενόενη τιή της X που υπολογίζεται ε βάση την τυχαία σ..π. P X Y, δηλαδή E X Y x X x P X x Y. (4.1) Παρατηρήστε ότι η E X Y, ως γραικός συνδυασός των P X x Y, είναι κι αυτή ια πραγατική τυχαία εταβλητή, ηοποίαείναισυνάρτησητηςy. Αυτή η συνάρτηση, g(y )E X Y, έχει τη σταθερή τιή g(y) x X x P X x Y y σε καθένα από τα ενδεχόενα {Y y}. Παράδειγα 11 Ρίχνετε ένα ζάρι και στη συνέχεια στρίβετε τόσα κέρατα όσα η ένδειξη του ζαριού Y {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Αν X {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} είναι το πλήθος των κεφαλών που θα φέρετε, τότε, δεδοένου ότι Y y, ηδεσευένηκατανοήτηςx είναι διωνυική bin(y, 1 2 ), δηλαδή P X x Y y y 1 x 2 y. ΗδεσευένηέσητιήτηςX ως προς την Y είναι ια τυχαία εταβλητή που στο ενδεχόενο {Y y} έχει την τιή y y 1 x x 2 y y 2. Εποένως, E X Y Y 2. x0 Παράδειγα 12 Στο Παράδειγα 9, θέλουε να υπολογίσουε την E P [S t3 S t1 ]. Παρατηρήστε ότι ο χώρος πιθανότητας, οοποίοςαποτελείταιαπότιςπιθανέςτροχιέςτηςετοχής, διαερίζεται ανάλογα ε την τιή της S t1 σε δύο ενδεχόενα, τα {S t1 36} και {S t1 72}. Το καθένα από αυτά περιλαβάνει τέσσερις τροχιές. Η E P [S t3 S t1 ] έχει εποένως δύο δυνατές τιές, ια για τις τέσσερις τροχιές στο ενδεχόενο {S t1 36} και ια για τις τέσσερις τροχιές στο ενδεχόενο {S t1 72}. Συγκεκριένα, E P p 2 128 + 2p(1 p)64 + (1 p) 2 32, όταν S t1 72 [S t3 S t1 ] p 2 64 + 2p(1 p)32 + (1 p) 2 16, όταν S t1 36. Εστω τώρα ότι θέλουε να υπολογίσουε την E P [S t2 S t3 ]. Οχώροςπιθανότηταςδιαερίζεταιτώρασε τέσσερα ενδεχόενα, ανάλογα ε την τιή της S t3. Σε καθένα από αυτά η E P [S t2 S t3 ] είναι σταθερή. εν είναι δύσκολο τώρα να δείτε ότι 96, όταν S t3 128 E P 64, όταν S t3 64 [S t2 S t3 ] 40, όταν S t3 32 24, όταν S t3 16. 42

Θεώρηα 7 Εστω ότι οι X, Y είναι πραγατικές τυχαίες εταβλητές, ορισένες σ έναν δειγατικό χώρο Ω, ε τιές στα πεπερασένα σύνολα X και Y, αντίστοιχα. Η g(y )E X Y της σχέσης (4.1) είναι η οναδική συνάρτηση της Y για την οποία E Xh(Y ) E g(y )h(y ), για κάθε συνάρτηση h : Y R. (4.2) Απόδειξη: Θα δείξουε πρώτα ότι η g(y )E X Y της (4.1) έχει την ιδιότητα (4.2). Πράγατι, από τον ορισό της δεσευένης πιθανότητας έχουε E Xh(Y ) xh(y) P X x, Y y x X y Y xh(y) P X x Y y P Y y x X y Y h(y) x P X x Y y P Y y y Y x X y Y h(y)g(y) P Y y E g(y )h(y ). Θα δείξουε τώρα ότι η g είναι η οναδική συνάρτηση της Y που έχει την ιδιότητα (4.2). Εστω φ(y ) ια συνάρτηση της Y για την οποία E Xh(Y ) E φ(y )h(y ), για οποιαδήποτε συνάρτηση h : Y R. Επιλέγοντας 1, αν Y y h y (Y ) 0, διαφορετικά, παίρνουε xp X x, Y y φ(y)p Y y. x X Εποένως, για κάθε y Y έχουε φ(y) x X x P X x, Y y P Y y g(y). Το παραπάνω θεώρηα ας δίνει έναν εναλλακτικό ορισό της δεσευένης έσης τιής που έχει δύο πλεονεκτήατα. Αφενός, δεν κάνει αναφορά στο είδος των τυχαίων εταβλητών X, Y, ενώ ο αρχικός ορισός υποθέτει ότι οι X, Y έχουν διακριτή κατανοή. Πράγατι, οπιογενικόςορισόςτηςδεσευένης έσης τιής ιας τυχαίας εταβλητής X, ε οποιαδήποτε κατανοή για την οποία E X <, βασίζεται στο προηγούενο Θεώρηα. Αφετέρου, αυτός ο εναλλακτικός ορισός απλοποιεί συχνά τις αποδείξεις ισχυρισών που αφορούν τη δεσευένη έση τιή, όπως θα δούε και στο ακόλουθο Θεώρηα. Θεώρηα 8 Θεωρούε Y,Z διακριτές τυχαίες εταβλητές. Ηδεσευένηέσητιήέχειτιςπαρακάτω ιδιότητες. 1. E c 1 X 1 + c 2 X 2 Y c 1 E X 1 Y + c 2 E X 2 Y, για κάθε c 1,c 2 R. 2. E E X Y E X. 3. Αν οι X, Y είναι ανεξάρτητες, τότε η E X Y είναι σταθερή και έχει την τιή E X. Ειδικότερα, E 1 Y 1, ενώ, αν η Y είναι σταθερή, τότε E X Y E X. 43

4. Για κάθε f : Y R έχουε E Xf(Y ) Y f(y )E X Y. 5. E X Y E X Y. 6. E E X Y,Z Y E X Y. 7. Αν X 1 X 2, τότε E X 1 Y E X 2 Y. Απόδειξη: Για την (1), αν g 1 (Y )E X 1 Y και g2 (Y )E X 2 Y, από την γραικότητα της έσης τιής έχουε ότι E (c 1 X 1 + c 2 X 2 )h(y ) c 1 E X 1 h(y ) + c 2 E X 2 h(y ) Εποένως, από το Θεώρηα 7, c 1 E g 1 (Y )h(y ) + c 2 E g 2 (Y )h(y ) E (c 1 g 1 (Y )+c 2 g 2 (Y ))h(y ). E c 1 X 1 + c 2 X 2 Y c 1 g 1 (Y )+c 2 g 2 (Y )c 1 E X 1 Y + c 2 E X 2 Y. Για την (2), αρκεί να επιλέξουε h(y )1στο Θεώρηα 7. Για την (3), έχουε E Xh(Y ) E X E h(y ) E E X h(y ). ΗπρώτηισότηταισχύειλόγωτηςανεξαρτησίαςτωνX, Y και η δεύτερη γιατί η E X είναι ια σταθερά. Από το Θεώρηα 7 έχουε λοιπόν ότι E X Y E X. Υπενθυίζουε ότι, όταν η Y είναι σταθερή, τότε είναι ανεξάρτητη από κάθε άλλη τυχαία εταβλητή, εποένως E X Y E X για οποιαδήποτε τυχαία εταβλητή X. Για τον ίδιο λόγο, έχουε ότι E c Y c για οποιαδήποτε τυχαία εταβλητή Y και c R. Για την (4), εφόσον η f h είναι κι αυτή ια συνάρτηση από το Y στο R, το Θεώρηα 7 δίνει ότι E Xf(Y ) h(y ) E Xf h(y ) E g(y )f h(y ) E g f(y )h(y ), όπου g(y )E X Y. Εποένως, E Xf(Y ) Y f(y )E X Y. Για την (5), παρατηρήστε ότι, αν ορίσουε το θετικό και το αρνητικό έρος της X ως X + max{x, 0} 0 και X max{ X, 0} 0, αντίστοιχα, τότε X X + X και X X + + X. Εποένως, από την τριγωνική ανισότητα έχουε E X Y E X + Y E X Y E X + Y + E X Y E X Y. Για την (6), αν ορίσουε G(Y,Z) E X Y,Z και εφαρόσουε το Θεώρηα 7, αρχικά για την G(Y,Z) και στη συνέχεια για τη X, έχουε ότι E G(Y,Z)h(Y ) E Xh(Y ) E g(y )h(y ). Εποένως, E G(Y,Z) Y g(y )E X Y. Τέλος για την (7), από την γραικότητα της δεσευένης έσης τιής (ιδιότητα 1) αρκεί να δείξουε ότι X 0 E X Y 0. Αυτό όως είναι προφανές από τον ορισό. Παράδειγα 13 Πενήντα φοιτητές από το ΕΜΠ, εβδοήντα φοιτητές από το ΕΚΠΑ και 30 φοιτητές από το ΟΠΑ παίρνουν έρος σ ένα διαγώνισα. Αν επιλέξουε τυχαία έναν από τους φοιτητές, πορούε να θεωρήσουε σαν δειγατικό χώρο του πειράατος τύχης το σύνολο των φοιτητών και τότε το πανεπιστήιο προέλευσής τους Y είναι ια τυχαία εταβλητή ορισένη σ αυτόν τον χώρο, ενώ ο βαθός τους στο διαγώνισα X είναι ια άλλη τυχαία εταβλητή. Η E X Y είναι ια τυχαία εταβλητή που δίνει σ όλους 44

τους φοιτητές του Πανεπιστηίου Y τον έσο όρο M(Y ) των φοιτητών του Y. Τότε η ιδιότητα 2 του Θεωρήατος 8 σηαίνει ότι ο έσος όρος M των βαθών όλων των φοιτητών δίνεται από την M 50 70 30 M(EMΠ)+ M(EKΠA)+ 150 150 150 M(OΠA), δηλαδή ο έσος όρος των βαθών όλων των φοιτητών πορεί να υπολογιστεί ως ένας ζυγισένος έσος των έσων βαθών κατά πανεπιστήιο, ε βάρη τις πιθανότητες ο τυχαία επιλεγένος φοιτητής να προέρχεται από κάθε πανεπιστήιο. Παράδειγα 14 Εστω Ω ένας πεπερασένος δειγατικός χώρος, όπως π.χ. αυτός του διωνυικού υποδείγατος πολλών περιόδων. Θέλουε να προσεγγίσουε ια τυχαία εταβλητή X από ια συνάρτηση ιας άλλης τυχαίας εταβλητής Y, ώστε να ελαχιστοποιήσουε το έσο τετραγωνικό σφάλα της προσέγγισης E (X f(y )) 2. Αν g(y )E X Y και f οποιαδήποτε συνάρτηση από το Y στο R, έχουε ότι E (X f(y )) 2 E (X g(y )+g(y ) f(y )) 2 Από το Θεώρηα 7 έχουε όως ότι Εποένως, E (X g(y )) 2 + E g(y ) f(y ) 2 +2E X g(y ) g(y ) f(y ). E X g(y ) f(y ) E g(y ) g(y ) f(y ). E (X f(y )) 2 E[(X g(y )) 2 ]+E[(g(Y ) f(y )) 2 ] E[(X g(y )) 2 ], για οποιαδήποτε συνάρτηση f(y ). Εποένως, η g(y )E[X Y ] είναι η συνάρτηση του Y που ελαχιστοποιεί το έσο τετραγωνικό σφάλα της προσέγγισης. 4.3 Martingales Είπαε στο Κεφάλαιο 3 ότι ια τυχαία εταβλητή που εξαρτάται όνο από τις τιές των S t0,s t1,...,s tk θα χαρακτηρίζεται ως F k -ετρήσιη. Ενας συνηθισένος τρόπος για να κατασκευάσει κανείς ια F k -ετρήσιη τυχαία εταβλητή είναι να δεσεύσει ια τυχαία εταβλητή ως προς τις S t0,s t1,...,s tk. Εστω λοιπόν µ ένα έτρο πιθανότητας στον Ω, τον χώρο όλων των δυνατών ονοπατιών της στοχαστικής διαδικασίας {S tk } 0 k N. Χρησιοποιώντας τον συβολισό E µ [ F k ]E µ [ S t0,s t1,...,s tk ] παρατηρούε ότι, αν η X είναι ια τυχαία εταβλητή, τότε η E µ [X F k ] είναι ια F k -ετρήσιη τυχαία εταβλητή. Ορισός 5 Μια στοχαστική διαδικασία {X tk } k0,1,...,n στον χώρο Ω θα ονοάζεται (µ, F k )-martingale, αν για κάθε k 0, 1,...,N 1 έχουε E µ [X tk+1 F k ]X tk. Από τον ορισό προκύπτει αέσως ότι, αν η {X tk } είναι (µ, F k )-martingale, τότε η X tk είναι ια F k - ετρήσιη τυχαία εταβλητή. Είναι επίσης εύκολο να δούε ε επάλληλες εφαρογές της ιδιότητας (4) ότι E µ [X tj F k ]X tk, για κάθε j k. (4.3) 45

Θεώρηα 9 Αν η διαδικασία {X tk } k0,1,...,n είναι (µ, F k )-martingale, τότε για κάθε k, j {0, 1,...,N} E µ [X tk ]E µ [X tj ]. ηλαδή, ηαναενόενητιήτωνόρωνιαςmartingale είναι σταθερή. Απόδειξη: Χωρίς βλάβη ας υποθέσουε ότι j k. Παίρνοντας την αναενόενη τιή ως προς το µ στα δύο έλη της (4.3) και χρησιοποιώντας την ιδιότητα (1) των δεσευένων έσων τιών που δείξαε νωρίτερα, έχουε: E µ [X tk ]E µ [ E µ [X tj F k ]]E µ [X tj ]. Τα επόενα δύο Θεωρήατα ας δίνουν τη δυνατότητα να κατασκευάσουε martingale οι οποίες όπως θα δούε είναι πολύ χρήσιες στην τιολόγηση παραγώγων. Θεώρηα 10 Εστω X ια τυχαία εταβλητή, ορισένη στον Ω. Ηδιαδικασία{V tk } 0 k N ε V tk E µ [X F k ] είναι martingale. Επιπλέον, V T X και V 0 E µ [X]. Απόδειξη: Από την ιδιότητα 6 του Θεωρήατος 8 έχουε ότι E µ [V tk+1 F k ]E µ [E µ [X F k+1 ] F k ]E µ [X F k ]V tk. Από την ιδιότητα 3 του ίδιου Θεωρήατος έχουε ότι V 0 E X. Εφόσον κάθε τυχαία εταβλητή στον Ω είναι ια συνάρτηση των S 0,S t1,...,s T, ηιδιότητα4 του ίδιου Θεωρήατος δίνει ότι V T X. Ας υποθέσουε τώρα ότι οι {X tk } k0,1,...,n και {Y tk } k0,1,...,n 1 είναι στοχαστικές διαδικασίες τέτοιες ώστε οι X tk,y tk να είναι F k -ετρήσιες για κάθε k {0, 1, 2,...,N 1}. Σχηατίζουε ια καινούργια διαδικασία {(Y X) tk } k0,1,...,n που ορίζεται ως εξής: k 1 (Y X) t0 0 και (Y X) tk : Y tj (X tj+1 X tj ),k1, 2,...,N. j0 Ηστοχαστικήδιαδικασία(Y X) ονοάζεται ετασχηατισός martingale (martingale transform) της Y ως προς την X. Εύκολα βλέπει κανείς ότι η (Y X) tk είναι επίσης F k -ετρήσιη. Θεώρηα 11 Αν η διαδικασία X είναι martingale, τότε και η (Y X) είναι martingale. Απόδειξη: Εχουε Από την ιδιότητα 4 του Θεωρήατος 8 παίρνουε ότι (Y X) tk+1 (Y X) tk Y tk (X tk+1 X tk ). E µ [(Y X) tk+1 (Y X) tk F k ]Y tk (E µ [X tk+1 X tk F k ]) Y tk (E µ [X tk+1 F k ] X tk )0. Εποένως, η (Y X) είναι επίσης martingale. 4.4 Μέτρα martingale Σε αυτή την παράγραφο θα δούε πώς τα αδιάφορα κινδύνου έτρα πιθανότητας που ελετήσαε στο δεύτερο κεφάλαιο γενικεύονται στα διωνυικά υποδείγατα πολλών περιόδων και πορούν να χρησιοποιηθούν στην τιολόγηση παραγώγων. Ας θεωρήσουε πρώτα ένα αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο (φ k, ψ k ) k0,1,...,n ε αξία στους χρόνους t k,k0, 1,...,N V tk φ k S tk + ψ k B tk. 46

Εχουε λοιπόν για k N 1 V tk+1 B tk+1 V t k B tk S φ tk+1 S tk k+1 φ k + ψ k+1 ψ k. (4.4) B tk+1 B tk Από τη συνθήκη αυτοχρηατοδότησης έχουε ότι φ k S tk+1 + ψ k B tk+1 φ k+1 S tk+1 + ψ k+1 B tk+1. ιαιρώντας τα δύο έλη ε B tk+1 παίρνουε ότι S tk+1 S φ k φ tk+1 k+1 ψ k+1 ψ k. B tk+1 B tk+1 Μπορούε λοιπόν να ξαναγράψουε την παραπάνω σχέση (4.4) ως V tk+1 B tk+1 V t k B tk φ k Stk+1 B tk+1 S t k B tk Αν τώρα n {1, 2,...,N}, αθροίζοντας τις παραπάνω σχέσεις για k 0, 1,...,n 1 προκύπτει ότι. n 1 V tn Stk+1 V 0 + φ k S t k. (4.5) B tn B tk+1 B tk k0 Άρα η e rt kv tk V 0 είναι ένας ετασχηατισός martingale. Ορισός 6 Ενα έτρο πιθανότητας στον χώρο των τροχιών του πρωτογενούς προϊόντος ως προς το οποίο ηπροεξοφληένηαξίατουπρωτογενούςπροϊόντοςe rt S t είναι martingale ονοάζεται αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας ή έτρο martingale (martingale measure). Από το Θεώρηα 11 και τη σχέση (4.5) παραπάνω προκύπτει αέσως το ακόλουθο Θεώρηα. Θεώρηα 12 Αν το Q είναι έτρο martingale στον Ω, τότε η προεξοφληένη αξία κάθε αυτοχρηατοδοτούενου χαρτοφυλακίου e rt kv tk είναι (Q, F k )-martingale. Ας θεωρήσουε τώρα ένα παράγωγο ε απόδοση στην ωρίανση U T U T (S t0,s t1,...,s tn ). Είδαε στο προηγούενο κεφάλαιο ότι υπάρχει ια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική (φ k, ψ k ) k0,1,...,n 1 που αναπαράγει την απόδοση του παραγώγου, δηλαδή: U T φ N 1 S tn + ψ N 1 B tn. Θεώρηα 13 Αν το Q είναι ένα έτρο martingale στον Ω, τότε η σηερινή αξία ενός παραγώγου ε απόδοση στην ωρίανση U T δίνεται από τη σχέση U 0 e rt E Q [U T ]. (4.6) Απόδειξη: Εστω (φ k, ψ k ) k0,1,...,n 1 ηαυτοχρηατοδοτούενηστρατηγικήπουαναπαράγειτηναπόδοση του παραγώγου. Αν ορίσουε φ N φ N 1 και ψ N ψ N 1 το χαρτοφυλάκιο (φ k, ψ k ) k0,1,...,n είναι φυσικά επίσης αυτοχρηατοδοτούενο. Από το Θεώρηα (12) η e rt kv tk είναι (Q, F k )-martingale. Εποένως, από το Θεώρηα 9 έχουε U 0 V t0 e rt N E Q [V tn ]e rt E Q [U T ]. 47

Παρατήρηση 12 Προσέξτε ότι η απόδειξη των Θεωρηάτων 12 και 13 κάνει ελάχιστη χρήση των ειδικών χαρακτηριστικών του υποδείγατός ας. Για το Θεώρηα 12 το όνο που χρησιοποιήσαε είναι ότι στην αγορά υπάρχουν δύο προϊόντα και ότι πορούε να συναλλασσόαστε στους χρόνους t k. Για την (4.6) χρησιοποιήσαε όνο ότι η απόδοση του παραγώγου αναπαράγεται από ια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική. Παρατήρηση 13 Συνέπεια του παραπάνω Θεωρήατος είναι ότι, αν πορούε να κατασκευάσουε ένα έτρο martingale Q στον Ω, τότε δεν είναι απαραίτητο να τρέξουε τον αναδροικό αλγόριθο για να τιολογήσουε ένα παράγωγο. Ησηερινήαξίακάθε παραγώγου είναι η προεξοφληένη αναενόενη (ως προς το Q) απόδοσή του στην ωρίανση. Προσέξτε επίσης ότι η (4.6) ας δίνει την παρούσα αξία ενός παραγώγου, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουε το χαρτοφυλάκιο που αντισταθίζει το παράγωγο. Αν άλιστα έχουε να τιολογήσουε περισσότερα παράγωγα του ίδιου πρωτογενούς προϊόντος, αντί να ακολουθήσουε τον αλγόριθο για καθένα από αυτά χωριστά, πορούε εναλλακτικά να κατασκευάσουε το Q και κατόπιν να υπολογίσουε την προεξοφληένη αναενόενη αξία κάθε παραγώγου ως προς αυτό. Ας δούε τώρα πώς πορούε να βρούε ένα έτρο martingale Q στον χώρο Ω των ονοπατιών του διωνυικού υποδείγατος πολλών περιόδων. Ορίζουε για κάθε k 1, 2,...,N την τυχαία εταβλητή ξ k S tk /S tk 1. Στο διωνυικό υπόδειγα όλες αυτές οι τυχαίες εταβλητές πορούν να πάρουν είτε την τιή u είτε την τιή d. Για οποιοδήποτε έτρο πιθανότητας Q στον Ω E Q [S tk+1 F k ] S tk E Q [ξ k+1 F k ] S tk uq[ξk+1 u F k ]+dq[ξ k+1 d F k ] S tk d +(u d)q[ξk+1 u F k ]. Εποένως, E Q e rt k+1 S tk+1 F k e rt k S tk e rh d +(u d)q[ξ k+1 u F k ] Από την παραπάνω σχέση εύκολα βλέπει κανείς ότι το Q είναι έτρο martingale, αν και όνο αν Q ξ k+1 u F k e rh d u d q, k 0, 1,...,N 1. (4.7) Υπενθυίζουε ότι από την υπόθεση d<e rh <uπου έχουε κάνει προκύπτει ότι 0 <q<1. Για k 0η (4.7) δίνει την κατανοή της ξ 1 κάτω από το Q: η ξ 1 παίρνει την τιή u ε Q-πιθανότητα q και την τιή d ε Q-πιθανότητα 1 q. Για k 1η (4.7) δίνει την κατανοή κάτω απ το Q της ξ 2 δοθείσης της ξ 1 : η ξ 2 είναι ανεξάρτητη της ξ 1 (γιατί;) και έχει την ίδια κατανοή. Επαγωγικά, συπεραίνει κανείς εύκολα ότι, αν ο Ω εφοδιαστεί ε ένα έτρο πιθανότητας Q που ικανοποιεί την (4.7), τότε οι {ξ j } j1,...,n είναι ανεξάρτητες, ισόνοες τυχαίες εταβλητές ε κοινή κατανοή αυτή που περιγράψαε για την ξ 1. Εποένως, ησυνθήκη(4.7), ηοποίαυπενθυίζουεείναιικανήκαιαναγκαίαώστεέναέτροq στον Ω να είναι έτρο martingale, καθορίζει την από κοινού κατανοή των {ξ j } j1,...,n και άρα την Q-πιθανότητα κάθε τροχιάς στον Ω. Για παράδειγα, Q({S t0 S 0,S t1 S 0 u,..., S tn 1 S 0 u N 1,S tn S 0 u N 1 d}) q N 1 (1 q). Βλέπουε λοιπόν ότι, για κάθε τροχιά ω Ω, η Q(ω) υπολογίζεται ακριβώς όπως η P(ω), αποδίδοντας σε κάθε κόβο του δέντρου πιθανότητα q να κινηθούε προς τα πάνω και 1 q να κινηθούε προς τα κάτω. Μάλιστα, επειδή 0 <q<1, κάθε ενδεχόενο που έχει θετική P-πιθανότητα έχει επίσης θετική Q- πιθανότητα και το αντίστροφο, δηλαδή τα έτρα P και Q είναι ισοδύναα. Αξίζει επίσης να παρατηρήσουε ότι, επειδή η ιδιότητα (4.7) επιβάλλει την Q-πιθανότητα κάθε τροχιάς, το έτρο Q που κατασκευάσαε είναι το οναδικό έτρο martingale στον Ω. Προσέξτε ακόη ότι το έτρο Q δεν εξαρτάται από την παράετρο 48

p του οντέλου ας. Μπορούε να επαληθεύσουε ότι το Q είναι έτρο martingale ως εξής: E Q [S tk+1 F k ] E Q [S tk ξ k+1 F k ] S tk E Q [ξ k+1 F k ] S tk (qu +(1 q)d) S tk u erh d erh + du u d u d S tk e rh. Πολλαπλασιάζοντας τα δύο έλη ε e rt k+1 παίρνουε λοιπόν E Q [e rt k+1 S tk+1 F k ]e rt k+1 e rh S tk e rt k S tk, k {0, 1,...,N 1}. Ησχέση(4.6) είναι ένας κλειστός τύπος για τη σηερινή τιή που η αρχή της η επιτηδειότητας επιβάλλει σε ένα παράγωγο ε ωρίανση T και απόδοση στην ωρίανση U T. Ηεφαρογήτουείναιεξαιρετικάαπλή όπως θα δούε τιολογώντας ξανά τα παράγωγα που χρησιοποιήσαε στα παραδείγατα του προηγούενου κεφαλαίου. Παράδειγα 15 Ας θυηθούε πάλι το οντέλο που υποθέσαε για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος: 128 96 54 72 36 48 24 64 32 16 Εχουε λοιπόν u 4 3,d 2 3, ενώ έχει δοθεί ότι erh 16 15. Εποένως, Υπολογίζουε τώρα την πιθανότητα Q κάθε τροχιάς: q erh d u d 3 5. Q(ω 1 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(u, u, u)}) q 3 27 125, Q(ω 2 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(u, u, d)}) Q(ω 3 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(u, d, u)}) Q(ω 4 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(d, u, u)}) q 2 (1 q) 18 125, Q(ω 5 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(u, d, d)}) Q(ω 6 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(d, u, d)}) Q(ω 7 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(d, d, u)}) q(1 q) 2 12 125, Q(ω 8 )Q({(ξ 1, ξ 2, ξ 3 )(d, d, d)}) (1 q) 3 8 125. Ας υπολογίσουε τώρα ε τη βοήθεια της σχέσης (4.6) την αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης ε 49

τιή άσκησης 48. 8 V 0 e rt E Q [V T ]e 3rh V T (ω i )Q(ω i ) i1 15 3 (48 128) + 27 16 125 +3 (48 64)+ 18 125 +3 (48 32)+ 12 125 + (48 16)+ 8 125 351 64. Παράδειγα 16 Οι ιδιότητες του έτρου Q πορούν να φανούν χρήσιες και στον υπολογισό του αντισταθιστικού χαρτοφυλακίου. Ας υπολογίσουε το χαρτοφυλάκιο (φ 0, ψ 0 ) που θα πρέπει αρχικά να κατέχουε για να αναπαραγάγουε την απόδοση του παραγώγου. Μπορούε να υπολογίσουε την τυχαία εταβλητή V t1 από το γεγονός ότι η e rt kv tk είναι (Q, F k )-martingale. Εποένως, e rt 1 V t1 e rt E Q [V T F 1 ]. Τα δύο έλη της παραπάνω σχέσης είναι F 1 -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές (δηλαδή συναρτήσεις της S t1 ) και άρα έχουν σταθερή τιή σε καθένα από τα ενδεχόενα K u {S t1 72} και K d {S t1 36}. ενώ Εποένως, V t1 (K u ) e r(t t1) E Q [V T S t1 72] 15 2 (48 128) + ( 35 16 )2 + 2(48 64) + 35 25 + (48 32)+ ( 25 )2 9 4, V t1 (K d ) e r(t t1) E Q [V T S t1 36] 15 2 (48 64) + ( 35 16 )2 + 2(48 32) + 35 25 + (48 16)+ ( 25 )2 45 4. φ 0 V t 1 (K u ) V t1 (K d ) S 0 (u d) 9 4 45 4 54( 4 3 2 3 ) 1 4. Η ψ 0 πορεί τώρα εύκολα να βρεθεί από τη σχέση φ 0 S t0 + ψ 0 V 0. Παράδειγα 17 Ας υπολογίσουε στη συνέχεια την αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης ε τιή άσκησης 48 και άνω και εκτός φράγα στα 60. ΗδιαφοράετοπρώτοπαράδειγαείναιότιεδώV T (ω 5 )0, αφού στην τροχιά που αντιστοιχεί στο ενδεχόενο ω 5 το άνω και εκτός φράγα των 60 έχει ξεπεραστεί πριν την ωρίανση. Το δικαίωα έχει η ηδενική αξία στην ωρίανση όνο για τις τροχιές ω 6, ω 7, ω 8, οπότε: 8 V 0 e rt E Q [V T ]e 3rh V T (ω i )Q(ω i ) j1 15 3 2 (48 32) + 12 16 125 + (48 16)+ 8 125 135 32. 50

Παράδειγα 18 Ας εφαρόσουε τώρα τον τύπο (4.6) στην περίπτωση ενός γενικού ευρωπαϊκού παραγώγου ε ωρίανση T και απόδοση στην ωρίανση f(s T ) για ένα διωνυικό οντέλο N περιόδων. Υπάρχουν 1 τροχιά για την οποία S T S 0 u N στην οποία το Q αποδίδει πιθανότητα q N, N N 2 τροχιές για τις οποίες S T S 0 u N 1 d στις οποίες το Q αποδίδει πιθανότητα q N 1 (1 q), τροχιές για τις οποίες S T S 0 u N 2 d 2 στις οποίες το Q αποδίδει πιθανότητα q N 2 (1 q) 2,. N k τροχιές για τις οποίες S T S 0 u N k d k στις οποίες το Q αποδίδει πιθανότητα q N k (1 q) k,. 1 τροχιά για την οποία S T S 0 d N στην οποία το Q αποδίδει πιθανότητα (1 q) N. Σύφωνα ε τη σχέση (4.6), ηαρχικήαξίατουπαραγώγουείναι N N V 0 e rt E Q [f(s T )] e rt q N k (1 q) k f(s 0 u N k d k ). k Ηπαραπάνωσχέσηείναιγνωστήωςοδιακριτός τύπος των Black & Scholes. 4.5 Ανοοιόορφα διωνυικά υποδείγατα k0 Στο υπόδειγα που θεωρήσαε η ποσοστιαία αύξηση ή ελάττωση της τιής του πρωτογενούς προϊόντος σε κάθε κόβο του δέντρου, οι παράετροι u και d δηλαδή, ήταν σταθερές παράετροι του οντέλου ας. Οπως θα δούε στο Κεφάλαιο 6, αυτή η υπόθεση δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστική. Αν θεωρήσουεπως το πλήθος N των περιόδων ας τείνει στο άπειρο και ταυτόχρονα πως η διάρκειά τους h τείνει στο ηδέν, ώστε Nh T, πορούε να φτάσουε σε ένα η τετριένο οντέλο για την περιγραφή της χρονικής εξέλιξης ετοχών. Ηθεωρίαπουέχουεαναπτύξειπορείόωςεύκολαναγενικευθείκαισεδέντραόπουοιπαράετροι u και d εταβάλλονται από κόβο σε κόβο. Ηπληροφορίααυτήθαεξαρτάταιαπότηνιστορίατης αγοράς έχρι εκείνη τη στιγή, οι παράετροι u και d θα είναι δηλαδή F k -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές. Το ίδιο πορεί να συβαίνει και για τις παραέτρους p, ακόη και για το επιτόκιο r. Τέτοια υποδείγατα είναι χρήσια, ιδιαίτερα για την περιγραφή αγορών ε κυαινόενα επιτόκια. Εστω λοιπόν ότι η σηερινή αξία του πρωτογενούς προϊόντος είναι S 0 > 0, ενώ η εξέλιξή της στο χρόνο συβαίνει ως εξής: αν τη στιγή t k ηαξίατουπρωτογενούςπροϊόντοςείναιs tk, τότε S tk+1 S tk ξ k+1, (4.8) όπου η {ξ k } k {1,2,...,N} είναι ια στοχαστική διαδικασία. Ηαπόκοινούκατανοήτωνξ k περιγράφεται ως εξής: για κάθε k {0, 1,...,N 1} έχουε P ξ k+1 u k F k p k P ξ k+1 d k F k 1 p k, όπου οι u k u k (S t0,...,s tk ), d k d k (S t0,...,s tk ) και p k p k (S t0,...,s tk ) είναι F k -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές. Φυσικά, προκειένου να ην υπάρχουν ευκαιρίες επιτηδειότητας, θα πρέπει d k <e rh <u k για όλα τα k. Το παράδειγα ενός τέτοιου υποδείγατος φαίνεται στο ακόλουθο δέντρο. 0,80 0,5 1,00 0,60 0,2 0,7 1,30 0,80 0,40 51

Οι παράετροι αυτού του οντέλου πορούν να βρεθούν ως εξής. Στον πρώτο κόβο: u 0 1, 00 0, 80 5 4, d 0, 60 0 0, 80 3 4, p 0 0, 5. Στο ενδεχόενο {S t1 1, 00} {ξ 1 u 0 } έχουε: u 1 ({S t1 100}) 1, 30 1, 00 13 10, d 0, 80 1({S t1 1, 00}) 1, 00 4 5, p 1({S t1 1, 00}) 0, 2. Τέλος, στο ενδεχόενο {S t1 0, 60} {ξ 1 d 0 } έχουε: u 1 ({S t1 0, 60}) 0, 80 0, 60 4 3, d 0, 40 1({S t1 0, 60}) 0, 60 2 3, p 1({S t1 0, 60}) 0, 7. Ας θεωρήσουε τώρα ένα παράγωγο ε δεδοένη απόδοση τη στιγή T ίση ε V T U tn (S t0,s t1,...,s tn ). Θα κατασκευάσουε πάλι ια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική που αναπαράγει την παραπάνω απόδοση στη ωρίανση, δηλαδή φ N 1 S T + ψ N 1 B T V T. Ηπαραπάνωσχέσηικανοποιείται, ακριβώς όταν ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο γραικές εξισώσεις. φ N 1 S tn 1 u N 1 + ψ N 1 B tn U tn (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 u N 1 ) φ N 1 S tn 1 d N 1 + ψ N 1 B tn U tn (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 d N 1 ), από τις οποίες πορούε να υπολογίσουε τις (φ N 1, ψ N 1 ). Ορίζοντας, και έχουε V N U t N (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 u), S N S t N 1 u N 1, V N U t N (S t0,s t1,...,s tn 1,S tn 1 d), S N S t N 1 d N 1 φ N 1 V N V N S N, ψ N 1 V N S N V N S N S N B tn (S N S N ). (4.9) Παρατηρήστε και πάλι ότι οι (φ N 1, ψ N 1 ) είναι συναρτήσεις των S t0,...,s tn 1, είναι δηλαδή F N 1 - ετρήσιες τυχαίες εταβλητές. Εχοντας κατασκευάσει τη στιγή t N 1 (και ανάλογα ε τη γνώση ας για την εξέλιξη της αγοράς έως τότε) ένα χαρτοφυλάκιο (φ N 1, ψ N 1 ) ηαξίατουοποίουτηστιγήt N θα ταυτίζεται ε αυτήν του παραγώγου, πορούε να ορίσουε την αξία του παραγώγου τη στιγή t N 1 ως την αξία αυτού του χαρτοφυλακίου. V tn 1 U tn 1 (S t0,s t1,...,s tn 1 ):φ N 1 S tn 1 + ψ N 1 B tn 1. Αντικαθιστώντας τα (φ N 1, ψ N 1 ) από την (4.9), παίρνουε όπου V tn 1 e rh (q N 1 V N +(1 q N 1)V N ), q N 1 erh d N 1 S t erh N 1 S N u N 1 d N 1 S N S N Θα πρέπει τώρα να είναι προφανές πώς θα συνεχίσουε την οπισθοδρόηση έχρι τον χρόνο t 0 ώστε να βρούε τη σηερινή αξία του παραγώγου και το αντισταθιστικό χαρτοφυλάκιο. 52

Παράδειγα 19 Στο υπόδειγα που προαναφέραε ας υποθέσουε ότι e rh 1, 1. Ας τιολογήσουε ένα παράγωγο που τη στιγή t 2 αποδίδει 242, αν S t2 >S t1 και σε αντίθετη περίπτωση ηδέν, κατασκευάζοντας ια αυτοχρηατοδοτούενη στρατηγική που αναπαράγει την απόδοσή του. Στο ενδεχόενο K u {S t1 1, 00} έχουε: ενώ φ 1 (K u ) V 2 (K u) V 2 (K u) S 2 (K u) S 2 (K u) 242 0 1, 30 0, 80 484, ψ 1 (K u )e 2rh V 2 (K u)s 2 (K u) V 2 (K u)s 2 (K u) S 2 (K u) S 2 (K u) Εποένως, Στο ενδεχόενο K d {S t1 0, 60} έχουε: ενώ V 1 (K u ) 484 1, 00 + ( 320) 1, 1 132. φ 1 (K d ) V 2 (K d) V 2 (K d) S 2 (K d) S 2 (K d) 242 0 0, 80 0, 40 605, ψ 1 (K d )e 2rh V 2 (K d)s 2 (K d) V 2 (K d)s 2 (K d) S 2 (K d) S 2 (K d) Εποένως, Τέλος για τον αρχικό κόβο έχουε V 1 (K d ) 605 0, 60 + ( 200) 1, 1 143. 10 2 0 1, 30 242 0, 80 320. 11 1, 30 0, 80 10 2 0 0, 80 242 0, 40 200. 11 0, 80 0, 40 και Ετσι, φ 0 V 1 V 1 132 143 S 1 S 1, 00 0, 60 27, 5 1 ψ 0 e rh V 1 S 2 V 2 S 2 S 2 S 2 10 143 1, 00 132 0, 60 145. 11 1, 00 0, 60 V 0 27, 5 0, 80 + 145 123. Μπορούε εναλλακτικά να τιολογήσουε ένα παράγωγο βρίσκοντας ένα έτρο martingale στο χώρο των τροχιών. εν είναι δύσκολο να δει κανείς, επαναλαβάνοντας τα επιχειρήατα της προηγούενης παραγράφου, ότι ένα έτρο Q στον Ω είναι έτρο martingale, αν και όνο αν για κάθε k 0, 1,...,N 1 q k : Q e rh d k ξ k+1 u k F k S t k e rh S k+1 u k d k S k+1. (4.10) S k+1 Ηπαραπάνωσχέσηκαθορίζειτηναπόκοινούκατανοήτωνξ k και άρα την Q-πιθανότητα κάθε τροχιάς. Για k 0ας δίνει την κατανοή της ξ 1, για k 1ας δίνει την κατανοή της ξ 2 δοθείσης της ξ 1, για k 2ας δίνει την κατανοή της ξ 3 δοθέντων των ξ 1, ξ 2 κ.λπ. Για παράδειγα, Q {ξ 1 u 0, ξ 2 d 1, ξ 3 u 2 } Q {ξ 1 u 0, ξ 2 d 1 } q 2 ({ξ 1 u 0, ξ 2 d 1 }) Q {ξ 1 u 0 } 1 q 1 ({ξ 1 u 0 }) q 2 ({ξ 1 u 0, ξ 2 d 1 }) q 0 1 q1 ({ξ 1 u 0 }) q 2 ({ξ 1 u 0, ξ 2 d 1 }). 53

ΗκατασκευήτουέτρουQ είναι εποένως αντίστοιχη ε αυτή της προηγούενης παραγράφου όνο που τώρα ηπαράετροςq δεν είναι ια σταθερά του υποδείγατος αλλά ια τυχαία εταβλητή. Για να υπολογίσουε την Q-πιθανότητα κάθε τροχιάς πολλαπλασιάζουε τις παραέτρους (q k ή 1 q k ) που αντιστοιχούν στη συγκεκριενη τροχιά σε κάθε κόβο της. Μπορούε εύκολα να επαληθεύσουε ότι το Q είναι έτρο martingale. E Q [S tk+1 F k ] E Q [S tk ξ k+1 F k ] S tk E Q [ξ k+1 F k ] S tk (q k u k +(1 q k )d k ) e rh d k u k e rh S tk u k + d k u k d k u k d k S tk e rh και πολλαπλασιάζοντας τα δύο έλη ε e rt k παίρνουε ότι η e rt ks tk είναι (Q, F k )-martingale. Παρατηρήστε ξανά ότι το έτρο Q που κατασκευάσαε είναι το οναδικό έτρο martingale στον Ω, καθώς ηεπιλογήτουεπιβλήθηκεαπότην(4.10). Οοίως, οι παράετροι p k δεν υπεισέρχονται στον υπολογισό του Q. Τέλος, κάθε P-πιθανή τροχιά είναι και Q-πιθανή και το αντίστροφο, άρα τα P και Q είναι ισοδύναα. Παράδειγα 20 Ας τιολογήσουε σαν παράδειγα το παράγωγο της προηγούενης άσκησης κατασκευάζοντας το έτρο martingale Q. Στο ενδεχόενο K u {S t1 1, 00} έχουε q 1 (K u ) erh S t1 (K u ) S 2 (K u) S 2 (K u) S 2 (K u) Στο ενδεχόενο K d {S t1 0, 60} έχουε q 1 (K d ) erh S t1 (K d ) S 2 (K d) S 2 (K d) S 2 (K d) Στον αρχικό κόβο του δέντρου έχουε 1, 10 0, 80 0, 6. 1, 30 0, 80 0, 66 0, 40 0, 65. 0, 80 0, 40 q 0 erh S t0 S 1 S 1 S 1 0, 88 0, 60 0, 7. 1, 00 0, 60 Εποένως η πιθανότητα κάθε τροχιάς βρίσκεται ως εξής. Q(ω 1 )Q {S t0 0, 80, S t1 1, 00,S t2 1, 30} q 0 q 1 (K u )0, 7 0, 60, 42. Q(ω 2 )Q {S t0 0, 80, S t1 1, 00,S t2 0, 80} q 0 (1 q 1 (K u )) 0, 7 0, 40, 28. Q(ω 3 )Q {S t0 0, 80, S t1 0, 60,S t2 0, 80} (1 q 0 )q 1 (K d )0, 3 0, 65 0, 195. Q(ω 4 )Q {S t0 0, 80, S t1 0, 60,S t2 0, 40} (1 q 0 )(1 q 1 (K d )) 0, 3 0, 35 0, 105. Συνεπώς, από τη σχέση 4.6 έχουε V 0 e 2rh E Q [V T ] 10 2 (242 0, 42 + 0 0, 28 + 242 0, 195 + 0 0, 105) 123. 11 54

Κλείνοντας αυτό το κεφάλαιο ας συνοψίσουε κάποιες ιδότητες του διωνυικού υποδείγατος οι οποίες προσφέρονται για γενίκευση. Θεωρήσαε την αγορά ας σαν ένα χώρο πιθανότητας τα σηεία του οποίου αντιστοιχούν σε τροχιές του πρωτογενούς προϊόντος, εφοδιασένο ε ένα έτρο πιθανότητας P. Στον χώρο αυτόν κατασκευάσαε ένα άλλο έτρο πιθανότητας Q ε τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. Ηπροεξοφληένηαξίατουπρωτογενούςπροϊόντοςe rt S t είναι ένα Q-martingale. 2. Κάθε ενδεχόενο που έχει θετική P-πιθανότητα έχει επίσης θετική Q-πιθανότητα και το αντίστροφο. Εποένως, P Q. Μέτρα Q ε τις παραπάνω δύο ιδιότητες χαρακτηρίζονται ως ισοδύναα έτρα martingale (equivalent martingale measures) και παίζουν κεντρικό ρόλο στην ανάλυση χρηατοοικονοικών παραγώγων. 4.6 Ασκήσεις Στις παρακάτω ασκήσεις βασίστε τις απαντήσεις σας στη εθοδολογία αυτού του κεφαλαίου. Κάποιες από αυτές συπεριλαβάνονται και στις ασκήσεις του προηγούενου κεφαλαίου. Σ αυτές τις περιπτώσεις συγκρίνετε τα αποτελέσατα που θα βρείτε ε τις δύο εθοδολογίες, καθώς και την πολυπλοκότητα των υπολογισών σε κάθε περίπτωση. Άσκηση 32 Θεωρούε ένα ιδιαίτερο δικαίωα πώλησης επί ιας ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος που περιγράφεται ως εξής. Ητρέχουσατιήτηςετοχήςείναι 40 και η τρέχουσα τιή άσκησης είναι 40. Αν η τιή της ετοχής έπειτα από έξι ήνες είναι ικρότερη από 35 τότε η τιή άσκησης στην ωρίανση επανακαθορίζεται σε 35, διαφορετικά περαένει στα 40. α. Τιολογήστε το παράγωγο χρησιοποιώντας ένα διωνυικό δέντρο δύο περιόδων ε u 1, 2737 και d 0, 7764. β. Τιολογήστε το παράγωγο χρησιοποιώντας ένα διωνυικό δέντρο τεσσάρων περιόδων ε u 1, 1879 και d 0, 8371. ίνεται το επιτόκιο του προϊόντος χωρίς κίνδυνο r 6% ε συνεχή ανατοκισό. Άσκηση 33 ίνεται το ακόλουθο δυωνυικό υπόδειγα για τη δυναική ιας ετοχής. 160 140 100 120 80 100 60 120 80 40 Ηκάθεπερίοδοςστοπαραπάνωδέντροαντιστοιχείσεδιάστηα4 ηνών. Στην αγορά υπάρχει επίσης ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε επιτόκιο 14,637% υπολογισένο ε συνεχή ανατοκισό. α) Τιολογήστε βάσει του παραπάνω υποδείγατος ένα δικαίωα αγοράς της ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος και τιή άσκησης 100. β) Τιολογήστε βάσει του παραπάνω υποδείγατος ένα δικαίωα πώλησης της ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος και τιή άσκησης 100. Επιβεβαιώστε τη σχέση ισοτιίας των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης. Άσκηση 34 Τιολογήστε βάσει του υποδείγατος αγοράς της προηγούενης άσκησης το παράγωγο που περιγράφεται στην Άσκηση 30. Άσκηση 35 Τιολογήστε βάσει του υποδείγατος της Άσκησης 33 ένα παράγωγο ε ωρίανση σε ένα έτος και απόδοση V ( S T 100) +, 55

όπου S T είναι ο έσος όρος των τιών της ετοχής σε 4, 8 και 12 ήνες. Άσκηση 36 ΗτρέχουσατιήιαςετοχήςείναιS 0 100. Θα υποθέσουε αρχικά ότι σε καθένα από τα επόενα τέσσερα τρίηνα η τιή της είτε θα ανέβει κατά 10% είτε θα κατέβει κατά 10%. Το επιτόκιο του προϊόντος χωρίς κίνδυνο είναι 4%, ενώ είναι γνωστό ότι η ετοχή δεν θα αποδώσει έρισα κατά τον επόενο χρόνο. α) Τιολογήστε βάσει αυτού του υποδείγατος ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς τιή άσκησης K 100 και ωρίανση T 1 έτος. β) Τιολογήστε ένα δικαίωα που έχει την ίδια απόδοση όπως το προηγούενο, αλλά ακυρώνεται αν η τιή της ετοχής πέσει κάτω από 92. Άσκηση 37 ΗτρέχουσατιήιαςετοχήςείναιS 0 100. Θα υποθέσουε αρχικά ότι σε καθένα από τα επόενα τρία τετράηνα η τιή της είτε θα ανέβει κατά 10% είτε θα κατέβει κατά 10%. Το ετήσιο άνευ κινδύνου επιτόκιο υπολογισένο ε συνεχή απόδοση είναι 6,186%, ενώ είναι γνωστό ότι η ετοχή δεν θα αποδώσει έρισα κατά τον επόενο χρόνο. α) Τιολογήστε βάσει αυτού του υποδείγατος ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε ωρίανση έπειτα από T 1έτος και τιή άσκησης K 98, καθώς και ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε ωρίανση έπειτα από t 8ήνες και τιή άσκησης M 96. Θεωρούε τώρα ένα δικαίωα επιλογής, οκάτοχοςτουοποίουεπιλέγειτηχρονικήστιγήt αν θα το ασκήσει στην ωρίανσή του T ως ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ή ως ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης, ε τιή άσκησης K αφότερα. β) Σε ποιους κόβους του δέντρου που αντιστοιχούν στον χρόνο t είναι η αξία του ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς εγαλύτερη από αυτήν του δικαιώατος πώλησης (άρα ο λογικός επενδυτής θα επιλέξει να ασκήσει το δικαίωα επιλογής ως δικαίωα αγοράς); γ)τιολογήστε αυτό το παράγωγο βάσει του διωνυικού υποδείγατος που θεωρήσαε και συγκρίνετε την αξία του ε το άθροισα των αξιών των δύο παραγώγων του ερωτήατος (α). δ) είξτε τώρα ότι, ανεξάρτητα από το υπόδειγα αγοράς που υιοθετούε και για οποιαδήποτε S 0,T,t,K, η αξία του δικαιώατος επιλογής ισούται ε το άθροισα της αξίας ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς ε ωρίανση στον χρόνο T και τιή άσκησης K και αυτής ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης ε ωρίανση στον χρόνο t και παραδοτέα τιή M Ke r(t t). Άσκηση 38 ΗτιήιαςετοχήςείναιS 0 50. Για τη δυναική της θεωρούε το ακόλουθο υπόδειγα δύο ηνιαίων περιόδων. Σε ένα ήνα η αξία της ετοχής S 1 θα είναι 45 ή 60. - Αν S 1 60 κάθε ετοχή θα δώσει έρισα 5 (οπότε η αξία της θα γίνει 55) και στο τέλος του δεύτερου ήνα η αξία της θα είναι 60 ή 50. - Αν S 1 45 ηετοχήδενθαδώσειέρισακαιστοτέλοςτουδεύτερουήναηαξίατηςθαείναι 50 ή 30. α) Τιολογήστε βάσει του παραπάνω υποδείγατος ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς της ετοχής ε τιή άσκησης 46 και ωρίανση σε δύο ήνες. Υποθέστε ότι r 0. β) Εχετε όλις πουλήσει το ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς προς την τιή του βρήκατε στο προηγούενο ερώτηα. Βρείτε ποιο αντισταθιστικό χαρτοφυλάκιο θα πρέπει να κατασκευάσετε σήερα και πώς θα αλλάζατε τη θέση σας σε ένα ήνα στο ενδεχόενο S 1 60, προκειένου να εξαλείψετε τον κίνδυνο από την πώληση του δικαιώατος. 56