Η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( T) ( 1) ( 2) 3 x =

Transcript

1 Αν είναι "εκ προοιίου φανερό" ότι η παραπάνω διαδικασία είναι συνεπής προς τον υπολογισό της Παραγράφου ΣΤ το προηγούενο παράδειγα επελέγη ε στόχο την επίδειξη αυτής της συνέπειας Η ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σε ένα πίνακα ε δύο αίτια εξόδου βλέπουε ότι Αν ( T ) 3 να δειχθεί ότι 96 5 d Σε ένα πίνακα ε δύο απαυξήατα είναι + + (i) Αν 3 ( 7 να δειχθεί ότι T ) (ii) Να δειχθεί ότι γενικά ( 3) 3 Αν 3 να δειχθεί ότι (προσεγγιστικά) ( 3) 4 (i) Στην Άσκηση 3 να δειχθεί ότι οι αντίστοιχες προσεγγιστικές τιές για τα m m m m είναι (ii) ίδεται m α α Να δειχθεί ότι το είναι περίπου ίσο ε + α (iii) Αν το (ii) εφαροσθεί στο m που βρέθηκε στο (i) ποια τιή του προκύπτει; (Απάντηση : φυσικά 6) 5 Σε πίνακα ε δύο αίτια εξόδου βλέπουε ότι d d (i) Αν 3 p να βρεθούν τα (Απάντηση : ) (ii) Να βρεθούν τα m 3 m3 m3 (προσεγγιστικά) από τα 3 3 (Απάντηση : ) (iii) Να βρεθούν τα 3 3 (προσεγγιστικά) (Απάντηση : από τη φύση των προσεγγίσεων m > > ) (iv) Ποιες οι τιές των 3 3 αν υποθέσουε ότι κάθε αίτιο είναι UDD; (Απάντηση : ) 6 Στην Άσκηση το α(3) είναι ίσο ε UDD να δειχθεί ότι α(3) 5 3: p 3 3 Αν το 3 : υπολογισθεί ε την υπόθεση

2 7 (i) Να βρεθούν τα : m α για s (Απάντηση : ) (ii) Να δειχθεί ότι για α Να δειχθεί ακόα ότι για α : : Πώς ερηνεύεται το γεγονός ότι για πολύ εγάλες τιές του τα ( ) : είναι "ασυπτωτικά ίσα"; (iii) Αν έχουε ένα (συνδυασένο) πίνακα ε ( ) α να βρεθούν τα (Απάντηση : ) (iv) Ποια η "συνήθης" προσεγγιστική τιή για τα ; (Απάντηση : ) Ποια η προσεγγιστική τιή που βασίζεται σε UDD; 3 + (Απάντηση : ) 8 Σε ένα πίνακα που συνδυάζει απαυξήατα ( κ ) κ Να βρεθούν τα ( ο πίνακας ε όνο αίτιο εξόδου το (κ)) (Απάντηση : ) 9 Έχουε ίδιους πίνακες Να δειχθεί ότι στον αντίστοιχο συνδυασένο πίνακα γενικότερα κ d κ ε άθροισα Στην Άσκηση 9 (όπου ) να δειχθεί ότι m m κ να επιερισθεί το στα ανάλογα προς τα m (Εναλλακτική προσεγγιστική έθοδος (εδώ βέβαια ακριβής) για την εύρεση των του συνδυασένου πίνακα) Να δειχθεί ότι οι συνήθεις προσεγγίσεις πορεί να αντιστραφούν να αποτελέσουν προσεγγίσεις για τα συνδυασένου πίνακα ( ) 4 όταν είναι γνωστά τα (Απάντηση : 4 4 ) 4 Αν για κάθε αίτιο σε ένα πίνακα ε πολλά αίτια εξόδου οι αποχωρήσεις είναι UDD σε κάθε έτος ηλικίας να δειχθεί ότι κ ισχύει η σχέση ( κ ) ( T ) 3 (i) Να αναπτυχθεί το διώνυο στην Άσκηση στην περίπτωση δύο απαυξηάτων να δειχθεί ότι + [ + ] (ii) Να δειχθεί ότι η απλούστερη 6

3 προσέγγιση + που προκύπτει από το (i) είναι περίπου ίση ε τη "συνήθη" προσέγγιση 4 Εξ ορισού : p d Να δειχθεί ότι : p + p + d p + α όπου α είναι η έση ζωή στο διάστηα ηλικίας ( +) όσων πεθαίνουν έσα στο διάστηα αυτό (Η αντίστοιχη έση ζωή για όσους επιβιώνουν είναι φυσικά άρα : p + α ) 5 (i) Εφόσον α από την Άσκηση 4 προκύπτει ότι : p + (γεγονός άλλωστε προφανές εφόσον : im p : ότι για (πχ αν τέλος p όνον αν επιβιώνουν όλοι!) (ii) Εφόσον : p + α ω ω ) τότε : α αν im p σταθερό (εκθετική συνάρτηση επιβίωσης) τότε (πχ p : : α ω πράγατι καθώς ω πράγατι : καθώς 6 (i) Εφόσον : περίπτωση (ii) Ο ορισός : αν + p ) τότε + σταθερό Να δειχθεί για την Par s + m είναι σαφές ότι η ανισότητα m ισχύει σε κάθε d m πορεί να γραφεί L : m + + d p + από όπου φαίνεται ότι το m είναι ια "έση ένταση" (πιο σωστά σταθισένος έσος των τιών της "στιγιαίας έντασης" ) Ως έση ένταση η m είναι εγαλύτερη από + την τιή αν η αυξάνει ε το (πχ + + ω ) ικρότερη από την τιή αν η φθίνει ε το (πχ ) (Φυσικά αν η είναι σταθερή (εκθετική σε) τότε η m έχει την ίδια σταθερή τιή) Να δειχθεί ότι για σε D Mivr πράγατι m > ενώ για την Par s πράγατι m < (Υπόδειξη : για την Par να + δειχθεί ότι + + m ( + )( + ) να γίνει χρήση της ανισότητας > ) + d p d d

4 7 ίδεται s Να δειχθεί ότι : π[ Φ( + ) Φ( ] ) όπου φ είναι η σππ Φ η σκ της τυπικής κανονικής τ m φ( + ) ( + ) Φ φ Φ 8 Σε ένα πίνακα ε δύο απαυξήατα + + Να δειχθούν οι σχέσεις + + p + p + (αθροίσατα όνον η p + ισχύει) ( + ) p + + ( + ) ( ) ( + ) + p p p p + + (ασυπτωτικά ) Να "αντιστραφεί" η Άσκηση 8 να δειχθεί ότι στο συνδυασένο πίνακα που προκύπτει από χωριστούς πίνακες + ( + ) Σε ένα πίνακα που συνδυάζει δύο αίτια Να δειχθούν οι σχέσεις ( )( ) ( ) ( )( ) T + ισχύουν ( ) p ( ) ( )( ) + p p ( ) p ( ) 99 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Να "αντιστραφεί" η Άσκηση να δειχθεί ότι στο συνδυασένο πίνακα που προκύπτει από χωριστούς πίνακες ισχύουν 99 ίδεται διπλός πίνακας ε Να δειχθεί ότι p p να επαληθευθεί η τιή αυτή από ( κ T ) ( T ) p 3 ίδονται χωριστοί πίνακες (i) Για τον αντίστοιχο συνδυασένο πίνακα να δειχθούν οι σχέσεις T p + ( ) ( )

5 99 + ( ) (ii) Να βρεθούν τα d d ως (Απάντηση : ( ) ( 99 ) ( 98 ) ) (iii) Να δειχθούν οι τιές των d d επαγωγικά σχηατίζοντας τα αντίστοιχα (iv) Να δειχθεί ότι 99 γενικά 99-4 Συνεχίζοντας την Άσκηση 3 αν τα 99 - προέρχονται από συνδυασένο πίνακα να δειχθεί ότι οι αντίστοιχοι χωριστοί πίνακες είναι 5 Αν σε διπλό πίνακα συνήθεις προσεγγίσεις για ( )( ) ( 99 ) 6 Σε πίνακα ε δύο αίτια εξόδου Να δειχθεί ότι ( ) είναι αντίστοιχα να δειχθεί ότι οι ( 99 ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7 Σε πίνακα ε δύο προσαυξήατα για όλα τα + πραγατικά Να δειχθεί ότι + p + p (i) Να δειχθεί ότι η έση ένταση m ικανοποιεί τη η γραική διαφορική εξίσωση p + m m (ii) Να δειχθεί ότι η διαφορική αυτή εξίσωση ικανοποιείται στην : 3 περίπτωση καθειάς από τις σε (iii) Ποια ορφή παίρνει η διαφορική + εξίσωση για σε D Mivr για σε Ep; (Απάντηση : m m m ) 9 (i) Να δειχθεί ότι η ένταση ικανοποιεί τη η γραική διαφορική εξίσωση s (ii) Να επαληθευθεί η ισχύς της διαφορικής εξίσωσης για s s + s s (iii) Ποια η ορφή της διαφορικής εξίσωσης για σε D Mivr +

6 σε Ep; (Απάντηση : ) (iv) Να δειχθεί ότι η εξίσωση c + c (c σταθερά) έχει λύση c c (απορρίπτεται επειδή < ) αλλά την "ειδική λύση" c που είναι αποδεκτή αν c > αντιστοιχεί στην σε c 3 (i) Σε πίνακα ε 4 αίτια εξόδου κ απλούς πίνακες κ να δειχθεί ότι πίνακες είναι ίσα ( κ ) 4 s κ s για κ 3 4 [ s ] κ κ να δειχθεί ότι T 8 [ ] 4 s Αν στους αντίστοιχους (ii) Σε 4 απλούς Αν στον αντίστοιχο συνδυασένο πίνακα όλα τα