Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασός Στοχαστικών Συστηάτων Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής Τηλ:

2 ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / k / k ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω k = 4 ηχανές ενός εργοστασίου και 1 επισκευαστής. Όλες οι πιθανές καταστάσεις του συστήατος δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Με βλάβη στο σύστηα εξυπηρέτησης- n Σε λειτουργία στην πηγή k Μήκος Ουράς Συνεργείο Αδρανές Ενεργό Ενεργό Ενεργό Ενεργό 4λ 3λ 2λ λ

3 ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / k / k Άσκηση 1: Σε ια βιοτεχνία η οποία λειτουργεί 24 ώρες για 5 ηέρες, υπάρχει 1 τεχνικός ο οποίος είναι υπεύθυνος για την επιδιόρθωση 4 ηχανών. Κάθε ηχανή λειτουργεί κατά έσο όρο 60 ώρες πριν χρειαστεί επαναρύθιση ή επισκευή οπότε και παίνει στο συνεργείο σύφωνα ε ια διαδικασία Poisson. Ο τεχνικός χρειάζεται κατά έσο όρο 15 ώρες για κάθε επισκευή. Ο χρόνος επισκευής ακολουθεί την εκθετική κατανοή. Να βρεθούν τα έτρα απόδοσης του συστήατος.

4 ΟΥΡΑ Μ / Μ / c / k / k ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Μια εταιρεία διαθέτει 5 αυτοκίνητα για τις ανάγκες της. Ο χρόνος συνεχούς λειτουργίας κάθε αυτοκινήτου έχει την εκθετική κατανοή ε παράετρο λ και όλις αυτό πάθει βλάβη πηγαίνει στο συνεργείο. Εκεί υπάρχουν δύο ηχανικοί κάθε ένας από τους οποίους ασχολείται ε ένα αυτοκίνητο την φορά και το επισκευάζει σε χρόνο που ακολουθεί την εκθετική κατανοή ε παράετρο. Να βρεθεί, αν υπάρχει, η οριακή κατανοή του αριθού των αυτοκινήτων στο συνεργείο

5 ΟΥΡΑ Μ / Μ / c / k / k ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Ένα εργοστάσιο διαθέτει 4 ηχανές που δουλεύουν συνεχώς η ία ανεξάρτητα της άλλης. Ο χρόνος λειτουργίας της κάθε ηχανής ακολουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή 30 ώρες. Όταν κάποια ηχανή χαλάσει πάει στο συνεργείο επισκευής στο οποίο υπάρχουν 2 ηχανικοί ε την ίδια επειρία και ικανότητα. Ο χρόνος που χρειάζεται κάθε ηχανικός για να επισκευάσει ια ηχανή ακολουθεί εκθετική κατανοή ε έση τιή 3 ώρες. i. Δώστε το διάγραα καταστάσεων για το σύστηα και υπολογίστε την στάσιη κατανοή πιθανότητας ii. Αν τα χαένα έσοδα ανά ώρα για κάθε ηχανή που δεν λειτουργεί είναι 100 και το ωριαίο κόστος για κάθε ηχανικό είναι 10, να βρείτε το έσο συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήατος.

6 ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / 1 ε επαναπροσπάθειες (retrials) Πρόκειται για ια παραλλαγή της Μ/Μ/1/1 ουράς, όνο που κάθε πελάτης που φτάνει στο σύστηα και βρίσκει τον 1 εξυπηρετητή κατειληένο και κατά συνέπεια πρέπει να φύγει από το σύστηα αφού η χωρητικότητα του είναι 1, δεν εγκαταλείπει την προσπάθεια του αλλά επανέρχεται στο σύστηα ετά από χρόνο που ακολουθεί εκθετική κατανοή παραέτρου ν. Αν και πάλι βρει τον εξυπηρετητή κατειληένο, ξαναπροσπαθεί ετά από εκθετικά κατανεηένο χρόνο παραέτρου ν κ.ο.κ. Για να ελετήσουε το συγκεκριένο σύστηα πρέπει να γνωρίζουε όχι όνο τον αριθό των πελατών στο σύστηα Ν(t), αλλά και τον αριθό των πελατών που βρίσκονται σε τροχιά επαναπροσπάθειας R(t) Εποένως κάθε κατάσταση του συστήατος θα χαρακτηρίζεται από 2 στοιχεία (Ν(t), R(t))

7 ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / 1 ε επαναπροσπάθειες (retrials) Οι καταστάσεις λοιπόν του συστήατος θα είναι: Κατάσταση Επόενη κατάσταση Χρόνος (0,0) (1,0) Exp(λ) (1,0) (1,1) Exp(λ) (0,0) Exp() (0,1) (1,1) Exp(λ) ΓΕΝΙΚΑ (1,0) Exp(ν) (0,n) n 1 (1,n) Exp(λ) (1,n-1) Exp(nν) (1,n) n 1 (1,n+1) Exp(λ) (0,n) Exp()

8 ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / 1 ε επαναπροσπάθειες (retrials) Και το διάγραα καταστάσεων θα είναι: λ 0,0 0,1 0,2 ν 2ν λ λ 3ν λ 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 λ λ λ

9 ΟΥΡΑ Μ / Μ / ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πριν την κάθε ακαδηαϊκή χρονιά το Τήα Μηχανικών Οικονοίας και Διοίκησης λαβάνει κατά έσο όρο 20 αιτήσεις για το Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Π.Μ.Σ.). Κάθε αίτηση περνάει από ια διαδικασία κρίσης για να γίνει ο υποψήφιος αποδεκτός. Κάθε αίτηση έχει ια πιθανότητα 0.7 να γίνει αποδεκτή. Το Π.Μ.Σ. διαρκεί κατά έσο όρο 2 έτη. Έστω ότι οι αφίξεις των αιτήσεων γίνονται σύφωνα ε ια διαδικασία Poisson και ο χρόνος ολοκλήρωσης του Π.Μ.Σ. ακολουθεί εκθετική κατανοή. Ποιος είναι ο έσος αριθός αποδεκτών φοιτητών ανά ακαδηαϊκό έτος; Κατά έσο όρο πόσοι φοιτητές βρίσκονται στο Π.Μ.Σ.; Ποια είναι η πιθανότητα το Μ.Π.Σ. να ην έχει κανέναν φοιτητή; Το Τήα θα ενεργοποιήσει ένα πρόγραα Διδακτορικών σπουδών αν οι φοιτητές στο Μ.Π.Σ. είναι πάνω από 20. Ποια είναι η πιθανότητα να ενεργοποιηθεί το πρόγραα αυτό;

10 ΟΥΡΑ Μ / Μ / ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό κέντρο καταφθάνουν τυχαία ε ρυθό 140 κλήσεις ανά ώρα. Το τηλεφωνικό κέντρο διαθέτει έναν πάρα πολύ εγάλο αριθό γραών. Η έση διάρκεια κάθε κλήσης είναι 3 λεπτά. Πόσες από τις γραές χρησιοποιούνται κατά έσο όρο;