Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
|
|
- Υπάτιος Βλαστός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το πεδίο τιμών της Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { : ω ( ω) = Ω = Ω = Ορισμός = ( ) : Ω ω ( ω) = ( ( ω) ( ω) ) = ( ) B B= B B B όπου { B : Η συνάρτηση έτσι ώστε { ενδεχόμενο: είναι μετρήσιμη εάν είναι το από κοινού { B = { B B = { ω Ω : ( ω) B ( ω) B = ( B ) ( B ) = { B { B Την συνάρτηση την ονομάζουμε δισδιάστατη διανυσματική τυχαία μεταβλητή Ορισμός Ο χώρος καταστάσεων μεταβλητής = της δισδιάστατης τυχαίας = : Ω είναι το υποσύνολο του { ( ) : ω ( ω) ( ω) = Ω = Ω = = Ορισμός σ σ είναι το σ πεδίο που παράγεται από την τυχαία μεταβλητή κατά την έννοια: Το πεδίο σ Όταν = : Ω τότε Παρατήρηση σ{ { B : B ( ) = B { ( ) { B { B : B B ( ) σ = σ = σ B Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
2 Εύκολα μπορούμε να γενικεύσουμε σε διάστατες τυχαίες μεταβλητές (διανυσματικές τμ ή δτμ) ( ) : = Ω διάστατα από κοινού ενδεχόμενα και διάστατα παραγόμενα σ πεδία Για παράδειγμα εάν ( ) ω ( ω) = ( ω) ( ω) = : = Ω έτσι ώστε ( ) ( ) { B = { B B { = ω Ω : ω B ω B = B ( B) = { B { B ενώ σ σ σ = ( ) = { i Bi : B B ( ) i= B Ορισμός Η συνάρτηση g : είναι λέμε ότι είναι μετρήσιμη (συνάρτηση Borel) εάν { g B = { : g( ) B = g ( B) ( ) B ( ) B B Έτσι χρησιμοποιώντας συναρτήσεις Borel μπορούμε να κατασκευάσουμε τυχαίες μεταβλητές που είναι συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών { { Εάν g : είναι συνάρτηση Borel τότε έχουμε g B = g B Επειδή όμως η g είναι συνάρτηση Borel έχουμε g ( B) B ( ) από τον ορισμό της τυχαίας μεταβλητής τότε έχουμε: { { ( ) σ g B = g B = g B ( ) ( ) g( ) g g = Ω Ω Από τα προηγούμενα γίνεται φανερό ότι σ ( g ) σ Ορισμός Κάθε τυχαία μεταβλητή : Ω παράγει μέτρο πιθανότητας P : 0 P B = P B = P B B B B [ ] έτσι ώστε B ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) P P = P σ [0] B [0] Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
3 Ορισμός Η διανυσματική τυχαία μεταβλητή ( ) μέτρο πιθανότητας P = P : [ 0] υποσύνολο του της μορφής B= B B ( ) : = Ω παράγει το B έτσι ώστε για κάθε μετρήσιμο B να έχουμε: { ({ { ) P B = P B = P B B = P B B Ορισμός: Λέμε ότι το μέτρο πιθανότητας καταστάσεων = ( Ω) είναι συνεχής P είναι συνεχές όταν ο χώρος και υπάρχει μη αρνητική + συνάρτηση f : 0 η από κοινού συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας για την οποία ισχύει { P Ω = P = f = f = Ορισμός Λέμε ότι το μέτρο πιθανότητας καταστάσεων = ( Ω) = = P είναι διακριτός δηλαδή είναι διακριτό όταν ο χώρος και υπάρχει μη + αρνητική συνάρτηση p : 0 η από κοινού συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την οποία ισχύει: { P Ω = P = p = p = όπου p ( ) = P{ = = Μονοδιάστατες πυκνότητες πιθανότητας Όταν : P εννοούμε την πιθανότητα που περικλείεται στο απειροστό σύνολο ( + ] Ω είναι συνεχής με το συμβολισμό { ( ] { { ω : ( ω) P = P + = P < + = P Ω < + Εάν η τυχαία μεταβλητή έχει πυκνότητα πιθανότητας + { P < + = f u u f : έχουμε + 0 Θεωρώντας ότι το είναι μια πολύ μικρή (απειροστή) μεταβολή δεχόμαστε ότι η τιμή f ( u ) δεν αλλάζει όταν u ( + ] και παραμένει ίση με f ( ) με αποτέλεσμα Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 3
4 = { < = = = P ( ) f ( ) P P f u u f u f = Έτσι για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο B (δηλαδή Borel υποσύνολο) του έχουμε: = { = = P B P B P f B B Πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά Lebesgue έχουμε { { B ω B (( ]) P B = P B = P ω = P ωω+ ω ( ω) ( ( ]) { = P + = P < + = f = B B B Η (αθροιστική) συνάρτηση κατανομής F ( ) : [ 0] μεταβλητής ορίζεται σαν η πιθανότητα F ( ) P{ πυκνότητα f δίνεται από το ολοκλήρωμα = { = { ( ] = = u= u της τυχαίας F P P f u u f u u Ισοδύναμα = Όταν υπάρχει η = ( + ) = { + { = { < + F F F P P P = P = f + Όταν : Ω είναι διακριτή με μάζα p : 0 η (αθροιστική) συνάρτηση F : 0 της τυχαίας μεταβλητής ορίζεται σαν η κατανομής [ ] πιθανότητα F ( ) P{ = { F = P = p k Πρόταση Στην μονοδιάστατη περίπτωση η συνάρτηση κατανομής F = P{ έχει τις εξής ιδιότητες: Η F ( ) είναι αύξουσα για < < k Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 4
5 F ( ) F ( ) 0 4 F ( ) lim F + h = συνεχης η F ειναι παντου συνεχης h 0 = lim F ( + h) = διακριτη η F ειναι συνεχης µονο απο τα δεξια h 0+ Στο παρακάτω σχήμα στα δεξιά η F είναι παντού συνεχής Στο δεξί σχήμα η F είναι συνεχής μόνο από τα δεξιά ( ] ( ] ( ] ( ] { { P P F F { { α lim F ( ) = lim P{ = lim P{ ( ] = lim P{ ( ] = P ( lim { ( ]) = P ( { ( ] ) P ( = ( ] = = ) ( ) = { = P ( ] = P = P < < = P Ω = β lim F ( ) = lim P{ = lim P{ ( ] = lim P{ ( ] = P ( lim { ( ] ) = P ( { ( ] ) P ( = ( ] = = ) ( ) = = P ( ] = P = P = = if F ( ) F ( ) = sup F ( ) ή ισοδύναμα εφόσον η F συνάρτησης είναι το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής = 0 και = F f u u u= f u u f u u u= u= Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 5
6 4 Έστω φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών { (ισοδύναμα ) τότε F ( ) = P{ = P ( ] = P = { ( ] Επειδή B = B = ( B ) = { B i i i i i I i I i I i I F ( ) = P { ( ] = P { = = Και επειδή { θα έχουμε lim { lim F = P = F = F + Δηλαδή δείξαμε ότι F ( ) F ( ) lim είναι πάντα συνεχής από τα δεξιά Άσκηση Δείξτε ότι: P{ F ( ) < = P{ F ( ) F ( ) = = με = + = όταν Με άλλα λόγια η ασκ Έστω φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών { (ισοδύναμα ) τότε P{ < = P{ ( ) = P ( ] = Επειδή B = B = ( B ) = { B i i i i i I i I i I i I με = η P{ P{ < = P ( ] = P { { = = < γίνεται Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 6
7 Και επειδή { θα έχουμε { lim { lim P < = P = F = F P{ P( { \{ ) P{ P{ F ( ) F ( ) = = < = < = Άσκηση Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής και το αντίστοιχο failure rate όταν: ~ Ga ( 3 b ) για b > 0 ~ Ca a b a > 0 b > 0 για b > 0 3 ~ Ep ( λ) λ > 0 4 Όταν 0 ~ Wei λ b λ > 0 b > 0 0 Για > 0 έχουμε F = 3 3 b bu b bu F = Ga u 3 b u = u e u > 0 u = u e u Γ 3 u= u= 0 u= 0 b b = e + b + Συνολικά έχουμε Το failure rate (ή hazar rate) είναι η συνάρτηση S ( ) H ( ) = log = όπου S ( ) S ( ) = F ( ) η συνάρτηση S ( ) survival Το Failure rate είναι η συχνότητα με την οποία ένα σύστημα (είτε στοιχείο του συστήματος) αποτυγχάνει να λειτουργήσει και βρίσκει εφαρμογή στη θεωρία αξιοπιστίας Το ολοκλήρωμα ( ) ακέραιος Ga u a b u έχει αναλυτική αναπαράσταση μόνο όταν το a είναι θετικός Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 7
8 b F e b b = + + ( > 0) για < < b u u F = Ca u a b u = π = b u b u a π + = + u a / b ( ) u= ( a) / b z ( a ) / b a = arcta z arcta arcta π = = z= + z π π b a π = arcta π + < < b 3 Όταν 0 0 F = ( λ) λ u= u= 0 λu F = Ep u u = λ e u = e Έτσι λ { ( 0) F e H = λ λ = > και S ( ) e ( 0) 4 Όταν 0 0 F = = > για < < b b b λ b z λ b F ( ) = Wei ( u λ b) u = λ u ep u u = e z = ep b b Έτσι u= u= 0 z= 0 λ λ F b b H = λ λ = ep ( > 0) λ και S ( ) = ep ( > 0) λ b για < < Από κοινού πυκνότητες πιθανότητας Όταν = ( ) Ω συμβολίζουμε με P ( ) : την πιθανότητα του απειροστού συνόλου ( + ] ( + ] ( ) = {( ) ( + ] ( + ] P P Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 8
9 { = P < + < + Εάν λοιπόν η τυχαία μεταβλητή ( ) πιθανότητας f τότε = έχει από κοινού πυκνότητα { + + ( ) P f u u u u < + < + = u = u= επειδή το είναι μια πολύ μικρή μεταβολή δεχόμαστε ότι η συνάρτηση f u u δεν αλλάζει για ( u u) ( + ] ( + ] Η τιμή της παραμένει σταθερή και ίση με f έτσι ( ) ( ) ( ) + + = u = u= P f u u = f Τότε για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο B= B B του { = = = P B P B P f B B { ( ) P B B f = = B B Η συνάρτηση κατανομής ολοκλήρωμα F της δτμ ( ) θα έχουμε = δίνεται από το ( ) { ( ) F P f u u u u u = u = = = Ορισμός Λέμε ότι το μέτρο πιθανότητας P ( ) είναι διακριτό όταν ο χώρος { k k καταστάσεων είναι διακριτός ( ) δηλαδή το είναι διακριτό υποσύνολο του = Ω = k και υπάρχει μη αρνητική συνάρτηση (η από κοινού μάζα πιθανότητας) P ( ) P{ k i i { { { P Ω = P = P = = P = = = i= και P{ B = P ( B) = P{ = B = = τέτοια ώστε Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 9
10 Η συνάρτηση κατανομής της διακριτής διανυσματικής τυχαίας μεταβλητής δίνεται από το άθροισμα = { = { = = F P P k k k k k = = p k k k = Πρόταση (οι ιδιότητες της από κοινού αθροιστικής συνάρτησης κατανομής) Εάν η FY ( ) Ζ= ( Χ Υ) : Ω όπου ω Z( ω) = ( ( ω) Y ( ω) ) Z y είναι η από κοινού συνάρτηση κατανομής δισδιάστατης τμ θα έχουμε Y u= v= = Y = = y ( ) { F z F y P Y y Οι ιδιότητες της F F ( y) ΧΥ Y 0 Εάν και y y 3 F ( y) lim = y ΧΥ 4 F ( y ) y είναι οι εξής: y k= l= τότε FΥ y ΧΥ F y ασκ των τμ και Y αντιστοίχως 5 F ( y) F ( y) lim = lim = 0 6 F ( y ) Y ΧΥ ΧΥ y ( ή ) f ( u v) vu έ Y διακριτ ς py ( kl ί ) Y συνεχε ς ( ) ( y ) F y F y F y ΧΥ ΧΥ ΧΥ FΧΥ όπου F και F ( y) lim FY + hy = συνεχ ς h 0 = lim FY ( ή+ hy ) = διακριτ + h 0 Υ οι περιθώριες Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 0
11 F Y ( y ) ( ή ) lim FY y + k Y= συνεχ ς k 0 = lim FY ( y ή + k) Y= διακριτ + k 0 7 P{ < Y y = F ( y) F ( y) Y Y { < = ( ) ( ) P y Y y F y F y Y Y Εμφανώς έχουμε ότι ενώ y F y = f u v uv 0 Y Y v= u= ( ) = ( ) ( ) F y f u v uv f u v uv Y Y Y v= u= v= u= y fy ( v) v fy ( v) v v= v= = = Παρατηρήστε ότι F ( y) F( y) και F ( y) F ( ) Y Y y για κάθε ( ) y Y y ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] Y ( y] ( ] Y ( y] Y y Y y Y y Y y { { { { { { P{ Y y P{ Y y F ( y ) F ( y ) Y Y Και οι άλλες τρείς ανισότητες αποδεικνύονται παρόμοια 3 Από τις και έχουμε ότι lim ( ) FΧΥ y a y = < Εφόσον το προηγούμενο όριο υπάρχει θα είναι η κοινή τιμή a των επάλληλων ορίων lim lim F y = a= lim lim F y Αρκεί λοιπόν να βρούμε το όριο ΧΥ ( y) ΧΥ y y lim lim F y ΧΥ Έχουμε lim lim F y = lim lim F m = lim lim P my { ΧΥ ΧΥ y m m Θέτουμε και ( ) {{ m Y {{ m { Y = = m= m= προφανώς ( ) για Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
12 { m Y = { m Y = ( { m ) { Y m= m= ( { ( m] ) { Y { ( m] { Y m= m= lim m = = { ( ) { Y { Y { Y = =Ω = { { lim F y = lim P lim m Y = lim P Y ΧΥ m y Θέτουμε = {{ Y m = { ( ] προφανώς έτσι { m= { ( ] { lim Y = lim Y = Y = Y = Ω που δίνει ΧΥ { lim F y = Plim Y = PΩ = y Η απόδειξη με εναλλαγμένα τα όρια είναι παρόμοια 4 lim F ( y) lim F ( m y) lim P{ m Y y = = ΧΥ ΧΥ m m Θέτουμε ( y) {{ my y m = προφανώς ( y) για έτσι ( { ) ( ΧΥ = = { ) m m= ( { ) { m= lim F y P lim my y P my y { { = P m Y y = P Ω Y y = P Y y = F y Y Παρόμοια είναι και η απόδειξη του F ( y) F ( ) lim ΧΥ y = 5 lim F ( y) = lim F ( m y) = lim P{ m Y y ΧΥ ΧΥ m m Θέτουμε y = {{ my y m προφανώς για έτσι y F ( y ) P ( { my y ) P ( { my y ΧΥ = = ) m m= ( { ) { 0 m= lim lim { = P m Y y = P Y y = P = Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
13 Παρόμοια είναι και η απόδειξη του F ( y) lim = 0 y 6 Η απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη 4 της προηγούμενης πρότασης 7 P{ < Y y = P( { Y y \{ Y y ) = P( { Y y ) P( { Y y { Y y ) = P( { Y y ) P( { Y y ) = FY ( y) FY ( y) ΧΥ Παρόμοια είναι και η απόδειξη και για την δεύτερη εξίσωση Άσκηση Εάν ( Y ) ~ F Y (οι τμ Y είναι από κοινού συνεχείς είτε από κοινού διακριτές) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: { > ay > b { ay b 3 { a < a b < Y b 4 { a a b Y b όπου είναι δυνατόν σαν συναρτήσεις των FY F F Y και py p p Y { > a Y > b = ({ > a { Y > b ) = { a { Y b P{ > a Y > b = P( { a { Y b ) P{ a P{ Y b P{ a Y b F ( a) F ( b) F ( a b) = + = + Y Y P{ ay b = P { < a { Y< b = P{ < a P{ Y < b + P{ < a Y < b = ( P{ a P{ = a ) ( PY { b PY { = b ) + ( P{ ay b P{ = ay = b ) = F ( a) F ( b) + F ( ab ) + p ( a) + p ( b) p ( ab ) Y Y Y Y 3 P{ a < a b < Y b = P{ a b < Y b P{ a b < Y b = P{ a Y b P{ a Y b P{ a Y b P{ a Y b = F ( a b ) F ( a b ) F ( a b ) + F ( a b ) Y Y Y Y Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 3
14 4 P{ a a b Y b = P{ a b < Y b P{ < a b < Y b = P{ a b < Y b ( P{ a b < Y b P{ = a b < Y b ) = P{ a Y b P{ a Y b P{ a Y b + P{ a Y b + P{ = a Y b P{ = a Y b = FY ( a b ) FY ( a b ) FY ( a b ) + FY ( a b) + P{ = a Y b P{ = a Y b = FY ( a b ) FY ( a b ) FY ( a b ) + FY ( a b) + P{ = a P{ Y b = a P{ = a P{ Y b = a = FY ( a b ) FY ( a b ) FY ( a b ) + FY ( a b) + p ( a ) F ( b a ) p ( a ) F ( b a ) Y Y Άσκηση Εάν ( YZ ) ~ F YZ (οι τμ YZ είναι από κοινού συνεχείς είτε από κοινού διακριτές) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: { > a Y > b Z > c { a < a b < Y b c < Z c Άσκηση Εάν ( Y ) ~ F Y και οι τμ Y είναι συνεχείς δείξτε ότι: FY ( y ) = fy ( y ) y Γνωρίζουμε ότι f ( y) y P{ y Y y y = < + < + όμως Y { < + < + = { + < + { < + P{ Y y y P{ Y y P{ Y y y P{ Y y F ( y y) F ( y) F ( y y) F ( y) P y Y y y P y Y y y P y Y y y = = Y + + Y + Y + + Y = FY ( + y) y FY ( y) y = ( FY ( + y) FY ( y) ) y y y y = FY ( y) y y Άσκηση Να δειχθεί ότι: Εάν η τμ : Ω είναι συνεχής τότε P{ = = 0 για κάθε Ω Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 4
15 Εάν Χ Υ : Ω δισδιάστατη τμ και η Χ είναι συνεχής τότε P{ Y y P{ Y y P{ Y y ( y ) ( ΧΥ )( Ω ) = = = = = = = 0 για κάθε 0 P{ = P{ h< = P{ P{ h { = F F h F F = 0 P = = 0 h 0+ εφόσον η συνάρτηση κατανομής είναι παντού συνεχής Εναλλακτικά P{ = = P{ P{ < = F ( ) F ( ) = 0 P{ Y y P{ h Y y { { Y Y h 0+ Y Y P{ Y y 0 ( y) Y 0 = < = P Y y P h Y y = F y F h y F y F y = 0 = = Πρόταση Εάν ( ) : = Ω με ( ) ~ F οι τμ είναι ανεξάρτητες εάν F ( ) = F ( ) F ( ) Εάν οι τμ είναι από κοινού συνεχείς τότε f ( ) = f ( ) f ( ) Εάν οι τμ είναι από κοινού διακριτές τότε p ( ) = p ( ) p ( ) Πράγματι εάν οι τμ για i = είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και έτσι είναι ανεξάρτητες τότε και τα ενδεχόμενα { ( ) = { = ({ { ) { { F P P = P P = F F Εάν οι τμ είναι από κοινού συνεχείς τότε: i i Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 5
16 F = F F f = F F { ( ) ( ) = F F = f f Ενώ εάν οι τμ είναι από κοινού διακριτές τότε τα ενδεχόμενα { i = για i = είναι ανεξάρτητα και i ( ) = { = = = { = { = p P P P = p p Υπό συνθήκη πυκνότητες Εάν οι τμ και Y είναι από κοινού συνεχείς με ( Y ) ~ f Y τότε υπάρχουν δύο υπό συνθήκη πυκνότητες fy ( y ) και fy ( y ) fy ( y ) y = P{ y < Y y + y < + P ({ < + { y < Y y + y ) P{ < + y < Y y + y = = P{ < + P{ < + fy ( yy ) fy ( y ) fy ( y ) = = y fy ( y ) f ( ) f ( y) = f ( y) Παρόμοια έχουμε ότι f ( y) Y f ( y ) ( y) = Y f Y Πρόταση (περιθώριες πυκνότητες) Εάν οι τμ και Y είναι από κοινού συνεχείς με ( Y ) ~ f Y τότε η περιθώριες πυκνότητες των και Y είναι αντίστοιχα = και f f y y y= Y f y = f y Y = Y Εάν οι τμ και Y είναι από κοινού διακριτές με ( Y ) ~ p Y τότε η περιθώριες μάζες των και Y είναι αντίστοιχα p ( ) p ( y) py y = py y = y Y και f ( ) = P{ < + = P ({ < + Ω ) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 6
17 ({ { ) { = P < + < Y < = P < + < Y < + + = f Y ( u y) u y = f Y ( y) u y = f Y ( y) y y= u= y= u= y= f = f y y y= Y f y = f y Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε και ότι Y = Y p ( ) = P{ = = P( { = { Y ) = P { = { Y = y y { ( ) = P = Y= y = p y y Y Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε και ότι p( y) p ( y) Y = Y y Εναλλακτικά Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις υπό συνθήκη πυκνότητες f y Για παράδειγμα Y f Y ( ) = ( ) = ( ) = f y y f f y y f f y y f Y Y Y y= y= y= y και Παράρτημα Α (i) Εάν : Ω είναι τμ και AB υποσύνολα του Ω (δηλαδή AB ) τότε ισχύουν τα παρακάτω: ( A B) = ( A) ( B) ( A B) ( A) ( B) 3 ( A\ B) ( A) \ ( B) 4 A B ( A) ( B) 5 ( A) A 4 ω ( ω ω ) ( ω) ( ω) A B A B A B A B Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 7
18 5 ω A ( ω) = ( A) ω ( ) ( A) (ii) Εάν τα παρακάτω: CD μετρήσιμα υποσύνολα του (δηλαδή CD ( ) ) τότε ισχύουν C D = C ( D) { C D = { C { D ( C D) = ( C) ( D) { C D = { C { D 3 ( C \ D) = ( C) \ ( D) { C \ D = { C \{ D 4 C D ( C) ( D) C D { C { D 5 ( C) C C { C C D ( ) ( C D) C D ( C D) ( ) ( C) ( ) ( D) ( ) ( C) ( D) C D ( ) ( C D) C D ( C D) ( ) ( C) ( ) ( D) ( ) ( C) ( D) 3 ω ( ) ( C \ D) C D ( ω C ω D ) ω ( C) ( D) 4 C D ( C D) ( ) ( C) ( ) ( D) ( C) ( D) C C = C 5 ω : ( ω) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 8
Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότερα17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P, που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ] και έχει τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ).. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων
Διαβάστε περισσότερακαι Y εάν και 4. Να βρεθούν οι κατανομές των υπό συνθήκη τ.μ. [ Y Y ] και [ ] p x x p x p x Po x Po x e
Παράδειγμα Οι τμ μεταβητές X παραμέτρους X είναι ανεξάρτητες κατανέμονται σαν Posso με Να βρεθεί οι από κοινού κατανομή των X X Ποία η από κοινού των τμ Y Y εάν Y Y T X X X + X X Βρείτε τις περιθώριες
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn
Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Cetral Lmt Theorem Leberg Levy Εάν ~ f (, με [ ] µ, Var [ ] σ < και S τότε η τμ S ( S S µ συγκίνει ως προς κατανομή (coverges strbuto στη Var S σ ( N ( 0,, δηαδή N( 0, ή ισοδύναμα
Διαβάστε περισσότεραProapaitoÔmenec gn seic.
ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία
Διαβάστε περισσότεραn = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Διαβάστε περισσότερα5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους
121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραsin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός 3 Όρια πραγματικής. συνάρτησης πολλών μεταβλητών
ΧΑΣΖΟΠΟΤΛΟ ΓΕΡΑΙΜΟ ΚΑΘΗΓΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ - ΔΙΔΑΚΣΙΚΗ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ - Απειροστικός Λογισμός 3 Όρια πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών Α. υνοπτική Θεωρία 1. Ορισμός: Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων Υπενθυμίζουμε συνοπτικά κάποιες βασικές έννοιες που θα μας χρειαστούν σε επόμενα κεφάλαια 3 σ-άλγεβρα: Έστω ένα μη κενό σύνολο Μία κλάση υποσυνόλων F του
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης
9 Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ι Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός 1 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν f( f( υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9. Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Παρατηρήστε ότι ο πρώτος κανόνας αλλαγής μεταβλητής εφαρμόζεται μόνο στα εφτά πρώτα όρια ενώ ο δεύτερος κανόνας εφαρμόζεται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραx π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η
Η Στατιστική συμπερασματολογία (statstcal ferece είναι η επιστήμη που σκοπό έχει την εξαγωγή συμπερασμάτων για τις παραμέτρους ενός πληθυσμού, δηλαδή την εκτίμηση των παραμέτρων του, μελετώντας δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f
Διαβάστε περισσότεραΕπεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων
Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση
Διαβάστε περισσότερα4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΡητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραn k=1 k=n+1 k=1 k=1 k=1
Πιθανότητες ΙΙ - Λύσεις Ασκήσεων Άσκηση 1 Εστω A σ-άλγεβρα. Τότε, A και A κλειστή στα συμπληρώματα (ιδιότητες (i) και (ii) της σ-άλγεβρας). Εστω A 1, A 2,..., A πεπερασμένη ακολουθία στοιχείων της A. Αφού
Διαβάστε περισσότερα40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)
Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΙσότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών
Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραsup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότερα1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n
Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότερα2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1. (13.1) e x2 dx. e y2 dy, I = 2. e (y2 +z 2) dy dz.
Κεφάλαιο 3 Κ.Ο.Θ.: Λίγη θεωρία και αποδείξεις Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε τέσσερις αποδείξεις αποτελεσμάτων που σχετίζονται με την κανονική κατανομή και το Κ.Ο.Θ., οι οποίες είναι αρκετά πιο απαιτητικές,
Διαβάστε περισσότεραII. Τυχαίες Μεταβλητές
II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο
Διαβάστε περισσότερα8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής
Διαβάστε περισσότερα{ } } ( ) (, ) (, ) (, ) ( x) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 21. Άσκηση 22. π π π. Δείξτε ότι εάν xi x. για i = 1, 2 τότε έχουμε ότι οι τ.μ u = x1+ x2.
Άσκηση Δείξτε ότι εάν ~ G (, b v για, τότε έχουμε ότι οι τ.μ u και είναι ανεξάρτητες και u ~ G (, b, v ~ Be(, Η από κοινού των και είναι (, π e e e ( b b b. Ορίζουμε τον ένα-προς-ένα μετασχηματισμό T u
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.
Διαβάστε περισσότεραh(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ
50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα πραγματικών συναρτήσεων
Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραP( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή
Διαβάστε περισσότεραΓια την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0
5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραG n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση
Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση
Διαβάστε περισσότεραf(x) f(c) x 1 c x 2 c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης fxc είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
Διαβάστε περισσότεραι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.
6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται
Διαβάστε περισσότεραΕνα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
Διαβάστε περισσότερα3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier
3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότερα