ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π 18 ηµπ 9 β) συν18 ο συν7 ο - ηµ18 ο ηµ7 ο γ) συν π 5 συν π 0 - ηµπ 5 ηµ π 0 δ) συν π 7 συν 9 π π - ηµ 1 7 ηµ 9π 1 ΠΡΟΣΟΧΗ : Συνηµίτονο αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών : συν(α + β) = συνα.συνβ - ηµα.ηµβ συν(α - β) = συνα.συνβ + ηµα.ηµβ Ηµίτονο αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών : ηµ(α + β) = ηµα.συνβ + συνα.ηµβ ηµ(α - β) = ηµα.συνβ - συνα.ηµβ Εφαπτοµένη αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών : ε) συν10 ο συν0 ο + ηµ10 ο ηµ0 ο. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : εφ(α + β) = εφ(α - β) = εϕα + εϕβ 1 εϕα εϕβ εϕα εϕβ 1+ εϕα εϕβ α) ηµ 1 π 7π 1π 7π συν - συν ηµ 1 1 1 1 β) ηµ0 ο συν5 ο + συν0 ο ηµ5 ο γ) ηµ65 ο συν5 ο + συν65 ο ηµ5 ο Συνεφαπτοµένη αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών : σφ(α + β) = σϕασϕβ 1 σϕβ + σϕα σφ(α - β) = σϕασϕβ + 1 σϕβ σϕα δ) συν(0 ο + α)συν(0 ο - α) - ηµ(0 ο + α)ηµ(0 ο - α) ε) ηµ(60 ο - α)συν(0 ο + α) + ηµ(0 ο + α)συν(60 ο - α) στ) εϕ π + εϕ π 0 10 1 εϕ π εϕ π 0 10 exal0_6_trigsum/bl - 1 -
. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) εϕ π + εϕ π 8 7 1 εϕ π εϕ π 8 7 β) εϕ7 εϕ1 1+ εϕ7 εϕ1 γ) εϕ5 εϕ15 1+ εϕ5 εϕ15. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις : α) συν(-x)συνx - ηµxηµ(-x) β) συν x + συνx + ηµ ηµx γ) ηµ x συν x x + συν ηµ x δ) ηµ α+ π συνα - συν α+ ηµα ε) π π εϕ + εϕ π π 1 εϕ εϕ στ) 5 εϕ π εϕ π x x 6 5 1 εϕ π εϕ π x x 6 5. Να δείξετε ότι είναι ανεξάρτητη του x η παράσταση : Α = ( + x) ( x) ( ) συν( β+ ) ηµ α ηµ α συνβ x x. 6. Oµοίως για την παράσταση : Β = συν α ( + x) + συν( α x) ( + x) + ( x) ηµ α ηµ α. 7. Να επαληθεύσετε τις ισότητες : α) συν(π - x) = - συνx β) ηµ π x = -συνx γ) εφ(π - x) = - εφx δ) ηµ(π + x) = - ηµx 8. Nα αποδείξετε ότι : συνα+ ηµα συνα ηµα =εφ(5 ο + α). 9. Να αποδείξετε ότι : εϕα+ εϕβ εϕα εϕβ = ( + ) ( ) ηµ α β ηµ α β exal0_6_trigsum/bl - -
10. Να αποδείξετε ότι : α) ηµ ( α+ β) ( + ) + ( ) συν α β συν α β = εφα + εφβ β) εϕ π + α εϕ π + α = 6 6 ηµ α γ) συνα + ηµα = συν α π 11. Να δείξετε ότι : α) ηµ(α + β)ηµ(α - β) = συν β - συν α = 1 - συν α - ηµ β β) συν(α + β)συν(α - β) = συν α - ηµ β = συν β - ηµ α 1. Να δείξετε ότι : ηµx - συνx = ηµ. 1. Να αποδείξετε ότι : ηµα.ηµ(β - γ) + ηµβ.ηµ(γ - α) + ηµγ.ηµ(α - β) = 0 1. Να αποδείξετε ότι : α) συν - συν = ηµx β) συν + ηµxσυνx = 1 γ) (ηµα - ηµβ) + (συνα - συνβ) = [1 - συν(α - β)] δ) (συνα - ηµα)εφ α+ π = συνα + ηµα 15. Να δείξετε ότι : α) ηµ π 5 συν π 5 ηµ π + 5 συν π = 0 β) 5 συν π 7 ηµ π 1 + π ηµ 7 συν π 1 = 0. 16. Να δείξετε ότι : συν + συν = 1. 17. Αν είναι ηµα = 9 1, συνβ = 5 1, π α π < < και 0 < β < π να υπολογίσετε : α) ηµ(α - β) β) εφ(α + β) exal0_6_trigsum/bl - -
18. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α + β, όταν : ηµα = 15 17 1, συνβ = 1, π α π < < και π < β < π. 19. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α - β, όταν : ηµα = 5 1, εφβ =, π α π < < και π < β < π. 0. Αν α - β = 5 π και εφα = να υπολογίσετε την εφβ. 1. α) Αν x + ψ = π και εφψ =, να δείξετε ότι : εφx = 1 7. β) Αν 0 < x < π, 0 < ψ < π και εφx = + 1 1, εφψ = 1, να δείξετε ότι : x - ψ = π. γ) Αν x + ψ = π, να δείξετε ότι : (1 + εφx)(1 + εφψ) =.. Να δείξετε ότι : ( + ) ( ) ηµ α β ηµ α β = εφ α - εφ β. συν ασυν β. Αν ηµ(α - β) = 0, να δείξετε ότι : συν(α - β) = συνβ.. Αν εφα = σφβ + εφβ, να δείξετε ότι : σφβ = εφ(α - β). 5. Να δείξετε ότι : ηµ ( α+ β) ( + ) + ( ) συν α β συν α β = εφα + εφβ. 6. Αν ηµα = ηµβ και συνα = συνβ, δείξτε ότι : Α - Β = κπ, κ Ζ. 7. Να λύσετε την εξίσωση : ηµx = συν 6. exal0_6_trigsum/bl - -
8. Να λύσετε την εξίσωση : εφ + σφx = 1. 9. Να λύσετε την εξίσωση : 1 συνx = ηµ, όταν x 0 π,. 0. Να λυθεί η εξίσωση : 1 + ηµx = συν, όταν x [ 0 ], π. 1. Να λύσετε την εξίσωση : εφ π - εφx = 1, για x [ 0 ], π.. Αν εφα = 5, να λύσετε στο διάστηµα [0, π], την εξίσωση : ηµ(x + α) = ηµ(α - x). Aν σφα = 1 8, να λύσετε στο διάστηµα [-π, π], την εξίσωση : 7συν(x - α) = -9συν(x + α).. Να προσδιορίσετε τους x, y IR όταν : α) ηµ(x + y) + ηµ(x - y) = - β) ηµ(x - y) + συν(x + y) = 5. Αν α, β 0, π, να δείξετε ότι : ηµ(α + β) < ηµα + ηµβ. 6. Αν α, β 0, π, να δείξετε ότι : συν(α - β) < ηµα + συνα 7. Να αποδείξετε ότι για τις γωνίες α, β των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και Α Β Γ του διπλανού σχήµατος ισχύει : α) ηµ(α - β) = 7 5 α A 8 1 A 15 β) συν(α - β) > 5 B 6 Γ B β Γ exal0_6_trigsum/bl - 5 -
8. Αν στο διπλανό σχήµα ισχύει ότι Γ τότε : Α = ΑΓ ω α) είξτε ότι : εφω = εϕγ + εϕγ. β) Αν Γ = 5 ο, να λυθεί η εξίσωση : Α Β x - 15εφω.x + εφαγ = 0. 9. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : ηµβσυνγ ηµα = 1, να δείξετε ότι είναι ισοσκελές. 0. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : συν ( Β Γ) ( Β Γ) ηµα+ ηµ = σϕβ, να δείξετε ότι είναι ορθογώνιο. 1. Να σηµειώσετε ποιές από τις επόµενες προτάσεις είναι σωστές και ποιές όχι : α) ηµ(α + β) = ηµα + ηµβ β) συν15 ο = συν5 ο - συν0 ο ( 1) γ) συν75 ο = δ) εφ(α + β) = ηµασυνβ+ συναηµβ συνασυνβ+ ηµαηµβ. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.. Είναι σωστό ή λάθος ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν : α) ηµα = ηµ(β + Γ) β) εφα = -εφ(β + Γ) γ) ηµ Α = συνβ + Γ δ) εφ Α = σφβ + Γ. Είναι σωστό ή λάθος ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν : α) 0 < ηµx 1 β) 0 < συν x < 1 όπου x οποιαδήποτε γωνία του ΑΒΓ τριγώνου. exal0_6_trigsum/bl - 6 -
. ίνεται η εξίσωση : συνx = ηµ. Να σηµειώσετε ποιά είναι η σωστή λύση της : 6 Α : x = κπ + π 6, κ Ζ Β : x = κπ + π, κ Ζ Γ : x = κπ + π, κ Ζ : x = π Ε : x = κπ + π 6, κ Ζ ΣΤ : x = π 6 5. ίνεται ότι σφα = - και η εξίσωση συν(x + α) = συν(x - α), µε x [0, π]. Να σηµειώσετε ποιά είναι η σωστή λύση της παραπάνω εξίσωσης. Α : x = κπ + π, κ Ζ Β : x = κπ + π, κ Ζ Γ : x = 1 : x = π ή x = 5 π Ε : x = 0 ή x = π 6. Οι παρακάτω ισότητες είναι σωστές ή λάθος ; α) ηµ(α + β) - ηµ(α - β) = συναηµβ β) συν(α + β) + συν(α - β) = ηµασυνβ γ) συν(α + β)συν(α - β) = συν α - ηµ β exal0_6_trigsum/bl - 7 -