ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

Transcript

1 ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης

2 Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου Μερικές Βασικές Ιδέες Αναονητικών Συστηάτων Αφίξεις ε Αποθάρρυνση Το Σύστηα Μ/Μ/ Το Σύστηα Μ/Μ/....6 To Σύστηα Μ/Μ//K....7 To Σύστηα Μ/Μ// Το Σύστηα Μ/Μ///Μ Το σύστηα Μ/Μ///Μ Το Σύστηα Μ/Μ//K/M ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ MARKOV ΟΠΟΥ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΕΝΝΗΣΗΣ-ΘΑΝΑΤΟΥ ΕΝ ΙΣXΥΕΙ Η Κατανοή Erlag E Ο Μετασχηατισός Η Ουρά Μ/Ε / Η Ουρά Ε /M/ Οαδικές Αφίξεις Οαδικές εξυπηρετήσεις ίκτυα Αναονητικών Συστηάτων ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Το Σύστηα Μ/G/ Γενικότερα Μοντέα To οντέο Μ/G/... 58

3 4.. Το οντέο G/G/ Το σύστηα G/G/ ΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ64 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ FMS Εισαγωγή Προβήατα FMS Ένα οντέο FMS AΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...86

4 EIΣΑΓΩΓΗ Αρχίζουε ε ερικούς βασικούς ορισούς που αφορούν τα συστήατα παραγωγής. Σταθοί παραγωγής worsaos είναι συνήθως ηχανές συνδεδεένες εν παραήω και εργαζόενοι σ αυτές που δέχονται πρώτες ύες ή ανεπεξέργαστα κοάτια και παράγουν επεξεργασένα είδη. Σύστηα παραγωγής produco syse είναι δίκτυο σταθών παραγωγής. Γραή παραγωγής produco le συνίσταται από ηχανές ή σταθούς παραγωγής συνδεδεένους εν σειρά. Ένα δίκτυο παραγωγής produco ewor περιέχει σταθούς παραγωγής ε αυθαίρετες διασυνδέσεις. Για ν αυξήσουε την παραγωγικότητα ενός δικτύου παραγωγής τοποθετούε ανάεσα σε διαδοχικούς σταθούς χώρους εναποθήκευσης buffers, οι οποίοι διατηρούν αποθέατα υικών προς επεξεργασία από τους επόενους σταθούς παραγωγής. Το κεντρικό πρόβηα των δικτύων παραγωγής είναι αυτό της ανάυσης και σύνθεσης. Με την ανάυση αναπτύσσουε τη εθοδοογία εκείνη βάσει της οποίας υποογίζουε έσους ρυθούς παραγωγής του συστήατος, έση στάθη χώρων εναποθήκευσης κπ. Mε τη σύνθεση υποογίζουε το βέτιστο έγεθος χώρων εναποθήκευσης όταν αβάνουε υπ όψιν την αύξηση της παραγωγικότητας αά και το κόστος αποθέατος, τη βέτιστη κατανοή επισκευαστικών πόρων κπ. Θα πρέπει να τονισθεί ότι το πρόβηα της ανάυσης και σύνθεσης είναι εξαιρετικά δύσκοο όγω του τεράστιου αριθού των διαστάσεων και των υπερβοικών υποογιστικών απαιτήσεων. Η πουποκότητα του προβήατος σε συνδυασό ε την τυχαιότητα των διακεκριένων γεγονότων ηχανές σπάζουν ή επισκευάζονται, χώροι εναποθήκευσης γείζουν ή αδειάζουν το κάνουν ιδιαίτερα εκυστικό και ενδιαφέρον. Σε ια εποχή εύθραυστων οικονοιών, ειωένης 3

5 παραγωγικότητας, και συνεχώς αυξανόενης αυτοατοποίησης η ύση τέτοιων προβηάτων θα πορούσε να θεωρηθεί πού σηαντική. Εντούτοις, πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η «σύνθεση» εννοείται ε ια πού στενή σηασία, όπως συνήθως συβαίνει ε ποά προβήατα ηχανικών. Για παράδειγα, η γεωετρία ή η τοποογία του δικτύου επηρεάζει την παραγωγικότητα. Ακόη πιο σηαντικό, θα πρέπει κανείς να άβει υπ όψιν του τις κοινωνικές, οικονοικές, και οικοογικές επιδράσεις του συστήατος παραγωγής. Ένα εξαιρετικά αυτοατοποιηένο εργοστάσιο πορεί να συνεπάγεται απούσεις εργατών που πιθανόν να είναι ανεπιθύητες. Ένα ρυπογόνο εργοστάσιο πορεί να καταστρέψει το άεσο ή έεσο περιβάον του ή ισοδύναα το βιοογικό του κεφάαιο. Το πρόβηα εποένως γίνεται ένα πούποκο πρόβηα συστηάτων. Αν το πρόβηα δεν συνδεθεί ε τα αντίστοιχα οικονοικά, κοινωνικά, και οικοογικά προβήατα, τότε δεν πρόκειται παρά για ια στεγνή άσκηση ηχανικών σαν τόσες άες που βασικά είναι υπεύθυνες για ποά προβήατα του πανήτη ας. Ας θεωρήσουε τη γραή παραγωγής του σχήατος. Έστω ότι κάθε ηχανή παράγει ε ρυθό παραγωγής j, j,,..., και η χωρητικότητα κάθε χώρου εναποθήκευσης είναι N j. Κάθε ηχανή παράγει ένα προϊόν σ έναν κύκο παραγωγής ε πιθανότητα p j και αν είναι χαασένη, επισκευάζεται στον ίδιο χρόνο ε πιθανότητα r j. M B M - B - M B M B - M Σχήα.. Γραή παραγωγής Για να υποογίσουε τη έση παραγωγή της γραής και τη έση στάθη των χώρων εναποθήκευσης πορούε να χρησιοποιήσουε τις αυσίδες Marov που είναι ακριβή οντέα. H κατάσταση της αυσίδας περιγράφεται από τις καταστάσεις των ηχανών ή και τον αριθό των κοατιών,,,... που ευρίσκονται εταξύ δύο διαδοχικών ηχανών κάποια χρονική στιγή. Στη στοιχειώδη γραή του Σχήατος., αν η χωρητικότητα της αποθήκης είναι 4

6 Ν, τότε στο σύστηα πορεί να υπάρχουν,, ή κοάτια. Ως τέτοια υποογίζονται όσα έχουν τεειώσει την κατεργασία τους από την Μ και αναένουν ή υφίστανται κατεργασία στην Μ. Για παράδειγα, στο σύστηα υπάρχουν δύο κοάτια όταν η M κατεργάζεται ένα κοάτι, η αποθήκη έχει κοάτια, και υπάρχει ένα ακόη κοάτι αποκεισένο στην έξοδο της Μ το οποίο έχει τεειώσει την κατεργασία του στην ηχανή και περιένει να περάσει στην Μ. M B M Σχήα.. Στοιχειώδης γραή Έχουε τις εξής καταστάσεις ε τη σύβαση Μ Β Μ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, δηαδή συνοικά καταστάσεις και άρα διαφορικές εξισώσεις να ύσουε. Ακόη και στη όνιη κατάσταση το σύστηα γίνεται πούποκο. Εν γένει, σε ένα δίκτυο παραγωγής ε ηχανές και αποθήκες έχουε N j 3 καταστάσεις. Για παράδειγα, για ία γραή ε, 9, N που είναι ια ρεαιστική περίπτωση έχουε περίπου καταστάσεις! Ο υποογιστής που θ αναάβει να ύσει αυτό το πρόβηα χρειάζεται 3 sec αν υποθέσουε τεείως υπεραισιόδοξα ότι κάθε διαφορική εξίσωση παίρνει sec χρόνου CU, ή περίπου 3 8 έτη! Ο υποογιστής που θα ύσει το πρόβηά ας δεν θα εφευρεθεί στα προσεχή 5 χρόνια γι αυτό πρέπει να στραφούε σε άες εθόδους. Η έθοδος Marov είναι καή για προβήατα ικρών διαστάσεων και τέτοια υπάρχουν στην πράξη. Για εγαύτερα, πρέπει να επινοήσουε άες εθόδους. Στο εταξύ χρειαζόαστε ια κάπως επτοερή εξέταση συστηάτων αναονής και διαδικασιών Marov. 5 j j

7 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queueg Syses. Μοντέα Γέννησης Θανάτου Brh-deah odels Αρχίζουε ε ια αυσίδα Marov {X, }. Ορίζουε j τ, X X τ j.. H πιθανότητα j έγεται συνάρτηση πιθανότητας ετάβασης. Θεωρούε τώρα τις χρονικές στιγές > l > και τις καταστάσεις j και. Προφανώς j, X X j X,X j X j X καταστάσεις X, X l j, X j X X l,x j X l X καταστάσεις j [ X X l ] [ X l X j],.. καταστάσεις επειδή η διαδικασία είναι Marov και άρα X X l j, X j X X l j. H.. γίνεται j, j καταστάσεις,l l, για κάθε στιγή l...3 Αυτή η εξίσωση είναι θεειώδης στη θεωρία διαδικασιών Marov και έγεται εξίσωση των Chapa-Kologorov C-K. Κάθε διαδικασία Marov ικανοποιεί ιαν εξίσωση C-K οονότι υπάρχουν και διαδικασίες που δεν είναι Marov και 6

8 ικανοποιούν εξισώσεις C-K. Tώρα υποθέτουε ότι η αυσίδα Marov έχει τις ακόουθες επιπέον ιδιότητες:. [ία ααγή κατάστασης στο διάστηα, ] jj, q j ο...4 ηαδή η πιθανότητα το σύστηα να φύγει από την κατάσταση j στο διάστηα είναι ανάογη του. Η ποσότητα ο ορίζεται: o l.. j, q j ο Oι συναρτήσεις q j, q j είναι συνεχείς. Πηγαίνουε στην εξίσωση C-K..3 και αντικαθιστούε τ l Η εξίσωση C-K γίνεται: τ, τ,, j j j τ,, j τ,, j τ, [ q o ] j τ,, όπου κάναε χρήση της..4. Παρόοια χρησιοποιώντας την..5 ευρίσκοε j τ, j τ, [ q o ] j τ,[ q o ] και ετά από ερικές στοιχειώδεις πράξεις j τ, q j τ, τ, q j..6 Η..6 είναι πού σηαντική και έγεται ευθεία εξίσωση του Kologorov. 7

9 Tώρα ε την αντικατάσταση τ l τ τ ευρίσκοε την αντίστροφη εξίσωση του Kologorov j τ, τ q j τ j τ, j τ, q j τ..7 Υπάρχουν ποά αναονητικά συστήατα όπου η κατάσταση του συστήατος έγεθος της ουράς είναι Marov ε συνεχή ή διακεκριένο χρόνο και έχουν την ιδιότητα γέννησης-θανάτου, δηαδή οι ααγές κατάστασης σ ένα «ικρό» χρονικό διάστηα είναι ή ή ή [ετάβαση από το στο στο, ] o [ετάβαση από το στο στο, ] o [καία ετάβαση στο, ] o για για για..8 Στην πράξη πορούε να έχουε ένα αναονητικό σύστηα π.χ. χώρος εναποθήκευσης σε σύστηα παραγωγής ή ουρά αναονής σε τράπεζα όπου τα αντικείενα ή οι πεάτες φθάνουν τυχαία ε ρυθό είδη/χρόνο και εξυπηρετούνται ε ρυθό είδη/χρόνο. «Τυχαία» σηαίνει σύφωνα ε την έννοια των εξισώσεων..8. Το έγεθος της ουράς στο χρόνο είναι X και η χωρητικότητά της άπειρη. Αυτό είναι το εγόενο αναονητικό σύστηα Μ/Μ/, όπου Μ σηαίνει χωρίς νήη eoryless. Tο πρώτο Μ είναι για την είσοδο, το δεύτερο για την έξοδο, και το είναι ο αριθός των εξυπηρετούντων servers. Συγκρίνοντας τις..4,..5 και..8 ευρίσκοε q, q, q...9 8

10 Tώρα χρησιοποιούε την ευθεία εξίσωση του Kologorov..6 ε αρχή χρόνου τ αρχική κατάσταση j τεική κατάσταση και υποογίζουε τις πιθανότητες και για, [υπάρχουν είδη στο σύστηα στον ] επειδή. ρυθός αύξησης της πιθανότητας, για.. Σχηατικά Σχήα.. ιάγραα καταστάσεων συστήατος γέννησης-θανάτου Οι εξισώσεις.. και.. είναι ορφές της ευθείας εξίσωσης Kologorov. Τώρα υποθέτουε: και ότι οι εξισώσεις.. και.. έχουν όνιη κατάσταση, ήτοι καθώς. 9

11 Για να υπάρχει αυτή η όνιη κατάσταση τα ακόουθα πρέπει να ισχύουν,.. Η.. δίνει και η Αντικαθιστούε,,... στην..4 και χρησιοποιώντας την..5 ευρίσκοε και ε την τέεια επαγωγή. Ορίζουε ρ οπότε ρ και επειδή ρ ρ το οποίο συγκίνει όνο αν ρ < ή < που διαισθητικά σηαίνει ότι αν ή ισοδύναα αν ο έσος ρυθός αφίξεων είναι του έσου ρυθού εξυπηρέτησης, τότε η ουρά

12 αναονής εκρήγνυται ε τη συνεχή αύξηση και δεν υπάρχει όνιη κατάσταση. Προφανώς ρ για ρ < και ρ ρ,,,..., για ρ <...6 Για να γίνει αντιηπτή η σηασία των διαφορικών εξισώσεων της ουράς Μ/Μ/ γράφουε τις εξισώσεις.. για, δηαδή η ουρά δεν έχει αναχωρήσεις.,. o Έστω ότι και.... Τότε e e e και ε τέεια επαγωγή e,! η οποία είναι η πιθανότητα osso ε παράετρο. Θυηθείτε τώρα ότι [ αφίξεις στο χρόνο ]. Έστω ότι ο χρόνος ανάεσα σε διαδοχικές αφίξεις είναι Τ, τότε [T ] [ηδέν αφίξεις στον ] e. H συνάρτηση κατανοής του Τ είναι F a [T < ] e και η συνάρτηση πυκνότητας το οποίο σηαίνει ότι f a F e a

13 άν οι αφίξεις είναι osso, τότε οι χρόνοι ανάεσα στις αφίξεις είναι εκθετικά κατανεηένοι ε έση τιή και αντίστροφα, αν οι χρόνοι ανάεσα στις αφίξεις είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεηένοι, τότε οι αφίξεις είναι osso. Κατά τον ίδιο τρόπο θέτουε στην.. που σηαίνει ότι στο χρόνο έχουε Ν αντικείενα ή πεάτες στο σύστηα και δεν υπάρχουν αφίξεις παρά όνο αναχωρήσεις. Τότε και Για Ν ευρίσκοε N N N.... N N ή N e και επαγωγικά! N e η οποία είναι osso και εποένως οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεηένοι ή f s e ε έση τιή. Βρήκαε τις σηαντικές διαφορικές-διαφοράς εξισώσεις.. και..

14 χρησιοποιώντας τις ιδιότητες Marov και είδαε ότι η διαδικασία που προκύπτει είναι osso. Οι ίδιες εξισώσεις πορούν να ευρεθούν υποθέτοντας ότι η διαδικασία αφίξεων είναι osso και οι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί. Μετά πορεί ν αποδειχθεί ότι η διαδικασία είναι Marov. Εδώ βρήκαε τις εξισώσεις ε το γενικότερο δυνατό τρόπο.. Μερικές Βασικές Ιδέες Αναονητικών Συστηάτων Η στοχαστική διαδικασία Ν έχει ορισθεί σαν ο συνοικός αριθός πεατών στο σύστηα στο χρόνο. Ο πεάτης C φθάνει στο σύστηα τη στιγή τ και ο χρόνος ανάεσα στις αφίξεις των C και C είναι: τ τ.. Aντίστοιχα ονοάζουε w το χρόνο αναονής στην ουρά και x το χρόνο εξυπηρέτησης του C. Ο συνοικός χρόνος στο σύστηα είναι: s w x.. Εφ όσον υπάρχει όνιη κατάσταση στο σύστηα τότε E και...3 Οοίως E x x και x...4 Ορίζουε ακόη δύο στοχαστικές διαδικασίες, τις a : αριθός αφίξεων στο [, ] d : αριθός αναχωρήσεων στο [, ] Τότε Ν a d...5 Ορίζουε σαν Τ το έσο χρόνο αναονής στο σύστηα του κάθε πεάτη στο διάστηα [,]. Yποθέτουε ότι 3

15 l T T και ο έσος αριθός πεατών N στο [,] ικανοποιεί Ο νόος του Lle ας έει ότι l N. N N T...6 Η..6 ήταν γνωστή από δεκαετιών αά αποδείχθηκε αυστηρά το 96 από τον Lle. Αν οι ποσότητες της..6 αναφερθούν στην ουρά αναονής όνο αντί σ οόκηρο το σύστηα, τότε ενώ για το σύστηα εξυπηρέτησης έχουε όπου N q W..7 N s x..8 N s είναι ο έσος αριθός πεατών στο χώρο εξυπηρέτησης. Η σύβαση συβοισού ενός αναονητικού συστήατος είναι: Ι/Ο//K/ I : στατιστική εισόδου Μ: χωρίς νήη, G: γενική, Ε: Erlag O : στατιστική εξόδου : αριθός εξυπηρετούντων K : χωρητικότητα συστήατος : έγεθος πηθυσού πεατών Για παράδειγα, Μ/G/5/5/ είναι ένα αναονητικό σύστηα όπου η είσοδος είναι osso, η έξοδος γενικής κατανοής, υπάρχουν 5 σταθοί εξυπηρέτησης, η χωρητικότητα του συστήατος ουρά εξυπηρέτηση είναι 5, και ο συνοικός αριθός πεατών είναι. Επιστρέφουε τώρα στις εξισώσεις.. και.. που γράφονται στη όνιη κατάσταση 4

16 ..9 Ε 3 Ε Σχήα.. Ροές έσα/έξω για το σύστηα γέννησης-θανάτου Από το διάγραα καταστάσεων βέπουε ότι η..9 ας δίνει την αρχή της διατήρησης της ροής ή της συνέχειας σε κάθε κατάσταση. Στην κατάσταση έχουε: Ροή προς τα έξω: Ροή προς τα έσα: και η εξίσωσή τους ας δίνει την..9 που είναι ισοογισός ροής γύρω από την Ε. Αν τώρα θεωρήσουε την Ε ο ισοογισός ροής δίνει.. απ όπου ευρίσκοε και επαγωγικά όπως σε προηγούενη περίπτωση Η.. είναι η ύση της..9. Τώρα 5

17 ... Οι.. και.. για... και... ας δίνουν το σύστηα Μ/Μ/ και τις ύσεις του προηγούενου κεφααίου. Μπορεί ν αποδειχθεί ότι για να έχουε ύση όνιης κατάστασης, πρέπει: <..3 που δίνει την εξής συνθήκη για την ύπαρξη στο πρόβηα όνιης κατάστασης: τέτοιο ώστε <...4 Επανερχόαστε τώρα στο σύστηα Μ/Μ/. Ο έσος αριθός πεατών Ε στο σύστηα είναι: N ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ...5 ρ Η διασπορά Var είναι σ N N ρ..6 ρ Η γραφική απεικόνιση του N έχει ως εξής: 6

18 75 N ρ Σχήα.3. Μέσος αριθός πεατών στο σύστηα Μ/Μ/ συναρτήσει του ρ Παρατηρούε ότι είναι επικίνδυνο να ειτουργούε το σύστηα κοντά στη χωρητικότητά του δηαδή για. Πρέπει < και άιστα <<. Αυτό συβαίνει επειδή για πορεί κατά έσον όρο να εξυπηρετούε όσους έρχονται κατά έσον όρο πάι και το σύστηα να είναι αδρανές κατά ρ του χρόνου, αά τυχαίες αφίξεις πορούν να συβούν οαδικά και η ουρά να εκραγεί. Τέος για την ουρά Μ Μ ο έσος χρόνος παραονής στο σύστηα είναι: ρ T N..7 ρ και η πιθανότητα να έχει το σύστηα τουάχιστον πεάτες στη όνιη κατάσταση είναι: [ N ] ρ ρ ρ Αφίξεις ε Αποθάρρυνση Dscouraged arrvals Το σύστηα αναονής τώρα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: a, για,,,..., για,,... 7

19 To διάγραα κατάστασης είναι a a/ a/3 a/4 a/ a/ 3 Σχήα.4. Αφίξεις ε αποθάρρυνση Από την.. ευρίσκοε a a!.3. και από την.. ευρίσκοε a e ea /..3. a /! Oι συνθήκες ύπαρξης όνιης κατάστασης εδώ δίνουν Προφανώς a <. a a / e,, ! που είναι osso. O έσος αριθός πεατών είναι και ο έσος χρόνος αναονής στο σύστηα!, προκύπτει αά, επειδή e x x a N.3.4 N T 8

20 a a e a / e a /! οπότε T a ea / Το Σύστηα Μ/Μ/ Σε αυτό το σύστηα υποθέτουε ότι ο εξυπηρετών αυξάνει το ρυθό εξυπηρέτησης ή ότι το σύστηα διαθέτει πάντα έναν εξυπηρετούντα όις υπάρξει ζήτηση. Έχουε οιπόν,,,,,, Όπως στις προηγούενες περιπτώσεις υποογίζουε.4. που είναι ακριβώς η προηγούενη περίπτωση για a. Άρα / / e,,,.4.! N..4.3 Τέος από τον τύπο του Lle T N.4.4 που είναι κάτι αναενόενο. 9

21 .5 Το Σύστηα Μ/Μ/ Το σύστηα διαθέτει το πού εξυπηρετούντες. Εδώ ισχύει:,,,,,,, H συνθήκη για την ύπαρξη όνιης κατάστασης είναι < κατάστασης και το διάγραα - - Σχήα.5. Σύστηα Μ/Μ/ Οι πιθανότητες για είναι!.5. και για!!..5. Oρίζουε ρ και για ρ < έχουε από τις εξισώσεις.5. και.5.

22 ! ρ! ρ..5.3 Tέος, από την..!! ρ ρ!! ρ ρ ρ..5.4 Τα τηεφωνικά συστήατα είναι της ορφής Μ/Μ/ και θα ήταν ενδιαφέρον να υποογίσουε την πιθανότητα ένα τηεφώνηα να η βρει διαθέσιο κύκωα [σύστηα πήρες]! ρ και ετά ίγη άγεβρα [σύστηα πήρες]!!! ρ ρ ρ ρ ρ.5.5 που έγεται τύπος του Erlag..6 To Σύστηα Μ/Μ//K Το σύστηα αναονής έχει χωρητικότητα K πεατών συπεριαβανοένου και του εξυπηρετουένου πεάτη. Οι αφίξεις είναι osso αά όταν το περιεχόενο της ουράς είναι K ο πεάτης φεύγει. Ένας αφικνούενος πεάτης πορεί να πει στην ουρά όνο όταν η κατάστασή της είναι < K. Το διάγραα κατάστασης είναι

23 K- K Σχήα.6. Σύστηα Μ/Μ//K όπου για < K για K για K για > K Aπό τα προηγούενα ευρίσκουε ότι υπάρχει όνιη κατάσταση για < και > K, K,.6. Επίσης K K / / K.6. οπότε K / /, K, > K ή <..6.3

24 .7 To Σύστηα Μ/Μ// Coplee loss syse Eδώ υπάρχουν εξυπηρετούντες και η χωρητικότητα του συστήατος είναι που σηαίνει ότι όις και οι εξυπηρετούντες είναι κατειηένοι, τότε κάθε νέος πεάτης που φθάνει στο σύστηα χάνεται. Το οντέο τώρα γίνεται, <,,,,, Το διάγραα είναι - - Σχήα.7. Σύστηα Μ/Μ// και οι αντίστοιχες πιθανότητες,!, >..7. H αρχική πιθανότητα είναι!.7. και άρα 3

25 !! η οποία για γίνεται!!.7.3 που είναι ο τύπος Β, / του Erlag, τον οποίο βρήκε ο Εrlag το 97 και είναι η πιθανότητα σ ένα τηεφωνικό σύστηα γραών εν γένει εξυπηρετούντων να είναι κατειηένες και οι γραές..8 Το Σύστηα Μ/Μ///Μ Fe-populao odel Αυτό το σύστηα δεν έχει νήη όπως και τα προηγούενα υπάρχει ένας εξυπηρετών, και ενώ η ουρά έχει απεριόριστη χωρητικότητα, οι χρήστες του συστήατος είναι Μ. Συχνά το παραείπεται και γράφουε Μ/Μ// /Μ. Ο κάθε πεάτης φθάνει ε ρυθό, δηαδή ο χρόνος άφιξης είναι ια εκθετική τυχαία εταβητή ε έση τιή /. Όταν υπάρχουν στο σύστηα πεάτες στην ουρά και στην εξυπηρέτηση, τότε υποείπονται Μ πεάτες των οποίων ο ρυθός άφιξης είναι Μ. Κατασκευάζουε το εξής οντέο: M M- M- M Σχήα.8. Σύστηα Μ/Μ// /M 4

26 M, M, αού,,,..., M. Όπως στα προηγούενα M M!, M M!, αού.8. και η αρχική πιθανότητα M M..8. M!!.9 Το σύστηα Μ/Μ///Μ Αυτό είναι σαν το προηγούενο σύστηα όνο που τώρα οι εξυπηρετούντες είναι όσοι και οι πεάτες. Το διάγραα είναι M M- M- M M- M Σχήα.9. Σύστηα Μ/Μ///M και M, M, αού,,,...,m. Όπως συνήθως, οι πιθανότητες είναι 5

27 6 M!!! M M M, M, αού.9. και M M M.9. οπότε αού., M, M M.9.3. Το Σύστηα Μ/Μ//K/M Aυτό είναι το τεευταίο σύστηα που εξετάζουε εδώ που ύνεται ε τις εξισώσεις γέννησης-θανάτου. Είναι η γενίκευση όων των συστηάτων που είδαε ως τώρα. Είναι σύστηα χωρίς νήη, ε εξυπηρετούντες, χωρητικότητα K και πηθυσό Μ. Xρησιοποιώντας τις ιδέες των προηγούενων παραδειγάτων έχουε: M, Κ, αού Υποθέτουε εδώ K M και ότι αν ένας πεάτης του πηθυσού των Μ εύρει την ουρά ε K πεάτες επιστρέφει ακαριαία στον πηθυσό και υπόκειται πάι στην τυχαία άφιξη. Επίσης,,

28 7 - K- M M- [M--] K M- [M-K-] Σχήα.. Σύστηα Μ/Μ//K/M Ο υποογισός των γίνεται πρώτα για M M,.. και για K ευρίσκοε M M M!!, K.. Τεικά πορούε να εφαρόσουε τους γνωστούς τύπους για τον υποογισό του.

29 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ MARKOV ΟΠΟΥ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΕΝΝΗΣΗΣ-ΘΑΝΑΤΟΥ ΕΝ ΙΣXΥΕΙ Τώρα εξετάζουε αναονητικά συστήατα όπου οι επιτρεπτές εταβάσεις δεν είναι όνο,, αά βήατα εγαύτερου εγέθους επιτρέπονται. Αν και οι βασικές ιδέες των όσων είδαε ως τώρα ισχύουν, δεν πορούε να εφαρόσουε τα οντέα γέννησης-θανάτου. / Ε Ε / Σχήα 3.. Παράδειγα Αν στο σύστηα του σχήατος εφαρόσουε την αρχή της διατήρησης της ροής ευρίσκοε τις εξισώσεις: : E E :. 3. Η Κατανοή Erlag E Είδαε ότι η εκθετική κατανοή είναι χωρίς νήη. Αυτή η έειψη νήης καταστρέφεται αν χρησιοποιηθεί άη κατανοή. Ο Erlag επενόησε τη έθοδο της 8

30 διάσπασης σε βαθίδες ε εκθετική κατανοή σε περίπτωση άης κατανοής για να κάνει χρήση έτσι της έειψης νήης. Μια βαθίδα εξυπηρέτησης έχει εκθετική κατανοή χρόνου εξυπηρέτησης όταν ο χρόνος X έχει στατιστική: όπου ux είναι η βηατική συνάρτηση και b x e x u x 3.. E X Var X. Μια τέτοια βαθίδα εξυπηρέτησης την παριστάνουε στο σχ. 3.α Α Β 3.α 3.β Σχήα 3.. Συστήατα ε ία και δύο βαθίδες εξυπηρέτησης Έστω τώρα η βαθίδα σχ. 3.β. Για την κάθε βαθίδα ισχύουν b x x e u x E X, Var X. Εδώ υποθέτουε ότι ο πεάτης πηγαίνει στη βαθίδα Α και όις τεειώσει προχωρεί στη Β ενώ κανένας πεάτης δεν παίνει τώρα στην Α. Ο τωρινός πεάτης τεειώνει την εξυπηρέτησή του στη Β και όνο τότε νέος πεάτης παίνει στο σύστηα. Έτσι σε κάθε στιγή είτε η Α ή η Β βαθίδα είναι εεύθερη. 9

31 Η κατανοή της συνοικής βαθίδας εξυπηρέτησης είναι η κατανοή του αθροίσατος δύο ανεξαρτήτων τυχαίων εταβητών Y και Z ε εκθετική κατανοή. Αυτή είναι η συνέιξη των δύο κατανοών b x ba x bb x e y e x y u y u x y dy x x x 4 e dy x e u x. 3.. Επίσης E X E Y E Z Var X Var Y Var Z 4. H κατανοή 3.. είναι Erlag-. Γενικεύουε τώρα για βαθίδες: - Σχήα 3.3. Απεικόνιση βαθίδων Η κατανοή είναι: bx { {[b x b x] b 3 x} b x}. Όπως προηγουένως, b x b x x e x ux και b x b x b 3 x y x y y e e u y u x y dy 3

32 x x e ydy Και γενικεύοντας επαγωγικά ευρίσκοε την κατανοή x e x. x e b x! x u x 3..3 που έγεται Erlag-. Προφανώς E X Var X. bx;, δx - / / x Σχήα 3.4. Οικογένεια bx ; Από το θεώρηα κεντρικού ορίου, καθώς η κατανοή γίνεται Gauss. Παρατηρούε όως ότι η διασπορά Var X καθώς. Έχουε δηαδή ιαν ακοουθία κατανοών που, στο όριο ορίζουν ένα δέτα του Drac δ x όπως φαίνεται στο σχήα. 3

33 Το έγιστο των καπυών αυτών συβαίνει για x τέτοιο ώστε db x x dx που σηαίνει ότι για >>, x. 3. Ο Μετασχηατισός Ο ετασχηατισός χρησιοποιείται πού στη ύση εξισώσεων διαφοράς. Τέτοιες εξισώσεις θα συναντήσουε σύντοα στα επόενα κεφάαια. Έστω η διακεκριένη συνάρτηση f,,,,... όπου είναι οι διακεκριένες χρονικές στιγές. Ορίζουε το ετασχηατισό της f, F, ως εξής: F f 3.. Η εταβητή είναι ιγαδική και η ακοουθία f αυξάνεται αργότερα από την, ενώ το άθροισα υπάρχει. Το ζεύγος f F είναι οναδικό όπως στους αντίστοιχους συνεχείς ετασχηατισούς Fourer και Laplace. δ u Σχήα 3.5α Σχήα 3.5β Το αντίστοιχο του δ του Drac για διακεκριένους χρόνους είναι Σχ. 3.5α δ,, 3

34 ενώ το αντίστοιχο της βηατικής συνάρτησης είναι u, κ,,,... Σχ. 3. 5β Τότε δ κ u, για <. Έστω τώρα fa. Τότε F a, για a <. a Η συνέιξη δύο συναρτήσεων f και f oρίζεται: f f f f f f. 3.. Τότε αν f F και f F f αά οπότε f f f a a a a a a a... a f f f f F F Για να υποογίσουε την f από την F χρησιοποιούε τους πίνακες IΙΙ., IΙΙ.. Συχνά αυτή η διαδικασία διευκούνεται ε την ακόουθη έθοδο. Έστω F N D όπου τα Ν και D είναι πουώνυα του. Συβοίζοντας τις ρίζες του D ε /a ε ποαπότητα έχουε D D a 33

35 34 όπου D είναι ία σταθερά που δεν επηρεάζει την ανάυση που ακοουθεί και η ποαπότητα της ρίζας /a. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το κάσα F διασπάται σε απούστερα κάσατα ως εξής F a A... a A a A... a A... a A a A a A... a A a A και οι όροι Α j δίνονται από: A j a j j j D N a d d a j!, όπου, εξ ορισού,!, f d d f, f d d f ', Παράδειγα. 4 F Έχουε, παραείποντας προς στιγήν το A A A ! 4 4 / / d d A, 4 4! / / d d A 3 4 4! / / d d d d A. Παραείψαε το επειδή η έθοδος ισχύει εφ όσον ο βαθός του πουωνύου Ν

36 είναι ικρότερος του βαθού του D και επειδή ο όρος στο ετασχηατισό πορεί να ηφθεί υπ' όψιν αργότερα όπως θα δούε. Αν δεν ισχύει αυτό τότε, εν γένει, διαιρούε το Ν δια του D και προκύπτει Ν/D π [υ/d], όπου βαθόςυ<βαθούd, και αντιστρέφουε τους όρους π και [υ/d] ξεχωριστά. Επιστρέφουε στην έκφραση που υποογίσαε προηγουένως και από τον Πίνακα ΙΙΙ. έχουε: 4 3 / 3 / ,,, Τώρα αβάνουε υπ' όψιν και τον όρο. Από την Ιδιότητα 8 του Πίνακα ΙΙΙ., έχουε ότι F f, >, άρα η πήρης συνάρτηση ε το αντιστοιχεί στο 34 3,, 3, Στη συνέχεια εξετάζουε την εφαρογή του ετασχηατισού στη ύση εξισώσεων διαφοράς. Έστω η εξίσωση C f C f... C f g 3..4 όπου τα C είναι σταθερές, η g είναι δεδοένη συνάρτηση, και έχουν δοθεί οι οριακές συνθήκες. Ορίζουε το ετασχηατισό της f F f. Ποαπασιάζουε και τα δύο έη της 3..4 επί για,,,... και έχουε C f g από την οποία πορούε να υποογίσουε την F και κατόπιν την f ε τον αντίστροφο ετασχηατισό. Παράδειγα. 6 f 5 f f 6,, 3,

37 f f f. Έστω ότι οι αρχικές συνθήκες είναι 5 6, f f. Τότε [ ] [ ] /5 / F f F f f F /5 6/ F F F F και ετά τη διάσπαση σε κάσατα F Από τους πίνακες αντιστρέφουε:...,,, f Μετά αυτή την παρένθεση είαστε έτοιοι να προχωρήσουε ε το ακόουθο σύστηα αναονής.

38 Πίνακας ΙΙΙ. Μερικές ιδιότητες του εταχηατισού Ακοουθία Μετασχηατισός. f,,,. af bg af bg 3. a f F a f f /,,, F 6. f > f [ F F F f f > F.... f f ] d F d d F d F G. f g. f f F F 3. f,,, f όπου a παράετρος της f F a a 5. Ιδιότητα αθροίσατος σειράς F 6. Εναακτική ιδιότητα αθροίσατος F 7. Θεώρηα αρχικής τιής F f 8. Θεώρηα ενδιάεσης τιής d F! d f f f 9. Θεώρηα τεικής τιής l F f f 37

39 Πίνακας ΙΙI. Κάποια ζευγάρια ετασχηατισού Aκοουθία Μετασχηατισός. f,,, F f. u 3. u 4. δ,,, 5. δ Aa a A a a a a a a 3 a a a 3 a !!... a e 38

40 3.3 Η Ουρά Μ/Ε / Εδώ υποθέτουε ότι οι αφίξεις είναι osso και οι χρόνοι αφίξεων είναι εκθετικοί: f a e, ενώ οι αναχωρήσεις είναι Erlag- x e fs x! x, x και το διάγραα είναι.... Σχήα 3.6. Σύστηα Μ/Ε / Αυτό το διάγραα ας έει ότι ο πρώτος πεάτης εξυπηρετείται ετά από βαθίδες καθώς και ο δεύτερος κ.ο.κ. Έστω τώρα ότι υπάρχουν πεάτες στο σύστηα και ο πρώτος πεάτης έχει τεειώσει τις βαθίδες εξυπηρέτησης και βρίσκεται στη βαθίδα ενώ οι άοι είναι στην ουρά. Τότε ο συνοικός αριθός βαθίδων εξυπηρέτησης που αποένουν είναι: [βαθίδες πεατών στην ουρά] [υπόοιπες του πεάτη που εξυπηρετείται] [ ] [ ]. Έστω τώρα η πιθανότητα όνιης κατάστασης να έχουε πεάτες στο σύστηα και π αποένουν βαθίδες εξυπηρέτησης στο σύστηα 39

41 4 Τότε,...,, π 3.3. Έτσι αν υποογίσουε τις πιθανότητες π πορούε από την 3.3. να υποογίσουε τις Ρ. Τώρα από το διάγραα εύκοα ευρίσκοε: π π π π,,,..., π π π,,, π για <. Θα ύσουε την 3.3. ε τη βοήθεια του ετασχηατισού. Ορίζουε Π π. Ποαπασιάζουε τις εξισώσεις διαφοράς επί και αθροίζουε: π π π π π π π [ ] [ ] π π π Π Π Π και ετά από ίγη άγεβρα. π π Π Αά π π, άρα π π Π

42 Παρατηρούε ότι Π π, αά από την και χρησιοποιώντας τον κανόνα L Hôpal για το κάσα Π N/D στο, Π N D π αφού π προφανώς. Tότε. Ορίζουε ρ / και η γίνεται: ρ Π Το επόενο στάδιο είναι να αντιστρέψουε το ετασχηατισό για να υποογίσουε τις π και από αυτές τις Ρ από την Πρώτα ευρίσκοε τις ρίζες του παρονοαστή για να τον κάνουε γινόενο. Μία ρίζα είναι το. Τότε ο παρονοαστής γίνεται [... ]. Έστω τώρα ότι το πουώνυο βαθού έχει ρίζες,...,, τότε πορεί να πάρει τη ορφή /... / και άρα Π ρ A j ρ, όπου Α j j j j j Aντιστρέφοντας A π ρ, j,,... j j και π ρ Η κατανοή είναι άθροισα γεωετρικών κατανοών. 4

43 3.4 Η Ουρά Ε /M/ Εδώ έχουε την αντίστροφη περίπτωση της προηγούενης ενότητας. f a e!, 3.4. f x s x e, x Το διάγραα είναι.... Σχήα 3.7. Σύστηα Ε /Μ/ Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι τα διαγράατα αυτής και της προηγούενης ενότητας είναι ευφυείς τρόποι παρουσίασης της κατανοής Erlag και οφείονται στον ίδιο τον Erlag. Εδώ υποθέτουε ότι ένας πεάτης προκειένου να φθάσει στο σύστηα περνάει από βαθίδες άφιξης ε ρυθό. Ο συνοικός χρόνος στις βαθίδες έχει την κατανοή Ο πρώτος πεάτης διασχίζει βαθίδες άφιξης. Μόις φθάσει στη βαθίδα τότε και όνο τότε αρχίζει η εξυπηρέτησή του. Το σύστηα ευρίσκεται στην κατάσταση. Από την κατάσταση αυτή δύο πράγατα πορεί να συβούν: Είτε ο πρώτος πεάτης εξυπηρετείται, οπότε το σύστηα εταβαίνει στην κατάσταση, είτε ένας νέος πεάτης θα καταάβει την πρώτη βαθίδα άφιξής του, οπότε το σύστηα εταβαίνει στην κατάσταση. Για να αρχίσει η εξυπηρέτηση του νέου πεάτη πρέπει να έχει διαχίσει τις βαθίδες άφιξης και να έχει εξυπηρετηθεί ο προηγούενος. Αν η βαθίδα εξυπηρέτησης είναι κενή εξυπηρετείται, αιώς περιένει κ.ο.κ. Σαν κατάσταση τώρα παίρνουε όες τις βαθίδες άφιξης στο σύστηα που ήδη έχουν συπηρωθεί. Αν υπάρχουν πεάτες στο σύστηα και ο αφικνούενος πεάτης βρίσκεται στη βαθίδα άφιξης, τότε έχουν συπηρωθεί βαθίδες. Η περίπτωση αυτή περιγράφεται στο επόενο σχήα: 4

44 ΕΝΑΣ ΠΕΛΑΤΗΣ ΣΤΗ ΒΑΘΜΙ Α ΠΕΛΑΤΕΣ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ άπειρος πηθυσός ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΦΙΞΗΣ ΟΥΡΑ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗ Ορίζουε π [ βαθίδες άφιξης έχουν συπηρωθεί], τότε [ πεάτες στο σύστηα] π. Προχωρούε όπως και προηγουένως και διατυπώνουε τις εξισώσεις για τις π π π π π π, π π π, O ετασχηατισός ορίζεται Π π. Οι και πορούν να γραφούν αφού ποαπασιασθούν επί π π π Αά από την π [ Π π ] π Π Π π Π Π π π Αντικαθιστούε την στην π π

45 44 Π ρ ρ π π όπου πάι ρ. Ο παρονοαστής της έχει ία ρίζα. Μπορεί ν αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακόη ρίζες εκ των οποίων οι ικανοποιούν < ενώ υπάρχει ία >. Πάι πορεί ν αποδειχθεί ότι η παίρνει τη ορφή Π Ο όρος έσα στη δεύτερη παρένθεση έχει αντίστροφο ετασχηατισό, > f ενώ ποαπασιασός επί δίνει π f f Παρατηρούε ότι f για <, για. Ο παρονοαστής στην είναι για, άρα ρ ρ, ή ρ, ή ρ Aπό τις και 3.4. ευρίσκοε π ρ για 3.4.

46 ενώ για <, f και π Μετά από ίγη άγεβρα ρ για ρ για > που είναι επίσης ορφή γεωετρικής κατανοής. 3.5 Οαδικές Αφίξεις Bul arrvals Το σύστηα Μ/Ε / που ήδη εξετάσαε πορεί να θεωρηθεί ισοδύναο του εξής συστήατος: έχουε πεάτες που φθάνουν την ίδια στιγή και θα εξυπηρετηθούν από ία εκθετική βαθίδα. Το νέο αυτό σύστηα είναι Μ/Μ/ ε οαδικές αφίξεις εγέθους και είναι ισοδύναο του Μ/E /. Το διάγραα κατάστασης είναι q q q q q q q Σχήα 3.8. Oαδικές αφίξεις Έστω τώρα ότι το έγεθος των αφίξεων δεν είναι αά γενικότερο. Οι στιγές των οαδικών αφίξεων είναι osso και το έγεθος των οάδων ορίζεται από την πιθανότητα 45

47 q [έγεθος οάδας ]. Τέτοιες αφίξεις συβαίνουν σε εστιατόρια ή συστήατα παραγωγής όταν γίνονται εκφορτώσεις κ.ο.κ. Ο ρυθός άφιξης των οάδων είναι. Οι εξισώσεις για τις πιθανότητες είναι q ή 3.5. q q ή q, Η κατάσταση του συστήατος είναι ο αριθός πεατών στο σύστηα. Εφαρόζουε το ετασχηατισό στην q Ο τεευταίος όρος αυτής της εξίσωσης γράφεται: Η γίνεται q q q. [Ρ ] [ ] Q όπου Q ευρίσκοε q. Αντικαθιστούε την από την 3.5. στην και [ Q ] Όπως και προηγουένως Ρ και παίρνοντας παραγώγους στον αριθητή και παρονοαστή της ευρίσκοε Q Q Q 46

48 και ορίζοντας ρ Q', ρ, τεικά η γίνεται ρ [ Q ] Εφ όσον δοθεί η κατανοή q τότε υποογίζουε την Q και ετά αντιστρέφουε την Οαδικές εξυπηρετήσεις Bul servce Εξετάζουε τώρα την ακριβώς δυαδική περίπτωση της προηγούενης. Η βαθίδα εξυπηρέτησης, όις εευθερωθεί, δέχεται οαδικά πεάτες για εξυπηρέτηση όπως τα καροτσάκια που εταφέρουν προϊόντα σ ένα σύστηα παραγωγής. Αν οι αφιχθέντες πεάτες είναι ιγότεροι από, τότε ο εξυπηρετών περιένει να γίνουν. Έχουε οιπόν ένα σύστηα Μ/Μ/ ε οαδικές εξυπηρετήσεις που είναι ακριβώς ισοδύναο του E /Μ/ Σχήα 3.9. Oαδικές εξυπηρετήσεις Για να θεωρήσουε ια γενικότερη περίπτωση ας υποθέσουε ότι, αν οι πεάτες είναι ιγότεροι από, πάι το σύστηα τους αποδέχεται. Η κατάσταση του συστήατος είναι ο αριθός πεατών στο σύστηα. Οι αφίξεις 47

49 48 γίνονται ε ρυθό και οι εξυπηρετήσεις εγέθους από έως ε ρυθό. Οι εξισώσεις είναι: Ρ Ρ, 3.6. Ρ Ρ Ρ Ρ Παίρνουε ετασχηατισό ] [ ] [ απ όπου Η 3.6. δίνει Αντικαθιστούε την στην και ε ρ ρ ρ Ο παρονοαστής της είναι ακριβώς ίδιος εκείνον της και άρα έχει ια ρίζα > και ρίζες <. Yπάρχει ένα θεώρηα που ας έει ότι η Ρ πρέπει να είναι φραγένη στην περιοχή < και άρα οι ρίζες του παρονοαστή που είναι < πρέπει να διαγραφούν

50 49 από αντίστοιχες ρίζες του αριθητή, δηαδή A ρ ρ όπου το A είναι ια σταθερά αναογίας και το προκύπτει από το γεγονός ότι είναι ρίζα και του αριθητή και του παρονοαστή. Άρα, A όπου, επειδή Ρ, A. Οπότε και αντιστρέφοντας Πίνακας ΙΙΙ., 6 Ρ,,,... που πάι είναι γεωετρική κατανοή. 3.7 ίκτυα Αναονητικών Συστηάτων Θεωρούε την ακόουθη σύνδεση εν σειρά αναονητικών συστηάτων Σχήα 3.. Σειριακό σύστηα

51 Το σύστηα είναι Μ/Μ/ ε παραέτρους και. Το σύστηα έχει έναν εξυπηρετούντα ε εκθετική κατανοή και ρυθό εξόδου. Το ίδιο ισχύει για τους υπόοιπους κόβους. Η πυκνότητα των χρόνων αναχώρησης στην έξοδο του είναι bx και ο ετασχηατισός Laplace * της bx είναι Bs. Όταν ένας πεάτης αφήσει τον κόβο πηγαίνει στην ουρά του κόβου. Αν τώρα στην ουρά του υπάρχει διαθέσιος για εξυπηρέτηση πεάτης, τότε η κατανοή των χρόνων εξόδου είναι εκθετική ή B s s. Αν όως δεν υπάρχει πεάτης έτοιος, τότε ο χρόνος που εσοαβεί ανάεσα στην αναχώρηση του τωρινού και του επόενου πεάτη ισούται ε το χρόνο που εσοαβεί ανάεσα στην αναχώρηση του τωρινού και την άφιξη του επόενου συν το χρόνο εξυπηρέτησης του επόενου. Οι δύο χρόνοι είναι ανεξάρτητοι και το άθροισά τους έχει πυκνότητα που ισούται ε τη συνέιξη των δύο πυκνοτήτων. Αρα B s s s επειδή ο χρόνος άφιξης είναι επίσης εκθετικός ε ρυθό. Η πιθανότητα να είναι η ουρά του άδεια είναι, όπως είδαε από την ουρά Μ/Μ/ ρ, εποένως B s ρ ρ s s s s Αά η 3.7. είναι η εκθετική κατανοή ε ρυθό. Άρα στην είσοδο του έχουε πάι ια διαδικασία osso ε παράετρο! Το εκπηκτικό αποτέεσα έγεται Θεώρηα του Bure. * Ορισός ετασχηατισού: bx Bs e sx bxdx. Ιδιότητα συνέιξης: ax bx ΑsBs. 5

52 Το ίδιο θεώρηα ας έει ότι το σύστηα Μ/Μ/ ε ρυθό εισόδου και παράετρο για κάθε εξυπηρετούντα έχει έξοδο που είναι osso ε ρυθό και αυτό είναι το όνο σύστηα FCFS frs coe frs served, που έχει αυτή την ιδιότητα. Πάντα βέβαια ιάε για ευσταθή συστήατα σε όνιη κατάσταση. Τεικά η έξοδος των κόβων εν σειρά είναι osso ε παράετρο. Εξετάζουε τώρα δίκτυα Jacso. Πρόκειται για δίκτυα αυθαίρετης γεωετρίας ε κόβους. Ο -οστός κόβος συνίσταται από ιαν ουρά άπειρης χωρητικότητας και εκθετικούς εξυπηρετούντες ε ρυθό ο καθένας. Σε κάθε κόβο φθάνουν πεάτες απ έξω απ το σύστηα κατά osso ε ρυθό γ και πεάτες από άους κόβους. Ένας πεάτης όις εξυπηρετηθεί στον κόβο αναχωρεί για τον κόβο j ε πιθανότητα j και άρα εγκαταείπει όο το δίκτυο ε πιθανότητα Ρνα πάει κάπου έσα στο δίκτυο j. Ο συνοικός ρυθός άφιξης στον κόβο είναι γ,,,, j j Για να έχει το σύστηα όνιη κατάσταση πρέπει <,,,...,. Σαν κατάσταση στο σύστηα θα πάρουε το διάνυσα Κ [K, K,..., K ] όπου K είναι ο αριθός πεατών που βρίσκονται στην ουρά του κόβου συν τον αριθό των εξυπηρετουένων. Η κοινή πιθανότητα στη όνιη κατάσταση είναι K,K,...,K K και η πιθανότητα όνιης κατάστασης για κάθε κατάσταση K. O Jacso απέδειξε το ακόουθο εκπηκτικό j j Θεώρηα Jacso: α. Κάθε κόβος συπεριφέρεται σαν αναονητικό σύστηα Μ/Μ/ ε έσο ρυθό εισόδου

53 β. Η συνοική είσοδος σε έναν κόβο δεν είναι osso. γ. Κ K όπου οι πιθανότητες K δίνονται από εξισώσεις ανάογες των.5.3 και.5.4 ε K,,, και. 5

54 4 ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 4. Το Σύστηα Μ/G/ Παράδειγα τέτοιου συστήατος είναι η ΕΛΠΑ που δέχεται τυχαίες κήσεις για βοήθεια και έστω ότι οι κήσεις είναι osso. Στη συνέχεια ο γερανός φεύγει, ταξιδεύει ένα χρόνο X, προσφέρει τις υπηρεσίες για ένα χρόνο X, και πηγαίνει το αυτοκίνητο ε τη βάβη σε συνεργείο σε χρόνο X 3. Επιστρέφει στη βάση σε χρόνο X 4. Ο συνοικός χρόνος είναι X 4 X που εν γένει δεν είναι εκθετικός. Άο παράδειγα είναι ένα ασθενοφόρο κ.ο.κ. Η ανάυση ενός συστήατος Μ/G/ θα γίνει ε την εισαγωγή της έννοιας των εποχών epochs που είναι οι χρονικές στιγές που ο εξυπηρετών τεείωσε ια εξυπηρέτηση. Θεωρούε το σχήα: Αριθός πεατών Οι στιγές,,..., 6 είναι οι εποχές Σχήα 4.. Πήθος πεατών στο τέος κάθε εξυπηρέτησης Έστω Ν : ο αριθός πεατών π.χ. τη. κήσεων στο σύστηα ετά το K, δηαδή αφ ότου η εξυπηρέτηση του πεάτη K τεείωσε 53

55 R : ο αριθός νέων πεατών που φθάνουν κατά τη διάρκεια της εξυπηρέτησης του επόενου πεάτη K Ν': ο αριθός πεατών στο σύστηα ακριβώς ετά τον K. Παρατηρούε ότι αριθός ετά K αριθός ετά K αριθός νέων πεατών έναν πεάτη που εξυπηρετείται N' N R αν Ν > R αν N 4.. Έστω r [ο αριθός νέων αφίξεων κατά τη διάρκεια ιας εξυπηρέτησης r] αριθός r, χρόνος εξυπηρέτησης xdx r x f x dx x r! r e x f x dx 4.. επειδή η είσοδος είναι osso ε ρυθό και η έξοδος είναι η γενική f x. Και για δεδοένο f x πορούε να υποογίσουε τα r, r,,, Oρίζουε τον ενδεικτικό τεεστή οπότε η 4.. γράφεται I N αν Ν > αν N Ν' N R I N, N. Oι αφίξεις R πεατών σε διάστηα x ακοουθούν την κατανοή osso. Άρα και ER x x ER x x x E R E R x f x dx 54 xf x dx, 4..3

56 όπου άβαε υπ όψιν το ότι η έση τιή εξυπηρέτησης είναι / αν και δεν είναι εκθετική. Οοίως E R E R x f x dx x x f x dx E X E X σ X Αν υπάρχει όνιη κατάσταση θα πρέπει ΕΝ ΕΝ' δηαδή οι εξυπηρετήσεις είναι τέτοιες ώστε να ην υπάρχει συσσώρευση στο σύστηα. Άρα ΕΝ' EN ER EI N EI N ER ρ Η 4..5 είναι η πιθανότητα N ώστε το σύστηα να είναι άδειο ετά από ια αναχώρηση. Μπορεί ν αποδειχθεί ότι όπως και στο σύστηα Μ/Μ/ έτσι κι εδώ η συνθήκη ευστάθειας είναι ρ < ή <. Υποογίζουε τώρα τη δεύτερη ροπή του Ν'. Εξ ορισού EN' E[N R I N NR NI N I N R ]. I N I N, NI N και στη όνιη κατάσταση πρέπει ΕΝ' EN, εποένως η παραπάνω σχέση γίνεται ΕR ΕΙ Ν ΕΝΕR EI N ER. Χρησιοποιώντας τις ρ σ X E N ρ ρ Τώρα ΕΝ είναι ο έσος αριθός πεατών στο σύστηα αέσως ετά από κάθε εξυπηρέτηση. Αυτός ο αριθός, πορεί ν αποδειχθεί, ισούται ε το έσο αριθό πεατών στο σύστηα στη όνιη κατάσταση για κάποιον παρατηρητή που βέπει το σύστηα σε τυχαίες στιγές. Για να συβαίνει αυτό πρέπει η κατανοή στη όνιη κατάσταση των πεατών ετά τις στιγές συπήρωσης εξυπηρέτησης να είναι ίδια αυτήν σε τυχαίες στιγές. Ακοουθεί ια σκιαγράφηση απόδειξης. Ορίζουε: 55

57 π : πιθανότητα όνιης κατάστασης για να υπάρχουν στο σύστηα πεάτες ετά τη συπήρωση ιας εξυπηρέτησης a : πιθανότητα όνιης κατάστασης ώστε ένας αφικνούενος πεάτης να εύρει πεάτες στο σύστηα D : αριθός εταβάσεων προς τα κάτω από τον στον πεάτη σε κάποιο διάστηα Τ D D : συνοικός αριθός βηάτων προς τα κάτω στο διάστηα Τ U : εταβάσεις προς τα πάνω από στο U U : συνοικός αριθός εταβάσεων D D U U U 3 T Παρατηρούε ότι σ ένα διάστηα Τ οι ποσότητες D και U διαφέρουν το πού κατά. Στη όνιη κατάσταση D π l. T D Επίσης στη όνιη κατάσταση και καθώς Τ, D U δηαδή έχουε τόσες ανόδους όσες καθόδους. Ξέρουε ότι D U, άρα π D l T D U l. T U Αά U l είναι η πιθανότητα ότι το σύστηα βρίσκεται στην κατάσταση ετά T U από ια άφιξη. Οι αφίξεις επί πέον γίνονται κατά osso και άρα είναι τυχαίες, δηαδή 56

58 a U l ή π a T U στη όνιη κατάσταση, έτσι οι κατανοές είναι ίδιες. Τώρα εξ ορισού ΕΙ Ν Ρ Ν Ρ ρ Επίσης ΕΝ είναι ο έσος αριθός πεατών στο σύστηα όπως ήδη δείξαε ή ρ σ X N ρ, 4..8 ρ ο έσος χρόνος αναονής στο σύστηα N ρ σ X T, 4..9 ρ στην ουρά ο έσος χρόνος αναονής είναι [/ σ X ] W T 4.. ρ και ο έσος αριθός πεατών ρ σ X N q W. 4.. ρ Οι τύποι έγονται εξισώσεις των ollace-khche -K και βέπουε ότι είναι πού απές και δεν χρειάζονται αναυτική έκφραση της f x. Η όνη συνθήκη είναι ρ <. 4. Γενικότερα Μοντέα Τώρα θα εξετάσουε ερικά πιο δύσκοα οντέα όπως το Μ G όπου η έθοδος των εποχών δεν πορεί να εφαροσθεί ε άνεση. Θα χρησιοποιήσουε ερικά αποτεέσατα χωρίς απόδειξη. Οι πιθανότητες όνιης κατάστασης για το Μ G δίνονται από 57

59 /! /! για. 4.. Το εκπηκτικό αυτού του τύπου είναι ότι είναι ακριβώς ίδιος εκείνον του συστήατος Μ/Μ//. Εδώ εποένως ισχύει ο τύπος του Εrlag, δηαδή η πιθανότητα ια κήση να βρει το σύστηα κατειηένο και να χαθεί δεν υπάρχει φερ ειπείν διαθέσιο νοσοκοειακό και βρίσκουε άο έσο εταφοράς είναι: /! /!. 4.. Έστω ότι σ ένα νοσοκοείο θέουε η πιθανότητα να ην έχουε διαθέσιο νοσοκοειακό να είναι l τότε υποογίζουε το από την 4.. ύνοντας την l. 4.. To οντέο Μ/G/ Aν θέσουε τώρα στην 4.., τότε έχουε τις πιθανότητες όνιης κατάστασης για το Μ/G/: /! e / / / e, 4..3! που είναι ακριβώς ο τύπος του Μ/Μ/. Εδώ βέβαια, όπως και στο Μ/Μ/ N, T, N q W. Ο τύπος 4..3 πορεί ν αποδειχθεί κατ ευθείαν ως εξής: Για τυχούσα η αρνητική τυχαία εταβητή X ισχύει E X xf x dx xf x dx lxf x a a F x dx l afa a F x dx 58

60 dx Fdx [ F x] dx Ορίζουε K πεάτες εξυπηρετούνται γίνονται K αφίξεις στο [,]. Παρατηρούε ότι οι αφικνούενοι πεάτες ή εξυπηρετούνται ή έχουν αναχωρήσει ουρά δεν υπάρχει. Τώρα πεάτες εξυπηρετούνται στον K K K αά K K e όγω του ότι είναι osso. Η προηγούενη σχέση γίνεται K! e K K K K! Μπορεί ν αποδειχθεί ότι αν οι αφίξεις είναι osso, τότε οι χρόνοι αφίξεως όχι οι χρόνοι ανάεσα στις αφίξεις είναι οοιόορφα κατανεηένοι στο [, ]. Κάποιος πεάτης φθάνει τη στιγή a και έχει υποειπόενο χρόνο στο [, ] r a. a r Έστω ότι η κατανοή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι Fx. Τότε η πιθανότητα να ευρίσκεται ακόη υπό εξυπηρέτηση στο χρόνο είναι a < X a r < X X r F r ενώ η πιθανότητα άφιξης έσα στο χρόνο [ r, r ] όγω οοιοορφίας είναι r και η πιθανότητα ένας τυχαία αφικνούενος πεάτης στο [, ] να εξυπηρετείται ακόη στον είναι εξυπηρετείται 59

61 6 < < r r r r r d T X T X T, < r r r r d X T < r r r d X r d F ] [, όπου X : χρόνος εξυπηρέτησης τυχαία εταβητή Τ r : εναποένων χρόνος τυχαία εταβητή. Τώρα όγω του ότι οι αφίξεις γίνονται ανεξάρτητα, δοθεισών K αφίξεων στο [, ] η πιθανότητα οι να εξυπηρετούνται είναι K K K, 4..5α όπου το δίνεται από την προηγούενη σχέση, και άρα K r r r r d F d F K K ] [ ] [ Aντικαθιστούε αυτή την έκφραση στην 4..5 [ ]!!! K r r d F K K [ ]! K e d F K K r r [ ]!! K K r r K e d F [ ] K r d r F, K. Aά [ ]! K K r r K d F e [ ] dr r F e e [ ] dr r F e και άρα

62 [ F r ] dr [ F r ] dr e!. 4..5β Η 4..5 δίνει τις πιθανότητες, σαν συνάρτηση του. Για ευρίσκοε όγω της 4..4 [ F r ] d r και η 4..5 γίνεται η Το οντέο G/G/ Eρχόαστε στη συνέχεια στο πιο προχωρηένο και δύσκοο σύστηα G/G/. Εδώ υποθέτουε ότι οι χρόνοι ανάεσα στις αφίξεις είναι ανεξάρτητοι και έχουν κάποια γενική κατανοή. Το ίδιο ισχύει για τις εξυπηρετήσεις. Έστω ότι για τους χρόνους ανάεσα στις αφίξεις έχουε: πυκνότητα f a, E, Var σ ενώ για την εξυπηρέτηση τα αντίστοιχα εγέθη είναι: f s x, E X, Var X σ. X Τότε, έχει αποδειχθεί, ο έσος χρόνος παραονής στην ουρά είναι φραγένος ως εξής: ρ σ X ρ W ρ σ σ X 4..6 ρ όπου ρ / <. Το άνω φράγα είναι κοντά, όως το κάτω είναι ακριά και η χρησιότητά του αφίβοη. Ποά εγέθη πορούν να φραγούν από την 4..6 επειδή T W, N T, N q W. Ένα καύτερο κάτω φράγα πορεί να βρεθεί αν ισχύει το εξής: 6

63 Έστω f a η πυκνότητα για τους χρόνους ανάεσα στις αφίξεις η οποία έχει την ιδιότητα για κάθε > E > Η 4..7 ας έει ότι αν περάσει κάποιος χρόνος, τότε η έση τιή του υπόοιπου χρόνου είναι /. Ξέρουε ότι για την εκθετική κατανοή η 4..7 ισχύει σαν ισότητα. Οι περισσότερες κατανοές όπως βήτα, οοιόορφη, κ.π. ικανοποιούν την Εντούτοις υπάρχουν κάποιες που δεν την ικανοποιούν. Τώρα αν η 4..7 ισχύει, τότε σ σ ρ X ρ W σ σ X 4..8 ρ που είναι παρά πού καό φράγα. Πράγατι για το N q έχουε σ σ ρ X ρ N q σ σ X 4..9 ρ και επειδή ρ, τότε τα δύο φράγατα απέχουν από έως.5. Για ρ τότε N q >> και η απόσταση των δύο φραγάτων είναι εκπηκτικά ακριβής. Για την περίπτωση ρ έχουε και την προσέγγιση εγάης κυκοφορίας heavy raffc approxao η οποία ας έει ότι στο σύστηα G/G/ ο χρόνος αναονής στην ουρά στη όνιη κατάσταση είναι προσεγγιστικά εκθετικός ε έση τιή σ σ X W. 4.. ρ Το εκπηκτικό αυτού του αποτεέσατος είναι ότι το πάνω όριο της 4..8 γίνεται ακριβές καθώς ρ, ενώ τώρα ξέρουε και την κατανοή που είναι εκθετική. Επίσης για ρ η 4.. εκρήγνυται όπως και στο σύστηα Μ/Μ/. Το σύστηα Μ/Μ/ θα ας καταδιώκει για πού! 4..3 Το σύστηα G/G/ Υπάρχουν κι εδώ ερικά άνω και κάτω φράγατα που συχνά έχουν ευρεθεί από 6

64 το οντέο G/G/ ε έναν εξυπηρετούντα φορές ταχύτερο. Αποδεικνύεται ότι E X W W σ / σ X [ / / ]/, 4.. όπου W είναι ο έσος χρόνος αναονής ουράς για το G/G/ και ε χρόνο εξυπηρέτησης τον X/, δηαδή το σύστηα είναι ταχύτερο κατά φορές από τον κάθε ένα από τους εξυπηρετούντες, ενώ οι αφίξεις είναι ίδιες αυτές του G/G/. Εποένως το W ή θα υποογισθεί ακριβώς αν η κατανοή είναι γνωστή ή από το κάτω φράγα της 4..6 ή 4..8 αν ικανοποιούνται οι συνθήκες της. Τέος αν έχουε εγάη κυκοφορία ισχύει το εξής: Αν για το σύστηα G/G/, τότε ο χρόνος αναονής στην ουρά στη όνιη κατάσταση έχει κατανοή περίπου εκθετική ε έση τιή W σ X σ και για τιές ρ έχουε έκρηξη της ουράς όπως στο Μ/Μ/. 63

65 5 ΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Είδαε ήδη ότι τα αναυτικά οντέα Marov έχουν εγάες αδυναίες όταν πρόκειται να περιγράψουε γραές παραγωγής ε αρκετές ηχανές και χώρους εναποθήκευσης. Εδώ θα ιδούε ένα οντέο που κάνει χρήση προσοοίωσης και στοιχειώδους ανάυσης ταυτόχρονα. Αυτό το οντέο είναι ακριβές και οι χρόνοι CU που απαιτεί είναι της τάξης ίγων δευτεροέπτων για εγάους υποογιστές όπως ο ΙΒΜ-39. Υποθέσεις:. Κάθε ηχανή είναι ειτουργική ή υπό επισκευή.. Υπάρχει ια άπειρη πηγή στην αρχή και ια άπειρη καταβόθρα στο τέος της γραής. Έτσι η πρώτη ηχανή ποτέ δεν «πεινάει» και η τεευταία ποτέ δεν αποκείεται. 3. Οι ρυθοί όων των ηχανών είναι αιτιοκρατικοί και γνωστοί. 4. Οι ηχανές χαούν όνο ετά την παραγωγή ενός κοατιού. 5. Μια πεινασένη ή αποκεισένη ηχανή δεν χαάει. 6. Ο χρόνος εταφοράς ενός κοατιού από τη ια ηχανή στην άη είναι αεητέος ή περιαβάνεται στο χρόνο επεξεργασίας. 7. Ο χρόνος που ια ηχανή χαάει είναι τυχαία εταβητή ε γνωστή κατανοή. Η κατανοή θεωρείται ίδια για όες τις ηχανές. 8. Ο χρόνος επισκευής για κάθε ηχανή είναι τυχαία εταβητή ε γνωστή κατανοή που είναι ίδια για όες τις ηχανές. Οι κατανοές στα 7 και 8 θα ηφθούν εκθετικές. Εντούτοις, οποιαδήποτε άη κατανοή πορεί να χρησιοποιηθεί. Για να αποφευχθεί ο υπερβοικός χρόνος υποογιστή όταν προωθούε τα κοάτια ένα-ένα κάνουε χρήση 5 βασικών γεγονότων: 64

66 . χώροι εναποθήκευσης πήρεις. χώροι εναποθήκευσης άδειοι 3. χώροι εναποθήκευσης ούτε άδειοι ούτε γεάτοι 4. ηχανή στην κατάσταση 5. ηχανή στην κατάσταση Το οντέο θα πορούσε να ετατραπεί σ έναν αργό προσοοιωτή στις εξής περιπτώσεις: α. Ο χώρος εναποθήκευσης είναι άδειος, η επόενη ηχανή είναι ταχύτερη από την προηγούενη και έχουε έτσι ια συνεχή ταάντωση από το γεγονός στο 3 κ.ο.κ. β. Ο χώρος εναποθήκευσης είναι πήρης, η επόενη ηχανή είναι αργότερη από την προηγούενη και έχουε ταάντωση από το γεγονός στο 3 κ.ο.κ. Το οντέο αποφεύγει και τις δύο περιπτώσεις θεωρώντας στην α περίπτωση ότι ο χώρος είναι άδειος ή στην β γεάτος και συπτύσσοντας τη γραή όπως θα ιδούε στη συνέχεια. Έστω οιπόν το σύστηα Σχ. 5. B - M B M B Σχήα 5.. Τήα γραής παραγωγής Ορίζουε C : η χωρητικότητα του B N : αριθός κοατιών στον B R : ρυθός παραγωγής της Μ 65

67 Ααγές κατάστασης χώρων εναποθήκευσης. Αν η ηχανή παράγει ε ρυθό εγαύτερο της ηχανής, τότε ο B γείζει σε χρόνο C N TC, όταν R R >. R R. Το δυαδικό φαινόενο του δίνει το χρόνο που ο χώρος αδειάζει TE N R R, όταν R R >. 3. Αν οι ηχανές και παράγουν στον ίδιο ρυθό, τότε ο χώρος παραένει στο ίδιο σηείο T, όταν R R. B Στην περίπτωση αυτή ο χρόνος επόενου γεγονότος του B είναι ίσος ε το εγαύτερο πραγατικό αριθό. Ααγές κατάστασης των ηχανών Ο χρόνος που η ηχανή M χαάει ισούται ε T F N R F όπου Ν F είναι ο αριθός κοατιών που η ηχανή παράγει έχρι να χαάσει. Ο αριθός Ν F ευρίσκεται ε τη βοήθεια της γεννήτριας τυχαίων αριθών. Αν παρέθει χρόνος Τ Ε, ο αριθός κοατιών έχρι να χαάσει η ηχανή είναι N F N F R T E και T N F F. R Ο χρόνος επισκευής ιας ηχανής T R ευρίσκεται πάι από τη γεννήτρια τυχαίων αριθών. Αν περάσει χρόνος Τ Ε, τότε ο εναποένων χρόνος επισκευής είναι 66

68 T T T. R R E Έχοντας καθορίσει τις ααγές κατάστασης των ηχανών προχωρούε τους αγόριθους.. Ο αγόριθος γεάτου χώρου εναποθήκευσης Όταν γείσει ο Β, όα τα είδη ηχανές και χώροι προς την έξοδο δεν επηρεάζονται. Προς την είσοδο όως έχουε αποκεισό της ηχανής Μ. Αν η M ειτουργεί γρηγορότερα από τη M, τότε η M υποχρεώνεται να ειτουργήσει στο ρυθό R, R. R Ο αγόριθος επανααβάνεται προς την είσοδο ως εξής: Αν ο B δεν είναι πήρης, τότε πορεί να δεχθεί κοάτια από τη M και δεν υπάρχει ετάδοση του φαινοένου προς την είσοδο. Αν ο B είναι πήρης, τότε γίνεται νέα προσαρογή ρυθών R R, R κ.ο.κ.. Ο αγόριθος άδειου χώρου Όταν ο B αδειάσει δεν υπάρχει αποτέεσα προς την είσοδο αφού ο χώρος πορεί να δεχθεί κοάτια. Προς την έξοδο όως η ηχανή M υποχρεώνεται σε ικρότερο ρυθό R R, R. O αγόριθος επανααβάνεται προς την έξοδο: Αν ο B δεν είναι άδειος ή γεάτος πορεί να δώσει κοάτια στη M και δεν υπάρχει ετάδοση του φαινοένου. Αν ο B είναι άδειος, τότε ο ρυθός της M γίνεται R R, R κ.ο.κ. 3. Aαγές καταστάσεων των ηχανών α. Όταν ια ηχανή M χαάσει, τότε ο ρυθός της γίνεται 67

69 R. Αν η ηχανή που προηγείται έχει πήρη χώρο B, τότε αποκείεται και R. Ο νέος ρυθός εποένως εταδίδεται προς την είσοδο ε τον αγόριθο πήρους χώρου. Αν η ηχανή που έπεται έχει άδειο χώρο, τότε πεινάει και R. Ο νέος ρυθός εταδίδεται προς την έξοδο ε τον αγόριθο άδειου χώρου. β. Όταν η M επισκευασθεί, τότε όπου R R M RM είναι ο ονοαστικός ρυθός παραγωγής της M. Ο νέος ρυθός εταδίδεται προς την είσοδο ως εξής: Αν η M είναι στην κατάσταση και ο χώρος είναι πήρης, τότε ο ρυθός της M γίνεται R M R, R δηαδή η M πορεί να παράγει είτε στον ονοαστικό της ρυθό ή στον R. Αν η M είναι στην κατάσταση δεν υπάρχει άη ετάδοση του φαινοένου. Αν ο B δεν είναι πήρης, συνεχίζει να δέχεται κοάτια και η ετάδοση του φαινοένου παύει, αιώς ο αγόριθος συνεχίζεται προς την είσοδο ε τον B, κοκ. Ο νέος ρυθός εταδίδεται προς την έξοδο ως εξής: Αν η ηχανή Μ είναι στην κατάσταση και ο χώρος B άδειος, τότε ο ρυθός της M γίνεται M R R, R. Αν η ηχανή M είναι στην κατάσταση, ο ρυθός της παραένει στο και δεν υπάρχει ετάδοση του φαινοένου. Αν ο χώρος B δεν είναι πήρης ή άδειος, τότε η ηχανή M συνεχίζει να δέχεται κοάτια στον προηγούενο ρυθό και δεν υπάρχει ετάδοση. Ο αγόριθος συνεχίζεται προς την έξοδο. 68

70 Αρχικές συνθήκες του προγράατος. Ορίζουε τον ονοαστικό έγιστο ρυθό παραγωγής για όες τις ηχανές και τον αρχικό αριθό κοατιών σε κάθε χώρο.. Xρησιοποιώντας τους ρυθούς από το προχωρούε προς την έξοδο της γραής ορίζοντας τους νέους ρυθούς ε τον αγόριθο άδειων χώρων. 3. Προχωρούε προς την είσοδο ορίζοντας νέους ρυθούς ε τον αγόριθο γεάτων χώρων. 4. Υποογίζουε το χρόνο για το επόενο γεγονός για κάθε χώρο και ηχανή βασισένο στους τρέχοντες ρυθούς και αριθούς κοατιών. 5. Ευρίσκουε το χώρο ή ηχανή ε το ικρότερο χρόνο επόενου γεγονότος. 6. Υποογίζουε τον αριθό κοατιών που παρήχθησαν και τον αριθό κοατιών στον κάθε χώρο στον εάχιστο χρόνο επόενου γεγονότος. 7. Ορίζουε το επόενο γεγονός χώρος πήρης ή ηχανή χαασένη κ.π.. 8. Υποογίζουε τις νέες στάθες χώρων. 9. Υποογίζουε τους νέους ρυθούς.. Υποογίζουε τον χρόνο επόενου γεγονότος.. Υποογίζουε τον εάχιστο χρόνο επόενου γεγονότος.. Αν ο χρόνος που πέρασε είναι ικρότερος του συνοικού χρόνου προσοοίωσης πηγαίνουε στο Αιώς sop. Ένα υποογιστικό πείραα Ένα πρόγραα γράφτηκε σε γώσσα ascal και έτρεξε σε ηχανή ΙΒΜ 39. Ο αριθός κοατιών έχρι ένα σπάσιο της ηχανής υποογίστηκε από N lx όπου είναι ο έσος αριθός που η ηχανή παράγει έχρι να χαάσει MTF ea uber of pars-o-falure και X είναι ια τυχαία εταβητή, οοιόορφα κατανεηένη στο [,]. Παρόοια γεννήτρια δίνει το χρόνο επισκευής. Μία γραή ε ηχανές και 99 χώρους εναποθήκευσης αναύθηκε σε χρόνο F 69

71 CU της τάξης των sec για παραγωγή. κοατιών. Παρατηρούε ότι για ρυθούς βαβών εγάους το οντέο δεν είναι πού γρήγορο. Το βασικό προσόν του οντέου είναι ότι είναι το όνο αποτεεσατικό υποογιστικά και ακριβές που έχει δηοσιευθεί ως τώρα. Πέρα απ αυτό για σχετικά αξιόπιστες γραές και υψηούς ρυθούς παραγωγής η υποογιστική του ταχύτητα είναι εκπηκτική. 8 Συβατικός αγόριθος Αγόριθος διακεκριένων γεγονότων 6 4 αριθός ηχανών Σχήα 5.. Συχνότητα γεγονότων sec - συναρτήσει του ήκους γραής Συβατικός αγόριθος Αγόριθος διακεκριένων γεγονότων. αριθός ηχανών Σχήα 5.3. Χρόνος CU συναρτήσει του ήκους γραής 7

72 Συβατικός αγόριθος Αγόριθος διακεκριένων γεγονότων. έσος αριθός κοατιών έχρι τη βάβη MTF Σχήα 5.4. Χρόνος CU συναρτήσει του ΜTF. 7

73 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ FMS 6. Εισαγωγή Ένα ευέικτο σύστηα παραγωγής FMS: Flexble Maufacurg Syse συνίσταται από ηχανές που εκτεούν κάποιον αριθό εργασιών, ένα σύστηα διαχείρισης υικών MHS: Maeral Hadlg Syse, και ια υποογιστική ονάδα για τον έεγχο του συστήατος. Το ΜΗS πορεί να είναι ια εταφορική ταινία που εταφέρει κοάτια από σηείο σε σηείο ή ένα σύστηα ε καροτσάκια σε σιδηροτροχιές ή ια αυσίδα εταφοράς πάντα κάτω από τον έεγχο του υποογιστή. Η γραή παραγωγής είναι σχεδιασένη να παράγει εγάες ποσότητες ικρού αριθού ειδών. Η γραή αάζει δύσκοα για να προσαροστεί σε νέα προϊόντα. Ένα κατάστηα εργασιών job shop αντίθετα π.χ. ηχανουργείο έχει τη δυνατότητα παραγωγής εγάης ποικιίας προϊόντων σε ικρές όως ποσότητες. Εκεί χρησιοποιούν αριθητικά εεγχόενες ηχανές ΝC: Nuercally Coroled οι οποίες πορούν να εκτεούν ποές εργασίες αυτόατα κάτω από τον έεγχο ενός ικροεπεξεργαστή και αάζουν εργαεία επίσης αυτόατα. Το FMS είναι ενδιάεσο σύστηα που ενώ έχει αποτεεσατικότητα και όγκο παραγωγής ικρότερο της γραής παραγωγής είναι σαφώς ανώτερο του καταστήατος εργασιών ενώ συγχρόνως διατηρεί ποά από τα χαρακτηριστικά της ευειξίας του τεευταίου. Το 75% της αξίας των εταικών κοατιών που παράγονται στις ΗΠΑ παράγονται σε παρτίδες baches των 5 το πού κοατιών. Ένα FMS σε τέτοιου είδους εγέθη παραγωγής θα ήταν ιδανικό. Ήδη τέτοια συστήατα χρησιοποιούνται ευρέως στις ΗΠΑ, την Ιαπωνία, τη υτική Ευρώπη και η χρήση τους σύντοα θα γενικευθεί. 7