ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.

Transcript

1 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x) = ( α 2 + 2α 1)ηµx παίρνει την µέγιστη τιµή όταν α = 1 [ π ] (γ ) Αν α, β, γ 2, π µε α < β < γ, τότε συνα < συνβ < ηµγ... (δ ) Η γραφική παράσταση της f(x) = ηµx δίδεται απο το παρακάτω γράφηµα :. Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ. (ε ) Η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [ 3π 2, 2π ]... (ϝ ) Η συνάρτηση f(x) = 3 + 2συν5x έχει ελαχίστη τιµή 5... (4 6 = 24 Μονάδες) 1 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\ \2012 A.tex

2 2. είξτε ότι για κάθε ω : 2kπ ± π 2, 2kπ + 3π 2, k Z ισχύει : 1 ηµ(ω) 1 + ηµ(ω) 1 + ηµ(ω) 1 ηµ(ω) = 4 εφ(ω) συν(ω) (20 Μονάδες) 3. (α ) είξτε ότι δεν υπάρχουν γωνίες ω έτσι ώστε ηµ(ω) = συν(ω) = 0 (ϐ ) Να λυθεί ως πρός x η εξίσωση : 2 ηµ 2 (x) + ηµ(x) = 1 ( = 26 Μονάδες) ( ) x 4. Εστω η συνάρτηση f(x) = 1 συν 2 + π. (α ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. (ϐ ) Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. (γ ) Να ϐρείτε την περίοδο της f(x). ( ) (δ ) είξτε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) συν x 2 + π είναι σταθερή στο διάστηµα [ π, π]. (ε ) Να λυθεί η εξίσωση g(x) = 1 2 στο διάστηµα (π, 3π). ( = 30 Μονάδες) Καλή Επιτυχία

3 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3ηµ x 5 είναι 15π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x) = (α 2 2α + 1)ηµx παίρνει την µέγιστη τιµή όταν α = 1 [ π ] (γ ) Αν α, β, γ 2, π µε α < β < γ, τότε συνβ < συνα < ηµγ... (δ ) Η γραφική παράσταση της f(x) = ηµx δίδεται απο το παρακάτω γράφηµα :. Σχῆµα 2: Ασκηση 1δ. (ε ) Η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [ π, 3π ]... 2 (ϝ ) Η συνάρτηση f(x) = 3 + 2συν5x έχει ελαχίστη τιµή 1... (4 6 = 24 Μονάδες) 2 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\ \2012 A.tex

4 2. είξτε ότι για κάθε ω : 2kπ ± π 2, 2kπ + 3π 2, k Z ισχύει : 1 ηµ(ω) 1 + ηµ(ω) 1 + ηµ(ω) 1 ηµ(ω) = 4 εφ(ω) συν(ω) (20 Μονάδες) 3. (α ) είξτε ότι δεν υπάρχουν γωνίες ω έτσι ώστε ηµ(ω) = συν(ω) = 0 (ϐ ) Να λυθεί ως πρός x η εξίσωση : 2 ηµ 2 (x) + ηµ(x) = 1 ( = 26 Μονάδες) ( ) x 4. Εστω η συνάρτηση f(x) = 1 συν 2 + π. (α ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. (ϐ ) Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. (γ ) Να ϐρείτε την περίοδο της f(x). ( ) (δ ) είξτε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) συν x 2 + π είναι σταθερή στο διάστηµα [ π, π]. (ε ) Να λυθεί η εξίσωση g(x) = 1 2 στο διάστηµα (π, 3π). ( = 30 Μονάδες) Καλή Επιτυχία

5 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΟΜΑ Α Β 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 300ηµ2x είναι 10π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x) = (α 2 2α + 1)ηµx παίρνει την ελάχιστη τιµή όταν α = 1. [ (γ ) Αν α, β, γ 0, π ] µε α > β > γ, τότε ηµα > ηµβ > συνγ... 4 (δ ) Η γραφική παράσταση της f(x) = 3 συνx δίδεται απο το παρακάτω γράφη- µα :... Σ - Λ Σχῆµα 3: Ασκηση 1δ. (ε ) Η συνάρτηση f(x) = συνx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [ 3π 2, 2π ]... (ϝ ) Η συνάρτηση f(x) = 3 + 3ηµ10x έχει ελαχίστη τιµή 0... (4 6 = 24 Μονάδες) 3 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\ \2012 A.tex

6 2. είξτε ότι για κάθε α kπ + π, kπ, k Z: 2 ( ) ( ) εφ(α) 1 σφ 2 (α) + ηµ(α)συν(α) + σφ (α) 1 εφ 2 (α) + ηµ(α)συν(α) = 1 (20 Μονάδες) 3. (α ) είξτε ότι υπάρχουν γωνίες x έτσι ώστε : ηµ(x) = 3 5 και συν(x) = 4 5. (ϐ ) Να λυθεί ως πρός x η εξίσωση : 2 συν 2 (x) + 3 συν(x) = 2 ( = 26 Μονάδες) ( ) 4. Εστω η συνάρτηση h(x) = 1 ηµ x 2 + π. (α ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. (ϐ ) Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. (γ ) Να ϐρείτε την περίοδο της h(x). ( ) (δ ) είξτε ότι η συνάρτηση f(x) = h(x) ηµ x 2 + π είναι σταθερή στο διάστηµα [0, 2π]. (ε ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1 2 στο διάστηµα (2π, 4π). ( = 30 Μονάδες) Καλή Επιτυχία

7 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΟΜΑ Α Β 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 300ηµ2x είναι π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x) = (α 2 2α + 1)ηµx παίρνει την ελάχιστη τιµή όταν α = 1 [ (γ ) Αν α, β, γ 0, π ] µε α > β > γ, τότε ηµβ < ηµα < συνγ... 4 (δ ) Η γραφική παράσταση της f(x) = 8 συνx δίδεται απο το παρακάτω γράφη- µα :... Σ - Λ Σχῆµα 4: Ασκηση 1δ. (ε ) Η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [ π, 3π ]... 2 (ϝ ) Η συνάρτηση f(x) = 3 + 3ηµ10x έχει ελαχίστη τιµή 0... (4 6 = 24 Μονάδες) 4 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\ \2012 A.tex

8 2. είξτε ότι για κάθε α kπ + π, kπ, k Z: 2 ( ) ( ) εφ(α) 1 σφ 2 (α) + ηµ(α)συν(α) + σφ (α) 1 εφ 2 (α) + ηµ(α)συν(α) = 1 (20 Μονάδες) 3. (α ) είξτε ότι υπάρχουν γωνίες x έτσι ώστε : ηµ(x) = 3 5 και συν(x) = 4 5. (ϐ ) Να λυθεί ως πρός x η εξίσωση : 2 συν 2 (x) + 3 συν(x) = 2 ( = 26 Μονάδες) ( ) 4. Εστω η συνάρτηση h(x) = 1 ηµ x 2 + π. (α ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. (ϐ ) Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. (γ ) Να ϐρείτε την περίοδο της h(x). ( ) (δ ) είξτε ότι η συνάρτηση f(x) = h(x) ηµ x 2 + π είναι σταθερή στο διάστηµα [0, 2π]. (ε ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1 2 στο διάστηµα (2π, 4π). ( = 30 Μονάδες) Καλή Επιτυχία

9 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΟΜΑ Α Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό - Λάθος (α ) Αν ο διαιρέτης ενός πολυωνύµου είναι δευτέρου ϐαθµού, τότε ο ϐαθµός του υπολοίπου είναι το πολύ 1. (ϐ ) Αν για το πολυώνυµο P (x) ισχύει : P (x) = (x 2 3)Q(x) µε Q(x) 0, x R, τότε P (3) = P ( 3) = 0. (γ ) Αν ο ακέραιος µ είναι ϱίζα ενός πολυωνύµου a ν x ν + + a 1 x + a 0, µε a i R, τότε το µ είναι πάντα διαιρέτης του σταθερού όρου a 0. (δ ) Αν για το πολυώνυµο a ν x ν + + a 1 x + a 0, µε a i R, ισχύει a ν + a ν a 1 + a 0 τότε το πολυώνυµο έχει ϱίζα το 1. (ε ) Η διαίρεση ενός πολυωνύµου p(x) δια το πολυώνυµο q(x) είναι µια διαδικασία εύρεσης δύο πολυωνύµων π(x) και u(x) έτσι ώστε να ισχύει η ταυτότητα p(x) = q(x) π(x) + u(x). (3 5 = 15 Μονάδες) 2. ίδεται το πολυώνυµο p(x) = 2x 4 x 3 2κx + κ, µε κ R. (α ) Να ϐρεθεί το κ έτσι ώστε το πολυώνυµο να έχει παράγοντα τον x 2. (ϐ ) Για την τιµή του κ που ϐρήκατε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα : i. Να ϐρείτε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής του οριζόντιου άξονα µε το γράφηµα του πολυωνύµου. ii. Να ϐρείτε για ποιές τιµές του x το γράφηµα του πολυωνύµου είναι κάτω από τον οριζόντιο άξονα. ( = 50 Μονάδες) 3. ίδεται το πολυώνυµο : p(x) = 5x 6 3x 2 4 (α ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση p(x) = 0 δεν έχει ϱίζα πραγµατικό αριθµό. (ϐ ) Αν ω R, να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x ισχύει p(x) > p(ω). (γ ) Να λυθεί ως προς x η ανίσωση : p(x) > 12. ( = 35 Μονάδες) 5 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\examens \2014 A.tex

10 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΟΜΑ Α - Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό - Λάθος (α ) Αν ο διαιρέτης ενός πολυωνύµου είναι δευτέρου ϐαθµού, τότε ο ϐαθµός του υπολοίπου είναι 1. (ϐ ) Αν για το πολυώνυµο P (x) ισχύει : P (x) = (x 2 2)Q(x) µε Q(x) 0, x R, τότε P ( 2) = P ( 2) = 0. (γ ) Αν ο ακέραιος µ είναι ϱίζα ενός πολυωνύµου a ν x ν + + a 1 x + a 0, µε a i Q, τότε το µ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου a 0. (δ ) Αν για το πολυώνυµο a ν x ν + + a 1 x + a 0, µε a i R, ισχύει a ν + a ν a 1 + a 0 τότε το πολυώνυµο έχει ϱίζα το 0. (ε ) Η διαίρεση ενός πολυωνύµου p(x) δια το πολυώνυµο q(x) είναι µια διαδικασία εύρεσης δύο πολυωνύµων π(x) και u(x) έτσι ώστε να ισχύει η ταυτότητα p(x) = q(x) π(x) + u(x) µε 0 deg(u(x)) < deg(q(x)). (3 5 = 15 Μονάδες) 2. ίδεται το πολυώνυµο p(x) = κx 4 + κx 3 5x 2 x + κ, µε κ R. (α ) Να ϐρεθεί το κ έτσι ώστε το πολυώνυµο να έχει παράγοντα τον x 1. (ϐ ) Για την τιµή του κ που ϐρήκατε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα : i. Να ϐρείτε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής του οριζόντιου άξονα µε το γράφηµα του πολυωνύµου. ii. Να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x το γράφηµα του πολυωνύµου είναι πάνω από τον οριζόντιο άξονα. ( = 50 Μονάδες) 3. ίδεται το πολυώνυµο : p(x) = 4x 6 7x 2 12 (α ) Να αποδείξετε ότι το p(x) δεν έχει παράγοντα της µορφής x ρ, ρ R. (ϐ ) Αν t R, να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x ισχύει p(x) < p(t). (γ ) Να λυθεί ως προς x η ανίσωση : p(x) < 23. ( = 35 Μονάδες) 6 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\examens \2014 A.tex

11 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 ΟΜΑ Α Β 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό - Λάθος (α ) Αν ο διαιρέτης ενός πολυωνύµου είναι τρίτου ϐαθµού, τότε ο ϐαθµός του υπολοίπου είναι το πολύ 3. (ϐ ) Αν το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα τον x 3, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 3 είναι µηδενικού ϐαθµού. (γ ) ύο πολυώνυµα p(x) και q(x) είναι ίσα αν έχουν τους ίδους συντελεστές. (δ ) Το γινόµενο δύο πολυωνύµων p(x) και q(x) έχει ϐαθµό ίσο µε το άθροισµα των ϐαθµών των p(x) και q(x). (ε ) Η διαίρεση ενός πολυωνύµου p(x) δια το πολυώνυµο q(x) είναι µια διαδικασία εύρεσης δύο πολυωνύµων π(x) και u(x) έτσι ώστε να ισχύει η ταυτότητα p(x) = q(x) π(x) + u(x). (3 5 = 15 Μονάδες) 2. ίδεται το πολυώνυµο p(x) = x 4 2x 3 3x 2 + 2κx κ, µε κ R. (α ) Να ϐρεθεί το κ έτσι ώστε το πολυώνυµο να έχει παράγοντα τον x 1. (ϐ ) Για την τιµή του κ που ϐρήκατε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα : i. Να ϐρείτε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής του οριζόντιου άξονα µε το γράφηµα του πολυωνύµου. ii. Να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x το γράφηµα του πολυωνύµου είναι πάνω από τον οριζόντιο άξονα. ( = 50 Μονάδες) 3. ίδεται το πολυώνυµο : P (x) = 3x 6 4x 2 3 (α ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση P (x) = 0 δεν έχει ϱίζα πραγµατικό αριθµό. (ϐ ) Αν t R, να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x ισχύει P (x) P (t). (γ ) Να λυθεί ως προς x η ανίσωση : P (x) 10 ( = 35 Μονάδες) 7 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\examens \2014 A.tex

12 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΟΜΑ Α - Β 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό - Λάθος (α ) Αν ο διαιρέτης ενός πολυωνύµου είναι δευτέρου ϐαθµού, τότε ο ϐαθµός του υπολοίπου είναι το πολύ 1. (ϐ ) Αν το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα τον x, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x είναι µη-µηδενικού ϐαθµού. (γ ) ύο πολυώνυµα p(x) και q(x) είναι ίσα αν έχουν τους συντελεστές των οµοβαθ- µίων µονονύµων ίσους και τον ίδιο ϐαθµό. (δ ) Το γινόµενο δύο πολυωνύµων p(x) και q(x) έχει ϐαθµό µεγαλύτερο από το άθροισµα των ϐαθµών των p(x) και q(x). (ε ) Η διαίρεση ενός πολυωνύµου p(x) δια το πολυώνυµο q(x) είναι µια διαδικασία εύρεσης δύο πολυωνύµων π(x) και u(x) έτσι ώστε να ισχύει η ταυτότητα p(x) = q(x) π(x) + u(x) µε deg(p(x)) < deg(q(x)). (3 5 = 15 Μονάδες) 2. ίδεται το πολυώνυµο p(x) = κ x 4 x 3 16x + 4κ, µε κ R. (α ) Να ϐρεθεί το κ έτσι ώστε το πολυώνυµο να έχει ϱίζα τον αριθµό 2. (ϐ ) Για την τιµή του κ που ϐρήκατε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα : i. Να ϐρείτε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής του οριζόντιου άξονα µε το γράφηµα του πολυωνύµου. ii. Να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x το γράφηµα του πολυωνύµου είναι κάτω από τον οριζόντιο άξονα. ( = 50 Μονάδες) 3. ίδεται το πολυώνυµο : p(x) = 2x 6 6x 2 3 (α ) Να αποδείξετε ότι το p(x) δεν έχει παράγοντα της µορφής x ρ, ρ R. (ϐ ) Αν t R, να ϐρείτε για ποιές τιµές της πραγµατικής µεταβλητής x ισχύει p(x) p(t). (γ ) Να λυθεί ως προς x η ανίσωση : p(x) 11. ( = 35 Μονάδες) 8 LaTEX c:\... \ education \ B LYC \ examens \ geniki\algebra\examens \2014 A.tex